高中数学第八章《立体几何初步》提高训练题 (五)(含答案解析)

第八章《立体几何初步》提高训练题（5）

一、单项选择题（本大题共4小题，共20.0分）

1.在三棱锥P-4BC中，AB1BC,P在底面A8C上的投影为4c的中点。，OP=OC=1.有下列

结论：

①三棱锥P-4BC的三条侧棱长均相等：

②NP/W的取值范围是

③若三棱锥的四个顶点都在球O的表面上，则球O的体积为g；

④若ZB=BC,E是线段PC上一动点，则DE+8E的最小值为誓.

其中正确结论的个数是（）

A.1B.2C.3D.4

2.如图所示，在斜三棱柱ABC-&B1C1的底面ABC/.CAB=90°,且BC11AC,过Q作C/1底

面ABC,垂足为，，则点”在

A.直线AC上B.直线AB上C.直线上D.MBC内部

3.如图，正方体ABCD-AlBlClDl的棱长为2a,点O为底面A8C。的中心，点P在侧面的

边界及其内部运动.若Di。工OP,且ADiCiP面积的最大值为4花，则”的值为（）

A.1B.3C.D.2

4.如图，矩形ABC。中，48=4,BC=2,E为边AB的中点，沿OE将44DE折起，点4折至4处

（41£平面力BCD）,若M为线段&C的中点，则在ZL4DE折起过程中，下列说法错误的是（）

A.始终有MB〃平面&DE

B.不存在某个位置，使得&C_L平面&DE

C.三棱锥4-4DE体积的最大值是也

3

D.一定存在某个位置，使得BM与&E所成角为30。

二、多项选择题（本大题共9小题，共36.0分）

5.如图，线段48为圆O的直径，点E,尸在圆O上，EF//AB,矩C

形A8C£）所在平面和圆。所在平面垂直，且力B=2,EF=AD=1,

则下述正确的是（）

A.。/7/平面BCE

B.BF平面ADF

C.点A到平面CDFE的距离为4

7

D.三棱锥C-BEF外接球的体积为V57T

6.正方体ABCD-A/iCiDi中，P,。分别为棱BC和CQ的中点，则下列说法正确的是（）

A.BG〃平面AQP

B.A^D，平面AQP

C.异面直线&C与P。所成角为90°

D.平面AP。截正方体所得截面为等腰梯形

7.如图，已知四棱锥P—4BC。的底面ABC。为矩形，平面PC。_L平面P

ABCD,。。=Q。=P£>.若点“为尸(^上一点，且24〃平面8。M，则/[>

下列说法正确的是()遂之W

…PB您乎C

B.BM_L平面PCD

C.当4D=2DC=2时，四棱锥M—ABCD的体积为更

6

D.当ZD=2DC=2时，四棱锥P-4BCD外接球的表面积为等

8.如下图，矩形48C£>,M为BC的中点，将回4BM沿直线AM翻折成/人

I2AB1M,连接&D,N为Bi。的中点，则在翻折过程中，下列说法中//

》"

所有正确的是()A«-T/—YI""

A.存在某个位置，使得CNJ.4B1；/1/

B............WC

B.翻折过程中，CW的长是定值

C.若AB=BM,贝1B[D；

D.若4B=BM=1,当三棱锥占一4"0的体积最大时，三棱锥当—4M0的外接球的表面积是

47r.

9.在边长为2的等边三角形A8C中，点£>,E分别是边AC,A3上的点，满足。E〃8c且絮=4,

(AG(0,1)),将AADE沿直线。E折到AA'DE的位置.在翻折过程中，下列结论不成立的是()

A.在边4E上存在点凡使得在翻折过程中，满足BF〃平面AC。

B.存在；I6(0,1),使得在翻折过程中的某个位置，满足平面4BC，平面BCDE

C.若2=%当二面角A-DE-B为直二面角时，1dBi=乎

D.在翻折过程中，四棱锥A-BCDE体积的最大值记为/(4),/'(/I)的最大值为督

10.如图，点。是正四面体PABC的面ABC的中心，过点O的直线

交AC,BC分别于点M,N,S是棱PC上的点，平面SMN与棱

PA的延长线相交于点。，与棱P8的延长线相交于点R,则（）

A.若MN〃平面PAB,则4B〃RQ

B.存在点S与直线MN,使PC，平面SRQ

C.存在点S与直线MN,使丙■（PQ+PR}=0

D-嵩+嵩+嵩是常数

11.如图，直角梯形A8CZ）,4B〃CD,4B_LBC,BC=CD=\AB=1,

E为AB中点，以DE为折痕把△力DE折起，使点A到达点P的位

置，且PC=J5，则（）

A.平面PED1平面EBCD

B•二面角P—DC—B的大小为:

C.PC1ED

D.

PC与平面PED所成角的正切值为近

冗

12.已知三棱锥P-4BC的四个顶点都在球。上，AB=BC=2C=1,N4PC=—，平面P4C1平

6

面48C,贝女）

A.直线OA与直线BC垂直

B.P到平面ABC的距离的最大值为“

2

C.球O的表面积为13沙%

3

D.三棱锥0—ABC的体积为：

O

13.在棱长为1的正方体力8。。一&31（：1£）1中，尸为底面ABCD内（含边界）一点.（）

A.若&P=V3,则满足条件的P点有且只有一个

B.若&P=V2,则点P的轨迹是一段圆弧

C.若4P〃平面BW1C,则41P长的最小值为近

D.若&「=或且4止〃平面&D】C,则平面4PG截正方体外接球所得截面的面积为g

三、填空题（本大题共7小题，共35.0分）

14.如图，已知六棱锥P-4BCDEF的底面是正六边形，PA_L平面ABC,PA=2AB,给出下列结论:

F

@PB1AE；②直线BC〃平面PAE；③平面P4E_L平面POE；

④异面直线PD与BC所成角为45。；⑤直线PD与平面PAB所成角的余弦值为-1

其中正确的有（把所有正确的序号都填上）

15.已知正方体4BC0-41B1GD1的棱长为5,其中有一半径为2的球。与该正方体的底面ABC。

和两个侧面ADDiAi，4BB14都相切。另有一球。2,既与正方体的另外两侧面BCG/,。”也以

及底面ABCQ相切，又与球01相切，则球。2的半径为-

16.如图，水平桌面上放置一个棱长为1米的正方体水槽，水面高度恰为正方体棱长的一半，在该

正方体侧面CDD1G上有一个小孔E，小孔E（孔的大小不计）到C。的距离为0.75米，现将该正方

体水槽绕CD倾斜（CD始终在桌面上），则当水恰好流出时，则整个正方体水槽在水平桌面上的

投影面积大小为平方米.

17.如图正方体4cl中，M为AB中点，N为BC中点、,尸为线段CQ上一动点(不含C),过M,N,P与

正方体的截面为a,则下列说法正确的是

①当言*时，a为五边形②截面支为四边形时，a为等腰梯形③截面式过劣时，言=：④a为

六边形时在底面投影面积Si，a为五边形时在底面投影面积52，则Si>52

18.(1)如图所示，四边形ABCQ是一个梯形，CD〃AB,CD=BC=1,△4。。为等腰直角三角形，

。为A5的中点，试求梯形ABCD水平放置的直观图的面积.

(2)如图所示，在三棱柱48。-4把1(?1中，过4,B,酊的平面与平面48c的交线为/,则/与

直线4G的位置关系为.

⑶已知△ABC中，/-BAC=90。，P为平面A8C外一点且PA=PB=PC,则二面角P-BC-4的

大小是.

(4)如图，在正方体4BCD—4B1GD1中，点P在线段BCi上运动，则下列判断中正确的是

①平面PBi。_L平面ACD-,

②&P〃平面

③异面直线4P与45所成角的取值范围是(0,§;

④三棱锥劣-4PC的体积不变.

19.如图，已知正四面体4-BCD的棱长为2,E是棱CD上一动点，若BF14E于F,则线段CF

的长度的最小值是

C

20.如图，在正四棱锥S-ABCD中，E,M,N分别是BC,CD,SC的中点，当动点P在线段MN

上运动时，下列四个结论：

①EP〃BD；②EP1AC;③EP1平面S4C；④EP〃平面SBD.

其中恒成立的为.(填序号)

四、解答题(本大题共10小题，共120.0分)

21.如图，正三棱柱4BC—&B1G的底面边长为3,侧棱44=手，。是CB延长线上一点，且

BD=BC.

(1)求证：直线BQ〃平面AB】。；

(2)求三棱锥G-ABB1的体积.

22.如图，四边形ABCD是边长为3的正方形，DE_L平面ABCD,AF〃DE,DE=3AF,BE与平面

ABCD所成角为60°.

(1)求证：AC1平面BDE;

(2)求二面角尸-BE-。的余弦值；

(3)设点M是线段BD上一个动点，试确定点M的位置，使得AM〃平面BEF,并证明你的结论.

23.在四棱锥P-4BCD中，平面P«4Z)J_平面/1BC。，底面4BC0为直角梯形，BCHAD,ZADC=90。,

BC=CD=：4D=1,E为线段4D的中点，过BE的平面与线段RD,PC分别交于点G,F.

(1)求证：GF±PAi

(2)若「N=PD=0，是否存在点G,使得直线尸B与平面3EGF所成角的正弦值为半，若存在,

请确定G点的位置；若不存在，请说明理由.

24.如图所示，在四棱锥P-ABCD中，PA=AD=CD=2AB=2,AB1AD,CD1AD,PA面

ABCD,M为PC的中点.

(1)求证：BM〃平面PAD；

(2)在侧面PAD内找一点N,使MN1平面PBD：

(3)求直线尸C与平面PBD所成角的正弦.

25.在以A8CDEF为顶点的五面体中，底面A8CD为菱形=120°,AB=AE=ED=2EF,

EF//AB,二面角E-4。-B为直二面角.

(I)证明：BD1FC；

(n)求二面角4-CF-B的余弦值.

26.如图，在四棱锥P—4BCD中，底面ABC力是正方形，PA=AB=1,PB=PD=V2.

(1)证明：BD1平面PAC；

(2)若E是PC的中点，在棱尸。上是否存在点F,使BE〃平面ACF?若存在，求出詈的值，并

证明你的结论.

27.如图，在四棱锥P-ABC。中，PA_L平面ABC。，AD//BC,AD1CD,且AD=CD=2&，

(1)求证：AB1PC；

(2)在线段P。上，是否存在一点M,使得二面角M-AC-£»的大小为45。，如果存在，求8M

与平面M4c所成角的正弦值；如果不存在，请说明理由.

28.如图，四棱锥P-ABCD中，PD1平面ABCC,底面48CO是正方形，PD=AB=2,E为PC中

点.

(1)求证：DEI平面PC8；

(2)求点C到平面OEB的距离；

(3)求二面角E-BD-P的余弦值.

29.如图，在四棱锥P—4BCD，底面A8CD为平行四边形，△PCD为等边三角形，平面PAC_L平面

PCD,PA1CD,CD=2,AD=3,

(1)设G,H分别为PB,AC的中点，求证：GH〃平面PAO；

(2)求证：/M_L平面PCD；

(3)求直线AD与平面PAC所成角的正弦值.

30.如图，三棱柱48©-ABC中，8当1平面ABC,AB1BC,AB=2,BC=1,BBr=3,D

是CG的中点，E是A8的中点.

(1)证明：OE〃平面GB&;

(2)尸是线段CCi上一点，且CF=2FC「求为到平面A"的距离.

【答案与解析】

1.答案：C

解析：

本题考查三棱锥的结构特征，余弦定理的应用，三棱锥外接球的体积及线面垂直的应用，多面体上

最短距离问题，属于综合题.

由题意P01平面=BD=AD=DC=1,三棱锥P-4BC的三条侧棱长都为V#+了=鱼,

判断①正确；设4B=x,由余弦定理可知cos4P4B=?xe（0,4）,可判断②正确；若三棱锥的四

个顶点都在球。的表面上，外接球。的半径为1,根据球0的体积公式可判断③错误；将APBC沿

着线段PC翻转，当APBC与ADPC在同一平面且在线段PC的两侧时，DE+BE有最小值，根据余

弦定理求出DE+8E的最小值，判断④正确.

解：如图，

在三棱锥P-ABC中，AB1BC,

P在底面ABC上的投影为4c的中点。，

则PD1平面ABC,

连接BD、PD,BD、AD,DCu平面ABC,

所以PD1B0,PD1AD,PD1DC,

DP=DC=1,且力是AC中点，AB1BC

则BD=AD=DC=1,

①三棱锥P-ABC的三条侧棱长都为茂M+#=72，所以相等,

故①正确;

②设48=%,0<%<2,

由余弦定理可知COSNP/W="+（比詈2=e（0,4）,

在△PAB中，4P4B的取值范围是（%3，故②正确；

③若三棱锥的四个顶点都在球。的表面上，

因为DP=DA=DB=DC=1,

所以球心。为点。，球的半径为1,球。的体积为半，故③错误;

④若4B=BC,则4B=BC=&，E是线段PC上一动点，

将APBC沿着线段PC翻转，当APBC与△DPC在同一平面且在线段PC两侧时，DE+BE有最小值

\BD\,

PD=1,PB=显，4DPC=45°,乙BPC=60°,

则0E+8E的最小值为Ji2+(四)212xix&xcos(45o+60o)=Jg^=W^，故④正确.

其中所有正确结论的个数为3.

故选C.

2.答案：B

解析：

本题主要考查空间中线面垂直、面面垂直的判定定理与性质定理，属于中档题.

由条件连接根据线面垂直的判定定理，AC_L平面又AC在平面A8C内，根据面面垂直的

判定定理，平面ABC1平面ABC］，则根据面面垂直的性质，在平面ABC1内一点G向平面ABC作垂

线G",垂足为“，”必落在交线4B上.

解：如图，连接4G，

因为NC4B=90°,即4B14C,且BCi_LAC,

又因为ABnBCi=B,AB,BCiu平面ZBC1，

所以4C1平面ABC1，又ACu平面ABC,

所以平面力BC_L平面

过G作Ci"1底面ABC,垂足为H,

则GHu平面ABC］，又平面ABCn平面ABC】=AB,

所以点”在直线AB上.

故选B.

3.答案：D

解析：

【试题解析】

本题考查直线与平面的垂直的判定以及空间中线线、线面、面面间的位置关系，属于较难题.

由题意画出图形，由直线与平面垂直的判定可得P的轨迹，求出P到棱G5的最大值，代入三角形

面积公式求解.

解：如图，取BBi的中点F,连接OF、DiF、CF、GF,连接。。、BO、0C、久当、DrC,

则/F=BF=a,DO=BO=OC=五a，=DrC=2&a,

BBXl¥fflABCD,BBi_L平面AiBiC/i，。也J■平面BBCC,

•••ODi=yjOD2+DDl=*>a，OF=y/OB2+BF2=6a,D、F=J。//+BF=3a，

ODl+OF2=0产，ODl+OC2=D©,

：.ODi1OC,ODi1OF,

■:OCC\OF=0,

。。11平面OCF,

•••。必1CF,

.••点P的轨迹为线段CF.

又”GF=J+B/2=V5a>GC=2a，

2

OiGP面积的最大值S=|cxF-D1C1=|x2aXV5a=yj5a=4v

解得a=2.

故选D

4.答案：D

解析：

本题主要考查命题的真假判断与应用，考查空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面位置关系

的判定，考查空间想象能力与思维能力，属于较难题.

对于A,延长CB,DE交于H,连接&H,运用中位线定理和线面平行的判定定理，可得BM〃平面

A.DE,即可判断A;

对于B,不论&在何位置，&C在平面ABC。中的射影为AC,由AC与DE不垂直，得OE与4C不

垂直，从而可得&C与平面4DE不垂直，故B正确；

对于C,由题意知平面&OE_L平面AOE时，三棱锥&-40E的体积最大，求出即可；

对于。，运用平行线的性质和解三角形的余弦定理，以及异面直线所成角的定义，求出异面直线所

成的角，说明。错误.

解：：对于A,延长CB,DE交于H,连接由E为AB的中点，可得8为C”的中点，

又M为41c的中点，可得BA/笈平面&DE,u平面20E,贝ijBM〃平面40E,故

A正确；

不论&在何位置，力1C在平面ABC。中的射影为AC,AC与。E不垂直，则。E与&C不垂直，可得4c与

平面41DE不垂直，故8正确；

对于C,设。为。E的中点，连接0&,由直角三角形斜边的中线长为斜边的一半，可得。&=鱼，

当平面&OE_L平面AOE时，三棱锥4-40E的体积最大，最大体积为U・4。=：x：x

22XV2=—，故C正确；

3

对于。，AB=2AD=4,过E作EG〃BM,G€平面4DC,则Z4EG是异面直线与4E所成的

角或所成角的补角，

且NAiEG=4EA1”,在△£■&//中，EAj,=2,EH=DE=2y[2,

A^H=722+2x22-2x2x2V2xcos135°=2后

则4E&H为定值，即44EG为定值，.••不存在某个位置，使得异面直线与&E所成角为30°,故。

错误.

故选D.

H

5.答案：ABC

解析：

本题考查了球的表面积和体积，线面平行的判定，线面垂直的判定，空间中的距离，线面垂直的性

质，正弦定理，面面垂直的判定和面面垂直的性质，属于较难题.

结合线面平行、线面垂直判定定理以及球体体积对选项一一判定即可.

解：

对于A、连接。F,因为EF^OB，所以四边形BEF。是平行四边形，因此OF〃BE.

又因为BEu平面8CE,OFC平面8CE,所以。F〃平面BCE,因此A正确；

对于B、易证BF1A凡又因为矩形ABCD所在平面和圆。所在平面垂直，

S.ADLAB,易得AD_L8F.

因为4FnAD=/l,力用ADu平面AQF,所以BFJ■平面AOF,因此B正确；

对于C、取CD的中点G,EF的中点H,连接OG、0H和GH.

因为ABCO是矩形，AB=2,AD=1,。是AB的中点，所以CD，0G且。G=1.

又因为线段AB为圆。的直径，EF//AB,AB=2,EF=1,

所以OH且0"=

2

易证〃平面CDFE,

因此点O到平面CDFE的距离就是点A到平面CDFE的距离.

在RtAOG〃中，因为0G=l,0H=区所以GH=立，

22

因此Lxlx立=^X亚X/1,解得/!=豆，

22227

所以点A到平面CDFE的距离为包，因此C正确；

7

对于D、因为线段AB为圆。的直径，EF//AB,AB=2,EF=1,

27r

所以BF=B，ZBEF-,5,

BF瓜0

因此若ABE尸的外接圆半径为r,则-'=siuNBEF

S1H——

3

易分析知40，平面而ABC。是矩形，因此8C_L平面A3F,

即1平面BEF.

若三棱锥C-BEF外接球的半径为R,则(2/?)2=(2r)2+BC2=4+1=5,

解得R=立，因此三棱锥C—BEF外接球的体积为士万中1kxM也刍

23386

因此。不正确.

故选ABC.

6.答案：ACD

解析:

本题考查线面平行的判定，异面直线的夹角，线面垂直的判定，主要考查学生的运算能力和转换能

力及思维能力，属于较难题.

根据题意，逐项求解即可.

解：在正方体4BCD-4B1C1D1中，P,。分别为棱BC和棱CG的中点，如图所示:

对于选项4P,。分别为棱BC和棱CG的中点，

所以PQ〃BQ,由于PQu平面APQ,BQC平面APQ,

所以〃平面AP。，故选项A正确.

对于选项&因为AD\〃BC\"PQ,所以A、P、Q、劣四点共面,

易知正方体中14D1，ATD1AB,

ABC\ADr=A,AB、gu平面ABCWi，

所以&0_L平面4BC15，

又平面ABCiQn平面APQDi=ADt,

所以4D1平面AQP不正确.

对于选项C：易知正方体中1AD11CD,

AtDdCD=D,必。、。。＜=平面48传。，

所以1平面4BlCD,

又4也u平面4B1CD,

所以4£)iJ.41C,

由A选项的证明过程知PQ〃BG〃4Di，

所以PQJ.&C,

故异面直线&C与尸Q所成角为90。，C正确.

对于选项£)：由3的证明过程可知平面APQ截正方体所得截面为四边形APQ5,且ADJ/PQ,

设正方体棱长为1,则4「=孚D]Q=3故AP=AQ,

则四边形力PQDI为等腰梯形，故。正确.

故选ACD.

7.答案：CD

解析：

【试题解析】

本题考查空间中线线位置关系及线面位置关系的判定以及棱锥的体积与球表面积求解，属于难题.

假设。PJ.PB成立，这与NOPC=60。矛盾，选项A错误，平面8cp内过点8只能作一条直线与直

线PC垂直,且易证BC1PC,选项3错误.四棱锥M-4BC。的体积I/M-ABCD2x1x苧=?,

选项C正确.四棱锥P-ABC。外接球的表面积S=4兀R2=等，选项。正确.

•••平面PCD1平面4BC。，平面PCDn平面4BCD=CD,BC1CD,BCu平面ABC。，

BCJL平面PCD,BC1PD.若DP1PB,则PD1平面PBC,则PD1PC,这与乙DPC=60°矛盾，

DP1PB不成立，.•.选项A错误.

连接AC,交80于。，连接OM,易知P4〃0M,•••M为尸C的中点.若BM_1_平面PCZ),则BMJ.PC,

•.•平面8CP内过点8只能作一条直线与直线PC垂直，且易证BC1PC,.•・选项8错误.

已知M为PC的中点，.•.四棱锥M-ABC。的体积是四棱锥P—2BCD的体积的一半.取C。的中点N,

连接PN,则PN1CD,则PN_L平面力BCD.当4。=2DC=2时，PN=—，

2

••・四棱锥M—ABCD的体积加一.。。=|xix2xlx^=^,

・,・选项C正确.

连接ON,当4。=2OC=2时，在矩形A8C。中，BD=V5.0D=—，ON=1.

2

设四棱锥P-4BC0外接球的球心为G,半径为R,

连接GP,GD,CO,作GK1PN,K为垂足，则GP=CC=R,

PK2+CK2=GO2+OD2=R2.

设OC=/l,则曰一九）2+12=.+（知,得仁圣

R2=GO2+OD2=h2+OD2=-+-=

1243

四棱锥P-ABC。外接球的表面积S=4兀R2=等，

••・选项。正确.

故选CD.

8.答案：BD

解析：

本题考查几何体的翻折问题，考查空间中直线与直线的位置关系，球的表面积计算，考查空间想象

能力，属于中档题，对选项逐一判断其正确性即可.

解：对于A,取AD的中点为E,连接CE交"力于点尸，如图1,

则NE〃ABi，NF//MB1

如果CN14B「则ENJ.CN,

由于则EN1NF,

由于三线NE,NF,NC共面且共点，

故这是不可能的，故不正确；

对于8,如图1,由NNEC=ZJVL4Bi，

S.NE=^ABltAM=EC,

.•.在△CEN中，由余弦定理得：

NC2=NE2+EC2-2NE-EC-cos乙NEC,也是定值,

故NC是定值，故正确；

对于C,如图2

图2

取AM中点为O,TAB=BM,即贝ijAM_LB1。

若ZMJLBi。，由于Bi。Cl8山=Bi，

且u平面。

•••AM_L平面00B「ODu平面OOBi，

•••ODVAM,则AD=MD,

由于/WKMD,故不成立，故不正确：

对于D根据题意知，只有当平面/AM，平面AM。时，

三棱锥当-4M。的体积最大，取A。的中点为E,

连接。E,BiE,ME,如图2

•••AB=BM=1,则AB】=fijM=1,

月SB11BW，平面CI平面AMD=AM

：.BQ1AM,B10u平面B遇M

/.Bi。_L平面AMD,OEu平面AMD

Bi。J_OE,

则=BIO="M=4，

从而%=盾而=1，

易知EA=ED=EM=1,

.•.4。的中点E就是三棱锥Bi-AMD的外接球的球心，球的半径为1,表面积是4元，故。正确；

故答案为：BD.

9.答案:ABC

解析:

【试题解析】

本题考查了线面平行的判定和二面角，属于较难题.

对于A,假设存在FedE,使得BF〃平面4CD,利用线面平行的性质得出BF〃/1Z,与两条直线相

交矛盾，故判断错误；对于B,利用面面垂直的判定以及性质进行判断；对于C,利用直二面角的

性质和解直角三角形的知识进行求解判断；对于。，因为罪=九用含;I的式子表示出以JCBE。=

工(22+2)xg(l-2)x40

6

《—(2A+2)xV3(l-A)xV3A=—万+4,

令/Q)=-Z3+2,2G(0,1),利用导数求出f(4)的最大值.

解：对于A,假设存在F64E,使得BF〃平面ACD,

如图1所示,

因为BFu平面ABE,平面ABED平面AC。=A'4,^BF//A'A,

但在平面ABE内，BF,AN是相交的，

故假设错误，即不存在F64E,使得BF〃平面ACD,故4错误.

对于B,如图2,

取BC,OE的中点分别为连接/H,47,47/,分,

因为△4BC为等边三角形，故4/1BC,

因为DE//BC,故ZA'DE=ZADE=ZACB=60°,N4'ED=Z.AED=N71BC=60°,

所以△ADE,△4DE均为等边三角形，故4HlDE,AH1DE,

因为OE〃BC,Al1BC,AUDE，故4，,/共线,

所以/H_LDE,因为AHn/H=H,4'H,/Hu平面AH/,

故DE_L平面AH/,

而DEu平面CBED,故平面4H/，平面CBED,

若某个位置，满足平面ABC1平面8CDE,则4在平面BC£>E的射影在/”上，也在BC上，故4在

平面BCDE的射影为H,所以4〃>1H,

此时"黎=答=篇>也这与％6（吗）矛盾，故8错误.

对于C,如图3（仍取BC,CE的中点分别为/,，，连接

因为4'H1DE,IH1BC,所以乙4'，/为二面角4一0E-/的平面角,

因为二面角4-DE-B为直二面角，故z4H/=90。，所以

而/HODE=H,故4'H，平面CBED,因BHu平面CBED,故AH1BH.

因为;1=：,所以％，=/“=工4/=立.

222

在中，BH=1^+1=^,

\42

在RtA4'〃3中，A'B=3二=叵，故C错.

V442

对于。，如图4（仍取BC,DE的中点分别为连接/〃,AH,AB,4C）,

4'

作4'在底面CBED上的射影0,则。在田上.

因为禁=4,BC〃DE,所以瑞=4且半=九所以=8；1其DE=2人

11

又VA-CBED=IX|x(OF+CB)X/HxA'O

=y(2A+2)xA/3(1-A)xA'O

6

<|(2A+2)xV3(l-2)xV3A=-A3+九

令/(Q=-A3+A,Ae(0,1),则(Q)=-3A2+1,

当;le(0,1)时,f(A)>0；当4eg,i)时，f(A)<0.

所以“l)在(o多为增函数，在g,l)为减函数，

故/Wmax=/《)=言.

故。正确.

故选：ABC.

10.答案：ABD

解析:

本题考查正四面体的结构特征，线面平行的性质定理，线面垂直的判定与性质，空间向量的线性运

算和数量积，空间向量基本定理的应用，属综合题，难度较大.对于4:利用线面平行的性质定理可得

到MN〃/IB,MN//RQ,再利用平行公理即得：对于B:设。在直线PC上的射影（垂足）为S,并设在

底面内MN10C,利用线面垂直的判定定理，定义，结合三棱锥的结构特征可以证明这时的S和MN,

使PCL平面SR。，满足要求；对于C:首先可证4B_LPC,然后假若存在点S与直线MM使

丙•（而+而）=0,取RQ的中点X,则PS1PX,进而利用线面垂直的判定定理得到PC，平面PAB,

与正四面体的结构特征矛盾；对于。：利用空间向量的基本定理的推论中的四点共面的充要条件即可

得证.

解：对于4:•••MN〃平面PAB,MNu平面ABC,平面ABCn平面PAB=AB,-.MN〃4B.同理，MNu平

面SMM平面SMNn平面H4B=RQ,MN〃RQ,二AB〃RQ,故A正确；

对于8:设O在直线PC上的射影（垂足）为S,并设在底面内MN_LOC,••・P。底面43C,MNu平面

ABC,：.POLMN,又•：MN1.CO,POCCO=0,POu平面PCO,C。u平面PCO,MN_L平面

PCO,二MN1PC,又•••OS1PC,MNCOS=0,MNu平面SMN,OSu平面SMM•••PCJL平面

SMN,故8正确；

对于C:由于。为正三角形ABC的垂心，C。148,X-.-P01AB,：.ABliFffiPOC,：.AB1PC,

若是存在点S与直线MN,使丙.（丽+而）=0,取R。的中点X,则万.2乐=0,•,.PSLPX,

即PC1PX,结合PC1AB,PX,AB是平面PAB中的两条相交直线，PC1平面PAB,但正四面体

中，C在平面PAB中的射影是三角形PA8的中心，不可能是P,故矛盾，故C不正确；

对于D:设正四面体的棱长为m•••0为UBC的重心，.•.丽=；（对+而+同）=；（《警+噜詈+

3173\|PQ||PR|

鬻）=式福+焉+勖;。在平面QRs中.目质,而居为不共面的三个向量，，扁+^+

鬲=1,’,,嵩+嵩+嵩=：’为常数’故。正确.

综上，选ABD.

11.答案：AB

解析：

本题考查了空间中垂直关系的相互转化，线面角，面面角求解，属于较难题目.

利用面面垂直判定定理证明A选项;确定二面角的平面角为ZPCE,然后可判断B;假设PC1E。可推

出ED1PD,又乙EDP=/.EDA=45°,显然不成立;4cpD为直线PC与平面所成角，在Rt△PCD

中，tan〃?PD="=返，即可判断D

PD2

解：A中，PD=AD=y/AE2+DE2=Vl2+I2=V2.

在三角形尸。C中，PD2+CD2=PC2,

所以PDJ.CD,又CDIDE,

且PDCDE=D,PD,DEu平面PED,

所以CD_L平面PEQ,CDu平面EBCQ,

所以平面PEO_L平面E8CD,A选项正确；

8中，二面角P-DC-B的平面角为NPDE,

根据折前折后角度不变知NPDE=^ADE=45°,故8选项正确

C中，若PC1EO,又EO1CD,

且PCCCD=C,PC,CDu平面PDC,

可得EDI平面尸。C,PDu平面P£>C,贝ijEC_LPZ）,

而4EDP=NEZM=45。，显然矛盾，故C选项错误；

。中，由上面分析可知，4CP。为直线PC与平面PEQ所成角

在RtAPCD中，tan/CPO=吆=立，故。选项错误.

PD2

故选AB.

12.答案：ACD

解析：

本题考查三棱锥外接球相关问题，考查线面垂直、面面垂直等众多知识，综合性比较强，属于较难

题.

求解本题的关键：（1）根据正弦定理求出△PAC的外接圆半径；（2）利用球半径、截面圆半径、球心到

截面的距离之间的关系求三棱锥的外接球半径.

解：设回4BC外接圆的圆心为。「连接0。「0M，因为。为外接球的球心，所以。Oi_L平面ABC,

所以00id.BC.因为力B=BC=4C=1,所以OMI.BC,所以BC_L平面。0〃，所以。ALBC,故A

正确；

设APAC外接圆的圆心为。2,AC的中点为。，连接GD，由于ZC=1,^APC=所以圆。2的半

径「2=之、急=1,则易知02。=手，所以点P到AC的距离的最大值为1+9（此时尸，02,。三

点共线），故B错误；

由于4B=BC=4C=1,所以圆。1的半径3=1x嘉=景

连接01D,则01。=心，且。iDLAC,

由于平面P4C_L平面ABC,平面P4Cn平面力BC=AC,所以。/_L平面PAC.

连接。。2，则。。2,平面PAC,所以四边形。。1。。2是矩形，于是002=。山=9.

连接。24在直角三角形0。2人中，0甲=00/+。2心=（1）+12=||，

故球。的表面积S=4兀xII=等，故C正确；

由于。01，平面A8C,且00]=02。=q,SAABC=4，所以三棱锥。-ABC的体积为

-xOOtxShABC=-x—x—=->所以。正确.

313248

故选择ACD

13.答案：ABD

解析：

本题考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，解题时可逐项判

断，是中档题.

解：A选项：•••正方体ABCD-&B1GD1的棱长为1

ArC=V3，则2与C重合时&P=百，，此时P点唯一，故A正确；

B选项：•.•4/=a6（1,6），4&=1,贝i」P4=l,即点尸的轨迹是一段圆弧，故8正确；

C选项：平面为。1（7〃平面BO4,则当尸为BC中点时，CP有最小值为J囹+M=争故C错

误；

。选项：平面BiQC〃平面BZMi，又A』=a,A1B=A1D=V2,所以，点尸为8点或者。点，

则平面4PQ截正方体外接球所得截面的面积即为平面&BC1截正方体外接球所得截面面积，正方体

中心到面4/G的距离为=其半径r=[停）2_（穿=1，面积为|兀，故。正确.

故选：ABD.

14.答案：①③④⑤

解析：解析：

本题考查空间中线线、线面、面面间的位置关系，异面直线所成角，直线与平面所成角的求解，属

于中档题.

由P4_L平面ABC,及正六边形的性质易得：4E_L平面PA8,可知①正确；由BC〃40,而4。n4E=4,

可知②错；易证。E1平面PAE,则③正确；由BC〃4。得是异面直线PZ）与BC所成角，求出

/.PDA,可知④正确.易知8。，平面PAB,则NDPB是所求线面角，利用余弦定理可得⑤正确.

解：设正六边形长为1,则PA=2.根据正六边形的几何性质可知4E1AB,

由P4_L平面A8C得P4J.4E,所以4E_L平面PAB,所以4EJ.PB,故①正确；

由于8C〃40,而40CUE=4所以直线BC〃平面PAE不正确，故②错误；

易证得DE14E,DEJ.PA,所以CE，平面PAE,所以平面PAE1平面PDE,故③正确；

由于8C〃4D,所以4PDA是异面直线PO与8c所成角，

在RMP40中，AP=AD=2,故zPD4=45。，也即异面直线PQ与8c所成角为45°,故④正确；

连接2£>,则8D〃4E,由①证明过程可知4E_L平面PA5,

所以8。平面PAB,所以NDP8是所求线面角，在三角形尸8。中，PB=®PD=2近,BD=国,

由余弦定理得呼，故⑤正确.

2•y/5•2/21

综上所述，正确的序号为①③④⑤.

故答案为①③④⑤.

15.答案：1

解析:

本题考查了空间几何体的结构特征以及空间距离的求法，属于较难题目.

根据题意设球。2半径为「，作出截面图，由勾股定理求出结果即可.

解：设球。2半径为「，球。1和球。2与底面A8C。的切点分别为仞、N,

过。2作02H和OiM垂直，垂足为H,

作出正方体的截面图ZCG4，如图：

因为。1半径为2,且与该正方体的底面A8C。和两个侧面4。。送1，4BB14都相切.

所以AM=2V2，

球。2与正方体的另外两侧面BCCi%DCGD1以及底面A8CD相切，所以ND=V^r，

又AD=5V2.

222

则由勾股定理：0rH+02H=0102,

即(2-r)2+(5V2-2V2-V2r)2=(2+r)2,

解得：n=1,万=9(舍去).

故答案为1.

16.答案：—

5

解析：

本题主要考查空间几何体的直观图投影的运用和简单的面积计算问题，属于中档题.

先根据题意求出平面D