2025届新高考数学冲刺精准复习综合法求空间角与距离

2025届新高考数学冲刺精准复习综合法求空间角与距离01课前自学02课堂导学目录【课时目标】运用直观感知、操作确认、推理论证、度量计算等认识

和探索空间图形的性质，建立空间概念；借助长方体，在直观认识空间

点、直线、平面的位置关系基础上，抽象出空间点、直线、平面的位置

关系的定义.【考情概述】利用综合法求空间角与距离是新高考考查内容之一，以

选择题、填空题、解答题的形式进行考查，难度中等，属于高频考点.

知识梳理文字语言图形语言范围异面直线所

成角经过空间任一点

O

（注

意取图形中的特殊点）

分别作a'∥

a

，b'∥

b

，

则直线a'与b'所成的

⁠

⁠就叫做异面

直线

a

，

b

所成的角

锐

角或直角

文字语言图形语言范围直线与平面

所成角平面的一条斜线和它在

这个平面内的

⁠

所成的角，叫做这条直

线与这个平面所成的角

射影

文字语言图形语言范围二面角的平

面角在二面角α－

l

－β的棱

l

上任取一点

O

，以

O

为

垂足，分别在半平面α，

β内作

OA

⊥

l

，

OB

⊥

l

，

则射线

OA

和

OB

构成的

∠

AOB

叫做

⁠

⁠

[0，π]二面角的

平面角[0，π]文字语言图形语言范围点到平面的距

离过一点作垂直于已知平面的直线，则该点与垂足间的垂线段长度叫做这个点到该平面

的

⁠

距离文字语言图形语言范围直线到平面

的距离一条直线与一个平面平

行时，这条直线上

⁠

⁠到这个平面的

距离，叫做这条直线到

这个平面的距离

两个平行平

面间的距离若两平面平行，则其中

一个平面内的任意一点

到另一个平面的距离

都

⁠，我们把它

叫做这两个平行平面间

的距离

任

意一点相等常用结论1.两异面直线所成的角归结到一个三角形的内角时，该内角可能等于两

异面直线所成的角，也可能等于其补角.2.当两异面直线所成的角为90°时，可通过证明线面垂直达到求异面直

线所成角的目标.3.点到平面的距离的求法：（1）

直接作出“距离”并计算；（2）

转

化求解（利用等积法、比例、线面平行关系换点等）.4.作二面角的平面角的常用方法：（1）

定义法；（2）

“三垂线”

法；（3）

找二面角的棱的垂面.回归课本1.判断：（1）

（RA二P147思考题改编）异面直线所成角的大小与点

O

的位置无

关，所以求解时，可根据需要合理选择该点.

（

√

）（2）

（RA二P152结论改编）若直线与平面所成的角为α，则0°＜

α≤90°.

（

✕

）（3）

（RA二P156定义改编）二面角的平面角所在的平面与二面角的棱

垂直.

（

√

）（4）

（RA二P163习题8.6第3题（2）改编）如果一个二面角的两个面

分别平行于另一个二面角的两个面，那么这两个二面角的平面角相等.

（

✕

）√✕√✕

3.（RA二P147例1改编）在正方体

ABCD

－

A

1

B

1

C

1

D

1各个表面的对角

线中，与

AD

1所成角为60°的有（

C

）A.4条B.6条C.8条D.10条BC4.（多选）（RA二P163习题8.6第6题改编）在正方体

ABCD

－

A

1

B

1

C

1

D

1中，平面

ABC

1

D

1与正方体的各个面所在平面所成角的大小可以是

（

BD

）A.30°B.45°C.60°D.90°BD5.（RA二P170复习参考题8第10题改编）已知四棱锥

P

－

ABCD

的底面

是边长为6的正方形，且该四棱锥的体积为96，则点

P

到平面

ABCD

的

距离是

⁠.8

考点一

综合法求空间角考向1

线线角例1如图，在三棱锥

A

－

BCD

中，

AB

＝

CD

，

M

，

N

分别是

BC

，

AD

的中点.若直线

AB

⊥

CD

，则直线

AB

与

MN

所成的角为

⁠.[变式演练]45°

1.在三棱锥

A

－

BCD

中，

AB

＝

CD

，

M

，

N

分别是

BC

，

AD

的中点.若

直线

AB

与

CD

所成的角为60°，则直线

AB

与

MN

所成的角为

⁠

⁠.30°或

60°

A.1B.2D

[变式演练]

总结提炼

求线面角，先过直线上一点作出与平面垂直的直线，连接垂足和

斜足得出射影，从而确定所求角，再利用平面几何知识进行计算.考向3

二面角例3

总结提炼

求二面角是通过求其平面角的大小实现的，而平面角的作法中必须强

调“垂直”，其常见途径：（1）

利用共底的两个等腰三角形.（2）

利用线面垂直和面面垂直的性质.（3）

对于“无棱”二面角一般须先确定棱，然后再利用上述方法作

出平面角.[对点训练]

A.6πB.3πD.2πB3.如图，

DE

是边长为2的等边三角形

ABC

的中位线，将△

ADE

沿

DE

折

起，使平面

ADE

⊥平面

BCED

.

求：（1）

四棱锥

A

－

BCED

的体积；

（2）

平面

ABD

与平面

ACE

夹角的余弦值.

考点二

综合法求空间距离例4已知正三棱柱

ABC

－

A

1

B

1

C

1的底面边长为8，对角线

B

1

C

＝10，

D

是

AC

的中点.求：（1）

点

B

1到直线

AC

的距离；

（2）

直线

AB

1到平面

C

1

BD

的距离.

总结提炼

1.线面距离、面面距离都可以转化为点面距离.2.求点到平面的距离主要有两种方法：定义法和等积法.定义法的关键

是作出或找到直线与平面垂直，在解决直线与平面垂直的问题过程

中，要注意直线与平面垂直的判定定理和性质定理的联合交替使用，

即注意线线垂直和线面垂直的互相转化，同时要注意面面垂直的性质

定理是作辅助线的一个重要依据.等积法（包括等面积法）的前提是几

何图形（或几何体）的体积（或面积）通过已知条件可以得到，利用

等积法可以求解几何图形的高或点到平面的距离（几何体的高）.4.（2023·全国甲卷）如图，在三棱柱

ABC

－

A

1

B

1

C

1中，

A

1

C

⊥平面

ABC

，∠

ACB

＝90°.（1）

求证：平面

ACC

1

A

1⊥平面

BB

1

C

1

C

；解：（1）

证明：因为

A

1

C

⊥平面

ABC

，

BC

⊂平面

ABC

，所以

A

1

C

⊥

BC

.

又因为∠

ACB

＝90°，即

AC

⊥

BC

，

A

1

C

⊂平面

ACC

1

A

1，

AC

⊂平面

ACC

1

A

1，

A

1

C

∩

AC

＝

C

，所以

BC

⊥平面

ACC

1

A

1.因为

BC

⊂平面

BB

1

C

1

C

，所以平面

ACC

1

A

1⊥平面

BB

1

C

1

C

.

[对点训练]（2）

若

AB

＝

A

1

B

，

AA

1＝2，求四棱锥

A

1－

BB

1

C

1

C

的高.解：（2）

如图，过点

A

1作

A

1

O

⊥

CC

1于点

O

.

由（1）

知，平面

ACC

1

A

1⊥平面

BCC

1

B

1.又因为平面

ACC

1

A

1∩平面

BCC

1

B

1＝

CC

1，

A

1

O

⊂平面

ACC

1

A

1，所以

A

1

O

⊥平面

BCC

1

B

1.所以四棱锥

A

1－

BB

1

C

1

C

的高为

A

1

O

.

因为

A

1

C

⊥

BC

，

AC

⊥

BC

，所以∠

A

1

CB

＝∠

ACB

＝90°.又因为

A

1

B

＝

AB

，

BC

＝

BC

，所以Rt△

A

1

CB

≌Rt△

ACB

.

所以

A

1

C

＝

AC

.

（1）

求点

C

到平面

PAB

的距离；

（2）

点

M

在棱

PC

上，且直线

BM

与底面

ABCD

所成的角为45°，求二

面角

M

－

AB

－

D

的余弦值.

[变式演练]

（2）

求直线

PC

与平面

ABCD

所成的角.

总结提炼

1.利用平面化的思路将求角与距离的问题转化为直角三角形问题.2.点到面的距离常通过面面垂直直接作出距离再计算，或利用平行线

或比例关系转化求解.

[对点训练]

所以∠

BAC

＝∠

DAC

＝45°.所以

OB

2＝

OA

2＋

AB

2－2

OA

·

AB

·

cos

∠

BAC

＝9.所以

OB

2＋

OD

2＝

BD

2.所以∠

BOD

＝90°，即

OD

⊥

OB

.

又

OB

⊂平面

ABC

，

AC

⊂平面

ABC

，

OB

∩

AC

＝

O

，所以

OD

⊥平面

ABC

.

又

OD

⊂平面