高中数学：圆锥曲线复习题含答案解析

圆锥曲线复习题

工2y2

1.已知抛物线Ci：V=2px(p>0)和右焦点为尸的椭圆C2：—+y=1.如图，过椭圆

C2左顶点T的直线交抛物线Ci于A,8两点，且而=22.连接A尸交C2于两点M,

N,交。于另一点C,连接8C,。为3c的中点，7Q交AC于。.

(I)证明：点4的横坐标为定值;

若尚=噂，求抛物线的方程.

(II)记△COT,△QMN的面积分别为Si，S2,

【分析】(I)设直线TA的斜率，写出TA的方程，与抛物线联立，利用韦达定理及向量

的坐标运算，即可证明A的横坐标为定值：

(II)由(I)写出A尸的方程，与椭圆联立，利用韦达定理及弦长公式求得|MN，与抛

物线联立求得C点坐标，利用中点坐标公式求得。，求得7。的方程，与4尸联立，求得

。点坐标，可得|CO|;分别求得T到4尸的距离，。到A5的距离，根据三角形的面积公

式，即可表示出勤，根据关系式，求得A点坐标，代入抛物线方程，即可求得p的值.

解：(I)证明；由题意可知，7(-2,0),直线的斜率存在设为匕A(xi，yi),B

(X2，”)，

不妨设直线以的方程为曰(x+2)a>0),与抛物线方程联立得圣;黑：2),

整理得信之+(4Z?-2p)X+4F=0,则％1+r=2=,冗1X2=4,

k

——Vi1Xiy?1

2

因为4B=2771,所以一=则一=V=一,设xi=a(a>0),则x2^9a,x1x2=9a=4,

y23x29

则£1=彳或£1=一'|(舍去)，

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所以Xi=I，即点A的横坐标为定值;

(II)由(I)可知,裾，|fc),B(6,8k),则直线AF的方程为y=-8k(x-1),

y=-8fc(x—1)

与椭圆联立得2，整理得(3+256F)工2-512必x+256必-12=0,

(彳+3y=1

设M(X3，”)，N(X4，＞4)，则%3+/4=512/C2,=256k12

3+256/c3+256/c

贝+64k2J(%3+办)2—4土工4=

直线A尸与抛物线联立得=个公整理得64必7-(128好+22)犬+64祥=0,

ly=-8fc(x-1)

设C(%5,邓)，则%54\=1,则%5=.C(|,_4k),则Q(苧,2k),

所以直线TQ的方程为、=第。+2),与直线A尸联立得y=^(*+2),

—(y=-8fc(x—1)

解得X]衣，则。(分，k),即|CD|=得|1)2+(-5/0)2=Jill+25k2,

T到AF的距离心=51"—叫=~~4k,

J1+64k2Jl+64/c2

|8/cx4+2/c-8kl24k

Q到AF的距禺d2='-J=-7----,

Jl+64/c2J1+64/

11

由Si=]|CD|d「S2=]|MN|d2，

125।25^2

所以自=黑=■'因此噂;Mg=噂'整理得5X2562^+358必必79=0,

3+256k2

解得%2=亳，则八春

所以4(|,1),由A在抛物线上，则])2=2px|,解得p=表，

则抛物线的方程为y2=加.

【点评】本题考查直线与圆锥曲线的综合应用，思路清晰，结合韦达定理，弦长公式,

点到直线的距离公式等知识点，考查计算能力，属于难题.

2.已知抛物线C：£=2py(p>0)的焦点为F,且点F与圆M：(x+4)2+y2=l上点的距

离的最大值为VI7+1.

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（1）求p;

（2）若。为坐标原点，直线/：y=丘+4与C相交于4,B两点，问：OA<OF-BF^

是否为定值？若为定值，求出该定值；若不为定值，试说明理由.

【分析】（1）由点F到圆M上的点最大值为旧+1建立关于〃的方程，解出即可；

（2）联立直线与抛物线方程，结合韦达定理即可求出&•（d-晶）=OAOB=0

解：（1）点尸（0,§到圆M上的点的距离的最大值为尸M+l="+1,

即116+弓=后,解得p=2；

（2）由（1）得炉=4y,设A（xi，y\）,B（必》2），

联立[，2=个+4,得犬-4日-16=0,

=4y

则△=16K+64>0,且XI+X2=4A,x[X2=-16,

TT11TX2.%2[Z2

所以。4・（。尸—BF）=OA-OB=x\X2+y\yz=x\X2-\-1^.2=—l6+^~=0,

1loio

故&・（后一届）的值为定值0.

【点评】本题考查抛物线的性质，考查直线与抛物线的综合，韦达定理得应用，属于中

档题.

3.已知直线y=2r与抛物线「：/=2px交于Gi，G2两点，且但道2|=6，过椭圆G：卷+

吟=1的右顶点Q的直线/交于抛物线「于A,2两点.

（I）求抛物线r的方程；

（2）若射线04OB分别与椭圆。交于点。，E,点。为原点，△OCE,△OAB的面

积分别为Si，S2,问是否存在直线/使S2=3SI?若存在求出直线/的方程，若不存在，

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请说明理由；

（3）若P为x=-2上一点，PA,PB与x轴相交于M,N两点，问“，N两点的横坐标

的乘积XM*XN是否为定值？如果是定值，求出该定值，否则说明理由.

【分析】（1）根据题意，联立求得交点，由|6道2|=强，即可求得夕的值；

（2）联立求得|0A|,\0B\,同理可得|0D|,\0E\,分别表示出△ODE,△OAB的面积，

利用基本不等式即可表示出包>3,因此不存在直线/使S2=3SI；

S2

（3）根据题意，求得XM，XN，即可表示出化简可得是否为定值.

p

-oJX--

解得

解：⑴联立方程组｛:短-或I2所以IG1G2I=勺+p2=（V5）2,

oVy=P

所以/?—21

所以抛物线「的方程J=4x；

（2）设OA的方程为产心x,联立方程组圣二£，所以4节，5，

y—kxx

联立方程组x2产

+T=1

S2\OA\\OB\16j（l+代）（1+必）J（3+4好）（3+4嫁）4J（3+4好）（3+4必）

=瓯IOEI"国'12"演1+状）"&,国

设直线/：x="LV+2,代入f=4x方程，得）2-8/ny-8=0,设4（xi，yi）,B（必”）,

所以yi+y2=4m,y\yi=-8,

因此k也=空•9=谷=-2，贝必+/ci>2%也1=%

4J9+16X4+123+状）I1

-------------------=--

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所以，不存在直线/使S2=3SI.

（3）由（2）可知，