高中数学集合知识点

高中数学集合知识点

高中数学集合知识点

一.知识归纳：

1.集合的有关概念。

1）集合（集）:某些指定的对象集在一起就成为一个集合（集）.其中

每一个对象叫元素

注意：①集合与集合的元素是两个不同的概念，教科书中是通过描

述给出的，这与平面几何中的点与直线的概念类似。

②集合中的元素具有确定性（a?A和a?A,二者必居其一）、互异性

（若a?A,b?A,则aWb）和无序性（{a,b}与{b,a}表示同一个集合）。

③集合具有两方面的意义，即：凡是符合条件的对象都是它的元素;

只要是它的元素就必须符号条件

2）集合的表示方法：常用的有列举法、描述法和图文法

3）集合的分类：有限集，无限集，空集。

4）常用数集：N,Z,Q,R,N_

2.子集、交集、并集、补集、空集、全集等概念。

1）子集：若对产A都有_£B,则AB（或AB）;

2）真子集:AB且存在_0£B但_0A;记为AB（或，且）

3）交集：AAB={_eAl._eB}

4）并集：AUB={_£A或_£B}

5）补集：CUA=L_A但_£U}

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注意：①?A,若AW?,则?A;

②若，，则;

③若且，则A=B(等集)

3.弄清集合与元素、集合与集合的关系，掌握有关的术语和符号,

特别要注意以下的符号：(1)与、？的区别；(2)与的区别；(3)与的区别。

4.有关子集的几个等价关系

①AnB=AAB;②AUB=BAB;③ABCuACuB;

④AnCuB=空集CuAB;⑤CuAUB=IABO

5.交、并集运算的性质

①AGA=A,AA?=?,AGB=BCA;②AUA=A,AU?=A,AUB=BUA;

③Cu(AUB)=CuAClCuB,Cu(AAB)=CuAUCuB;

6.有限子集的个数：设集合A的元素个数是n,则A有2n个子集，

2n-l个非空子集，2n-2个非空真子集。

二.例题讲解：

［例1］已知集合M={—=m+,mGZ},N={_=,nGZ},P={_=,pGZ},

则M,N,P满足关系

A)M=NPB)MN=PC)MNPD)NPM

分析一：从判断元素的共性与区别入手。

解答一：对于集合M：{_=,111£2};对于集合2{_=,11£2}

对于集合P：{—二,p£Z},由于3(n-1)+1和3p+l都表示被3除余

1的数，而6m+l表示被6除余1的数，所以MN=P,故选B。

分析二：简单列举集合中的元素。

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解答二：M={…，，…},N={…，，，，…},P={…，，，…},这时不

要急于判断三个集合间的关系，应分析各集合中不同的元素。

=eN,£N,AMN,又二加，AMN,

=P,「.NP又£N,APN,故P=N,所以选B。

点评：由于思路二只是停留在最初的归纳假设，没有从理论上解决

问题，因此提倡思路一，但思路二易人手。

变式：设集合，，则(B)

A.M=NB.MNC.NMD.

解：

当时，2k+l是奇数，k+2是整数，选B

【例2】定义集合A_B={_eA且_B},若A={1,3,5,7},B={2,3,5),

则A_B的子集个数为

A)1B)2C)3D)4

分析：确定集合A_B子集的个数，首先要确定元素的个数，然后再

利用公式：集合A={al,a2,…，an}有子集2n个来求解。

解答：,.•A_B={_£A且_B},.,.A_B={1,7},有两个元素，故A_B

的子集共有22个。选D。

变式1：已知非空集合M{1,2,3,4,5},且若a£M,则6?a£M,那

么集合M的个数为

A)5个B)6个C)7个D)8个

变式2：已知{a,b}A{a,b,c,d,e},求集合A.

解：由已知，集合中必须含有元素a,b.

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集合A可能是

{a,b},{a,b,c},{a,b,d},{a,b,e},{a,b,c,d},{a,b,c,e},{a,b,d,e}.

评析本题集合A的个数实为集合{c,d,e}的真子集的个数，所以共

有个.

【例3】已知集合A={_2+p_+q=0},B={_2?4_+r=0}，且AGB={1},A

UB={?2,1,3},求实数p,q,r的值。

解答：VAnB={l}.*.ieB.,.12?4Xl+r=O,r=3.

.-.B={_2?4_+r=0}={l,3},VAUB={?2,1,3},?2B,.,.?2eA

：AAB={1}.\1£A方程_2+p_+q=0的两根为-2和1,

变式：已知集合A={_2+b_+c=0},B={_2+m_+6=0},且AGB={2},A

UB=B,求实数b,c,m的值.

解：VAAB={2}AIGB22+m?2+6=0,m=-5

.B={_2-5_+6=0}={2,3}：AUB=B/.

又：AGB={2}A={2}b=-(2+2)=4,c=2X2=4

b=-4,c=4,m=-5

［例4］已知集合A={_(_T)(_+l)(_+2)0},集合B满足：AU

B={_-2},且AGB={_1

分析：先化简集合A,然后由AUB和AGB分别确定数轴上哪些元

素属于B,哪些元素不属于B。

解答：A={_-2-1或」}。由AAB={」-2}可知［-1,1］B,而解8,-2)

nB=(t)o-1或—

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-1或—

综合以上各式有B={_-1W_W5}

变式1：若A=L_3+2_2-8_0},B={_2+a_+bW0},已知AUB={_-4},

AGB=O＞，求a,b。（答案：a=-2,b=0）

点评：在解有关不等式解集一类集合问题，应注意用数形结合的方

法，作出数轴来解之。

变式2：设M={_2-2_-3=0},N={_a_T=0},若MAN=N,求所有满

足条件的a的集合。

解答：M={-1,3}（VMnN=N,ANM

①当时，a_T=O无解，，a=0②

综①②得：所求集合为h1,0,}

【例5】已知集合，函数y=Log2（a_2-2_+2）的定义域为Q,若PAQ

W①，求实数a的取值范围。

分析：先将原问题转化为不等式a_2-2_+20在有解，再利用参数分

离求解。

解答：（1）若，在内有有解

令当时，

所以a-4,所以a的取值范围是

变式：若关于JI勺方程有实根，求实数a的取值范围。

解答：

点评：解决含参数问题的题目，一般要进行分类讨论，但并不是所

有的问题都要讨论，怎样可以避免讨论是我们思考此类问题的关键。

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三.随堂演练

选择题

I.下列八个关系式①{0}=②=0③H④仆⑤8}

⑥0⑦{0}⑧。其中正确的个数

(A)4(B)5(C)6(D)7

2.集合合,2,3}的真子集共有

(A)5个(B)6个(C)7个(D)8个

3.集合A={」B={}C={}又则有

(A)(a+b)A(B)(a+b)B(C)(a+b)C(D)(a+b)A>B、C任一个

4.设A、B是全集U的两个子集，且AB,则下列式子成立的是

(A)CUACUB(B)CUACUB=U

(C)ACUB=(D)CUAB=

5.已知集合A={},B={}贝!JA=

(A)R(B)(}

(C){}⑻{}

6.下列语句：(1)0与{0}表示同一个集合；(2)由1,2,3组成的集

合可表示为

{1,2,3}或{3,2,1};(3)方程(_-1)2(_-2)2=0的所有解的集合

可表示为{1,1,2};(4)集合{}是有限集，正确的是

(A)只有⑴和(4)(B)只有(2)和(3)

(C)只有(2)(D)以上语句都不对

7.设S、T是两个非空集合，且ST,TS,令_=S那么SU_=

6

(A)_(B)T(C)①(D)S

8设一元二次方程a_2+b_+c=0(a0)的根的判别式，则不等式

a_2+b_+c0的解集为

(A)R(B)(C){}(D){}

填空题

9.在直角坐标系中，坐标轴上的点的集合可表示为

10.若A={1,4,_},B={1,_2}且AB=B,则_=

11.若A={」B={_},全集U=R,则人=

12.若方程8_2+(k+l)_+k-7=0有两个负根，则k的取值范围是

13设集合A={},B={J,且AB,则实数k的取值范围是。

14.设全集U={_为小于20的非负奇数},若A(CUB)={3,7,15),

(CUA)B={13,17,19},又(CUA)(CUB)=,则AB=

解答题

15(8分)已知集合A={a2,a+1,-3},B={a-3,2a-1,a2+l},若AB={-3},

求实数a。

16(12分)设A=,B=,

其中_R,如果AB=B,求实数a的取值范围。

四.习题答案

选择题

12345678

CCBCBCDD

填空题

7

9.{(_,y)}10.0,11.{_,或_3}12.{}13.{}14.{1,5,9,H}

解答题

15.a=-l

16.提示:A={0,-4},又AB=B,所以BA

(I)B=时，4(a+l)2-4(a2-l)0,得aT

(11元={0}或13={-4}时，0得a=T

(III)B={0,-4},解得a=l

综上所述实数a=l或a-1

提高数学成绩的方法

1.要