函数的概念及其表示

3.1函数的概念及其表示

.知识归纳

1.函数的概念

一般地，设A,8是非空的实数集,如果对于集合4中的任意一个数x按照某种确

定义定的对应关系/,在集合B中都有唯一确定的数v和它对应,那么就称#4T8为

从集合A到集合8的一个函数

三对应关系y=_/(x),

要定义域自变量X的取值范围

素值域与X的值相对应的y的函数值的集合函

2.区间及有关概念

(1)一般区间的表示

设a,Z?GR,且规定如下:

定义名称符号数轴表示

{x\a<x<h]闭区间一,加-F^

开区间J,_____

{x\a<x<b}(〃，/ah

{x\a<x<b}半开半闭区间[a,b)-J------

ab

[x\a<x<h]半开半闭区间(a,b]U------

ab

(2)特殊区间的表示

定义R{x|x>«}{x\x>a]{X|A<6(}{x\x<a]

符号(-00,+8)[a?+oo)(〃，+a5)(-8,a](—8,a)

7【思考】(1)区间是数集的另一种表示方法，那么任何数集都能用区间表示吗？

(2)“oo”是数吗？如何正确使用“oo”？

【提示】(1)不是任何数集都能用区间表示，如集合｛0｝就不能用区间表示.

(2)“00”读作“无穷大”，是一个符号，不是数.以“一8”或“十oo”作为区间一端时，这一端必须是小括

号.

3.函数的表示法

(就是用数学表达式表示两个变

函量之间的对应关系

数

的就是用图象表示两个变量之间

表T的对应关系

示

法就是列出表盘来表示两个变母

〕之间的对应关系

7【思考】任何一个函数都可以用解析法、列表法、图表法三种形式表示吗？

【提示】不一定.

并不是所有的函数都可以用解析式表示，不仅如此，图象法也不适用于所有函数，如。（x）=

0,

「c列表法虽在理论上适用于所有函数，但对于自变量有无数个取值的情况，列表法只能表示函

1,xecRQ.

数的一个概况或片段.

4.分段函数

如果函数），=/U）,XWA,根据自变量x在A中不同的取值范围，有着不同的对应关系，则称这样的函

数为分段函数.

u考点讲解

考点1：函数的概念

【例1】判断下列对应是不是从集合A到集合B的函数.

①4:nB=N*,对应法则/：对集合A中的元素取绝对值与8中元素对应；

②4二（一1[？，-2},fi={l,4},对应法则/：X-y=f,x6A,yGB；

@A={-1,1,2,-2],B={1,2,4},对应法则上

@A={三角形},8={x|x>0},对应法则/：对A中元素求面积与8中元素对应.

【详解】①对于A中的兀素0,在/的作用下得0,但0不属于8,即A中的元素。在8中没有元素与之对

应，所以不是函数.

②对于A中的元素±1,在/的作用下与2中的1对应，A中的元素±2,在/的作用下与8中的4对应，所以

满足A中的任一元素与8中唯一元素对应，是“多对一”的对应，故是函数.

③对于A中的任一元素，在对应关系/的作用下，B中都有唯一的元素与之对应，如±1对应1,±2对应4,

所以是函数.

④集合A不是数集，故不是函数.

【例2】下列各组函数中是相等函数的是（）

F—1

A・y=x+］与)：=、■B.+1与s=»+1

C.y=2x与y=2x(x>0)D.y=(x+l)2与丫=/

【答案】B

【解析】A,C选项中两函数的定义域不同，D选项中两函数的对应关系不同，故A,C,D错误，选B.

【方法技巧】

1.判断对应关系是否为函数的2个条件

（1）A,B必须是非空实数集.

（2）A中任意一元素在8中有且只有一个元素与之对应.

对应关系是“一对一''或"多对一''的是函数关系，“一对多''的不是函数关系.

2.判断函数相等的方法

（1）先看定义域，若定义域不同，则不相等；

（2）若定义域相同，再化简函数的解析式，看对应关系是否相同.

【变式训练】

1.下列表示y关于x的函数的是（）

A.y—x2B.y1—x

C.\y\=xD.\y\=\x\

【答案】A

【解析】结合函数的定义可知A正确，选A.

2.下列函数中，与函数y=无相等的是（）

A.y=（5）2B.y=y[j?

C.y=|x|D.y—yp

【答案】D

【解析】函数y=x的定义域为R；y=（5>的定义域为[。，+00）：y=d7=|-v|，对应关系不同；对应

关系不同；y=^?=x,且定义域为R.故选D.

3.（2021•广东中山市）（多选）设集合M={x|0Wx<2},N={引0«y<2},那么下面的4个图形中,

能表示集合M到集合N的函数关系的有（）

【答案】BC

【解析】对于A,由图像可知，函数的定义域为[0,1],而集合M={x|0〈xV2},不符合题意;

对于B,由图像可知，函数的定义域为[0,2],值域为[0,2],满足函数的定义，故正确；

对于C,由图像可知，函数的定义域为[0,2],值域为[0,2],满足函数的定义，故正确;

对于D,由图像可知，图形中一个x有两个y值与之相对应，不满足函数的定义，故不正确.故选：BC.

考点2：求函数的定义域及区间

【例3】求下列函数的定义域：

(1)(2)J(x)=(x-i)0+yj--,

______________/y_l_1\2_______

(3)於)={3—》.5一1；(4)fix)=x+]―、]—x.

【分析】要求函数的定义域，只需分母不为0,偶次方根中被开方数大于等于0即可.

【解析】(1)当且仅当x—2*0,即今2时，

3

函数於)=2+=有意义，

所以这个函数的定义域为{川》2}.

■"0,

(2)函数有意义，当且仅当<57沙，

lx+1/0,

解得x>—1且#1,

所以这个函数的定义域为且存1}.

3—x>0,

(3)函数有意义，当且仅当一解得1SE3,

(%—1>0,

所以这个函数的定义域为国1人3}.

x+1/0,

(4)要使函数有意义，自变量x的取值必须满足八解得后1且冲一1,

即函数定义域为“比1且1}.

【变式训练】

(变结论)在本例(3)条件不变的前提下，求函数y=/(x+l)的定义域.

【解析】由l<r+1<3得0球2.

所以函数y=*x+I)的定义域为[0,2].

【方法技巧】

求函数定义域的常用方法

1.若xx)是分式，则应考虑使分母不为零.

2.若Kv)是偶次根式，则被开方数大于或等于零.

3.若大x)是指数基，则函数的定义域是使幕运算有意义的实数集合.

4.若大x)是由几个式子构成的，则函数的定义域是几个部分定义域的交集.

5.若八助是实际问题的解析式，则应符合实际问题，使实际问题有意义.

【变式训练】

1.(2021•广东潮州)用区间表示下列集合：

(1){x|-l<x<3}；(2){x|0<x<l}；(3){x|2<x<5}；

(4){x|0<JC<2}.(5){x|x<3}；(6){x|x>2}.

【答案】⑴[-1,3]；(2)(0,1]；(3)[2,5)；(3)(0,2)；(4)(7,3)；(5)[2,+a>).

【解析】集合中六个集合对应的区间分别为(1)[-1,3],(2)(0,1],(3)[2,5),(4)(0,2),(5)(f,3),

(6)[2,+00).

2.(2021•辽河油田第二高级中学高一开学考试)函数=的定义域是()

A.(7,2)B.[2,+oo)C.(2,+00)D.(一8,2)D(2,+8)

【答案】C

【解析】要使函数有意义，需x-2>0,x>2,所以函数f(x)的定义域是(2,+o)).故选：C.

3.(2021•上海浦东新区)已知函数/(x)的定义域为(一1,0),则函数/(2%—1)的定义域为.

【答案】

【解析】函数/(x)的定义域为(―1,0),则函数/(2x—1)中一l<2x—1<0,解得故答案为：

考点3：函数的三种表示方法

【例4】某商场新进了10台彩电，每台售价3000元，试求售出台数x与收款数y之间的函数关系，分

别用列表法、图象法、解析法表示出来.

【解析】①列表法如下：

M台)12345

y(元)3000600090001200015000

M台)678910

y(元)1800021000240002700030000

②图象法：如图所示.

〃元

30000

3000

~010/台

③解析法：y=3000x,xG{1,2,3....1()}.

【方法技巧】

列表法、图象法和解析法是从三个不同的角度刻画自变量与函数值的对应关系，同一个函数可以用不

同的方法表示.在用三种方法表示函数时要注意：①解析法必须注明函数的定义域；②列表法中选取的自

变量要有代表性，应能反映定义域的特征；③图象法中要注意是否连线.

【变式训练】

1.已知函数x6{l,2,3,4},试分别用图象法和列表法表示函数丫=危).

【答案】见解析

【解析】用图象法表示函数y=/U),如图所示.

用列表法表示函数y=./(x),如表所示.

X1234

y-2-3-4-5

2.(1)某学生离家去学校，一开始跑步前进，跑累了再走余下的路程.下列图中纵轴表示离校的距离,

横轴表示出发后的时间，则较符合该学生走法的是()

X12345

y45321

A.lB.2

C.4D.5

【答案】(1)D(2)B

【解析】(1)结合题意可知，该生离校的距离先快速减少，又较慢减少，最后到0,故选D.

(2)由题意可知，寅1)=4,负4)=2,...用(1))=x4)=2,故选B.

考点4：图象的画法及应用

【例5】作出下列函数的图象并求出其值域.

2

(1)y=-xf{0,1,-2,3}；(2)[2,+oo)；(3)y=/+2x,2,2).

【解析】(1)列表

X01-23

y0-12-3

函数图象只是四个点(0,0),(1,-1),(一2,2),(3,-3),其值域为｛0,—1,2,-3).

•2

1

-2-1d'_12~~3X

-1•

-2-

-3-•

(3)列表

X-21012

y0-1038

画图象，图象是抛物线+2A在一2夕＜2之间的部分.

由图可得函数的值域为［—1.8）.

【方法技巧】

描点法作函数图象的三个关注点

（1）画函数图象时首先关注函数的定义域，即在定义域内作图.

（2）图象是实线或实点，定义域外的部分有时可用虚线来衬托整个图象.

（3）要标出某些关键点，例如图象的顶点、端点、与坐标轴的交点等.要分清这些关键点是实心点还是

空心圈.

提醒：函数图象既可以是连续的曲线，也可以是直线、折线、离散的点等.

【变式训练】

1.已知函数_/（x）=x2—2x（一1s烂2）.

（1）画出/（x）图象的简图；

（2）根据图象写出火x）的值域.

【详解】（1）7U）图象的简图如图所示.

（2）观察凡r）的图象可知，负x）图象上所有点的纵坐标的取值范围是［-1,3］,

即的值域是［-1,3］.

考点5：函数解析式的求法

【例6】（1）已知,*代+l）=x—2皿，则式x）=；

（2）已知函数於）是一次函数，若用（x））=4x+8,则於）=；

（3）已知函数1x）对于任意的x都有危）一2八-x）=l+2x,则/）=.

【分析】（1）用换无法或配凑法求解；（2）用待定系数法求解；（3）用方程组法求解.

【解析】（l）x2—4x+3（x>l）（2）2x+苧或一2x—8⑶土一1

（1）法一（换元法）：令t=5+l,则仑1,x=（t—l）2,代入原式有W）=（L1）2—2。-1）=-一力+3,於）

=?-4.r+3（x>l）.

法二（配凑法）：/（依+1）=工+25+1—45—4+3=（而+1）2-4（而+1）+3,

因为出+,

所以.仑1).

(2)设«r)=ox+伏〃#)),

则火/U))=为纶+b)=a(ax+b)+b=crx+cib+b.

又心x))=4x+8,

所以a2x+"+b=4x+8,

。=2,

[a2=4,解得|8a——2,

即或

[ah+h=St[h=3h=­S.

Q

所以7U)—2x+g或fix)=—2x—8.

(3)由题意，在於)一次一x)=l+2x中，以一x代x可得y(一冷一2火的=1-2人联立可得

J(x)-2J(-x)=l+2.xf_2

消去x一幻可得yu)=，¥—1.

X)—2/(x)=l—2r,

【变式训练】

1.(变条件)把本例⑵的题干改为“己知函数於)是二次函数，且人0)=1，1工+1)一4外=办:.”求兀1)的解

析式.

【解析】设/0)=加+法+。，由火0)=1得c=1.

又於+l)=a(x+l)2+&(x+1)+1,

.\y(x+1)—«x)=2ax

2a=2,

由2〃/+〃+。=2%，得，

a+h=Of

解得〃=1，b=~\.

.\/(x)=x2-x+I.

2.(变条件)把本例⑶的题干改为2+4x)=M/O)”，求段)的解析式.

【解析】yu)+2/12)=x,令x=T，

得彳£|+2/)=%

于是得关于7U)与彳T)的方程组

•/W+24)=x，

2x

解得兀0=方-§C#0).

《)+2加•)=%

【方法技巧】

求函数解析式的四种常用方法

1.待定系数法：若已知/(X)的解析式的类型，设出它的一般形式，根据特殊值确定相关的系数即可.

2.换元法：设尸g(x),解出x,代入/(g(x)),求用)的解析式即可.

3.配凑法：对火g(x))的解析式进行配凑变形，使它能用g(x)表示出来，再用x代替两边所有的“g(x)”即

可.

4.方程组法(或消元法)：当同一个对应关系中的两个之间有互为相反数或互为倒数关系时，可构造方程

组求解.

【注】应用换元法求函数解析式时，务必保证函数在换元前后的等价性.

【变式训练】

《，求/(%)的解析式.

1.(2021.上海高一专题练习)(1)已知+=/+

(2)已知函数/(X—1)=X2—4X,求函数/(x),/(2x+l)的解析式

(3)已知f(x)是二次函数，K/(x+1)+/(x-1)=2x2-4x,求/(x)的解析式

(4)已知函数/(%)满足2/(x)+/(-X)=3x+4,则/(%)=.

【答案】(1)/(%)=^-2,xe(^o,-2]U[2,+o>)；(2)f(x)=x2-2x-3；/(2x+l)=4x2-4；

,4

(3)f(x)=x2-2x-l；(4)/(x)=3x+§.

【解析】(1)令，=x+L,当x>0时，x+->2.x--=2,当且仅当x=l时，等号成立；

XX\X

当x<0时，x+-=-(-x)+|<-2,当且仅当x=—l时，等号成立；

X|_〈X人

所以/£(Y,-2]U[2,+OO)；

又=X2+-^7=fx+——2,所以/(，)=/一2,te(—oo,—2]U[2,+℃),

Ix)厂Ix)

因此%)=d-2,XG(-OO,-2]U[2,+OO)；

(2)令r=x—1,因为/(x—1)=X?—4%=(九一1)—-2(x—1)—3,所以/(，)二厂一2，一3,即

/(x)=x2-2x-3；

所以f(2x+1)=(2x+1产一2(2x+1)—3=4——4；

(3)设二次函数八幻=④^+版+4。/。)，

因为/(x+l)+/(x_l)=2x2-4x,

：!

所以〃(》+1)2+/?(_¥+1)+°+“(1一1)+方(工一1)+0=2『—4x,

即2ox2+2bx+2a+2c=2x2—4x＜即or?+fox+a+c=f-2x，

a=1a=1

因此＜。=-2,解得＜。=-2,所以/(%)=%2-2彳一1；

a+c-0c=-1

(4)因为函数.f(x)满足2/(x)+/i(-x)=3x+4①，

所以2/(-x)+f(x)=-3x+4(2),

®-2x①可得：2/(-x)+/(x)-4/(x)-2/(-x)=—3x+4-6x-8,

4

整理得/(x)=3x+§.

考点6：函数的求值问题

f元2x<4

【例7】(2021•福建省连城县第一中学高一月考)已知函数/")=乙八’、，，那么/⑸的值为()

A.25B.16C.9D.3

【答案】C

【分析】由分段函数的定义求解即可

【详解】

x2,x<4

因为f(x)=~八、),

J(x-l)，x>4

所以/⑸=八4)=/(3)=32=9,

故选：C

【例8]设式》)=源+2,g(x)=S立,

(1)求火2)，加+3),g(a)+g(0)(<#-2),g(/(2)).

(2)求g(/(x)).

【分析】(1)直接把变量的取值代入相应函数解析式，求值即可；

(2)把外)直接代入g(x)中便可得到g(/(x)).

【解析】(1)因为_/U)="+2，

所以火2)=2x22+2=10,

八4+3)=2(。+3)2+2=2〃+12。+20.因为g(x)="^,

所以g(a)+g(0)=己万+万3=U^+T(W-2).

g(/(2))=g(10)=]0+2=五・

(2)g(/(x))=凡0+2=2^+2+2="+4・

【方法技巧】

I.分段函数求函数值的方法：

(1)确定要求值的自变量属于哪一段区间.

(2)代入该段的解析式求值，直到求出值为止.当出现欢xo))的形式时，应从内到外依次求值.

2.已知函数值求字母取值的步骤：

(1)先对字母的取值范围分类讨论.

(2)然后代入不同的解析式中.

(3)通过解方程求出字母的值.

(4)检验所求的值是否在所讨论的区间内.

提醒：求某条件下自变量的值时，先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后相应求出自变

量的值，切记代入检验.

【变式训练】

[x—3,x>10,

1.函数危尸则47)=-------------.

\j[f(x+5)),x<10,

A—3,A>10,

【解析】8函数7(X)=<

Mr+5)),x<10,

，火7)=欢12))=夷9)=欢14))=川1)=8.

2.已知yU)=l+2x+3,求川)，加)，1)和州-1))的值.

【解析】式l)=」+2xl+3=6；

产+2f+3；

y(2a-l)=(2a-l)3+2(2a-l)+3=8a3-12a2+lOa；

欢_]))=>((_1)3+2X(-1)+3)=/(0)=3.

考点7：分段函数的图像与解析式

【例9】(2021•全国高一单元测试)已知函数/(x)=|x+lH2x-3|

(1)画出函数y=/(x)的图象.

(2)求不等式的f(x)>l的解集.

【答案】(1)图象见解析；(2)(1,3)

【分析】

(1)把函数y=/(x)化成分段函数，再在坐标系内作出各段表达式所对图象即得解;

⑵利用图象写出〃x)>l的x值范围即可得解.

【详解】

x-4,x<-l

3

(1)f(x)="3x—2,-1—,

3

-x+4,x>—

2

函数y=/(x)的图象如图所示:

⑵由/(X)的表达式及y=f(尤)的图象知，f(x)=l时，X=1或X=3,/(x)>l时，l<x<3,

所以不等式的/*)>1的解集为。,3).

【例10］如图所示，已知底角为45。的等腰梯形ABC。，底边8C长为7cm,腰长为2吸cm,当垂直于

底边8c(垂足为好的直线/从左至右移动(与梯形A8CZ)有公共点)时，直线/把梯形分成两部分，令BF=x,

试写出左边部分的面积y关于x的函数解析式，并画出大致图象.

【分析】可按点E所在的位置分E在线段A8,E在线段AC及E在线段CD三类分别求解.

【解析】过点A,。分别作AG_L8C,O”_LBC,垂足分别是G,H.

因为四边形48co是等腰梯形，底角为45。，AB=2y［2cm,

所以BG=AG=DH=HC=2cm,；/-----1

又8c=7cm,所以AO=GH=3cm./j\

BF\GHC

(1)当点尸在3G上，即［0,2］时，y=%;

x~\~x-2

(2)当点尸在GH上，即xG(2,5］时，y=­亍」、2=2X一2；

2

(3)当点F在HC上，即xC(5,7]时，y=SKMABFED=S^A8CD-SR^C£F=1(7+3)X2-|(7-JC)

=—2(x—7)2+10.

综合(1)(2)(3),得函数的解析式为

%,x£[0,2],

y=<2r—2,x£(2,5],

-1(X-7)2+10,X£(5,7].

图象如图所示.

0知识小结

1.对于用关系式表示的函数.如果没有给出定义域，那么就认为函数的定义域是指使函

数表达式有意义的自变量取值的集合.这也是求某函数定义域的依据.

2.函数的定义主要包括定义域和定义域到值域的对应法则，因此，判定两个函数是否相

同时，就看定义域和对应法则是否完全一致，完全一致的两个函数才算相同.

3.函数符号y=/U）是学习的难点，它是抽象符号之一.首先明确符号"y=/U）’'为y是x

的函数，它仅仅是函数符号，不是表示“），等于/与x的乘积”.

4.函数有三种常用的表示方法，可以适时的选择，以最佳的方式表示函数.

5.作函数图象必须要让作出的图象反映出图象的伸展方向，与x轴、y轴有无交点，图

象有无对称性，并标明特殊点.

6.求函数解析式的主要方法有：代入法、待定系数法、换元法、解方程组法（消元法），

注意有的函数要注明定义域.

7.分段函数是一个函数，而不是几个函数.

8.分段函数求值要先找准自变量所在的区间；分段函数的定义域、值域分别是各段函数

的定义域、值域的并集.

9.分段函数的图象

分段函数有几段，它的图象就由几条曲线组成.在同一直角坐标系中，根据分段函数每段

的定义区间和表达式依次画出图象，要注意确定每段图象的端点是空心点还是实心点，各段函

数图象组合到一起就可得到整个分段函数的图象.

fii巩固提升

1.若集合4={x|0£E2},8={冰区性3},则下列图形给出的对应中能构成从A到B的函数/：A—B的

是()

【解析】DA中的对应不满足函数的存在性，即存在xGA,但B中无与之对应的y；B、C均不满足

函数的唯一性，只有D正确.

2.函数丫=『一"的定义域为{0,1,2,3},那么其值域为()

A.{-1,0,3}B.[0,1,2,3)

C.{}1-1<3<3}D.3吐3}

【解析】A当x=0时，y=0；当x=l时，y=l—2=—1；当x=2时，y=4—2x2=0；当x=3时，y

=9—2x3=3,/.函数y=$一2x的值域为{—1,0,3}.

3.函数y=苴斗的定义域是()

A.(—1,+co)B.[-1,+oo)

C.(-1,1)U(1,+oo)D.[-1,1)U(1,+oo)

x+1>0,

【解析】D由题意可得~所以於一1且

x-1视，

故函数■的定义域为{x应一1且W1}.故选D.

4.下列四组函数中表示同一函数的是()

A.火x)=x,g(x)=(5)2B.=g(x)=(x+l)2

c.Kx)=yp,g(x)=|x|D.I/(x)=0,^(x)+yj1—x

【解析】C=及¥)=》(不£11)与式¥)=(亚)2(启0)两个函数的定义域不一致，・・.A中两个函数不表示同一

函数；:火月二%2,g(x)=(x+l)2两个函数的对应法则不一致，，B中两个函数不表示同一函数；；/(支)=正

=以|与g(x)=|x|,两个函数的定义域均为R,AC中两个函数表示同一函数；y(x)=0,g(x)=ylx—\1—x=

0(1=1)两个函数的定义域不一致，・・・D中两个函数不表示同一函数，故选C.

5.购买某种饮料x听，所需钱数为y元.若每听2元,用解析法将y表示成《仁{1,2,3,4})的函数为()

A.y=2xB.y=2x(x£R)

C.y=2x(xe{l,2,3，...})D.y=2x(x£{1,2,3,4})

【解析】D题中已给出自变量的取值范围，X£{1,2,3,4},故选D.

6.已知函数y=/(x)的对应关系如下表，函数y=gG)的图象是如图的曲线45C,其中A(l,3),B(2,1),

C(3,2),则«g(2))的值为()

A.3B.2

C.1D.0

【解析】B由函数g(x)的图象知,g⑵=1,则/(g(2))=/U)=2.

2x,0<x<l,

7.函数{x)=<2,l<r<2,的值域是()

.3,x>2

A.RB.[0,2]U{3}

C.[0,+oo)D.[0,3]

【解析】B当0SE1时，把加2,即0中力三2；当1*2时，_/U)=2；当后2时，火x)=3.综上可知/(x)

的值域为[0,2]U{3}.

[x+2,烂0,

8.已知函数凡r)=2八，若«x)=3,则x的值是()

M，0<x<3,

A.小B.9

C.-1或1D.一小或小

【解析】A依题意，若立0,则x+2=3,解得x=l,不合题意，舍去.若0<烂3,则』=3,解得x

=一小(舍去)或X=小做选A.

9.某单位为鼓励职工节约用水，作出了如下规定：每位职工每月用水量不超过10立方米的，按每立

方米机元收费；用水量超过10立方米的，超过部分按每立方米2加元收费.某职工某月缴水费16加元，则

该职工这个月实际用水量为()

A.13立方米B.14立方米

C.18立方米D.26立方米