高中数学应用题复习

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［考点概述］

数学应用性问题是历年高考命题的主要题型之一，也是考生失分较多的•种题型。解答

这类问题的要害是深刻理解题意，学会文字语言向数学的符号语言的翻译转化，这就需要建

立恰当的数学模型，这当中，函数，数列，不等式，排列组合是较为常见的模型，而三角，

立几，解几等模型也应在复习时引起重视。

高考应用性问题的热门话题是增减比率型和方案优化型，另外，估测计算型和信息迁移

型也时有出现。当然，数学高考应用性问题关注当前国内外的政治，经济，文化，紧扣时代

的主旋律，凸显了学科综合的特色。

一、求解应用题的一般步骤：

1、审清题意：

认真分析题目所给的有关材料，弄清题意，理顺问题中的条件和结论，找到关键量，进

而明确其中的数量关系（等量或大小关系）

2、建立文字数量关系式：

把问题中所包含的关系可先用文字语言描述关键量之间的数量关系，这是问题解决的一

把钥匙。

3、转化为数学模型：

将文字语言所表达的数量关系转化为数学语言，建立相应的数学模型（一般要列出函数

式、三角式、不等式、数列、排列组合式、概率以及利用几何图形等进行分析），转化为一

个数学问题。

4、解决数学问题：

利用所学数学知识解决转化后的数学问题，得到相应的数学结论。

5、返本还原：

把所得到的关于应用问题的数学结论，还原为实际问题本身所具有的意义。

二、应用题的常见题型及对策

1、与函数、方程（组）、不等式（组）有关的题型

常涉及物价、路程、产值、环保、土地等实际问题，也常常涉及角度、长度、面积、造

价、利润等最优化问题。

解决这类问题•般要利用数量关系，列出有关解析式，然后运用函数、方程、不等式等

有关知识和方法加以解决，尤其对函数最值、均值定理用得较多。

2、与数列有关的问题

常涉及到产量、产值、繁殖、利息、物价、增长率、植树造林、土地沙化等有关的实际

问题。

解决这类问题常构造等差数列、等比数列（无穷递增等比数列），利用其公式解决或通过

递推归纳得到结论，再利用数列知识求解。

3、与空间图形有关的问题

常与空间观测、面积、体积、地球的经纬度等问题有关。

解决此类问题常利用立体几何、三角方面的有关知识。

4、与直线、圆锥曲线有关的题型

常涉及定位、人造地球卫星、光的折射、反光灯、桥梁、线性规划等实际问题。

常通过建立直角坐标系，运用解析几何知识来解决。

5、与正、余弦定理及三角变换有关的题型

常涉及实地测量、计算山高、河宽、最大视角等。

6、与排列、组合有关的问题

运用排列、组合等知识解决

7、与概率、统计有关的应用问题

代数的应用题

1.求函数表达式：

例1.建筑一个容积为48米3,深为3米的长方体蓄水池，池壁每平方米的造价为。元，池

底每平方米的造价为加元。把总造价y表示为底的一边长x米的函数，并指出函数的定义

域。

解：容积=底面积义高=48=底面积X3=48n底面另一边长：m=—

x

池壁造价=池壁面积X。=2(3x+3m)x〃=6(x+3)〃=6(x+—)a

XX

池底造价=底面积X2a=16x2«=32。

.16

..y=6(x+—)a+32a(x>0)

x

2.面积问题：

思考题：在上面的例1中，如何设计水池的长宽，使总造价最低？

例2.有根木料长为6米，要做一个如图的窗框，已知上框架与下框架的高的比为1：2,H

怎样利用木料，才能使光线通过的窗框面积最大(中间木档的面积可忽略不计.

解：如图设x,则竖木料总长=3x+4x=7x,三根横木料总长=6-7xI--------1

窗框的高为3x,宽为空白――

3

fi_76lx

即窗框的面积y=3x------=-7x2+6x(0<x<—)I________I

37

39

配方：y=-7(x---)2+—(0<x<2)

77

当x=a米时，即上框架高为°米、下框架为£米、宽为1米时，光线通过窗框面积

777

最大.

3.利润问题：(1)利润=收入-成本(2)利润=单位利润X销售量

例3.某工厂生产的产品每件单价是80元，直接生产成本是60元，该工厂每月其他开支是

50000元.如果该工厂计划每月至少获得200000的利润，假定生产的全部产品都能卖出，问

每月的产量是多少？

解：设每月生产x件产品，则

总收入为80x,直接生产成本为60x,其他开支50000元，即知总成本为60x+50000

/.每月利润是：总收入-总成本=80x-(60x+50000)=20x-50000

依题意有：20x-50002200000nx212500

答：该工厂每月至少要生产12500件产品.

例4.将进货单价为8元的商品按单价10元销售，每天可卖出100个。若该商品的单价每涨

1元，则每天销售量就减少10个。如何确定该商品的销售单价，使利润最大？

分析：(1)每出售一个商品的利润=销售单价-进货单价=10-8=2

(2)以单价10元为基础：单价每次涨1元，当涨了x元(即可看成涨了x次)时，则

每出售一个商品的利润=2+x元，销售量为100-10X个

每个商品的利润y=(2+x)(100-10x)=-10x2+80x+200=-10(x-4)2+360

即当x=4时，y有最大值360

当每个商品的单价为14元时，利润最大.

4.与增长率相关的问题：

K要点》增长率为正：原产量X(1+增长的百分率产©年

增长率为负：原产量X(1-增长的百分率产©年

例5.一种产品的年产量原来是a件，在今后m年内，计划使年产量每年比上一年增加0％.

写出年产量随经过年数变化的函数关系式.

解：设经过x年后，年产量为y,则y=a(l+p%)x

例6.某工厂总产值经过10年翻一番(2倍)，求每年比上一年平均增长的百分数.

解：设原来总产值为a,平均增长率为X,则经过10年的总产值为a(1+x严

即有：a{1+x),°=2a=>1+x=必5

取常用对数：lg(1+x)=y-lg2=0.0301n1+x=1.072=>x=0.072=7.2%

每年比上一年平均增长7.2%.

例7.电视机厂生产的电视机台数，如果每年平均比上一年增长10.4%,那么约经过多少年

可以增长到原来的2倍(保留一位有效数字)？(普高课本代数上册P.97.例2)

解：设经过x年可以增长到原来的2倍，则

x1g20.3010

(1+10.4%)x=2xlgl.104=lg2x=fii04

0.0429

答：大约经过7年.

5.记数问题：

例8.•个梯形两底边的长分别是12cm与22cm,将梯形的一条腰10等分，过每个分点画平

行于梯形底边的直线，求这些直线夹在梯形两腰间的线段的长度的和.

解：由平面几何知识可知：等腰梯形的上下底与夹在两腰之间的线段长度成等差数列

a\=12,a)i=22公差d=———=1

11-1

•・•所求的线段长度的和为做+的….史=也P=153

第10个正方形的面积"10=mq9=4X29=2048（厘米2）

2

（2）这10个正方形的面积和Sl0==纵1-2”=4092（厘米）

\-q1-2

例10.一个球从100米高处自由落下，每次着地后又回到原高度的一半再落下,当它第10

次着地时，共经过了多少米？

解：设球落下的高度依次为〃1,。2,…,〃10.

：伯=100,e=50,⑥=25；.{%}是公比为」的等比数列

2

100[1-4）'°]

则球第10次落下时落下的路程为S10=-------F—=3r=200

10.1128

1------

2

本球共经过的路程为S=2S,o-100^300（米）

6.图表应用题

例11.中国人民银行某段时间内规定的整存整取定期储蓄的年利率如下表：

存期1年2年3年5年

年利率（％）2.252.432.702.88

个人存款取得的利息应依法纳税20%.现某人存入银行5000元，存期3年，试问3年

到期后，这个人取得的银行利息是多少？应纳税多少？实际取出多少？

解：；三年后连本带利一共有:5000（1+2.7%）3^5416.03（元）

:,银行利息一共有:5000（1+2.7%）3-5000=416.03（元）

应纳税：416.03x20%=83.21（元）,实际取出的金额：5416.03-83.21=5332.82（元）

例12.光明牛奶加工厂，可将鲜奶加工制成酸奶或奶片，该工厂的生产能力如表1,在市场

上销售鲜奶、酸奶、奶片的利润如表2.

表一：表二:

品种每天加工吨数品种每吨获利润（元）

酸奶3鲜奶500

奶片1酸奶1200

奶片2000

光明牛奶加工厂现有鲜奶9吨，受人员限制，两种加工方式不可同时进行，受气温条件

限制，这批鲜奶必须4天内全部销售或加工完毕.为此，该厂设计了两种可行方案：

方案一：尽可能多的制成奶片，其余直接销售鲜牛奶.

方案二：将一部分制成奶片，其余制成酸奶销售，并恰好4天完成.

你认为选择哪种方案获利最多，为什么？

解：方案一：四天制成奶片4吨用去牛奶4吨，其余5吨牛奶卖掉

利润为：4X2000+5x500=10500（元）

方案二：设制做奶片所需牛奶x吨，制做酸奶所需牛奶y吨，则制做奶片共用;=x天,

制做酸奶共用2天，依题意得：

3

x+y=9

<ynx=1.5,y=7.5,即制成奶片1.5吨，酸奶7.5吨

x+±=4

I3

利润为：1.5x2000+7.5X1200=12000（X）

由上可知：第二种方案获得的利润大.

二.三角的应用题

1.弧长问题

例13.某蒸汽机上的飞轮直径为1.2m,每分钟按逆时针方向旋转300转，求:

（1）飞轮每秒钟转过的弧度数；

（2）轮周上的一点每秒钟经过的弧长.

解：（1）：飞轮半径r=0.6m,每秒钟逆时针旋转5转

二飞轮每秒钟转过的弧度数是5X2TT=10n

（2）轮周上一点每秒钟经过的弧长/=10nx0.6=6兀（m）

2.电学

例14.电流I随时间t变化的函数关系式是1=Asin3t.设3=100兀（rad/秒），A=5（安培）.

（1）求电流强度I变化的周期与频率；

1131

（2）当t=0,---,----,----,—（秒）时，求电流强度I

20010020050

解：（1）周期T=—=—,频率/=—=50

0）50T

(2)VI=5sinlOO7rt

1711

/.I(0)=0,1(------)=5sin—=5,I(------)=5sin?r=0,

2002100

33%1

I(-----)=5sin—=-5,1(—)=5sin2n=0

200250

3.利用三角函数解决有关面积问题

例15.把一段半径为R的圆木锯成横截面为矩形的木料，怎样锯才能使横截面的面积最大?

解：如图，设矩形对角线与一边的夹角为9

则矩形的长为2Rcos6,宽为2Rsin。

矩形面积S=4R2sin0cos6=2R2sin2e

当0=45。时，S1rax=2R2,即横截面为正方形时面积最大.

三.解析几何中的应用题

例16.抛物线拱桥顶部距水面2米时，水面宽4米.当水面下降1米时，水面的宽是多少？

解：如图建立直角坐标系，则抛物线方程为x2=-2py

依题意知：x=2时，y=-2代入方程得p=1

即抛物线方程为x2=-y,当水面下降1米时，y=-3nx=g

,水面宽为2*=2行43.5（米）

例17.我国发射的第一颗人造地球卫星的运行轨道是以地

球的中心F2为一个焦点的椭圆，近地点A距地面439千米，

远地点距地面2384千米，地球半径大约为6371千米，求卫

星的轨道方程.

解：如图建立坐标系

'/a-c=IOAI-1OF2I=IF2AI=6371+439=6810

a+c=IOBI+IOF2I=IF2BI=6371+2384=8755

，a=7782.5,c=972.5=>fe2=7721.52

即卫星的轨道方程是:77832+77222

例18.在相距1400米的A、B两哨所，听到炮弹爆炸声的时间相差3秒，已知声速是340

米/秒，炮弹爆炸点在怎样的曲线上？并求出轨迹方程.

解：设爆炸t秒后A哨所先听到爆炸声，则B哨所t+3秒后听到爆炸声，爆炸点设为M

则IMAI=340t,IMBI=340(t+3)=340t+1020

两式相减:IMAI-IMBI=1020(IABI=1400>1020)

炮弹爆炸点的轨迹是以A、B为焦点的双曲线

以AB为x轴、AB中点为原点建立直角坐标系(如图)

二A(-700,0),B(700,0)=c=700

且2a=1020na=510n/=229900

x29

炮弹爆炸的轨迹方程是:y=1(x>0)

260100229900

例19.如图，某灾区的灾民分布在一个矩形地区，现要将救灾物资从P处紧急运往灾区.P

往灾区有两条道路PA、PB,且PA=110公里，PB=150公里，AB=50公里.为了使救灾物

资尽快送到灾民手里，需要在灾区划分一条界线，使从PA和PB两条路线到灾民所在地都

比较近.求出该界线的方程.

解：要使沿PA、PB两条线路到救灾地点都比较近，有三种情况：

(1)沿PA线路(2)沿PB线路(3)沿PA、PB线路都相同

故分界线以第(3)种情况划分：即

IPAI+IMAI=IPBI+IMBI=110+IMAI=150+IMBI

IMAI-IMBI=40,即知分界线是以A、B为焦点的双曲线

AB=50=>2c=50=>c=25,=40=>«=20=>Z?2=225

若以AB为x轴、AB的中点为原点建立直角坐标系

22

则分界线方程是：-——工=1(在矩形内的一段)

400225

注意：确定分界线的原则是：从P沿PA、PB到分界线上点的距离.

1某森林出现火灾，火势正以每分钟lOOn?的速度顺风蔓延，消防站接到警报立即派消防队

员前去，在火灾发生后五分钟到达救火现场，已知消防队员在现场平均每人每分钟灭火

50m2,所消耗的灭火材料、劳务津贴等费用为每人每分钟125元，另附加每次救火所耗损

的车辆、器械和装备等费用平均每人100元，而烧毁一平方米森林损失费为60元.

(1)设派x名消防队员前去救火，用亡分钟将火扑灭，试建立f与x的函数关系式；

(2)问应该派多少消防队员前去救火，才能使总损失最少？

2有一座大桥既是交通拥挤地段，又是事故多发地段，为了保证安全，交通部门规定。大桥

上的车距d(m)与车速v(km/h)和车长I(m)的关系满足：d^kv2l+-l(k为正的常数)，

2

假定车身长为4m,当车速为60(km/h)时，车距为2.66个车身长。

(1)写出车距d关于车速v的函数关系式；

(2)应规定怎样的车速，才能使大桥上每小时通过的车辆最多？

3电信局根据市场客户的不同需求，对某地区的手机套餐通话费提出两种优惠方案，则两种

方案付电话费(元)与通话时间(分钟)之间的关系如图所示(实线部分)(MN平行CD)

(1)若通话时间为两小时.，按方案A,B各付话费多少元？

(2)方案B从500分钟以后，每分钟收费多少元？

(3)通话时间在什么范围内，方案B比方案A优惠？

4在某个旅游业为主的地区，每年各个月份从事旅游服务工作的人数会发生周期性的变化.

现假设该地区每年各个月份从事旅游服务工作的人数/(〃)可近似地用函数

/(")=lOO・(Acos(0〃+2)+切来刻画.其中：正整数〃表示月份且〃e[1,12],例如

”=1时表示1月份；A和人是正整数；。>0.

统计发现，该地区每年各个月份从事旅游服务工作的人数有以下规律：

①各年相同的月份，该地区从事旅游服务工作的人数基本相同；

②该地区从事旅游服务工作的人数最多的8月份和最少的2月份相差约400人；

③2月份该地区从事旅游服务工作的人数约为100人，随后逐月递增直到8月份达到最多.

(1)试根据已知信息，确定一个符合条件的/(〃)的表达式；

(2)•般地，当该地区从事旅游服务工作的人数超过400人时，该地区也进入了一年中的

旅游“旺季”.那么，一年中的哪几个月是该地区的旅游“旺季”？请说明理由.

5某学校要建造•个面积为10000平方米的运动场。如图，运动场是由一个矩形ABCD和分

别以AD、BC为直径的两个半圆组成。跑道是-•条宽8米的塑胶跑道，运动场除跑道外，其

他地方均铺设草皮。

已知塑胶跑道每平方米造价为150元，草皮每平方米造价为30元

(1)设半圆的半径OA=r(米)，试建立塑胶跑道

面积S与厂的函数关系S(r)--4--------------

(2)由于条件限制r&[30,40]，问当r取何值时,运动场(/\\

造价最低？(精确到元)

6某商品每件成本价80元，售价100元，每天售出100件.若售金降低x成(1成伺0%),

Q

售出商品数量就增加成，要求售价不能低于成本价.

5

(1)设该商店一天的营业额为y,试求y与x之间的函数关系式y=f(x),并写出定义域;

(2)若再要求该商品-天营业额至少10260元，求x的取值范围.

7国际上常用恩格尔系数(记作n)来衡量一个国家和地区人民生活水平的状况，它的计算

公式为：“二X1OO%,各种类型家庭的n如下表所示:

消费支出总额

家庭类型贫困温饱小康富裕最富裕

nn>60%50%<n^60%40%<n^50%30%<n^40%nW30%

根据某市城区家庭抽样调查统计，2003年初至2007年底期间，每户家庭消费支出

总额每年平均增加720元，其中食品消费支出总额每年平均增加120元。

(1)若2002年底该市城区家庭刚达到小康，且该年每户家庭消费支出总额9600元，问

2007年底能否达到富裕？请说明理由。

(2)若2007年比2002年的消费支出总额增加36%,其中食品消费支出总额增加12%,

问从哪一年底起能达到富裕？请说明理由。

8统计表明，某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量y(升)关于行驶速度x(千米

I3

/小时)的函数解析式可以表示为：y=-----------%3一一x+8(0<x<120).已知甲、乙两地

12800080

相距100千米。

(1)当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地要耗油多少升？

(2)当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少？最少为多少升？

9北京奥运会纪念章某特许专营店销售纪念章，每枚进价为5元，同时每销售一枚这种纪念

章还需向北京奥组委交特许经营管理费2元，预计这种纪念章以每枚20元的价格销售时该

店一年可销售2000枚，经过市场调研发现每枚纪念章的销售价格在每枚20元的基础上每

减少一元则增加销售400枚，而每增加一元则减少销售100枚，现设每枚纪念章的销售价

格为x元（xGN*）.

（1）写出该特许专营店一年内销售这种纪念章所获得的利润y（元）与每枚纪念章的

销售价格x的函数关系式（并写出这个函数的定义域）；

（2求出这个最大值.

10某厂家拟在2008年举行促销活动，经调查测算，该产品的年销售量（即该厂的年产量）

x万件与年促销费用加万元（m20）满足x=3-——（k为常数），如果不搞促销活动，

m+1

则该产品的年销售量是1万件。已知2008年生产该产品的固定投入为8万元，每生产1万

件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5

倍（产品成本包括固定投入和再投入两部分资金,不包括促销费用）.

（1）将2008年该产品的利润y万元表示为年促销费用m万元的函数;

（2）该厂家2008年的促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大?

11如图，某小区准备在一直角围墙ABC内的空地上植造一块“绿地AABO”，其中A8

长为定值8。长可根据需要进行调节（BC足够长）.现规划在AABO的

内接正方形8EFG内种花,其余地方种草,且把种草的面积5与种花的面积

q

S2的比值暂称为“草花比y”.

（1）设NDAB=8,将y表示成。的函数关系式；

（2）当8E为多长时，y有最小值?最小值是多少？

12有一座大桥既是交通拥挤地段，又是事故多发地段，为了保证安全，交通部

门规定。大桥上的车距火⑼与车速和车长2（⑼的关系满足：

d=kv4+—l（左为正的常数），假定车身长为4机，当车速为60（攵机/%）时,

2

车距为2.66个车身长。

（1）写出车距d关于车速v的函数关系式；

（2）应规定怎样的车速，才能使大桥上每小时通过的车辆最多？

13某民营企业生产A、B两种产品，根据市场调查与预测，A产品的利润与投资成正比，其

关系如图甲，B产品的利润与投资的算术平方根成正比，其关系如图乙（注：利润与投资

单位：万元）.

（1）分别将A、B两种产品的利润表示为投资x（万元）的函数关系式；

（2）该企业已筹集到10万元资金，并全部投入A、B两种产品的生产，问：怎样分配这

10万元投资，才能使企业获得最大利润，其最大利润为多少万元？

14已知矩形纸片ABCD中,AB=6cm,AD=12cm,将矩形纸片的

右下角折起，使该角的顶点B落在矩形的边AD上，且折痕MN

的两端点，M、N分别位于边AB、BC上，设NMNB=e,MN=1.

（1）试将/表示成。的函数；

（2）求/的最小值

15如图所示，一条直角走廊宽为2米。现有一转动灵活的平板车,其平板面为矩形ABEF,

它的宽为1米。直线环分别交直线AC.BC于M、N,过墙角〃作DP1AC于P,DQLBC干Q

⑴若平板车卡在直角走廊内，且NC48=e,试求平板面的长（用表示）;

⑵若平板车要想顺利通过直角走廊，其长度不能超过多少米？

16某厂家拟在2009年举行促销活动，经调查测算，该产品的年销售量

（即该厂的年产量）x万件与年促销费用m（m>0）万元满足

x=3-——（左为常数），如果不搞促销活动，则该产品的年销售量

m+1

是1万件.已知2009年生产该产品的固定投入为8万元，每生产1万

件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产

品年平均成本的L5倍（产品成本包括固定投入和再投入两部分资金，

不包括促销费用）.

（1）将2009年该产品的利润y万元表示为年促销费用加万元的函数；

（2）该厂家2009年的促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？

17某商场在促销期间规定：商场内所在商品按标价的80%出售；同时，当顾客在该商场内消

费一定金额后，按以下方案获得相应金额的奖券:

消费金额（元）的

[200,400)[400,500)[500,700)[700,900)...

范围

获得奖券的金

3060100130...

额（元）

根据上述促销方法，顾客在该商场购物可以获得双重优惠。例如：购买标价为400元的

商品，则消费金额为320元，获得的优惠额为：400X0.2+30=110(元)。设购买商品

购买商品得到的优惠额

得到的优惠率,试问

商品的标价

(I)购买一件标价为1000元的商品，顾客得到的优惠率是多少？

(2)对于标价在[500,800](元)内的商品，顾客购买标价为多少元的商品，可得到不

小于工的优惠率？

3

18如图所示，将一矩形花坛ABCD扩建成一个更大的矩形花园4例PN，要求B在AM上,

D在4V上，且对角线MN过C点，已知AB=3米，AD=2米，

(1)要使矩形AMPN的面积大于32平方米，则AN的长应在什么范围内？

(2)当AN的长度是多少时，矩形AMPN的面积最小?并求最小面积；

(3)若AN的长度不少于6米，则当AN的长度是多少时，矩形AMPN的面积最小？并求

出最小面积。N---------------------------------------------1P

19已知某食品厂需要定期购买食品配料，该厂每天需要食品配料200千克，配料的价

格为1.8元/千克，每次购买配料需支付运费236元.每次购买来的配料还需支付保管费用，

其标准如下：7天以内(含7天)，无论重量多少，均按10元/天支付；超出7天以外的天

数，根据实际剩余配料的重量，以每天0.03元/千克支付.

(1)当9天购买一次配料时，求该厂用于配料的保管费用户是多少元？

(2)设该厂x天购买一次配料，求该厂在这x天中用于配料的考遴用y(元)关于x的

函数关系式，并求该厂多少天购买一次配料才能使平均每天支付的费用最少？

20假设A型进口车关税税率在2003年是100%,在2008年是25%,在2003年A型进口车每

辆价格为64万元(其中含32万元关税税款)

(1)已知与A型车性能相近的B型国产车，2003年每辆价格为46万元，若A型车的价

格只受关税降低的影响，为了保证2008年B型车的价格不高于A型车价格的90%,B型车价

格要逐年等额降低，问每年至少下降多少万元？

(2)某人在2003年将33万元存入银行，假设银行扣利息税后的年利率为1.8%(5年内

不变)，且每年按复利计算(上一年的利息计入第二年的本金)，那么5年到期时这笔钱

连本带利息是否一定够买按(1)中所述降价后的B型车一辆？(参考数据：1.016x1.093)

参考答案

50x-100x-2

(2)总损失为y,则/=灭火劳务津贴+车辆、器械装备费+森林损失费

y=125£x+100x+60(500+1001).....................................9分

=125•x•+100x+30000+

x—2x—2,

1cue%-2+26000

=1250----------+100(x-2+2)+30000+

x—2x—2

=31450+100(%-2)+^^................................

11分

x—2

>31450+27100x62500=36450............................13分

当且仅当100(x—2)=些更，即x=27时，y有最小值36450.

14分

x—2

2.66/--Z_2.16

2.⑴因为当v=60时;d=2.66/,所以女==0.0006,4分

602/602

d=0.0024v2+26分

lOOOv

⑵设每小时通过的车辆为Q,则。=.即。=lOOOv100012分

4+40.0024—+6

0.0024v+-

V

0.0024v+°。2J0.0024Vx9=0.24

vv

..照=受也，当且仅当0.0024V=9,即v=50时，。取最大值12500

0.243v3

y

答：当v=50（km/h）时，大桥每小时通过的车辆最多.16分

3设通话x分钟时，方案A,B的通话费分别为以（x）,%（x）

(1)当x=120时/,(x)=116元/g(x)=168元

若通话时间为两小时，方案A付话费116元，方案B付话费168元

[980<x<601680<x<500

（2）人。）=3,fn(X)~<3

—x+8060<x—x+18500Vx

10110

当x>500时fB(x+1)-fB(x)=0.3

方案B从500分钟以后，每分钟收费0.3元

(3)当x〉500时以⑴>九(©

0<x<60A(x)</B(x)

QQQ

60<xW500由人(x)>/(x)得x>深

综合：通话时间在（写尸）内方案B较优惠。

4解：（1）根据三条规律，可知该函数为周期函数，且周期为12.

由此可得，T=2&=12=。=色

co6

由规律②可知，/(")max=/(8)=100A+100k，/(〃焉=八2)=-1004+100%

/(8)-/⑵=200A=400=A=2；

TT

又当〃=2时，/(2)=200-cos(代•2+2)+100k=100,

6

所以，k=2.99,由条件％是正整数，故取％=3.

["+2)+300符合条件.

综上可得，/(〃)=200cos

(2)解法一：由条件，200cos(看〃+2)+300〉400,可得

cos—〃+2|>—=>2k兀<—〃+2<2k兀4—,kGZ

{62363

n：<”有2.+表2,皿

12k—2---<〃<12k+2----,keZ.

TT71

因为neN\所以当斤=1时，6.18</i<10.18,

故〃=7,8,9/0,即一年中的7,8,9,10四个月是该地区的旅游“旺季”.

解法二：列表，用计算器可算得

月份〃-67891011

人数/(〃)…383463499482416319

故一年中的7,8,9,10四个月是该地区的旅游“旺季”.

5解：(1)塑胶跑道面积

c、，~lo10000—万广

S=》[rr2--(r-8)[+8x----------x2--------4分

*8…加。<”

------------6分

r

(2)设运动场造价为y

80(X)0XOOOO

y=150x(^^+8^r-64^)+30x(10000-^^-8^r+64^)--------10^>

rr

80000

=300000+120(-------+8%广)一7680万--------12分

r

,.-re[30,40],®数y是r的减函数

/.当r=40,运动场造价最低为636510元----14分

xQ

6(1)依题意，j=100(1——)-100(1+—x)；

■1050

X

又售价不能低于成本价，所以100(1-m)-8020.

所以y=/(》)=20(10-x)(50+8x),定义域为[0,2].

(2)20(10-x)(50+8x)210260,化简得：8x2-30x+13<0

13

解得

4

所以x的取值范围是

2

7解：(1)因为2002年底刚达到小康，所以n=50%

且2002年每户家庭消费支出总额为9600元，

故食品消费支出总额为9600X50%=4800元

4800+5x120_5400

则〃2007=41%>40%,即2007年底能达到富裕

9600+5x720-13200

(2)设2002年的消费支出总额为a元，则a+5x720=0(1+36%),

从而求得a=10000元，

又设其中食品消费支出总额为b元，则b+5xl20=仇1+12%),

从而求得8=5000元。

当恩格尔系数为30%<n<40%时，有30%<.5000+120土<40%,

10000+720x

解得5.95Wx<20.8.

则6年后即2008年底起达到富裕。

8.解：(1)若x=40千米/小时，每小时耗油量为y=7升/小时.共耗油7x京=17.5升.

所以，从甲地到乙地要耗油17.5升.

(2)设当汽车以x千米/小忖的速度匀速行驶时耗油量最少，(0<xW120),耗油量为S

升.

则S=®1280015

一x-+------------S，

康Ye2

X1280x4640x

令S'=0,解得，x=80.

列表:

X(0,80)80(80,120)120

S'—0+0

170

S单调减极小值11.25单调增

~n

所以,当汽车以80千米/小时的速度匀速行驶时，耗油量最少，为11.25升.

[2000+400(20—x)](x-7),7<x420,xeN

9解:（I）依题意y=3分

[2000-100(x-20)](x-7),20<x<40,xeN

400(25-x)(x-7),7<x<20,xeN"

y=5分

100(40-x)(x-7),20Vx<40,xeN,

此函数的定义域为{xl7<x<40,xeN*}7分

[400(-(16)2+81],7C420”M

(II)y="9710899分

100[—(x------)“H--------,20<x<40,XGN

I24

当7<x420,则当x=16时，ymax=32400(元)；11分

当20Vx<40,因为才£N",所以当x=23或24时，ymax=27200（元）；……13

分

综合上可得当x=16时，该特许专营店获得的利润最大为32400元.15分

10解（1）由题意可知当加=0时，x=l（万件）.・.1=3-4即左=2

2分

1«8+16x_

・“=3-一—每件产品的销售价格为L5x-----------（兀）

+1X5分

「l8+16xQ，、

2008年的利润y=x[1.5x----------]n-(8+16x+m)

x

2

=4+8x-团=4+8(3---------)-m

m+1

16

+(m+1)]+29("?>0)

m+18分

16

(2)m>OD'f,+(m+1)>2V16=8

m+1

16

・・・丁工-8+29=21,当且仅当二m+1=m=3(万元)口寸,'max=21(万兀)

m+1