2023届上海金山区高三二模数学试题及答案

高中高中2023届上海金山区高三二模数学试卷2023.04一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果.1.已知集合，集合，若，则_________.2.若实数满足不等式，则的取值范围是__________.3.双曲线的渐近线方程是__________.4.已知向量，向量，则与的夹角的大小为__________.5.在的二项展开式中，项的系数为_________（结果用数值表示）.6.若复数（是虚数单位），则_________.7.已知是定义域为的奇函数，当时，，则__________.8.掷一颗骰子，令事件，，则_________（结果用数值表示）.9.已知正实数、满足，则的最小值为__________.10.若函数（常数）在区间没有最值，则的取值范围是__________.11.已知函数和的表达式分别为，，若对任意，若存在，使得，则实数的取值范围是__________.12.已知、、、都是平面向量，且，若，则的最小值为__________.二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分）每题有且只有一个正确选项，考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑.13.若实数、满足，则下列不等式中成立的是（）A. B. C. D.14.某社区通过公益讲座宣传交通法规.为了解讲座效果，随机抽取10位居民，分别在讲座前、后各回答一份交通法规知识问卷，满分为100分.他们得分的茎叶图如图所示（“叶”是个位数字），则下列选项叙述错误的是（）A.讲座后的答卷得分整体上高于讲座前的得分B.讲座前的答卷得分分布较讲座后分散C.讲座后答卷得分的第80百分位数为95D.讲座前答卷得分的极差大于讲座后得分的极差15.如图，在矩形ABCD中，E、F分别为边AD、BC上的点，且，，设P、Q分别为线段AF、CE的中点﹐将四边形ABFE沿着直线EF进行翻折，使得点A不在平面CDEF上，在这一过程中，下列关系不能恒成立的是（）A.直线直线CD B.直线直线EDC.直线直线PO D.直线平面ADE16.设是项数为的有穷数列，其中.当时，，且对任意正整数，都有.给出下列两个命题：①若对任意正整数，都有，则的最大值为18；②对于任意满足的正整数s和t，总存在不超过的正整数m和k，使得.下列说法正确的是（）A.①是真命题，②是假命题 B.①是假命题，②是真命题C.①和②都是真命题 D.①和②都是假命题三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须在答题相应位置写出必要的步骤.17.（本题满分14分，第Ⅰ小题满分6分，第2小题满分8分）在中，角A、B、C所对边的边长分别为a、b、c，已知，.（1）若，求；（2）若，求的面积.18.（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）如图，在正三棱柱中，已知，D是AB的中点.（1）求直线与所成的角的大小；（2）求证：平面平面，并求点到平面的距离.19.（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）某网站计划4月份订购草莓在网络销售，每天的进货量相同，成本价为每盒15元.假设当天进货能全部售完，决定每晚七点前（含七点）售价为每盒20元，每晚七点后售价为每盒10元.根据销售经验，每天的购买量与网站每天的浏览量（单位：万次）有关.为确定草莓的进货量，相关人员统计了前两年4月份（共60天）网站每天的浏览量（单位：万次）、购买草莓的数量（单位：盒）以及达到该流量的天数，如下表所示：每天的浏览量每天的购买量300900天数3624以每天的浏览量位于各区间的频率代替浏览量位于该区间的概率.（1）求4月份草莓一天的购买量（单位：盒）的分布；（2）设4月份销售草莓一天的利润为（单位：元），一天的进货量为（单位：盒），为正整数且，当为多少时，的期望达到最大值，并求此最大值.20.（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）已知椭圆.（1）已知椭圆的离心率为，求椭圆的标准方程；（2）已知直线过椭圆的右焦点且垂直于轴，记与的交点分别为A、B，A、B两点关于y轴的对称点分别为、，若四边形是正方形，求正方形的内切圆的方程；（3）设О为坐标原点，P、Q两点都在椭圆上，若是等腰直角三角形，其中是直角，点Р在第一象限，且O、P、Q三点按顺时针方向排列，求b的最大值.21.（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）若函数在处取得极值，且（常数），则称是函数的“相关点”.（1）若函数存在“相关点”，求的值；（2）若函数（常数）存在“1相关点”，求的值：（3）设函数的表达式为（常数且），若函数有两个不相等且均不为零的“2相关点”，过点存在3条直线与曲线相切，求实数的取值范围.参考答案：

一．填空题：1、；2、；3、；4、；5、；6、5；7、；8、；9、；10、；11、；12、；二．选择题：13、D；14、C；15、B；16、C；三．解答题：17、【答案】（1）（2）【小问1详解】由,应用正弦定理得,,即得.【小问2详解】因为则,又由正弦定理得.

18、【答案】（1）（2）【小问1详解】由正三棱柱结构特征可知：，平面，为等边三角形；直线与所成角即为，平面，，在中，，，即直线与所成角的大小为.【小问2详解】作，垂足为，平面平面，平面平面，平面，，平面，点到平面的距离即为的长，由（1）知：，，，即，点到平面的距离为.19、【答案】（1）分布列见解析（2）当时的期望达到最大值，.【小问1详解】依题意可能取值为、，则，，所以的分布列为【小问2详解】当一天的进货量为（单位：盒），为正整数且时利润的可能取值为或，且，，所以，显然随着的增大而减少，所以当时的期望达到最大值，.20、【答案】（1）（2）（3）【小问1详解】由题意得，，所以，所以，所以椭圆的标准方程为；【小问2详解】设右焦点，左焦点，因为四边形是正方形，不妨设点在第一象限，则，所以，由，得，正方形的内切圆的圆心为，半径为，所以所求圆的方程为；【小问3详解】设直线的倾斜角为，斜率为，则直线的斜率为，设，则，联立，得，同理可得，由得，即，整理得，注意到且，则要使上述关于的一元二次方程有正数解，只需要，解得，所以b的最大值为.21、【答案】（1）（2）（3）【小问1详解】函数的对称轴为，且函数在上单调递减，在上单调递增，所以为函数的极值点，因为函数存在“相关点”，由题意可得，，解得.【小问2详解】由，则，由题意可得，，即，即，设，则，所以函数在上单调递增，且，所以方程存在唯一实数根1，即，即，此时，则，令，即；令，即，即函数在上单调递减，在上单调递增，所以函数的极值点为1，所以1是函数的“