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§5从力的做功到向量的数量积第二章平面向量及其应用1.向量的夹角已知两个非零向量

，O是平面上的任意一点，作

则∠AOB＝θ(0≤θ≤π)叫做向量

的夹角．OABθ显然，当θ=0时，同向.当时，垂直，记作.当θ=π时，反向.注意:同起点对两向量夹角的理解：1.根据向量夹角的定义，两非零向量夹角是将两个向量的起点移到同一点，这样两向量所成的角才是这两个向量的夹角.2.向量

与

之间的夹角θ的取值范围是[0,π],这与两直线夹角的范围

是不一样的(向量有方向)，注意从定义上加强理解.问题从力所做的功出发，我们引入向量“数量积”的概念.θ

一个物体在力F的作用下产生的位移s，那么力F所做的功应当怎样计算？其中力F和位移s是向量，θ表示力F的方向与位移S的方向的夹角。而功是数量.2.平面向量的数量积定义及几何意义（2）“●”不能省略不写，a·b不能写成a×b，a×b表示向量的另一种运算．2.向量的数量积已知两个非零向量

，它们的夹角为θ，把数量

做向量

的数量积(或内积)，记作

，即特别地，零向量与任何向量的数量积等于0.OABθ注意：（1）两向量的数量积是一个数量，而不是向量，符号由夹角决定（3）

的取值范围例1.已知正三角形ABC的边长为1，求（1）

（2）（3）ACB投影是向量还是数量？

投影的概念如图所示：B过B作垂直OA，垂足为,则

在方向上的投影

叫做向量OA

叫做向量在方向上的投影BOAabθ为钝角时，|b|cosθ＜0OABabθ为锐角时，|b|cosθ＞0OABabθ为直角时，|b|cosθ=0

数量积的几何意义数量积等于的长度的几何意义是

与在方向上的投影的乘积例、，

，与的夹角为，则在方向上的投影为

.向量数量积的运算律：思考因此，上述结论是成立的.一、向量数量积的运算及几何意义<1>数量积的计算

D

跟踪训练

Ｂ

<2>向量夹角、模长问题

D跟踪训练

B

Ａ

<3>向量投影的相关问题B

跟踪训练Ｃ

B<4>数量积的最值问题

ABDCABDC四边形ABCD是菱形四边形ABCD是矩形用数量积解决平行四边形问题例

如图示，已知平行四边形ABCD，你能发现对角线AC和BD的长度与两条邻边AB和AD的长度之间的关系吗？解：D用数量积解决三角形问题2.在

中，若

，且

.则

的形状为等边三角形3.为

所在平面内任意一点，且满足

.则

的形状为等腰三角形

，则△ABC为（）A三边均不相等的三角形

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