中招模拟试题

2016年河南省中招权威预测模拟数学试卷（一）

一、选择题

1.在四个实数亳0,-1,6中，最大的是（）

A.1B.0C.-1D.V3

2.下列四幅图案在设计中用到平移变换方式的是（）

AB如k?

3.若甲、乙、丙、丁四位同学一学期4次数学测试的平均成绩恰好都是85分,

方差分别为SR2=0.80,S乙2=1.31,S丙2=1.72,Sj2=0.42,则成绩最稳定的同学

是（）

A.甲B.乙C.丙D.丁

4.不等式组;[q的解集在数轴上表示为（）

A.」6LB.F二

C一，61fD.飞6L

5.直径小于或等于2.5微米的颗粒物又称作PM2.5,也称为细颗粒物或可入肺

颗粒物，相当于头发丝直径的土，可直接进入肺部，以室内PM2.5为85微克/

立方米，轻度污染指数为130（轻度污染）计算，则每天吸入鼻孔，咽喉，肺及

血液里的有毒颗粒物和有害气体总数约为850毫克，若1千克=1000000毫克，

则850毫克用科学记数法可记作（）

A.850x1（）6千克B.8.50x10“千克c.0.850x10”千克D850x10“千克

6.如图，将一个等腰直角三角板按照如图方式，放置在一个矩形纸片上，其中

Na=24。，则NB的度数为（）

7.如图所示，一矩形公园中有一圆形湖，湖心。恰在矩形的中心位置，若测得

AB=600m,BC=800m,则湖心O到四个顶点的距离为（）

8.如图1所示，将一个正四棱锥（底面为正方形，四条测棱相等）的其中四条

边剪开，得到图2,则被剪开的四条边有可能是（）

（图1）（图2）

A.PA,PB,AD,BCB.PD,DC,BC,ABC.PA,AD,PC,BC

D.PA,PB,PC,AD

二、填空题

9.计算：（a?）3.（-a）4=.

10.抛物线y=x2-4x+3绕坐标原点旋转180。所得的抛物线的解析式

是.

11.一个口袋中装有3个完全相同的小球，它们分别标有数字1,2,3,从口袋

中随机摸出一个小球记下数字后放回，摇匀后再随机摸出一个小球，则两次摸

出小球的数字和为偶数的概率是.

12.如图是钢琴键盘的一部分，若从4开始，依次弹出4,5,6,7,1,4,5,

6,7,1,按照上述规律弹到第2016个音符是

13.如图所示，已知线段MN,若用尺规作图作出MN的中点O,然后再作出

OM的中点A,然后分别以0、A为圆心，以OM长为半径画弧，两弧交于点B,

测量NMBN的度数，结果为

14.如图所示，将等腰直角三角形ABC放置到平面直角坐标系中，直角顶点C

在x轴上，点B在y轴上，反比例函数y=§图象过点A,若点B与点C坐标分

0），贝l」k二

15.将一张长方形纸片按照图示的方式进行折叠:

①翻折纸片，使A与DC边的中点M重合，折痕为EF；

②翻折纸片，使C落在ME上，点C的对应点为H,折痕为MG；

③翻折纸片，使B落在ME上，点B的对应点恰与H重合，折痕为GE.

三、解答题（共75分）

16.先化简，再求值：*产1(x-1

X2-1

17.郑州市某中学九年级学生体育中招考试后，为了解本校学生体育测试成绩

情况，现从中随机抽取部分学生的体育成绩统计如下，其中如扇形统计图中的

圆心角a为36°

九年级学生体育中招成绩统计表

(1)被抽测学生的体育成绩的样本容量为，m=；抽

取的部分学生体育成绩的中位数为分；

(2)请计算被抽测学生的中考体育的平均成绩；

(3)已知该校九年级共有500名学生，如果体育成绩达48分以上(含48分)

为优秀，请估计该校九年级学生体育成绩达到优秀的总人数.

18.有甲、乙两位同学，根据“关于x的一元二次方程kx2-(k+2)x+2=0〃(k

为实数)这一已知条件，他们各自提出了一个问题考查对方，问题如下：

甲：你能不解方程判断方程实数根的情况吗？

乙：若方程有两个不相等的正整数根，你知道整数k的值等于多少吗？请你帮

助两人解决上述问题.

19.如图，以AB为直径作半圆O,点C为半圆上与A,B不重合的一动点，过

点C作CD，AB于点D,点E与点D关于BC对称，BE与半圆交于点F,连

CE.

(1)判断CE与半圆O的位置关系，并给予证明.

(2)点C在运动时，四边形OCFB的形状可变为菱形吗？若可以，猜想此时

NAOC的大小，并证明你的结论；若不可以，请说明理由.

AD

20.如图所示，因B、C两地之间有一座小山丘阻挡，故无法直接通车.现从B

地需经A地才能到达C地.若B、C两地相距6000m,公路AB与BC夹角约

为30°,公路AC与BC夹角约为45°,请计算路线B玲A9C比BC远了多少米?

(参考数据：折L73,收1.41,结果保留整数)

21.某服装专卖店销售的甲品牌西服去年销售总额为50000元，今年每件西服

售价比去年便宜400元，若售出的西服件数相同，则销售总额将比去年降低20%.

(1)求今年甲品牌西服的每件售价.(2)若该服装店计划需要增进一批乙品

牌西服，且甲、乙两种品牌西服共60件，而且乙品牌西服的进货件数不超过甲

品牌件数的2倍，请设计出获利最多的进货方案.

附：今年乙品牌和甲品牌西服的进货和售价如表:

甲品牌乙品牌

进价(元/件)11001400

售价(元/件)2000

22.已知点。是四边形ABCD内一点，AB=BC,OD=OC,ZABC=ZDOC=a.

(1)如图1,a=60°,探究线段AD与OB的数量关系，并加以证明；

(2)如图2,a=120°,探究线段AD与OB的数量关系，并说明理由；

(3)结合上面的活动经验探究，请直接写出如图3中线段AD与OB的数量关

系为(直接写出答案)

23.如图所示，抛物线y=ax?+bx+c(awO)经过A(-1,0)、B(3,0)、C

(0,3)三点.点D从C出发，沿线段CO以1个单位/秒的速度向终点O运动,

过点D作OC的垂线交BC于点E,作EF〃OC,交抛物线于点F.

(1)求此抛物线的解析式；

(2)小明在探究点D运动时发现，①当点D与点C重合时，EF长度可看作O；

②当点D与点O重合时，EF长度也可以看作O,于是他猜想：设点D运动到

OC中点位置时，当线段EF最长，你认为他猜想是否正确，为什么？

(3)连接CF、DF,请直接写出4CDF为等腰三角形时所有t的值.

2016年河南省中招权威预测模拟数学试卷（一）

参考答案与试题解析

一、选择题

I.在四个实数卷0,-1,右中，最大的是（）

A.1B.0C.-1D.V3

【考点】实数大小比较.

【分析】根据正数大于0,0大于负数，正数大于负数，比较即可.

【解答】解：-1V0V,〈百，

...四个实数中，最大的实数是正.

故选：D.

【点评】本题考查了实数大小比较，关键要熟记：正实数都大于0,负实数都小

于0,正实数大于一切负实数，两个负实数绝对值大的反而小.

2.下列四幅图案在设计中用到平移变换方式的是（）

A片片B.上矛.如.

【考点】利用平移设计图案.

【分析】根据平移定义：把一个图形整体沿某一方向移动一定的距离，图形的

这种移动，叫做平移进行分析.

【解答】解：A、此图形是由平移得到的，故此选项正确；

B、此图形是由翻折得到的，故此选项错误；

C、此图形是由旋转得到的，故此选项错误；

D、此图形是由轴对称得到的，故此选项错误；

故选：A.

【点评】此题主要考查了利用平移设计图案，关键是掌握平移的定义.

3.若甲、乙、丙、丁四位同学一学期4次数学测试的平均成绩恰好都是85分,

方差分别为S甲2=0.80,S?=1.31,S内2=1.72,SJ=o.42,则成绩最稳定的同学

是（）

A.甲B.乙C.丙D.丁

【考点】方差.

【分析】首先比较出S甲2,sj,S丙2,S/的大小关系，然后根据方差越大，

则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度

越小，稳定性越好，判断出成绩最稳定的同学是谁即可.

【解答】解：甲2=。80,S乙2=1.31,S丙2=1.72,S丁2=0/2,

.•.s/vs甲2Vs乙2<sj,

.••成绩最稳定的同学是丁.

故选：D.

【点评】此题主要考查了方差的含义和性质的应用，要熟练掌握，解答此题的

关键是要明确：方差是反映一组数据的波动大小的一个量.方差越大，则平均

值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，

稳定性越好.

4.不等式组4的解集在数轴上表示为（）

A-*6「B.J6g—C./—jj-j-

D--6§一

【考点】在数轴上表示不等式的解集；解一元一次不等式组.

【分析】分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集即可.

，2x+6>-4①

【解答】解:

5-x>3②

由①得，x>-5,

由②得，x<2,

故不等式的解集为-5WXV2,

在数轴上表示为：

―।一▲—..---L

-6-5-4-3-2-1012"

故选B.

【点评】本题考查的是在数轴上表示不等式的解集，熟知实心圆点与空心圆点

的区别是解答此题的关键.

5.直径小于或等于2.5微米的颗粒物又称作PM2.5,也称为细颗粒物或可入肺

颗粒物，相当于头发丝直径的击，可直接进入肺部，以室内PM2.5为85微克/

立方米，轻度污染指数为130（轻度污染）计算，则每天吸入鼻孔，咽喉，肺及

血液里的有毒颗粒物和有害气体总数约为850毫克，若1千克=1000000毫克，

则850毫克用科学记数法可记作（）

A.850x1（）6千克B.8.50x10-4千克

C.0.850x107千克口.850x10-4千克

【考点】科学记数法一表示较小的数.

【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为axio：

与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数累，指数由原数左边起第

一个不为零的数字前面的o的个数所决定.

【解答】解:850毫克=0.00085千克=8.50x10-4千克，

故选:B.

【点评】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为axlOT其中lw|a|

V10,n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定.

6.如图，将一个等腰直角三角板按照如图方式，放置在一个矩形纸片上，其中

Na=24。，则NB的度数为（）

A.24°B.21°C.30°D.45°

【考点】平行线的性质.

【分析】根据平行线的性质得出NEAC+NACM=180。，代入求出即可.

【解答】解：如图：

在4ACB中，ZACB=90°,ZCAB=ZB=45°,

VEF/7MN,

二.ZEAC+ZACM=180°,

二.ZB=180°-90°-45°-Za=21°,

故选B.

【点评】本题考查了等腰直角三角形，平行线的性质的应用，能熟记平行线的

性质是解此题的关键，注意：两直线平行，同旁内角互补.

7.如图所示，一矩形公园中有一圆形湖，湖心O恰在矩形的中心位置，若测得

AB=600m,BC=800m,则湖心O到四个顶点的距离为（）

D

A.300mB.400mC.500mD.600m

【考点】勾股定理的应用；矩形的性质.

【分析】直接利用勾股定理得出AC的长，再利用矩形的对角线互相平分得出答

案.

【解答】解：连接AC,

VAB=600m,BC=800m,

•*-AC=VABMC2=1000（m）,

.•.AO=CO=500m,

即湖心O到四个顶点的距离为500m.

【点评】此题主要考查了勾股定理以及矩形的性质，正确得出AC的长是解题关

键.

8.如图1所示，将一个正四棱锥（底面为正方形，四条测棱相等）的其中四条

边剪开，得到图2,则被剪开的四条边有可能是（）

（图1）(图2)

A.PA,PB,AD,BCB.PD,DC,BC,ABC.PA,AD,PC,BC

D.PA,PB,PC,AD

【考点】几何体的展开图.

【分析】根据图2中正方形左边的三角形可知需剪开PD、PA,根据正方形右边

三个三角形脱离正方形的上下两边可知需剪开AB、CD,可得答案.

【解答】解：根据图2中的展开图可知，底面正方形ABCD的左边一个三角形

是独立的，

据此可知，需剪开图1中的PD、PA,

根据正方形右边三个三角形脱离正方形的上下两边可知，

需剪开AB、CD,

综上，被剪开的四条边可能是：PD、DC、BC、AB,

故选：B.

【点评】本题主要考查几何体的展开图，空间的想象力是基础，根据展开图逐

步分解图形是解题的关键.

二、填空题

9.计算：(a2)3.(-a)4=a).

【考点】累的乘方与积的乘方；同底数塞的乘法.

【分析】根据基的乘方和同底数嘉的乘法，即可解答.

【解答】解:(a2)3.(-a)4=a6・a4=a叱故答案为：a'

【点评】本题考查了事的乘方和同底数哥的乘法，解决本题的关键是熟记哥的

乘方和同底数塞的乘法.

10.抛物线y=x2-4x+3绕坐标原点旋转180。所得的抛物线的解析式是y=-x?

-4x-3

【考点】二次函数图象与几何变换.

【分析】根据旋转的性质，可得a的绝对值不变，根据中心对称，可得答案.

【解答】解：将y=x?-4x+3化为顶点式，得y=(x-2)2-1,

抛物线y=x2-4x+3绕坐标原点旋转180。所得的抛物线的解析式是y=-(x+2)

2+1,

化为一般式，得y=-x2-4x-3,

故答案为：y=-x2-4x-3.

【点评】本题考查了二次函数图象与儿何变换，利用了中心对称的性质.

11.一个口袋中装有3个完全相同的小球，它们分别标有数字1,2,3,从口袋

中随机摸出一个小球记下数字后放回，摇匀后再随机摸出一个小球，则两次摸

出小球的数字和为偶数的概率是_巳.

【考点】列表法与树状图法.

【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与两

次摸出小球的数字和为偶数的情况，再利用概率公式求解即可求得答案.

【解答】解：画树状图得：

开始

和234345456

•.•共有9种等可能的结果，两次摸出小球的数字和为偶数的有5种情况,

.••两次摸出小球的数字和为偶数的概率是：!

【点评】此题考查了列表法或树状图法求概率.用到的知识点为：概率=所求情

况数与总情况数之比.

12.如图是钢琴键盘的一部分，若从4开始，依次弹出4,5,6,7,1,4,5,

6,7,1,按照上述规律弹到第2016个音符是4.

1

【考点】规律型：数字的变化类.

【分析】由题意可知：音符以4,5,6,7,1五个数字依次不断循环出现，用

2016除以5根据余数判断即可.

【解答】解：•••从4开始，依次弹出4,5,6,7,1,4,5,6,7,1,

音符以4,5,6,7,1五个数字依次不断循环出现，

2016-5=403...1,

.•.第2016个音符与第1个音符相同是4.

故答案为：4.

【点评】此题考查数字的变化规律，找出数字的循环规律是解决问题的关键.

13.如图所示，已知线段MN,若用尺规作图作出MN的中点O,然后再作出

OM的中点A,然后分别以O、A为圆心，以OM长为半径画弧，两弧交于点B,

测量NMBN的度数，结果为90。.

【考点】作图一复杂作图.

【专题】作图题.

【分析】利用基本作图（作线段的垂直平分线）作MN和OM的垂直平分线得

到点O和A,再画。O和。A,利用圆周角定理可得到NMBN的度数.

【解答】解：如图，NMBN为所作，

ZMBN=90°.

故答案为900.

【点评】本题了作图-复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作

图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法.解决此类题目的关键是熟

悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，

逐步操作.

14.如图所示，将等腰直角三角形ABC放置到平面直角坐标系中，直角顶点C

在x轴上，点B在y轴上，反比例函数y=§图象过点A,若点B与点C坐标分

别为（0,1）与（-2,0）,则1<=-6.

【考点】全等三角形的判定与性质；反比例函数图象上点的坐标特征；等腰直

角三角形.

【分析】过A点作ADJLx轴，作AE_Ly轴，通过证明△ADCZ^COB,由全

等三角形的性质可求AD,CD,根据矩形的面积可求矩形ADOE的面积，再根

据反比例函数图象上点的坐标特征即可求解.

【解答】解：过A点作AD_Lx轴，作AE，y轴，

•••三角形ABC是等腰直角三角形，

二.AC=CB,

,ZZACD+ZCAD=ZACD+ZBCO,

二.ZCAD=ZBCO,

在AADC与△COB中，

rZACD=ZCOB=90°

<ZCAD=ZBC0

AC=CB

△ADC之△COB,

.*.AD=CO=2,CD=BO=1,

.*.OD=DC+CO=3,

矩形ADOE的面积是3x2=6,

k=-6.

故答案为：-6.

【点评】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，以及反比例函数

图象上点的坐标特征，正确证明三角形全等是关键.

15.将一张长方形纸片按照图示的方式进行折叠：

①翻折纸片，使A与DC边的中点M重合，折痕为EF；

②翻折纸片，使C落在ME上，点C的对应点为H,折痕为MG；

③翻折纸片，使B落在ME上，点B的对应点恰与H重合，折痕为GE.

根据上述过程，长方形纸片的长宽之比第

【考点】翻折变换（折叠问题）.

【分析】根据折叠的性质，可知4AEF也aMEF,ACMG^AHMG,

△BEG^AHEG,由全等三角形的对应边相等得出AE=ME,CM=HM,

CG=HG=BG,由全等三角形的对应角相等及矩形的性质得出NC=NMHG=90。,

ZB=ZEHG=90°,ZCGM=ZHGM,ZBGE=ZHGE,进而得出/MGE=90°,

然后在RtAMGE中由勾股定理得出三边关系式，进而求解.

【解答】解：由题意，得△AEFZaMEF,△CMG之△HMG,ABEG^AHEG,

.•.AE=ME,CM=HM,CG=HG=BG,BE=HE,

ZC=ZMHG=90°,NB=NEHG=90°,NCGM=NHGM,ZBGE=ZHGE,

ZCGM+ZHGM+ZBGE+ZHGE=180°,

.•.NHGM+NHGE=90°,即NMGE=90°.

设CM=DM=x,CG=y,BE=a,则HM=x,HE=a,ME=MH+HE=x+a.

,ZCD=CM+DM=2x,AB=AE+BE=ME+BE=x+a+a=x+2a,

2x=x+2a,

x=2a.

在RtaMGE中，VZMGE=90°,

.,.MG2+GE2=EM2,

x2+y2+y2+a2=（x+a）2,

4a2+y2+y2+a2=9a2,

y2=2a2,

BC2yyv

故答案为证.

【点评】本题考查了矩形的性质，折叠的性质，勾股定理，有一定难度.根据

折叠的性质及平角的定义得到NMGE=90。是解题的关键.

三、解答题（共75分）

16.先化简，再求值：X；（x-1-,其中x=V^.

【考点】分式的化简求值.

【分析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再把x的值代入进行计

算即可.

【解答】解：原式=

当X=F时，原式=（.

【点评】本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解答此题

的关键.

17.郑州市某中学九年级学生体育中招考试后，为了解本校学生体育测试成绩

情况，现从中随机抽取部分学生的体育成绩统计如下，其中如扇形统计图中的

圆心角a为36°

九年级学生体育中招成绩统计表

体育成绩人数（人）百分比（%）

（分）

46816

4724

4815

49m

50

根据上面提供的信息，回答下列问题：

（1）被抽测学生的体育成绩的样本容量为50,m=10；抽取的部分学生

体育成绩的中位数为48分;

（2）请计算被抽测学生的中考体育的平均成绩;

（3）已知该校九年级共有500名学生，如果体育成绩达48分以上（含48分）

为优秀，请估计该校九年级学生体育成绩达到优秀的总人数.

体育成绩统计图

【考点】扇形统计图；用样本估计总体；加权平均数；中位数.

【分析】（1）先求得样本容量，再分别求得各分数的人数，即可求得49分的

人数，即是m的值；根据中位数的概念求中位数；

（2）根据（1）中的结论得出总分，进而可得出结论

（3）48分（包括48分）以上的人数=50-20=30人，占的比例=30+50=60%,

即可求得该校九年级体育成绩达到优秀的总人数.

【解答】解：（1）样本容量为8X6%=50,

得47分的人数=50x24%=12人，

得48分的人数是15人，

得50分的人占的比例=36。+360。=10%,得30分的人数=50xl0%=5人，

则得49分的人数=50-8-15-5-12=10人,即m=10；

小于48分的人数=8+12=20人，而总人数为50人，48分的人有15人，所以中

位数为48（分）；

（2）由（1）可知，该校九年级的总分=8x4校12x47+15x48+5x40+10x49=2392

（分），

则该校九年级学生体育成绩的平均分2392+50=47.84（分）.

（3）样本的体育成绩优秀率为1-16%-24%=60%,

500x60%=300人，

所以估计该校九年级体育成绩达到优秀的总人数为300人.

【点评】此题考查扇形统计图，扇形统计图是用整个圆表示总数，用圆内各个

扇形的大小表示各部分数量占总数的百分数.通过扇形统计图可以很清楚的表

示出各部分数量同总数之间的百分比；中位数是将一组数据从小到大(或从大

到小)重新排列后，最中间的那个数(或最中间两个数的平均数)，叫做这组

数据的中位数.学会用样本根据总体.

18.有甲、乙两位同学，根据“关于x的一元二次方程kx?-(k+2)x+2=0"(k

为实数)这一已知条件，他们各自提出了一个问题考查对方，问题如下：

甲：你能不解方程判断方程实数根的情况吗？

乙：若方程有两个不相等的正整数根，你知道整数k的值等于多少吗？请你帮

助两人解决上述问题.

【考点】根的判别式.

【分析】(1)首先根据一元二次方程的定义得出kwO,再计算△=(k+2)2-4kx2=

(k-2)2>0,由判别式的意义即可判定方程有实数根；

(2)利用因式分解法求出方程的两根为xi=l,x2=1根据方程有两个不相等的

正整数根，得出整数k=l.

【解答】解：(l)：kx2-(k+2)x+2=0(k为实数)是关于x的一元二次方程,

.•.kwO,

•:△=(k+2)2-4kx2=(k-2)2>0,

•二方程有实数根；

(2)kx2-(k+2)x+2=0,

(x-1)(kx-2)=0,

x-1=0,或kx-2=0,

解得X1=1,X=p

2k

•••方程有两个不相等的正整数根，且k为整数，

；.k=l或2

•••k=2时，X1=X2=1,两根相等，不合题意舍去，

k=l.

【点评】本题考查了根的判别式，一元二次方程ax2+bx+c=0(a，0)的根与4=6?

-4ac有如下关系：

①当△>0时一，方程有两个不相等的两个实数根；

②当△=()时，方程有两个相等的两个实数根；

③当时一，方程无实数根.

也考查了因式分解法解一元二次方程.

19.如图，以AB为直径作半圆。，点C为半圆上与A,B不重合的一动点，过

点©作©口，人8于点口，点£与点口关于8(3对称，BE与半圆交于点F,连

CE.

(1)判断CE与半圆O的位置关系，并给予证明.

(2)点C在运动时，四边形OCFB的形状可变为菱形吗？若可以，猜想此时

NAOC的大小，并证明你的结论；若不可以，请说明理由.

【考点】切线的判定；菱形的判定.

【分析】（1）CE是圆O的切线.欲证明CE是圆O的切线，只需推知NOCE=90。

即可；

（2）可以，此时NAOC=60。.根据已知条件可以推知△COF与aBOF为等边三

角形，则四边形OCFB的四条边相等：OC=CF=FB=OB,故四边形OCFB是菱

形.

【解答】（1）解：CE是圆O的切线.理由如下：

连接OC,则OC=OB,

AZOCB=ZOBC.

,点E与点D关于BC对称，

二.ZBCE=ZBCD.

XCD1AB,

ZBCD+ZOBC=ZBCE+ZOCB=90°,即NOCE=90°,

又•••点C在半圆O上，

二.CE是圆O的切线.

(2)解:可以，此时NAOC=60。.理由如下:

连接OF.

VZAOC=60°,

.*.ZOBC=ZOCB=30°.

•••点E与点D关于BC对称,

.\ZCBF=ZOBC=30°,

二.ZCOF=60°,

二.ZOBF=60°,

VOC=OF=OB,

.,.△COF与ABOF为等边三角形,

.*.OC=CF=FB=OB,

四边形OCFB是菱形.

【点评】本题考查了切线的判定，菱形的判定.要证某线是圆的切线，已知此

线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可.

20.如图所示，因B、C两地之间有一座小山丘阻挡，故无法直接通车.现从B

地需经A地才能到达C地.若B、C两地相距6000m,公路AB与BC夹角约

为30°,公路AC与BC夹角约为45°,请计算路线B玲A玲C比BC远了多少米？

（参考数据：存L73,扬1.41,结果保留整数）

【考点】解直角三角形的应用.

【分析】过A作ADLBC于D,在RtaACD中，解直角三角形求出AD的长

度，然后在RtZiABD中，求出AC+BC解答即可.

【解答】解：过A作ADLBC于D,贝|JBD=L^,CD=—

tanSOtan45

D

VBD+CD=BC,

二.（V3+1）AD=6000,

.*.AD=3000（V3-1）,

.,.在Rt^ABD中，AB=6000（尺R）,

在Rt^ACD中，AC=3000（付1）•心

/.AB+AC=6000（V3-I）+3000（5/3-1）x扬7468（m）,7468-6000=1468（m）,

答：路线B-A-C比BC远了1468米.

【点评】本题考查了解直角三角形的应用，难度适中，解答本题的关键是作三

角形的高建立直角三角形并解直角三角形.

21.某服装专卖店销售的甲品牌西服去年销售总额为50000元，今年每件西服

售价比去年便宜400元，若售出的西服件数相同，则销售总额将比去年降低20%.

（1）求今年甲品牌西服的每件售价.

（2）若该服装店计划需要增进一批乙品牌西服，且甲、乙两种品牌西服共60

件，而且乙品牌西服的进货件数不超过甲品牌件数的2倍，请设计出获利最多

的进货方案.

附：今年乙品牌和甲品牌西服的进货和售价如表：

甲品牌乙品牌

进价（元/件）11001400

售价（元/件）-2000

【考点】一次函数的应用；分式方程的应用.

【分析】(1)设今年甲品牌西服的每件售价X元，则去年售价每件为(x+400)

元，由卖出的数量相同建立方程求出其解即可；

(2)设今年新进甲品牌西服a件，则乙品牌西服(60-a)件，获利y元，由条

件表示出y与a之间的关系式，由a的取值范围就可以求出y的最大值.

【解答】解：(1)设今年甲品牌西服的每件售价x元，则去年售价每件为(x+400)

元，由题意，得

50000,50000(1-20%)I

x+40=xr

解得：x=1600.

经检验，x=1600是原方程的根.

答：今年甲品牌西服的每件售价1600元；

(2)设今年新进甲品牌西服a件，则乙品牌西服(60-a)件，获利y元，由题

意，得

y=(1600-1100)a+(2000-1400)(60-a),

y=-100a+36000.

•••乙品牌西服的进货数量不超过甲品牌西服数量的两倍，

60-a<2a,

a>20.

Vy=-100a+36000.

k=-100VO,

Ay随a的增大而减小.

a=20时，y最大=34000元.

•乙品牌西服的数量为：60-20=40件.

.••当新进甲品牌西服20件，乙品牌西服40件时，获利最大.

【点评】本题考查了列分式方程解实际问题的运用，分式方程的解法的运用，

一次函数的解析式的运用，解答时由销售问题的数量关系求出一次函数的解析

式是关键

22.已知点。是四边形ABCD内一点，AB=BC,OD=OC,ZABC=ZDOC=a.

(1)如图1,a=60°,探究线段AD与OB的数量关系，并加以证明；

(2)如图2,a=120。，探究线段AD与OB的数量关系，并说明理由；

(3)结合上面的活动经验探究，请直接写出如图3中线段AD与OB的数量关

【考点】相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质.

【分析】(1)如图1,连接AC,根据已知条件得到AABC与aCOD是等边三

角形，求得NACD=/BCO,推出△ACDgZiBCO,根据全等三角形的性质即可

得到结论；

(2)如图2,连接AC,过B作BFJ_AC于F,根据已知条件得到

ZACB=ZDCO=30°,推出△ACDS/^BCO,根据相似三角形的性质得到噂点,

UDDC

由三角函数的定义得到答=2sin6(T=E，于是得到结论；

(3)如图3,连接AC,过B作BF1AC于F,根据已知条件得到NACB=NDCO,

推出△ACDsaBCO,根据相似三角形的性质得到噂点，由三角函数的定义得

UDDL

到结论.

【解答】解：（1）AD=OB,

如图L连接AC,

VAB=BC,OD=OC,ZABC=ZDOC=60°,

.,.△ABC与acoD是等边三角形，

.,.ZACB=ZDCO=60°,

.,.ZACD=ZBCO,

在AACD与△BCO中，

'AC=BC

-ZACD=ZBC0,

,OC=OD

.,.△ACD^ABCO,

.\AD=OB；

⑵AD=V3OB；

如图2,连接AC,过B作BFLAC于F,

VAB=BC,OD=OC,ZABC=ZDOC=120°,

.*.ZACB=ZDCO=30°,

.•.ZACD=ZBCO,

.,.△ACD^ABCO,

.AD_Ad

，，OB=BC，

VZCFB=90°,

-^F=2sin60°=vr3,

DC

.•.AD=^3OB；

(3)如图3,连接AC,过B作BFJ_AC于F,

VAB=BC,OD=OC,ZABC=ZDOC=a,

ion0—Cl

二.ZACB=ZDCO=———-

2

.•.NACD=NBCO,

AAACD^ABCO,

.AD.AC

**OB：=BC，

VZCFB=90°,

2CFc•a

BC=2sinT>

.\AD=2sin—OB.

2

故答案为：AD=2sin=OB.

图3

图2

【点评】此题考查了全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，等

边三角形的判定与性质，锐角三角函数定义，以及等腰三角形的性质，灵活运

用相似三角形的判定与性质是解本题的关键.

23.如图所示，抛物线y=ax，bx+c(awO)经过A(-1,0)、B(3,0)、C

(0,3)三点.点