高中数学必修二 期考测试（提升）(含答案)

期中考测试（提升）

一、单选题（每题只有一个选项为正确答案，每题5分，8题共40分）

1.（2021•福建福州）下面是关于复数z=4（i为虚数单位）的命题，其中真命题为（）

1-1

A.|z|=2B.复数z在复平面内对应点在直线y=x上

C.Z的共辗复数为-ITD.z的虚部为T

【答案】C

［解析］2=3=7^"；="詈=-l+i,所以|Z|="（T）2+F=JLA错；

对应点坐标为（-LD不在直线）上，B错；共规复数为T—i,C正确；虚部为1,D错.故选：C.

2.（2021•上海•高一课时练习）在边长为1的等边AABC中，BC=a,CA=b,AB=c,则a4+R.c+c•。等

于（）

33

A.—B.0C.-D.3

22

【答案】A

【解析】由题意，a*=^C^="CBC4=-|Ci||C4|cos600=--

2

加工=^5•荏=一元•通=一|亚||行|cos60°=一,

2

"・£=通.说=-丽衣=-|丽|・辰|侬60。=」

2

一一3

:.a-b+b-c+c-a=——

2

故选：A

3.（2021•广东•（弗山市南海区九江中学）若向量所垂直于向量。和5,向量万=瓶+〃（4,且2〃=0）,

则（）

A.tnllnB.mkn

C.所不平行于万，庆也不垂直于"D.以上都有可能

【答案】B

【解析】解：向量沅垂直于向量。和5,则两S=。，m*b=0,

乂向量力=4万+〃5,所以历・/?=诩・（/"+〃方）=4方或+〃用石=0,所以/_L万.故选：B.

4.（2021•北京•东直门中学）在A/WC中，角A,B,C的对边分别为。，b,。若c=2,sinA=2sinC,

cos8=!，则AABC的面积S=（）

4

A.而B.2后C.1D.—

4

【答案】A

【解析】■：c=2,:.sinA=2sinC,由正弦定理可得a=2c=4,

,/cosB=—,sinB=\!\-cos2B=,「.△ABC的面积S='acsin8=,x4x2x^^=.故选：A.

44224

—.1—.

5.（2021•贵州•凯里一中）如图所示，在等腰梯形A3CD中，AD//BC,E为线段43的中点，DF=-FC,

4

A.-12B.-10C.-8D.-6

在等腰梯形ABC。中，分别过点A,。作AM,OV垂直于8C于点M,N,

则M/V=AD=2,BM=CN=1,

因为ZABC=60S所以A8=CO=2,

—1—

因为E为线段AB的中点，DF=-FC

4t

所以而.酝=（配+g而）・（g丽_方）=；丽,而—沅2+_|丽.丽也.而

124

=-x2x4xcos60-492+—x2x2xcos60——x2x4xcosl20

255

cI,416ic

=2—16H----1----=—10,

55

故选：B.

6.（2021•山西怀仁）在AA8C中，角4B,。所对应的边分别为a,b,c,且a'边上的高为立a,则角

6

4的取值范围为（）

n兀兀2兀

A.呜B.C.D.

6,3吟7'7

【答案】C

【解析】边上的高为*a，

\ABC2612

由面积公式得：SAABC=；bcsinA,

...编=—/?csinA,故/=2GbesinA

122

由余弦定理得：a2=h2+c2-2hccosA

26besinA=b2+c2-2bccosA

由sin4+cosA="

2bc

由辅助角公式得：退sinA+cos4=2sin

其中。2+C2N»C,当且仅当8=c时，等号成立

/.sin|A+—|>—

I6j2

7t7t5乃_27r

+.解得：Ac0，--

oLooJ[_J_

,:AG(O,^)

.••q0年

故选：c

7.（2021•全国）欧拉公式是指以欧拉命名的诸多公式，有拓扑学中的欧拉多面体公式、初等数论中的欧

拉数论公式等其中最著名的是复变函数中的欧拉幅角公式一一把复数、指数函数与三角函数联系起来

(屋=cosO+isin凡自然对数的底数ea2.71828,虚数单位i).若复数z满足％=2/-i?⑼，则[的虚部为

()

A.(夜-巾B.72-1

C.-(V5-l)iD.1—1/2

【答案】D

【解析】；e'"=cos®+isinO，Ae^'=cos—+isin—=^-+^-1.

4422

又：i2M=i，.•.复数2=血+（血一小，.•.2=应-（0-1卜，

则1的虚部为1-夜.

故选：D.

8.（2021•河南•温县第一高级中学）在AABC中，角AB,C的对边分别为a,",c,已知

2万2

b=4,A=——,ctanC=—asinB,则AA3C的面积为（）

33

A.8&B,473C.6D.2上

【答案】B

【解析】

)TTTT

如图，过C作CDLBA,交B4的延长线于。，因为C4=b=4,/CAB=。-则NCAD=〃-/CA8=§,

AD=CAcos-=2,CD=CA-sin-=2y/3,tanB=—=^-

33BDc+2

71人同2G

tan---tan65/3-tanB—c+2_6c

所以tanZACB=tan(--B)=——2-------

~l+AanB,1q工2耳—c+8

14-tan—tanB

3+Xc+2

2794J3

又因为ctanC=—asinB=—BC-sinB=—CD=———

3333

所以。画=延，即3c2—4c—32=0,解得：c=4或c=Y(舍)

c+833

所以SAliC=—ftcsinA=—x4x4x^-=4^.

△ABC222

故选：B.

二、多选题（每题至少有2个选项为正确答案，每题5分，4题共20分）

9.（2021•河北•藁城新冀明中学）设z（l-i）=2+i,则下列叙述中正确的是（）

A.z的虚部为-=3B.13

222

C.Iz\=^~D.在复平面内，复数z对应的点位于第四象限

2

【答案】BC

A「人2+i(2+i)(l+i)l+3i13.

[解析】由z(l—l)=2+],得2=--7=----------=----=—+—1,

v71-i(l-i)(l+i)222

3

则：z的虚部为即选项A错误;

13

z=---i,即选项B正确;

22

即选项C正确;

复数z对应的点《令位于第一象限’即选项D错误.

故选：BC.

10.（2021•江苏•海安高级中学）设4，Z2是复数，则下列说法中正确的是（）

|斗讣㈤

A.z,-z2=Z|-z2B.2|=|

C.若Z]z?e/?,则Z]=z]D.^|zj-z^=Of则4=马

【答案】ABD

【解析】设4=a+历,z2=c+di,

z,-z2,z,-z2=a-bi-(c-di)=(a-c)-(b-d)i,A正确.

IzjZ，1=|ac-bd+(aJ+Z?c)i|=J(ac-bd)。+(ad+"c)2=^a2+b2^c2+</2)，

Iz/HkJa?+万.，<?+/=](>+从)卜2+1),B正确.

z,=i,z2=-4i,Z.Z,=4,z,*z2,C错误.

12]-z2|=0,|(a-c)+(£>-i/)i|=^(a-c\+{b-dy=O>a=c,b-d,4=z2,Z]=z2,D正确.

故选：ABD

11.(2021•浙江•宁波市北仑中学高一期中)已知。是AABC内一点，且丽+而+反=6,点、M在"BC

内(不含边界)，若加=4而+〃/，则，+2,的值可能为()

【答案】ABC

【解析】因为。是AABC内-点，且砺+而+反=6

所以。为AABC的重心

M在AOBC内（不含边界），且当"与。重合时，几+2〃最小，此时

AM=AAB+/JAC=^X+=+

所以2=；,〃=g,即4+2〃=1

当必与「重合时，几+2〃最大，此时

AM=AC

所以4=0,〃=1,即;1+2必=2

因为M在AOBC内且不含边界

所以取开区间，即九+2〃41,2）,

结合选项可知ABC符合，D不符合

故选：ABC

12.（2021•辽宁•同泽高中）锐角的内角4B,C的对边分别为a,b,C.若a~k2bcesC,贝U（）

A.（=2BB.6的取值范围是信

C.后2cD.］的取值范围是（1,@

【答案】AB

【解析】Etla-b=2bcosC,可得sinA—sin8=2sin8cosC,

即sin（B+Q-2sinBcosC=sinB,

即有sinCeosB-cosCsinfi=sin（C-^）=sinB,

因为三角形ABC为锐角三角形，

所以C—8=4,即C=2B,故A正确，。错误；

由0<8<5，0<2B<—,且A=;r—8—。=7一38£（0,耳），ft?^—<B<—,故8止确；

而好吟=若=238€（0,石），故。错误.故选：A8.

bsinBsinB

三、填空题（每题5分，4题共20分）

13.（2021•全国•高一课时练习）给出下列命题：①任意两个复数都不能比较大小；②若z=a+0i（a,6eR）,

则当且仅当“=0且6=0时，z=0；③若Z1,z2eC,且z；+z；=0,则4=z?=0；④若x+yi=l+i(x,yeC),

则x=，=i.其中，是假命题.（填序号）

【答案】①③④

（解析谢①,当两复数均为实数时,可比较大小,故①错;②显然正确;对③，若马=i,z?=1,则满足z：+z；=0,

但4*马，故C错；对④，若x=i,y=-i,则x+yi=l+i,但x»,故④错.

故答案为：①③④

14.（2021•全国•高一课时练习）在正三角形力回中，下列各等式成立的是.（填序号）

①|祠+函=匹+可；

②网+词=|丽+明；

@|AB+AC|=|C4+CB|；

@|Afi+BC+AC|=|CB+&4+C4|.

【答案】②③④

【解析】因为AABC是正三角形，所以设AA8C的边长为2,

对于①，因为网+网=4,|肥+西=|丽|=2,

所以网+阿卜回+可，故①错误；

对于②，因为国+词=卜丽-觉|=卜伊+西卜河+园，

所以向+词=|丽+明，故②正确；

对于③，I通+觉|=J（而+*）2=>/而2+2通./cosABAC+而2=^4+2x2x2x|+4=2>/3,

|G5+CS|=7（C4+C§）2=yl^T^A^SconACB+C^=J4+2x2x2x1+4=2百，

所以|通+*|=|雄+丽I，故③正确；

对于④，|AB+BC+AC|=|AC+AC|=2|AC|,|CB+BA+CA|=|C4+CA|=2|CA|

X|AC|=|C4|,所以J而+配+才。=|函+丽+9],故④正确.

故答案为：②③④.

15.（2021•广西•崇左高中）在4〃3。中，a,b,c分别是角A,B,C的对边，已知c=2,若

sin2A+sin28-sinAsin5=sin?C,则sinA+sin8的取值范围是.

【答案】佟，石

【解析】因为sin2A+sin2B-sinAsinB=sin2C,

所以。2+b2-c2=ab，

a2+1}1-c2

则cosC=

2ab-2

因为C£（0,万）,

所以c=g,

.A

所以sinA+sin3=sinA+sin

=-sinA+—cosA=sinA+—

22I6

因为Aw

TT

所以A+二e

o

所以sinA+sinB的取值范围是李,6

故答案为:

16.（2021•安徽•安庆一中高一期中）已知向量心5,c,满足同=1,忖=2,同=3,OW"1,若51=0,

贝IJ归_4_0_/l)W的最小值为-

【答案】5叵-1##

13

),>―>T—>—>—>

［解析］设〃=彳6+(1-小，则a-Ab-iX-^c=a-n

—>—>—>—>

所以a-n<a-n,

n=Aft+(l-2)c=—咽+(l-2)2c+22(l-2)h-c=422+9(l-2)2=1322-182+9(0<2<l),

由二次函数性质可得，誓*9,即:噜433

所以,一司可向一同上1一噜］=铝3-1，

所以a-Ab-(l-A)c=a-n的最小值为等7

故答案为:诬-1

13

四、解答题(17题10分，其余每题12分，共70分)

17.(2021•广东•仲元中学高一期中)已知0为坐标原点，向量西、西分别对应复数Z-z2,且

32—

=-^—+(10-tz2)i,z、=----+(2a-5)i(aeR),若z+z2是实数.

。+5\-a

(1)求实数a的值;

⑵求以。4、ONz为邻边的平行四边形的面积.

【答案】⑴。=3⑵工

O

3_Q_on

【解析】⑴由Z[=---+(10—6Z")i,得Z[=-----(10-a2)i,JJJ!]Zj+z=+----H(a--1。)+(2。-5亦的虚部

a+5a+52a+5\-a

为0,/+2。-15=0.解得：。=—5或〃=3.又,.・4+5W0,.\a=3.

⑵由⑴可知4=]+i,z2=-l+i,西=4，1),西=(-1,1).

oK

5

——----5所以cos瓯吟==高，所以sing喝=焉,

所以以OZ,、OZ2为邻边的平行四边形的面积S=|国闻.sin(两电)=《

18.(2021•湖南♦长郡中学)如图，在AABC中，内角A、B、C的对边分别为。、b、c.已知匕=3,c=6,

sin2C=sinB,且AO为BC边上的中线，AE为Zfi4c的角平分线.

(1)求cosC及线段BC的长:

⑵求“IDE的面积.

【答案】(l)cosC=L，BC=6(2)^^

48

【解析】(1),/sin2C=sinB,/.2sinCeosC=sinB,/.2cCOsC=Z?»COSC=—,

4

在中，由余弦定理得cosC=a，36,解得4=6(负值舍去)，即8C=6.

2ab6a4

(2)VcosC=-,Ce(O,m,，sinC=—^，

44

.„„9而

••SjBc=2'CBsinC=———

.「AE平分NBA。，==2,所以SMe=卜业,

・・・A。为BC边的中线，.•.S”二；S"s-

.$e_lo_19而_3行

-X

..3AADE~*\ADC_、SEC_~2^tABCT-A—~—o_*

0040

19.(2021•宁夏•吴忠中学)如图，在四边形48(力中，△氏力是等腰直角三角形，NBCD=90°,NAD斤90°,

sinZABD=—,B22,然与必交于点反

5

(1)求sinZACD；

(2)求△/应'的面积.

【答案】(1)回⑵3

104

【解析】(1)因为△灰为是等腰直角三角形，4BC290：81)=2,

所以/6H9=N6Z4?=45°,BC=CD=BDsin45°=72

在△［初中，NADB=9Q°,sinZABD=—,所以cosNA8£)=也

55

因此AB=6,则止1.在△4曲中，乙也俏135°

由余弦定理得AC2=AD2+CD2-2ADCDcosZ.ADC=1+2-272cos135。=5因此AC=6

ADAC,即——'——=&所以sinN4C£>=®

法一：由正弦定理得

sinZACDsinZADCsinZ.ACDsin135010

法二：AHLBC,所以AB=AC=V^,BH=CH=—,

2

所以sinZACD=sin(90°-NACB)=cosZACB=—=叵

AC10

(2)法一：在△47?中，由正弦定理可得sin/C4O=@，

5

则cosNCA。=,所以tanNC4£)=1,所以=A£)-tanNCA£)=,

522

13

所以△力龙的面积为S“M=S.AM-SR,E=5(AZ)><8O-AOXOE)=Z

法二：由(1)知sinNACQ=典，设.Dkx,

10

xCE

在△皈中，由正弦定理得:

sinZACD-sin45°

所以=所以A£=逐(1-x),

在打△/〃中，有5(1—无产=1+V,即2f—5x+2=0,解得产2或x=；,

11313

由于产始盼2,故》=—.所以BE=2—-=一则S.%=-BEX4O=-

22224

20.(2021•上海交大附中)我校在一条水泥路边安装路灯，其中灯杆的设计如图所示，AB为底面，CD、CE

2n

为路灯的灯杆，CD_LAB,且NOCE=；;r，在E处安装路灯，且路灯的照明张角为/MEN==，已知C£)=5

33

米，CE=3米.

(1)当M与。重合时，求路灯在路面的照明宽度MN；

(2)求此路灯在路面上的照明宽度MN的最小值.

【答案】(l)MN=2^m(2)上叵m

113

【解析】解：当点M、。重合时,

由余弦定理可得ME=JcM2+CE2-2CM-CEcos与=7(m),

所以，cos/C腔蟠卫=土

2cMME14

jr13

因为NCME+NEMN=一，所以sinZEMN=cosNCME=—,

214

因为cosNEMN>0,则cos/EMN=J1一sii?/EMN=迪

14

2乃

所以sin/ENM=sinNEMNI=sin—cosNEMN-cos—sinNEMN=—,

)3314

MNEM

在AEMN中,由正弦定理

sin/MENsinZEW

可得MN=EMsin/MEN=竺®

(m).

sinZEW11

2万7113,、

（2）易知点E到地面的距离为〃=5+3sin=》(m).

由三角形的面积公式可得S△乩v=；

MNx-=-EMENsin-f

223

所以，^^~MN=EM,EN,

3

由余弦定理可知MN2=EM2+EN2-2EM-ENcos->EM-EN,

3

当且仅当初/二£7V时，等号成立,

所以，,解得MNN上叵,

33

所以，照明宽度MN的最小值为电Im.

3

7171571

21.（2021•湖南师大附中）在AABC中，A=-,B&9,AA8C的外接圆半径R=2.

6~2~6

(1)若sinB=,求sinC及边长A8；

27"

⑵求丽•前的取值范围.

【答案】（1）鲁，率（2）[-2,0）

【解析】（1）因为sinB=迈，且Be7i57r

2,~6

7

所以cosB=-Vl-sin2B=一,

7

jr

又sinC=sin(4+B)=sinAcosB+cosAsinB,且A=—

6

所以sinC=；x

T---------X---------------------

72714

AR

由正弦定理可知「；=2R

sinC

所以AB=2/?sinC=4x^L2y

147

⑵

解：・・・|明=2RxsinA=2,由正弦定理可得|丽|=4sin]»8)

BA-BC=1BAI-IBCIcosB=8sin(3一31cos3=8cosB-cosB+—sinB