人教版(新教材)高中数学第一册(必修1)：第2课时分段函数

第2课时分段函数

I学习目标】1.会用『解析』法及图象法表示分段函数2给出分段函数，能研究有关性质.

知识梳理梳理教材夯实基•础

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知识点分段函数

1.一般地，分段函数就是在函数定义域内，对于自变量X的不同取值范围，有着不同的对应

关系的函数.

2.分段函数是一个函数，其定义域、值域分别是各段函数的定义域、值域的并集;各段函数

的定义域的交集是窒集一

3.作分段函数图象时，应分别作出每一段的图象.

思考分段函数是一个函数还是几个函数？

『答案』分段函数是一个函数，而不是几个函数.

■思考辨析判断正误

1.分段函数由几个函数构成.(X)

[x+1,xWl,

2.函数式x)=[,是分段函数.(J)

[―x+3,x>l

3.分段函数尽管在定义域不同的部分有不同的对应关系，但它们是一个函数.(V)

4.分段函数各段上的函数值集合的交集为0.(X)

题型探究探究重点提升素养

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一、分段函数求值

x+1,-2,

例1己知函数«r）=<3x+5,—2<x<2,

、2x—1,-22,

⑴求人—5），川），/（X-!）/

（2）若/（，+2）24+4,求实数a的取值范围.

解⑴由一56（—8,一2』，1£（-2,2）,-|e（-oo,-2j,知人-5）=-5+1=—4,

川）=3X1+5=8,（€+1）

=/（-3=3x（一9+5=/

(2)因为4?+2为2,

所以_/(/+2)=2(a2+2)—1=24+3,

所以不等式4/+2)》“+4化为2层一a-lNO,

解得或4W—J,

即实数〃的取值范围是(一8,-1U『1,+oo).

(教师)

延伸探究

1.本例条件不变，若人")=3,求实数a的值.

解当aW-2时，式a)=a+l=3,

即a=2>—2,不合题意，舍去；

当一2<a<2时，X«)=3a+5=3,

2

即。=一56(—2,2),符合题意；

当心2时，加z)=2a—1=3,

即a=2G/2,+°°),符合题意.

2

综上可得，当人。)=3时，a的值为一§或2.

2.本例条件不变，若火x)>2x,求x的取值范围.

解当xW—2时，/(x)>2x可化为x+l>2x,

BPx<i,所以xW—2；

当一2<x<2时，/(x)>2x可化为3x+5>2x,

即x>一5,所以-2<x<2；

当x22时，火x)>2x可化为2x—l>2v,贝UxW0.

综上可得，x的取值范围是{x|x<2}.

荐生)

反思感悟(1)分段函数求值的方法

①先确定要求值的自变量属于哪一段区间.

②然后代入该段的『解析』式求值，直到求出值为止.当出现,以."))的形式时，应从内到外

依次求值.

(2)已知分段函数的函数值求对应的自变量的值，可分段利用函教『解析』式求得自变量的

值，但应注意检脸函数『解析』式的适用范围，也可先判断每一段上的函数值的范围，确定

『解析』式再求解.

f1

x+----x>2,

跟踪训练1(1)已知函数<x)=jX—2则欧]))等于()

、f+2,xW2,

A.-|B.2C.4D.11

『答案』C

『解析』由函数的『解析」式可得，五1)=12+2=3,

则欢1))=<3)=3+占=4.

3+2,

(2)函数f[x)=<4若<沏)=8,则.

尹，x>2.

『答案』一班或10

〕解析』当沏W2时，./Uo)=焉+2=8,即焉=6,

.•・M=一般或沏=加(舍去)；

4

当xo>2时，凡粕)=5M)=8,，M)=10.

综上可知，即=一#或xo=lO.

二、分段函数的图象及应用

例2已知函数式x)=-f+2,g(x)=x,令0(x)=min{/)，g(x)}(即兀v)和g(x)中的较小者).

⑴分别用图象法和『解析J式表示9(x)；

(2)求函数0(x)的定义域，值域.

解(1)在同一个坐标系中画出函数4犬)，g(x)的图象如图①.

由图①中函数取值的情况，结合函数9(x)的定义，可得函数矶x)的图象如图②.

令一/+2=x,得x=—2或x=l.

一/+2,xW—2,

结合图②，得出夕(x)的『解析」式为9(x)="x,—2<x<l,

/+2,xel.

(2)由图②知，以幻的定义域为R,矶1)=1,

.,.0(X)的值域为(一8,11.

(学生)

反思感悟分段函数图象的画法

(1)对含有绝对值的函数，要作出其图象，首先应根据绝对值的意义去掉绝对值符号，将函数

转化为分段函数，然后分段作出函数图象.

(2)作分段函数的图象时，分别作出各段的图象，在作每一段图象时，先不管定义域的限制，

作出其图象，再保留定义域内的一段图象即可，作图时要特别注意接点处点的虚实，保证不

重不漏.

跟踪训练2设xCR,则函数y=2|x-l|-3|x|的值域为.

『答案』{九<2}

「解析』当时，y=2(x-1)—3x=-%—2；

当O〈x<l时，y=-2(x-l)-3x=-5x+2；

当x<0时，y=-2(x-l)+3x=x+2.

-x-2,

故y=«—5JC+2,0<X<1,

.x+2,x<0.

根据函数『解析』式作出函数图象，如图所示.

由图象可以看出，函数的值域为{y|yW2}.

三、分段函数的实际应用

例3如图所示，已知底角为45。的等腰梯形ABC。，底边BC长为7cm,腰长为2啦cm,当

垂直于底边BC(垂足为用的直线/从左至右移动(与梯形A8CZ)有公共点)时，直线/把梯形分

成两部分，令BF=x,试写出左边部分的面积y关于x的函数f解析』式，并画出大致图象.

解过点A,。分别作AG_L8C,DHVBC,垂足分别是G,H.

因为四边形ABCD是等腰梯形，底角为45。,

AB=2巾cm,

又BC=7cm,所以A£)=G”=3cm.

(1)当点尸在BG上，即xG『0,2』时，y=%；

(2)当点尸在GH上,即x£(2,5』时,

y=-2—X2=2r-2；

(3)当点尸在HC上,即工£(5,7』时，

y=S五边影ABFED=S糖形A8co—SRtaCE”

=T(7+3)X2—T(7—4=—^(x—7)2+10.

综合⑴⑵⑶，得函数的『解析』式为

%£[0,2],

y=<2x—2,x£(2,5],

-1(X-7)2+10,XS(5,7J.

图象如图所示.

荐生)

反思感悟分段函数的实际应用

(1)当目标在不同区间有不同的计算表达方式时，往往需要用分段函数模型来表示两变量间的

对应关系，而分段函数图象也需要分段画.

(2)分段函数模型应用的关键是确定分段的各分界点，即明确自变量的取值区间，对每一个区

间进行分类讨论，从而写出相应的函数『解析』式.

跟踪训练3—辆汽车在某段路程中的行驶速度与时间的关系如图所示.

(1)求图中阴影部分的面积，并说明所求面积的实际含义；

(2)假设这辆汽车的里程表在汽车行驶这段路程前的读数为2004km,试建立行驶这段路程时

汽车里程表读数skm与时间fh的函数r解析」式，并作出相应的图象.

解(1)阴影部分的面积为

50X1+80X1+90X1+75X1+65X1=360.

阴影部分的面积表示汽车在这5h内行驶的路程为360km.

<50/+2004,0Wf<l,

80(r-1)+2054,1令2,

(2)根据图象，有s=<90。-2)+2134,2W《3,

75(r-3)+2224,3Wf<4,

<65(^-4)+2299,4Wf<5.

相应的图象如图所示：

s/km]

2400k

23001/

22(X)]/

2100，/

2(X)()J

0|~12345~/7h

随堂演练基础巩,固学以致用

1.函数兀r)=|x—1|的图象是()

『答案』B

X—1,

『解析』方法一函数的r解析』式可化为>=画出此分段函数的图象,

1—X,x<1.

故选B.

方法二由人-1)=2,知图象过点(-1,2),排除A,C,D.

[1,x为有理数，

2.著名的Dirichlet函数O(x)=八”工讪共则〃(。⑴)等于()

10,x为无理数，

A.0B.1

fl,x为无理数，[1,x为有理数，

0,尤为有理数1。，x为无理数

『答案』B

『解析』为有理数，

-77，x<l且xW—1,

3.已知函数负x)=[十।则42)=.

『答案』1