离散数学课后复习

离散数学作业布置

第1次作业(P15)

1.16设p、q的真值为0;r、s的真值为1,求下列各命题公式的真值。

解：(1)pV(qAr)=0V(0Al)=0

(2)(p<-*r)A(-iqVs)=(0-1)A(1V1)=OA1=0

(3)(—>pA—>qAr)TpAqA—>r)=(1AlAl)一(0八0八0)=0

(4)(rAs)-*(pAq)=(OAl)-*(1A0)=0->0=l

1.17判断下面一段论述是否为真：“兀是无理数。并且，如果3是无理数，则行

也是无理数。另外只有6能被2整除，6才能被4整除。”

解：p：71是无理数1

q：3是无理数0

r:血是无理数1

s:6能被2整除1

t:6能被4整除0

命题符号化为：pA(q-r)A(t-s)的真值为1,所以这一段的论述为真。

1.19用真值表判断下列公式的类型：

(4)(pfq)**Lqf」p)

(5)(pAr)—(―>pA-'q)

(6)((p-*q)A(q-*r))-*(p-*r)

解：(4)

pqp—qqpq-p(p-q)—(q-p)

00iiii1

0110i11

100i001

1ii00i1

所以公式类型为永真式，最后一列全为1

(5)公式类型为可满足式(方法如上例)，最后一列至少有一个1

(6)公式类型为永真式(方法如上例，最后一列全为1)。

第2次作业(P38)

2.3用等值演算法判断下列公式的类型，对不是重言式的可满足式，再用真值表

法求出成真赋值.

(1)rp/\qfq)

(2)(p-(pVq))V(p-*r)

(3)(pVq)~*(pAr)

解：(1)fpAq-q)of—<pAq)Vq)<=>(pAq)Arqu>pA(qA—>q)

=pAOoO

所以公式类型为矛盾式

(2)(p->(pVq))V(p-^-r)<=>(—>pV(pVq))V(—>pVr)<=>—>pVpVqVrol

所以公式类型为永真式

(3)(pVq)—(pAr)。-'(pVq)V(pAr)<=>(-'pA-'q)V(pAr)

易见，是可满足式，但不是重言式.成真赋值为:000,001,101,111

pqrpAr(~"pA^q)V(pAr)

000101

001101

0i0000

0i1000

100000

101011

1i0000

111011

所以公式类型为可满足式

2.4用等值演算法证明下面等值式：

(2)((p-*q)A(p-*r))=(p-*(qAr))

(4)(pA-'q)V(->pAq)=(pVq)A->(pAq)

证明(2)(p-*q)A(p-*r)

=(—，pVq)A(—'pVr)

ipV(qAr))

=pf(qAr)

(4)(pA—>q)V(—<pAq)<=>(pV(—>pAq))A(—>qV(—>pAq))

<=>(pV—<p)A(pVq)A(—>qV-ip)A(—1qVq)

<=>1A(pVq)A(—>pV—>q)Al

0(pVq)A-，(pAq)

第3次作业(P38)

2.5求下列公式的主析取范式，并求成真赋值：

(1)(「fq)-「qVp)

⑵「p—q)AqAr

(3)(pV(qAr))-*(pVqVr)

(4)[p—q)AqAr

解：_

(l)「p->q)--(-qVp)

=1pVq)VC"qVp)

O-'pA-'qV^qVp

=「qVp(吸收律)

(-'pVp)A-'qVpA(-'qVq)

'pA-'qVpA-'qVpA-'qVpAq

=m()Vm2Vm2vm3

=m()Vm2vm3

成真赋值为00,10,11.

⑵「p—q)AqAr

=(pVq)AqAr

=(pAqAr)VqAr

=(pAqAr)V(-,pVp)AqAr

opAqArV-'pAqArVpAqAr

=n13Vm7

成真赋值为Oil,in.

(3)(pV(qAr))-*(pVqVr)

<=>-，(pV(qAr))V(pVqVr)

o-'pA-'(qAr)V(pVqVr)

'pAC^qV-'r)V(pVqVr)

=WqVWrVpVqVr

o-'pA-'qACrV-'rjV-'pACqV-'qjA-'rVpACqV-'q)A(rV-'r)

V(pV-'p)AqA(rV-'rjVCpV-'p)A(qV-'q)Ar

<»moVmiVm2Vni3Vm4VVni6Vm7,为重言式.

(4)〕pfq)AqAr

u*-"pVq)AqAr

=(pAQ)AqAr

=pA(-'qAq)Ar

<=>0

主析取范式为0,无成真赋值，为矛盾式.

第4次作业(P38)

2.6求下列公式的主合取范式，并求成假赋值：

(1)-，(q-^-，p)A^p

(2)(pAq)VCpVr)

(3)(p-*(pVq))Vr

解：_

(1)-，(q-*-'p)A^p

=q/\pA-'p

=q/\0

00

=MoAMiAM2AM3

这是矛盾式.成假赋值为00,01,10,11.

(2)(pAq)V「pVr)

o(pAq)V-'pVr

^(pV-，p)A(—'pVq)Vr

=(-'pVq)Vr

=~'pVqVr

=M4,成假赋值为100.

(3)(p-*(pVq))Vr

<=>(^pV(pVq))Vr

'pVp)VqVr

01

主合取范式为1,为重言式.

第5次作业(P41)

2.32用消解原理证明下述公式是矛盾式：_

(1)(-'pVq)A(-'pVr)A(-'qV-'r)A(pV—)Ar

(2)〕(pVq)Aq)

解：___

⑴(-1pVq)A(-,pVr)A(-'qV-'r)A(pV-'r)Ar

第一次循环80=^,Si={-'pVq^pVr,-'qV-'npV-'r,r>,82=^

由「pVr,pV「r消解得到人

输出“no”，计算结束

(2)^((pVq)A『pFq)

oHSVq)A「p)Vq)

<=>((pVq)A^p)A^q

=(pVq)A-'pA-'q

第一次循环So=<t»,Si={pVq,-'p,--'q},82=^

由pVqJp消解得到q,

由q,「q消解得到人，

输出“no”，计算结束

2.33用消解法判断下述公式是否可满足的：

⑴pA「pV「q)Aq

(2)(pVq)A(pV-'q)八「pVr)

解：_

⑴pACpV-q)Aq

第一次循环So=<I>,Si={p,--'pV-'q,q},82=^

由p,「pX/Fq消解得到

由q,「q消解得到人，

输出“no”，计算结束

(2)(pVq)A(pV-"q)A(^pVr)

第一次循环So=①，Si={pVq,pV-'q,~~'pVr),82=^

由pVq,pX/一"q消解得到p,

由pVq,FpVr消解得到qVr,

由pV^q,「pVr消解得到「qVr,

由p,「pVr消解得到r,

S2={p,qVr,-'qVr,r}

第二次循环So={pVq,pV^q,~~'pVr),Si={p,qVr,-'qVr,r1,82=^

由pVq,~"qVr消解得到pVr,

由pVq,qVr消解得到pVr,

由pV-"q,qVr消解得到pVr,

由「pVr,p消解得到r,

S2={pVr}

第三次循环So={p,qVr,-'qVr,r},Si={pVr},Sa=O

S2=6

输出“yes”，计算结束

第6次作业(P52)

3.6判断下面推理是否正确.先将简单命题符号化，再写出前提，结论，推理的

形式结构(以蕴涵式的形式给

出)和判断过程(至少给出两种判断方法)：

(1)若今天是星期一，则明天是星期三;今天是星期一.所以明天是星期三.

(2)若今天是星期一，则明天是星期二;明天是星期二.所以今天是星期一.

(3)若今天是星期一，则明天是星期三;明天不是星期三.所以今天不是星期一.

(4)若今天是星期一，则明天是星期二;今天不是星期一.所以明天不是星期二.

(5)若今天是星期一，则明天是星期二或星期三.今天是星期一.所以明天是星期二.

(6)今天是星期一当且仅当明天是星期三；今天不是星期一.所以明天不是星期三.

设P：今天是星期一,q：明天是星期二,r:明天是星期三.

⑴推理的形式结构为

(p~*r)Ap-*r

此形式结构为重言式，即

(p~*r)Ap=>r

所以推理正确.

⑵推理的形式结构为

(p-*q)Aq-*p

此形式结构不是重言式，故推理不正确.

(3)推理形式结构为

(p-*r)八-'r-—'p

此形式结构为重言式，即

(p-*r)八-'r=-'p

故推理正确.

(4)推理形式结构为

(p—q)八一'p-「q

此形式结构不是重言式，故推理不正确.

(5)推理形式结构为

(p-*(qVr))Ap-*q

它不是重言式，故推理不正确.

(6)推理形式结构为

(p—r)A-'p-*-'r

此形式结构为重言式，即

(p—r)A-'pn-'r

故推理正确.

推理是否正确，可用多种方法证明.证明的方法有真值表法，等值演算法.证明

推理正确还可用构造证明法.

下面用等值演算法和构造证明法证明(6)推理正确.

1.等值演算法_

(p—r)A-'p-—'r

=(p-*r)A(r—p)A-'p—^r

o「(「pVr)A「rVp)A「p)V'r

CpVr)V-CrVp)VpLr

oCpA-'^VCrA-'p)VpV-'r

<=>(rA-'p)VpV-'r吸收律

<=>(rA-，p)V-'(-'pVr)德摩根律

=1

即(p—r)A-'p^-'r

故推理正确

2.构造证明法

前提：(p—r),­1p

结论：「r

证明：

①p—r前提引入

②(pfr)A(lp)①置换

③r—p②化简律

④「P前提引入

⑤「③④拒取式

所以，推理正确.

第7次作业(P53-54)

3.15在自然推理系统P中用附加前提法证明下面各推理:

(1)前提:p-(q-r),s-p,q

结论:s—r

(2)前提：(pVq)-*(rAs),(sVt)-u

结论:pfu

⑴证明：

①S附加前提引入

②s—p前提引入

③P①②假言推理

④p-(q—r)前提引入

⑤q-*r③④假言推理

⑥q前提引入

⑦r⑤⑥假言推理

⑵证明：

①P附加前提引入

②pVq①附加

@(pVq)-*(rAs)前提引入

④rAs②③假言推理

⑤S④化简

@sVt⑤附加

⑦(sVt)-u前提引入

⑧u⑥⑦假言推理

3.16在自然推理系统P中用归谬法证明下面推理:

(1)前提：p——"q,-'rVq,rA-'s

结论：-1p

(2)前提:pVq,p—r,q—s

结论:rVs

⑴证明：

①p结论否定引入

②p-「q前提引入

③「q①②假言推理

'rVq前提引入

⑤1③④析取三段论

©rA-'s前提引入

⑦r⑥化简规则

©-rAr⑤⑦合取引入规则

⑧为矛盾式，由归谬法可知，推理正确.

⑵证明：

①-7rVs)结论否定引入

②pVq前提引入

③pfr前提引入

④qfs前提引入

⑤(p—r)A(q-s)A(pVq)②③④合取引入规则

©rVs⑤构造性二难

⑦(rVs)A-'(rVs)④⑤合取引入规则

⑦为矛盾式，所以推理正确.

第8次作业(P65-66)

4.5在一阶逻辑中将下列命题符号化：

(1)火车都比轮船快.

⑵有的火车比有的汽车快.

(3)不存在比所有火车都快的汽车.

(4)“凡是汽车就比火车慢”是不对的.

解：因为没指明个体域，因而使用全总个体域

⑴VxVj(F(x)AG(y)fH(x,y))

其中，F(x):x是火车，G(y):y是轮船,"(x,y):x比y快.

(2)3x3j(F(x)AG(y)A77(x,j))

其中，F(x):x是火车，G(y):y是汽车，"(x,y):x比y快.

⑶AVj(G(y)->W(x,j)))

或口

Vx(F(x)f”(G(y)AF(x,y)))

其中，F(x):x是汽车，G(y):y是火车,比y快.

(4)「VxVy(F(x)AG(y)f"(x,y))

或

3x3j(^(x)AG(y)

其中，F(x):x是汽车，G(y):y是火车,"(x,y):x比y慢.

4.9给定解释I如下：

(a)个体域为实数集合R.

(b)特定元素a=0.

(c)特定函数/(X,J)=X-J,x,ySR.

⑷谓词F(xj):x=y,G(x,j):x<y,x,y&R.

给出下列公式在/下的解释，并指出它们的真值：

(1)□VXVJ(G(X,J)

⑵□VxVy(尸(/U,y),a)fG(x,y))

⑶□VxVy(G(x,y)F(f(x,y),a))

(4)□VxVy(G(/U,y),a)fF(x,y))

解：

(1)□VxVy(x<y->E:y),真值为L

⑵□VxVy((x-y=O)f(x<y)),真值为0.

⑶□VxVy((x<y)f(x-yWO)),真值为1.

(4)□VxVj((x-j<0)f(x=j)),真值为0.

第9次作业(P79-80)

5.5给定解释I如下：

(a)个体域D={3,4}；

(b)/(x)：j(3)=4,/(4)=3；

(c)F(x,y)：F(3,3)=F(4,4)=0,F(3,4)=F(4,3)=1.

试求下列公式在I下的真值：

(1)Vx3yF(x,y)

(2)3xVyF(x,y)

(3)VxVy(F(x,y)-F(f(x),f(y)))

解：

(1)Vx3yF(x,y)

=(F(3,3)VF(3,4))A(F(4,3)VF(4,4))

=(OV1)A(1VO)=1

(2)3xVyF(x,y)

=(F(3,3)AF(3,4))V(F(4,3)AF(4,4))

=(OA1)V(1/\O)=O

(3)VxVy(F(x,y)-F(f(x),f(y)))

=(F(3,3)fF(f(3),f(3)))

八(F(4,3)-F(f(4),f(3)))

A(F(3,4)-F(f(3),f(4)))

A(F(4,4)-F(f(4),f(4)))

=(0->0)A(l->l)A(l->l)A(0->0)=1

5.12求下列各式的前束范式.

(l)VxF(x)-VyG(x,y)

(3)VxF(x,y)-mxG(x,y)

⑸3xiF(xi,X2)—(F(XD-—'3X2G(XI,X2)).

解：

前束范式不是唯一的.

(1)VxF(x)-*VyG(x,y)

=3x(F(x)->VyG(t,y))

=3xVy(F(x)->G(t,y)).

(3)VxF(x,y)3xG(x,y)

=(VxF(x,y)f3xG(x,y))A(3lxG(x,y)-VxF(x,y))

o(VxF(x,y)-*3uG(u,y))AOxG(x,y)->VvF(v,y))

<=>3x3u(F(x,y)-*G(u,y))AVxVv(G(x,y)-*F(v,y))

<=>3x3u(F(x,y)-*G(u,y))AVwVv(G(w,y)-*F(v,y))

<=>3x3uVwVv((F(x,y)-G(u,y))A(G(w,y)-*F(v,y)))

(5)3xiF(xbX2)f(F(xi)f-mX2G(XI,X2))

=3xiF(xi,X2)~*(F(xi)fVX2-'G(xi,X2))

-

=mxiF(xi,X2)-*VX2(F(XI)-*'G(X1,X2))

<=>3X1F(X1,X3)->VX2(F(X4)-*-'G(X4,X2))

OVX1(F(X1,X3)-VX2(F(X4)一—'G(X4,X2)))

=VXIVx2(F(xi,X3)-*(F(X4)-*-'G(X4,X2)))

第10次作业(P79-80)

5.15在自然推理系统FL中，构造下面推理的证明：

(1)前提：3XF(X)-Vy((F(y)VG(y))-R(y)),3xF(x)

结论:mxR(x).

(2)前提:Vx(F(x)f(G(a)AR(x))),3xF(x)

结论:mx(F(x)AR(x))

(3)前提:Vx(F(x)VG(x)),一13xG(x)

结论:mxF(x)

(4)前提:Vx(F(x)VG(x)),Vx(-nG(x)V「R(x)),VxR(x)

结论:3xF(x)

⑴证明：

①3xF(x)-Vy((F(y)VG(y))-R(y))前提引入

②3xF(x)前提引入

③Vy((F(y)VG(y))-R(y))①②假言推理

④(F(c)VG(c))->R(c)③全称量词消去规则

⑤F(c)①存在量词消去规则

⑥F(c)VG(c)⑤附加

⑦R(c)④⑥假言推理

⑧3xR(x)⑦存在量词引入规则

⑵证明：

①3xF(x)前提引入

②F(c)①存在量词消去规则

(3)Vx(F(x)->(G(a)AR(x)))前提引入

④F(c)-(G(a)AR(c))④全称量词消去规则

⑤G(a)AR(c)②④假言推理

⑥R(c)⑤化简

⑦F(c)AR(c)②⑥合取引入

⑧3x(F(x)AR(x))⑦存在量词引入规则

⑶证明：

①-1mxG(x)前提引入

②Vx-'G(x)①置换

③飞(。②全称量词消去规则

④Vx(F(x)VG(x))前提引入

⑤F(c)VG(c)④全称量词消去规则

⑥F(c)③⑤析取三段论

⑦3xF(x)⑥存在量词引入规则

(4)证明：

①Vx(F(x)VG(x))前提引入

②F(y)VG(y)①全称量词消去规则

(3)Vx(_,G(x)V-，R(x))前提引入

④「G(y)V-R(y)③全称量词消去规则

⑤VxR(x)前提引入

⑥R(y)⑤全称量词消去规则

⑦「G(y)④⑥析取三段论

⑧F(y)②⑦析取三段论

⑥3xF(x)⑧存在量词引入规则

第11次作业(P96)

6.4.设F表示一年级大学生的集合，S表示二年级大学生的集合，M表示数学

专业学生的集合，R表示计算机专业学生的集合，T表示听离散数学课学生的集

合，G表示星期一晚上参加音乐会的学生的集合，H表示星期一晚上很迟才睡觉

的学生的集合.问下列各句子所对应的集合表达式分别是什么？请从备选的答

案中挑出来.

(1)所有计算机专业二年级的学生在学离散数学课.

⑵这些且只有这些学离散数学课的学生或者星期一晚上去听音乐会的学生在星

期一晚上很迟才睡觉.

(3)听离散数学课的学生都没参加星期一晚上的音乐会.

(4)这个音乐会只有大学一，二年级的学生参加.

(5)除去数学专业和计算机专业以外的二年级学生都去参加了音乐会.

备选答案：

®TGGUH②GUHqT③SAR=T

@H=GUT⑤TCG=0⑥FUS=G

⑦GqFUS⑧S-(RUM)qG⑥GqS-(RAM)

解：

(1)③SCRqT

(2)@H=GUT

(3)⑤TAG=0

(4)©GcFUS

(5)⑧S-(RUM)=G

6.5.确定下列命题是否为真：

(1)000

⑵060

(3)000}

(4)0e{0}

(5){a,b}曰a,b,c,{a,b,c}}

(6){a,b}G{a,b,c,{a,b}}

(7){a,b}c{a,b,{{a,b}}}

(8){a,b}e{a,b,{{a,b}}}

解：

(1)真(2)假(3)真⑷真(5)真(6)真⑺真(8)假

第12次作业(P130-131)

7.1.已知A={0,{0}},求AxP(A).

解：

AXP(A)={0,{0}}X{0,{0},{{0}},{0,{0}}}

={<0,0>,<0,{0}>(<0,{{0}>>><040,{0)}>,<{0),0>,<{0),{0}>,<{0),{{0}}>,<{0},{0,{0)>>>

7.7.列出集合A={2,3,4}上的恒等关系IA,全域关系EA,小于或等于关系LA,整除关系DA.

解：

〃={<2,2>,<3,3>,<4,4>}

EA-AXA={<2,2>,<2,3>,<2,4>,<3,2>,<3,3>,<3,4>,<4,2>,<4,3>,<4,4>}

LA={<2,2>,<2,3>,<2,4>,<3,3>,<3,4>,<4,4>}

DA={<2,2>,<2,4>,<3,3>,<4,4>}

7.12.设A={0,1,2,3},R是A上的关系，且

R={〈0,0>,<0,3>,<2,0),(2,1),(2,3),<3,2>}

给出R的关系矩阵和关系图.

解：

'1001、

0000

1101

,0010,

第13次作业(P131)

7.13.设

>4={(1,2),<2,4),<3,3)}

8={〈1,3〉,<2,4),<4,2)}

求ZnG,dom/1,dom(/lu5),ranAranS,ran(/lnS),fld(Z-S).

解:AuB={〈1,2〉,〈1,3〉,〈2,4〉,〈3,3〉,〈4,2〉}AnB={(2,4))

domA={1,2,3}

dom(AuB)={1,2,3,4}

ranA二{2,3,4}

ranB={3,4,2}

ran(AnB)={4}

fld(A-B)={1,2,3}

7.15.设

A={<0,{0.{0}}>,<{0}.0>}

求A1A2,A3,A1{0},A[0],A10,At{{0}},A[{{0}}].

解：

A-1={({0>{0}},0>,<0,{0}>},

A2={<{0},{0,{0}})},

A3=0,

Ar{0}={<0,{0,{0}})},

A[0]={0,{0}},

At0=0,

Ar{{0}}={({0},0>},

A[{{0}}]=0

7.16.设人=伯力,(；,*,口1,«2为A上的关系，其中

Ri={〈a,a〉,〈a,b〉,〈b,d〉}

R2={〈a,d〉,〈b,c〉,〈b,d〉,〈c,b〉}

求RIOR2,R20RI,RI2,R23.

解：

RioR2=«a,a>,(a,c),(a,d>},

R2oR1={<c,d>},

Ri2={<a,a>,(a,b>,<a,d>},

R23={〈b,c〉,〈b,d〉,〈c,b〉}

7.17.设人=但由,(:},试给出A上两个不同的关系Ri和电,使得Ri2=R,R23=R2.

解：

Ri={<a,a>,<b,b>},

R2={<b,c),(c,b)}

第14次作业(P131-133)

7.21.设人={1,2,…,10},定义A上的关系

R={<x,y>|x,yGAAx+y=10}

说明R具有哪些性质并说明理由。

解:只有对称性。因为醺，所以R不是自反的;又由于<5,5>£R,因

此R不是反自反的;根据xRyox+y=10=〉yRx，可知R是对称的；又由于<1,9>,<9,1>

都是属于R,因此R不是反对称的；<1,9>,<9,1>都属于R,如果R是传递的，必有

<1,1>属于R.但这是不成立的，因此R也不是传递的.

7.26.设4={1,2,3,4,5,6},R为A上的关系，R的关系图如图3.13所示：

1

解：

(1)R={<1.5>,<2,5>,<3,1>,<3,3>,<4,5>}

R2={<3,3>,<3,1>,<3,5>},R3={<3,3>,<3,1>,<3,5>}.

(2)r(R)={<l,l>,<l,5>,<2,2>,<2,5>,<3,3>,<3,l>,<4,4>,<4,5>,<5,5>,<6,6>}

s(R)={<1.5>,<5,1>,<2,5>,<5,2>,<3,3>,<3,1>,<1,3>,<4,5>,<5,4>}

T(R)={<1,5>,<2,5>,<3,3>,<3,1>,<3,5>,<4,5>}

第15次作业(P134-135)

7.41.设人={1,2,3,4},R为AxA上的二元关系，V〈a,b),<c,d)€AxA,

〈a,b>R〈c,d)oa+b=c+d

(1)证明R为等价关系.

(2)求R导出的划分.

(1)证明：V<a,b)eAxA

a+b=a+b

?.<a,b>R<a,b>

・・・R是自反的

任意的<a,b>,<c,d>£AXA

设b>R<c,d>,则a+b=c+d

：•c+d=a+b.>.<c,d>R<a,b>

，R是对称的

任意的,b>,<c,d>,<x,y>£AXA

若<a,b>R<c,d>,<c,d>R<x,y>

则a+b=c+d,c+d=x+y

:.a+b=x+y.\<a,b>R<x,y>

，R是传递的

，R是AXA上的等价关系

(2)

n

={{<1,1»,{<1,2>,<2,1>},{<1,3>,<2,2>,<3,1>},{<1,4>,<4,1>,<2,3>,<3,2>

},{<2,4>,<4,2>,<3,3>}({<3,4>,<4,3>},{<4,4>}}

7.43.对于下列集合与整除关系画出哈斯图:

(1){1,2,3,4,6,8,12,24}

(2){1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12}

解：哈斯图如下图所示：

7.46.分别画出下列各偏序集＜A,RY＞的哈斯图,并找出A的极大元'极小元'最大

元和最小元.

(l)A={a,b,c,d,e}

R^；={<a,d>,<a,c>,<a,b>,<a,e>,<b,e>,<c,e>,<d,e>}uI*.

(2)A={a,b,c,d,e}>R^={<c,d>}IA.

解：

d

♦•ee

ab"

c

(1)极大元e；极小元a；最大e；最小元a。

(2)极大元a,b,d,e；极小元a,b,c,e；没有最大与最小元。

第16次作业(P16L135)

4.判断下列函数中哪些是满射的?哪些是单射的?哪些是双射的?

(l)f:N->N,f(x)=x2+2

⑵f:N-»N,f(x)=(x)mod3,x除以3的余数

若x为奇数

⑶f:N—N,f(x)=<

0,若X为偶数

0,若x为奇数

(4)f:Nr{0,l},f(x)=

1,若X为偶数

(5)f:N-{0}->R,f(x)=lgx

(6)f:R^R,f(x)=x2-2x-15

解：

(1)不是满射，不是单射

(2)不是满射，不是单射

(3)不是满射，不是单射

(4)是满射，不是单射

(5)不是满射，是单射

(6)不是满射，不是单射

37.根据自然数的集合定义计算：

(1)306,2(15;

(2)4-3,391

⑶U4,CI1

(4)1x4,2s

解：

(1)3U6=6,2A5=2;

⑵4-3={3},3㊉1={1,2}

(3)U4=3,CI1=0

(4)1x4={<0,0>,<0,1>,<0,2>,<0,3>},2==其中:

fn={<0,0>,<l,0>}={<0,0>,<1,1>}

38.计算下列集合的基数：

解：

(1)3,(2)K,(3)&,(4)&,(5)&,(6)2

第17次作业(P178-180)

4.判断下列集合对所给的二元运算是否封闭：

(1)整数集合Z和普通的减法运算。

(2)非零整数集合Z*和普通的除法运算。

(3)全体nXn实矩阵集合Mn(R)和矩阵加法及乘法运算，其中叱2。

(4)全体〃x〃实可逆矩阵集合关于矩阵加法及乘法运算，其中n错误!未找到

引用源。2。

(5)正实数集合错误!未找到引用源。和错误!未找到引用源。运算，其中错误!

未找到引用源。运算定义为：

错误!未找到引用源。

(6)〃错误!未找到引用源。关于普通的加法和乘法运算。

(7)A={%，的「・•，”"}错误!未找到引用源。n错误!未找到引用源。运算定义

如下：

错误!未找到引用源。

(8)S=错误!未找到引用源。关于普通的加法和乘法运算。

(9)S={0,1},S是关于普通的加法和乘法运算。

(10)S=错误!未找到引用源。5关于普通的加法和乘法运算。

5.对于上题中封闭的二元运算判断是否适合交换律，结合律，分配律。

解：

(1)封闭，不满足交换律和结合律，无零元和单位元

(2)不封闭

(3)封闭均满足交换律，结合律，乘法对加法满足分配律；

加法单位元是零矩阵，无零元；

乘法单位元是单位矩阵，零元是零矩阵；

(4)不封闭

(5)不封闭因为lol=lxl—1—1=-

(6)封闭，均满足交换律，结合律，乘法对加法满足分配律

加法单位元是0,无零元；

乘法无单位元(">1),零元是0;〃=1单位元是1

(7)封闭不满足交换律，满足结合律，

(8)封闭均满足交换律，结合律，乘法对加法满足分配律

(9)加法不封闭，乘法封闭；乘法满足交换律，结合律

(10)加法不封闭，乘法封闭，乘法满足交换律，结合律

10.令5=伯，b},S上有四个运算：*,错误!未找到引用源。分别有表10.8确

定。

*aboab.ab□ab

aaaaababaaab

baabbabaabab

(a)(b)(C)(d)

(1)这4个运算中哪些运算满足交换律，结合律，幕等律？

⑵求每个运算的单位元，零元以及每一个可逆元素的逆元。

解：

(a)交换律，结合律，幕等律都满足，零元为a,没有单位元；

(b)满足交换律和结合律，不满足幕等律，单位元为a,没有零元

小—a,b~x—b

(c)满足交换律，不满足塞等律,不满足结合律

ao(b°b)-a°a-b,{a°l))ob-a°b-a

a°90b)丰(a°b)°b

没有单位元，没有零元

(d)不满足交换律，满足结合律和幕等律

没有单位元，没有零元

16.设丫=〈N,+,错误!未找到引用源。)