2023年上海中学高二下期中数学试卷及答案

高中PAGE1高中上海中学2023学年第二学期高二年级数学期中2023.04一、填空题（本大题满分36分，本大题共有12题）1.已知直线在轴上的截距是3，在轴上的截距是，则的方程是______．2.若动点，分别在直线和直线上移动，求线段的中点到原点的距离的最小值为________．3.点与两个定点，距离的比为，则点的轨迹方程为______．4.将序号分别为1，2，3，4，5的5张参观券全部分给4人，每人至少一张，如果分给同一人的两张参观券连号，那么不同的分法种数是________.5.将3个红球，4个篮球，2个黄球排成一排（相同颜色球是一样的），有______种排法．6.点，点，点在坐标轴上，且为直角，这样点有______个．7.二项式的展开式中含有非零常数项，则正整数的最小值为______．8.已知点，动点的纵坐标小于等于零，且点的坐标满足方程，则直线的斜率的取值范围是______．9.将6位志愿者分成4组，其中两个组各2人，另两个组各1人，分赴世博会的四个不同场馆服务，不同的分配方案有_________种(用数字作答).10.在某种没有平局比赛中，选手每赢一局可以得到1点积分，每输一局会失去1点积分，若选手连赢了3局或更多的比赛，则从连赢的第三局开始，每赢一局会得到2点积分，现在设某选手的胜率为60%，则他第6局的获得的分数的数学期望是______．11.如图，在的方格表中按照下面的条件填入6个圆圈，满足各行．各列至少有一个圆圈；同一格不能填2个圆圈．则不同的符合条件的填入方法有______种．12.已知六个字母以随机顺序排成一行，若小明每次操作可以互换2个字母的位置，则小明必须进行5次操作才能将六个字母排成的顺序的排列情况有______种．二、选择题（本大题满分12分，本大题共有4题）13.已知一个圆的方程满足：圆心在点，且过原点，则它的方程为（）A. B.C. D.14.掷两颗均匀大小不同的骰子，记“两颗骰子的点数和为10”为事件A，“小骰子出现的点数大于大骰子出现的点数”为事件B，则为（）A. B. C. D.15.过点作一条直线，它夹在两条直线：和：之间的线段恰被点平分，则直线的方程为（）A. B.C. D.16.两个黑帮帮主甲和乙决定以如下方式决斗：甲带了一名手下A，而乙带了两名手下和，规定任意一名手下向敌方成员开枪时，会随机命中敌方的一个尚未倒下的人，且命中每个人的概率相等，并且，三名手下被命中一次之后就会倒下，而甲被命中三次后倒下，乙被命中两次后倒下，只要甲或者乙任意一人倒下，决斗立刻结束，未倒下的一人胜出.决斗开始时，A先向敌方成员开枪，之后若B未倒下，则B向敌方成员开枪，之后按C，A，B，C，A，B，……的顺序依次进行，则甲最终获胜的概率是（）A. B. C. D.三、解答題（本大题满分52分，本大题共有5题）17.已知随机变量，若，，求的值．18.求抛物线：上的点到直线：的最小距离．19.某校举行了一次数学竞赛，为了了解本次竞赛学生的成绩情况，从中抽取了部分学生（男女生各一半）的分数（得分取正整数，满分为100分）作为样本（样本容量为）进行统计，按照，，，，的分组作出如图所示的频率分布直方图，已知得分在，的频数分别为16，4．（1）求样本容量和频率分布直方图中的，的值；（2）70分以下称为“不优秀”，其中男．女姓中成绩优秀的分别有24人和30人，请完成列联表，并判断是否有的把握认为“学生的成绩优秀与性别有关”？男生女生总计优秀不优秀总计0.100.050.0100.0050.0012.7063.8416.6357.87910.828附：，．20.为评估设备生产某种零件的性能，从设备生产零件的流水线上随机抽取100件零件作为样本，测量其直径后，整理得到下表：直径5859616263646566676869707173合计件数11356193318442121100经计算，样本的平均值，标准差，以频率值作为概率的估计值，用样本估计总体.（1）将直径小于等于或直径大于的零件认为是次品，从设备的生产流水线上随意抽取3个零件，计算其中次品个数的数学期望；（2）为评判一台设备的性能，从该设备加工的零件中任意抽取一件，记其直径为，并根据以下不等式进行评判（表示相应事件的概率）：①；②；③.评判规则为：若同时满足上述三个不等式，则设备等级为甲；仅满足其中两个，则等级为乙；若仅满足其中一个，则等级为丙；若全部不满足，则等级为丁，试判断设备的性能等级并说明理由.21.（1）已知、为正整数，，求证：：（2）已知、为正整数，求证：；（3）、为正整数，，求证：．

上海中学2023学年第二学期高二年级数学期中2023.04一、填空题（本大题满分36分，本大题共有12题）1.已知直线在轴上的截距是3，在轴上的截距是，则的方程是______．【答案】【解析】【分析】由题意利用截距式求直线的方程，再化为一般式．【详解】因为直线在轴上的截距是，在轴上的截距是，则直线l的方程是，即，故答案为：．2.若动点，分别在直线和直线上移动，求线段的中点到原点的距离的最小值为________．【答案】【解析】【分析】由题意线段的中点的集合为与直线和直线距离相等的直线，记为，则到原点距离最小值为原点到的距离，结合点到直线的距离公式可求．【详解】由题意线段的中点的集合为与直线和直线距离相等的直线，记为，则到原点距离最小值为原点到的距离，设直线，则，解得，所以，根据点到直线的距离公式可得，到原点的距离的最小值为．故答案为：．3.点与两个定点，的距离的比为，则点的轨迹方程为______．【答案】【解析】【分析】设出动点，利用条件得到，再化简即可得到结果.【详解】设点，由题知，两边平方化简得，即，所以点的轨迹方程为.故答案为：.4.将序号分别为1，2，3，4，5的5张参观券全部分给4人，每人至少一张，如果分给同一人的两张参观券连号，那么不同的分法种数是________.【答案】96【解析】【详解】试题分析：5张参观券全部分给4人，分给同一人的2张参观券连号，方法数为：1和2，2和3，3和4，4和5，四种连号，其它号码各为一组，分给4人，共有4×=96种考点：排列、组合及简单计数问题5.将3个红球，4个篮球，2个黄球排成一排（相同颜色的球是一样的），有______种排法．【答案】1260【解析】【分析】利用排列知识即可求出结果.【详解】因为相同颜色的球是一样的，所以将3个红球，4个篮球，2个黄球排成一排，共有种.故答案为：1260.6.点，点，点在坐标轴上，且为直角，这样点有______个．【答案】4【解析】【分析】分情况讨论，设出轴上点坐标，利用向量的数量积为0建立方程，由判别式确定解得个数即可.【详解】若P在x轴上，可设，则，由直角可得，即，，故有两解；当P在y轴上，可设，则，由为直角可得，即，，故两解.综上，四个解且无重合点，可知符合条件的点有4个，故答案为：47.二项式的展开式中含有非零常数项，则正整数的最小值为______．【答案】5【解析】【分析】利用二项展开式的通项公式求出展开式的通项,令的指数为方程有解，即可求出正整数的最小值.详解】由题意，在中，展开式中含有非零常数项，展开式的通项为，∵展开式中含有非零常数项，∴当时,解得：∴当时,最小，为故答案为：5.8.已知点，动点的纵坐标小于等于零，且点的坐标满足方程，则直线的斜率的取值范围是______．【答案】【解析】【分析】利用条件，将问题转化成求直线与圆相切时的斜率，再根据图形即可得出结果.【详解】由题知，动点的纵坐标小于等于零，且点的坐标满足方程，所以点的轨迹方程为，当直线与圆相切时，设直线方程为，即，所以，解得，因为的纵坐标小于等于零，所以，由图易知，直线的斜率的取值范围，故答案为：9.将6位志愿者分成4组，其中两个组各2人，另两个组各1人，分赴世博会的四个不同场馆服务，不同的分配方案有_________种(用数字作答).【答案】1080【解析】【分析】该问题属于平均分组（堆）再分配的问题，先将6位志愿者分成4组，其中两个组各2人，另两个组各1人，再将其分配到四个不同场馆即得.【详解】将6位志愿者分成4组，其中两个组各2人，另两个组各1人有种方法，进而将其分配到四个不同场馆，有种情况，由分步计数原理可得，不同的分配方案有45×24=1080种.故答案为：1080.【点睛】易错题，在分组过程中，要注意分组重复的情况，理解中分母的意义．10.在某种没有平局的比赛中，选手每赢一局可以得到1点积分，每输一局会失去1点积分，若选手连赢了3局或更多的比赛，则从连赢的第三局开始，每赢一局会得到2点积分，现在设某选手的胜率为60%，则他第6局的获得的分数的数学期望是______．【答案】【解析】【分析】根据题意结合独立事件概率公式、数学期望的公式进行求解即可..【详解】前6局中,连赢六局的概率为，前6局中,连赢五局且第6局也赢的概率为，前6局中,连赢四局且第6局也赢的概率为，前6局中,连赢三局且第6局也赢的概率为，所以第6局的获得2分的概率为：，第6局的获得分的概率为，第6局的获得分的概率为，所以第6局获得的分数的数学期望是，故答案为：11.如图，在的方格表中按照下面的条件填入6个圆圈，满足各行．各列至少有一个圆圈；同一格不能填2个圆圈．则不同的符合条件的填入方法有______种．【答案】4200【解析】【分析】6个圆圈填入5行、5列的表格中，按照题目要求，易知必有某行2个，其他行1个；某列2个，其他列1个，据此分两类讨论，分别求出安排种数，再由分类加法计数原理得解.【详解】6个圆圈填入5行、5列的表格中，按照题目要求，易知必有某行2个，其他行1个；某列2个，其他列1个.①如果该行和该列的交界处有圆圈，则去掉这个圆圈恰好每行每列1个，有5!=120种，新增的这个交界处圆圈有20种填法，共计:120×20=2400种;②如果该行和该列的交界处没有圆圈，选定该行该列的方式有种，在该行该列分别填入2个圆圈的方法有种，最后再把剩下2个圆圈填入方格，有2种填法，共计:种;综上，不同的符合条件的填入方法有4200种.故答案为：种12.已知六个字母以随机顺序排成一行，若小明每次操作可以互换2个字母的位置，则小明必须进行5次操作才能将六个字母排成的顺序的排列情况有______种．【答案】120【解析】【分析】利用条件，分析得到每个字母均不在自己位置，且交换过程中只存在一次，即最后一次交换使两个字母同时归位，再利用分步计数原理即可求出结果.【详解】因为小明必须经过5次操作才能将六个字母排成ABCDEF的顺序，这里研究排序混乱到什么程度才需要“必须经过5次操作”排成ABCDEF的顺序，这里不妨记A，B，C，D，E，F六个字母对应的位次分别为1，2，3，4，5，6，首先，考虑一种情况：假设字母“A”已经排在自己的位置，即排在1号位，其他字母均不在自己位置，易知把其他五个字母调换到自己的位置至少需要经过4次操作，即第一次让“B”归位，第二次让“C”归位，第三次让“D”归位，第四次将“E”与“F”同时归位，这样仅需进行4次操作，不满足题意；若A，B，C，D，E，F均不在对应的自己位置，但经过一次交换后，可使得两个字母同时归位，此时也不能满足“必须进行5次操作”的情况，例如，，同时交换可使两者同时归位，此时只需交换四次即可，而，只需交换三次即可，不合要求，所以，要满足“必须进行5次操作”的情况，则每个字母均不在自己位置，且交换过程中只存在一次，即最后一次交换使两个字母同时归位，1号位可放中的一个，有5种选择，不妨设放的为，则3号位不能放，可从剩余中选一个，有4种选择，不妨设放的为，则5号位不能放，否则可先交换，再交换，交换过程中出现交换一次使两个字母同时归位的情况，故5号位可从种选择一个，有3种选择，不妨设放的为，字母可选择号位或5号位，有2种选择，剩余只有1种放法，才能满足要求，综上，总的排序方法有种.故答案为：120【点睛】关键点点睛：解决本题的关键在于，分析出要满足“必须进行5次操作”的情况，则每个字母均不在自己位置，且交换过程中只存在一次，即最后一次交换使两个字母同时归位.二、选择题（本大题满分12分，本大题共有4题）13.已知一个圆的方程满足：圆心在点，且过原点，则它的方程为（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】利用条件求出半径，再根据圆的标准方程求解.【详解】设圆的半径为，因为圆心是，且过点，所以，所以半圆的方程为，故选：D.14.掷两颗均匀的大小不同的骰子，记“两颗骰子的点数和为10”为事件A，“小骰子出现的点数大于大骰子出现的点数”为事件B，则为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据题意，利用古典概型公式分别计算事件A发生的概率与事件AB发生的概率，再利用条件概率计算公式即可算出P(B|A)的值.【详解】根据题意，记小骰子的点数为，大骰子的点数为，事件A包含的基本事件有“”，“”，“”共3个,事件A发生的概率，而事件AB包含的基本事件有“”一个，可得事件AB发生概率，.故选：D15.过点作一条直线，它夹在两条直线：和：之间的线段恰被点平分，则直线的方程为（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】当斜率不存在时，不符合题意，当斜率存在时，设所求直线方程为，进而得出交点，根据点为两交点的中点建立等式，求出的值，从而即可解决问题.【详解】如果直线斜率不存在时，直线方程为：，不符合题意；所以直线斜率存在设为，则直线方程为，联立直线得：，联立直线得：，，所以直线与直线，直线的交点为：，又直线夹在两条直线和之间的线段恰被点平分，所以，解得：，所以直线的方程为：，故选：B.16.两个黑帮帮主甲和乙决定以如下方式决斗：甲带了一名手下A，而乙带了两名手下和，规定任意一名手下向敌方成员开枪时，会随机命中敌方的一个尚未倒下的人，且命中每个人的概率相等，并且，三名手下被命中一次之后就会倒下，而甲被命中三次后倒下，乙被命中两次后倒下，只要甲或者乙任意一人倒下，决斗立刻结束，未倒下的一人胜出.决斗开始时，A先向敌方成员开枪，之后若B未倒下，则B向敌方成员开枪，之后按C，A，B，C，A，B，……的顺序依次进行，则甲最终获胜的概率是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】分析按被击中顺序来表示的甲获胜的事件，分别求出概率，利用互斥事件概率加法公式求和得解.【详解】对于甲来说，一旦唯一一名手下A被击毙，则甲方必败，同理，若乙方B、C两名手下被击毙，则乙方必败(题目定义开枪顺序是三名手下轮流开枪，甲与乙不参与开枪)，按照被击中的顺序表示事件，易知甲获胜的方式有如下几种：乙甲甲乙，B甲C，C甲B，B甲乙甲，C甲乙甲，事件概率分别记为，则，，，，，所以甲最终获胜的概率是,故选：A三、解答題（本大题满分52分，本大题共有5题）17.已知随机变量，若，，求的值．【答案】【解析】【分析】根据二项分布的期望、方差公式计算可得.【详解】因为随机变量，所以，，两式相除可得，解得.18.求抛物线：上的点到直线：的最小距离．【答案】【解析】【分析】设出抛物线上的点坐标，利用点到直线的距离公式求解作答.【详解】设抛物线上的点，则点P到直线，即的距离，当且仅当时取等号，所以所求最小距离为.19.某校举行了一次数学竞赛，为了了解本次竞赛学生的成绩情况，从中抽取了部分学生（男女生各一半）的分数（得分取正整数，满分为100分）作为样本（样本容量为）进行统计，按照，，，，的分组作出如图所示的频率分布直方图，已知得分在，的频数分别为16，4．（1）求样本容量和频率分布直方图中的，的值；（2）70分以下称为“不优秀”，其中男．女姓中成绩优秀的分别有24人和30人，请完成列联表，并判断是否有的把握认为“学生的成绩优秀与性别有关”？男生女生总计优秀不优秀总计0.100.050.0100.0050.0012.7063.8416.6357.87910.828附：，．【答案】（1）（2）联表见解析，没有【解析】【分析】（1）根据频率分布直方图，计算样本容量及的大小即可；（2）由题意列出联表，计算与临界值比较得出结论.【小问1详解】由题意可知，样本容量，，【小问2详解】100位学生中男女生各有50名，成绩优秀共有54名，所以学生的成绩优秀与性别列联表如下表;男生女生总计优秀243054不优秀262046总计5050100，没有90%的把握认为“学生的成绩优秀与性别有关”.20.为评估设备生产某种零件的性能，从设备生产零件的流水线上随机抽取100件零件作为样本，测量其直径后，整理得到下表：直径5859616263646566676869707173合计件数11356193318442121100经计算，样本的平均值，标准差，以频率值作为概率的估计值，用样本估计总体.（1）将直径小于等于或直径大于的零件认为