2023-2024学年北京市第五十七中学高一下学期期中考试数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2023-2024学年北京市第五十七中学高一下学期期中考试数学试卷一、选择题（共50分）1.已知抛物线方程为x2=2y，则其准线方程为(

)A.y=−1 B.x=−1 C.x=−12 2.已知角a的终边在第三象限，且tanα=2，则sinα−cosA.−1 B.1 C.−553.已知P为椭圆C:x24+y2b2=1A.1 B.2 C.3 D.44.已知双曲线C:x2a2−yA.2 B.3 C.2 5.已知x,y∈R，且x+y>0，则(

)A.1x+1y>0 B.x36.已知F为抛物线y2=4x的焦点，点Pnxn,ynA.xn是等差数列 B.xn是等比数列 C.yn是等差数列 7.已知圆C过点A−1,2，B1,0，则圆心C到原点距离的最小值为(

)A.12 B.22 C.18.已知函数fx=sin2x+π4，则“α=π8A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件

C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件9.在平面直角坐标系xOy中，点A(1,1)，B(2,1)，C(2,2)，P是圆M:x2+(y−4)2=2上一点，Q是▵ABCA.8+22 B.12 C.8+410.已知动直线l与圆O:x2+y2=4交于A，B两点，且∠AOB=120∘.若l与圆A.10−46 B.1 C.4二、填空题（每小题5分，共25分）11.已知a,b均为实数.若b+i=ia+i，则a+b=

．12.已知圆C:x2+y2+2x=0，则圆C的半径为

；若直线y=kx被圆C截得的弦长为1，则13.已知抛物线C:y2=4x与椭圆D:x2a2+y2b2=1 (a>b>0)有一个公共焦点F，则点F的坐标是

；若抛物线的准线与椭圆交于A,B14.已知fx=sinx+cosx的图象向右平移aa>0个单位后得到gx的图象，则函数gx的最大值为

；若f15.已知四边形ABCD是椭圆M:x22+y2=1的内接四边形，其对角线AC和①四边形ABCD是平行四边形；②存在四边形ABCD是菱形；③存在四边形ABCD使得∠AOD=91④存在四边形ABCD使得|AC|其中所有正确结论的序号为

．三、解答题（共75分）16.已知函数f(x)=4sinωx2cos(ωx2−π3)+m (ω>0).在下列条件(1)求f(π(2)若函数f(x)在区间[0, a]上是增函数，求实数a的最大值．条件①：f(x)最小正周期为π；条件②：f(x)最大值与最小值之和为0；条件③：f(0)=2．注：如果选择多组条件分别解答，按第一个解答计分．17.在ΔABC中，点D是边AB上一点，且ADDB=13.记(1)求证：ACBC(2)若α=π6，β=π2，AB=18.如图，在四棱锥P−ABCD中，AD⊥平面PAB,AB//DC,E为棱PB的中点，平面DCE与棱PA相交于点F，且PA=AB=AD=2CD=2，再从下列两个条件中选择一个作为已知．条件①：PB=BD；条件②：PA⊥BC．(1)求证：AB//EF；(2)求点P到平面DCEF的距离；(3)已知点M在棱PC上，直线BM与平面DCEF所成角的正弦值为23，求PMPC19.已知椭圆C：x2a2+y2b2=1a>b>0的右焦点为F1,0，离心率为22，直线l过点F且不平行于坐标轴，(1)求椭圆C的方程：(2)证明：直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值；(3)延长线段OM与椭圆C交于点P，若四边形OAPB为平行四边形，求此时直线l的斜率．20.已知椭圆C:x2a2+y2b2=1a>b>0的离心率为3(1)求椭圆C的方程．(2)设点P是椭圆C上的一个动点，且点P在y轴的右侧．直线PA，PB与直线x=4分别交于M，N两点．若以MN为直径的圆与x轴交于两点E，F，求点P横坐标的取值范围及EF的最大值．21.设m为正整数，若无穷数列an满足aik+i=aik+i(1)数列n是否为P1(2)已知an=s,n=2k1+1,k1∈Zt,n=2k(3)已知P3数列an满足a1<0，a8=2，答案1.D

2.C

3.C

4.D

5.B

6.A

7.B

8.A

9.B

10.D

11.0

12.1；±13.(1,0)；14.2

；；

；π15.①③④

16.f(x)=4=sin选择条件①②：(1)由条件①得，T=2π|ω|=π，又因为ω>0由②知，(2+3+m)+(−2+则f(x)=2sin(2x−π(2)令−π2+2kπ≤2x−所以函数f(x)的单调增区间为[−π因为函数f(x)在[0,a]上单调递增，且0∈[−π12,所以a≤5π12，故实数a的最大值为选择条件①③：(1)由条件①得，T=2π|ω|=π，又因为ω>0由③知，f(0)=2sin(−π则f(x)=2sin(2x−π(2)令−π2+2kπ≤2x−所以函数f(x)的单调增区间为[−π因为函数f(x)在[0,a]上单调递增，且0∈[−π12,所以a≤5π12，故实数a的最大值为说明：不可以选择条件②③：由②知，(2+3+m)+(−2+由③知，f(0)=2sin(−π所以函数f(x)不能同时满足条件②和③．17.(1)由正弦定理，在ΔACD中ACsin∠ADC=ADsinα，在ΔBCD中BCsin∠BDC=(2)因为α=π6，β=π2，由(1)得ACBC=sinπ23sinπ6=318.(1)选择条件①：(1)因为AB//DC,AB⊄平面DCEF,DC⊂平面DCEF，所以AB//平面DCEF．又因为AB⊂平面PAB，平面PAB∩平面DCEF=EF，所以AB//EF．选择条件②：解法同上(2)选择条件①：因为AD⊥平面PAB，PA,AB⊂平面PAB，所以AD⊥PA,AD⊥AB．又因为PB=BD,PA=AB=AD=2CD=2，所以▵PAB≌▵DAB．因此∠PAB=∠DAB=90∘，即如图，以A为原点，AB,AD,AP的方向分别为x轴，所以D0,2,0由(1)，得AB//EF，且E为棱PB的中点，所以点F为棱PA的中点．E1,0,1故FP=设平面DCEF的一个法向量为n=则DF取y=1，则x=0,z=2，即n=所以点P到平面DCEF的距离d=FP选择条件②：因为AD⊥平面PAB，PA,AB⊂平面PAB所以AD⊥PA,AD⊥AB，又因为PA⊥BC,BC与AD相交，BC,AD⊂平面ABCD，所以PA⊥平面ABCD，AB⊂平面ABCD，所以PA⊥AB，即AB,AD,AP两两垂直．以A为原点建立空间直角坐标系及以下步骤同上；(3)选择条件①：设PMPC则PM=λ所以BM=设直线BM与平面DCEF所成角为θ，所以sinθ=化简得9λ2−6λ+1=0即PMPC选择条件②：解法同上19.(1)由题意可知，c=1，e=c∵a∴a=2，∴椭圆的方程为x2(2)设直线l的方程为y=kx−1k≠0，Ax联立y=kx−1x22+则x1∵M为线段AB的中点，∴xM=∴k∴k(3)若四边形OAPB为平行四边形，则OA+OB∴x3=∵点P在椭圆上，∴4解得k2=1∴当四边形OAPB为平行四边形时，直线l的斜率为k=±

20.(1)由题意，可得b=1，e=ca=3椭圆C的标准方程为x2(2)解法1：设点P的坐标为x0,y00<x0≤2，点∴kPA=y0同理：直线PB的方程为y=y直线PA与直线x=4的交点为M4,直线PB与直线x=4的交点为N4,∵线段MN的中点坐标为4,4∴圆的方程为(x−4)令y=0，则(x−4)∵x02∴(x−4)∵这个圆与x轴相交，该方程有两个不同的实数解，∴5−8x0设交点坐标分别为x1,0，x2∴该圆被x轴截得的弦长的最大值为2．解法2：设点P的坐标为x0,y00<x0≤2，点∴kPA=y0同理：直线PB的方程为y=y直线PA与直线x=4的交点为M4,直线PB与直线x=4的交点为N4,若以MN为直径的圆与x轴相交，则4y即16y02∵x∴y02−1x该圆的直径为4y圆心到x轴的距离为12该圆在x轴上截得的弦长为2∴该圆被x轴截得的弦长的最大值为2．解法3：设点P的坐标为x0,y00<x0≤2，点∴kPA=y同理：直线PB的方程为y=y直线PA与直线x=4的交点为M4,直线PB与直线x=4的交点为N4,∴|MN|=4圆心到x轴的距离为12若该圆与x轴相交，则1−4x0∵x024+y0该圆在x轴上截得的弦长为2∴该圆被x轴截得的弦长的最大值为2．解法4：记点D的坐标为(2,0)，点H的坐标为(4,0)，设点P的坐标为x0,y0，点M的坐标为4,m，点由已知可得点A的坐标为(0,1)，点B的坐标为0,−1．∴AP的直线方程为y=y0−1x0令x=4，分别可得m=4y0∴点M的坐标为4,4y0−1x若以MN为直径的圆与x轴相交于点E，F，∵EH⊥MN，∴EHEH2∵x∴y02∴x∴EF∴该圆被x轴截得的弦长的最大值为2．解法5：设直线OP与x=4交于点T．∵MN//y轴，∴有APPM=AO∴AOTM=BOTN，TN又设点P的坐标为x0,y00<令x=4，得y=4y0x0，∴而r=TN=4x0−1，若以MN为直径的圆与则d=4y0∵x02∴5x02−8x∵0<x0≤2∴EF∴该圆被x轴截得的弦长的最大值为2．21.(1)∵an=符合P1的定义，故数列an=n(2)依题意，a2=t，因为an是P2数列，a3=a由①②两式解得t=−1,s=0．(3)∵an是P3数列，∴∴a

a9=a1×8+1=a由①②得a6=0,又因为a7+1=2，