2025届新高考数学冲刺精准复习正弦定理与余弦定理的综合应用

2025届新高考数学冲刺精准复习正弦定理与余弦定理的综合应用01课前自学02课堂导学目录【课时目标】理解正弦定理和余弦定理的综合应用.【考情概述】正弦定理和余弦定理的综合应用是新高考考查的重点内

容之一，常以选择题、填空题、解答题的形式进行考查，有时以实际问

题为背景，难度中等，属于高频考点.

知识梳理1.中线

2.角平分线如图，在△

ABC

中，

AD

平分∠

BAC

，内角∠

BAC

，

B

，

C

的对边长分

别为

a

，

b

，

c

.（1）

利用角度的倍数关系：∠

BAC

＝2∠

BAD

＝2∠

CAD

.

3.垂线

（2）

求高一般采用等面积法，即求某边上的高，需要求出三角形的面

积和底边长.常用结论1.在△

ABC

中，

a

，

b

，

c

分别为内角

A

，

B

，

C

的对边长，则

A

＞

B

＞

C

⇔

a

＞

b

＞

c

⇔

sin

A

＞

sin

B

＞

sin

C

.

2.△

ABC

的内角和定理：

A

＋

B

＋

C

＝π.

✕✕√√回归课本2.若三条线段的长分别为5，6，7，则用这三条线段（

B

）A.能组成直角三角形B.能组成锐角三角形C.能组成钝角三角形D.不能组成三角形

A.2BA

A.

b

＋

c

≤2

a

ABD5.已知在圆的内接四边形

ABCD

中，

AB

＝2，

BC

＝6，

CD

＝

AD

＝4，

则

A

＝

⁠.120°

（2）

若

c

＝1，求

B

的取值范围.

总结提炼

利用正、余弦定理将目标化归与转化，借助三角函数的有界性，

基本不等式，三角形的三边关系等，进一步求目标函数的取值范围与

最值.

[对点训练]1.在△

ABC

中，内角

A

，

B

，

C

的对边长分别为

a

，

b

，

c

，

sin

2

C

＝2

sin

2

B

－2

sin

2

A

.

（1）

求证：

c

＝4

a

cos

B

；解：（1）

证明：因为

sin

2

C

＝2

sin

2

B

－2

sin

2

A

，所以在△

ABC

中，

由正弦定理，得

c

2＝2

b

2－2

a

2.因为

b

2＝

a

2＋

c

2－2

ac

cos

B

，所以

c

2＋

2

a

2＝2

b

2＝2

a

2＋2

c

2－4

ac

cos

B

.

所以

c

＝4

a

cos

B

.

（2）

延长

BC

至点

D

，使得

AD

＝

BD

，求∠

CAD

的最大值.解：（2）

在△

ABC

中，由

c

＝4

a

cos

B

及正弦定理，得

sin

∠

ACB

＝4

sin

∠

BAC

cos

B

（显然

B

为锐角）.因为

sin

∠

ACB

＝

sin

（∠

BAC

＋

B

），所以

sin

∠

BAC

cos

B

＋

cos

∠

BAC

sin

B

＝4

sin

∠

BAC

cos

B

.

所

以

cos

∠

BAC

sin

B

＝3

sin

∠

BAC

cos

B

.

因为

B

为锐角，所以∠

BAC

为

锐角.所以tan

B

＝3tan∠

BAC

.

因为

AD

＝

BD

，所以

B

＝∠

BAD

＝∠

BAC

＋∠

CAD

.

所以∠

CAD

＝

B

－∠

BAC

.

例2（2023·南通二模）古代数学家刘徽编撰的《重差》是我国最早的

一部测量学著作，也为地图学提供了数学基础.现根据刘徽的《重差》

测量一个球体建筑物的高度.如图，点

A

是球体建筑物与水平地面的接触

点（切点），地面上

B

，

C

两点与点

A

在同一条水平线上，且在点

A

的

同侧.若在点

B

，

C

处分别测得球体建筑物的最大仰角为60°和20°，且

BC

＝100m，则该球体建筑物的高度约为（参考数据：

cos

10°≈0.985）（

B

）A.49.25mB.50.76mC.56.74mD.58.60mB考点二

以数学文化为背景的测量问题

[对点训练]2.魏晋时期刘徽撰写的《海岛算经》是关于测量的数学著作，其中第一

题是测量海岛的高.如图，点

E

，

H

，

G

在水平线

AC

上，

DE

和

FG

是两

个垂直于水平面且等高的测量标杆的高度，称为“表高”，

EG

称为

“表距”，

GC

和

EH

都称为“表目距”，

GC

与

EH

的差称为“表目距

的差”，则海岛的高

AB

等于（

A

）A

考点三

解三角形中的证明问题例3（2022·全国乙卷）已知△

ABC

的内角

A

，

B

，

C

的对边长分别为

a

，

b

，

c

，且

sin

C

·

sin

（A－B）＝

sin

B

sin

（

C

－

A

）.（1）

若

A

＝2

B

，求

C

；

（2）

求证：2

a

2＝

b

2＋

c

2.

总结提炼

1.利用正、余弦定理证明边角关系；2.掌握中线长公式及