安徽省合肥市中国科技大学附属中学高新校区2023-2024学年八年级下学期期末数学试题（解析版）

2023-2024学年第二学期八年级学业质量检测数学试卷注意事项：1．你拿到的试卷满分为150分，考试时间为120分钟．2．本试卷包括“试题卷”和“答题卷”两部分．“试题卷”共4页，“答题卷”共4页．3．请务必在“答题卷”上答题，在“试题卷”上答题无效．4．考试结束后，请将“试题卷”和“答题卷”一并交回．一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）1.下列式子中，为最简二次根式的是（）．A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】本题考查了对最简二次根式的理解，根据最简二次根式的定义（被开方数不含有能开的尽方的因式或因数，被开方数不含有分数），逐一判断即可得答案．解：A．，不最简二次根式，故该选项不符合题意；B．，不是最简二次根式，故该选项不符合题意；C．，不是最简二次根式，故该选项不符合题意；D．是最简二次根式，故该选项符合题意；故选：D．2.下列方程是一元二次方程的是（）．A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】本题主要考查一元二次方程的概念，一元二次方程的概念：只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，据此逐项判断即可．解：A．只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程，符合定义，故该选项符合题意；B．含有2个未知数，不符合定义，故该选项不符合题意；C．整理为，只有一个未知数且未知数最高次数为1的整式方程，不符合定义，故该选项不符合题意；D.属于分式方程，不符合定义，故该选项不符合题意；故选：A．3.下列各组数中，组成勾股数的是（）．A.，，1 B.，， C.8，， D.4，5，6【答案】C【解析】【分析】本题考查了勾股数．熟练掌握满足的三个正整数是勾股数是解题的关键．根据勾股数的定义判断作答即可．解：由题意知，A、B中不是正整数，不能组成勾股数，故不符合要求；C中，能组成勾股数，故符合要求；D中，不能组成勾股数，故不符合要求；故选：C．4.如图，将两条宽度相同的纸条重叠在一起，使，则等于（）．A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，掌握“平行四边形的对角相等”是解题的关键．根据两组对边分别平行证明四边形是平行四边形，利用平行四边形的性质求解即可．解：∵纸条的对边平行，即，，∴四边形是平行四边形，∵，∴．故选：D．5.冉冉的妈妈在网上销售装饰品．最近一周，每天销售某种装饰品的个数为：．关于这组数据，冉冉得出如下结果，其中错误的是（）A.众数是 B.平均数是 C.方差是 D.中位数是【答案】D【解析】【分析】分别根据众数、平均数、方差、中位数的定义判断即可．将这组数据从小到大的顺序排列：10,11,11,11,13,13,15，A．这组数据的众数为11，此选项正确，不符合题意；B．这组数据的平均数为（10+11+11+11+13+13+15）÷7=12，此选项正确，不符合题意；C．这组数据的方差为=，此选项正确，不符合题意；D．这组数据的中位数为11，此选项错误，符合题意，故选：D．【点睛】本题考查了众数、平均数、方差、中位数，熟练掌握他们的意义和计算方法是解答的关键．6.已知，那么化简的结果是（）．A. B.1 C. D.【答案】D【解析】【分析】本题考查了二次根式的性质与化简，熟练掌握二次根式的化简是解题的关键．由可得出，进而可得出，然后代入计算即可．解：∵，∴，∴，∴，故选：D．7.某蔬菜种植基地2020年蔬菜产量为40吨，预计2022年蔬菜产量比2021年增加20吨．若蔬菜产量的年平均增长率为x，则下面所列的方程正确的是（）．A B. C. D.【答案】A【解析】【分析】设平均每次增长的百分率为x，根据“2020年蔬菜产量为40吨，预计2022年蔬菜产量比2021年增加20吨”，即可得出方程．解：设蔬菜产量的年平均增长率为x，则可列方程为40（1+x）x=20，故选：A．【点睛】此题考查了一元二次方程的应用（增长率问题）．解题的关键在于理清题目的含义，找到2021年的产量的代数式，根据条件找准等量关系式，列出方程．8.将矩形纸片按如图方式折叠，若刚好是等边三角形，则矩形的两边的比为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据矩形和折叠的性质知：AF=EF，AB=DE=CD，∠B=∠EDG=90，求得∠EDF=30，利用特殊角的三角函数值分别求得AF=EF=，AB=DE=，即可求解．根据矩形和折叠的性质知：AF=EF，AB=DE=CD，∠B=∠EDG=90，∵△DFG是等边三角形，∴GF=FD=GD，∠FDG=60，∴∠EDF=30，设GF=FD=GD=，∴AF=EF=FD=，AB=DE=DF，∴AD=AF+FD=，∴AD：AB=，故选：B．【点睛】本题主要考查了翻折变换的性质、矩形的性质以及特殊角的三角函数值等知识，根据已知表示出AF和DE的长是解题关键．9.如图，在矩形中，，分别在边和边上，于点，且为的中点．若，，则的长为（）．A.8 B. C. D.【答案】C【解析】【分析】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识．熟练掌握矩形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理是解题的关键．如图，连接，证明，则，由勾股定理得，，则，由勾股定理得，，则∴，由勾股定理得，，计算求解即可．解：如图，连接，∵，∴，∴，∵矩形，∴，，，由勾股定理得，，∴，由勾股定理得，，∴，由勾股定理得，，故选：C．10.对于一元二次方程，下列说法：①若，则方程必有一根为；②若方程有两个不相等的实根，则方程有两个负实数根；③若方程两根为，且满足，则方程的实数根为和；④若是一元二次方程的根，则．其中正确的个数有（）．A.4个 B.3个 C.2个 D.1个【答案】C【解析】【分析】本题考查一元二次方程根的判断，根据方程形式，判断根的情况是求解本题的关键．根据一元二次方程根判别式及根的定义以及求根公式逐个判断排除．解：①若，则是方程的解，故①正确；②方程有两个不相等的实根，，∴，即a和c异号，则方程的判别式，方程必有两个不相等的实根，∴∴方程的两个根异号，故②错误；③∵方程两根为，且满足，∴，令，，∴方程有两个实数根，令两根分别为，∴，，∴方程，必有实根，，故③错误；④若是一元二次方程的根，则由求根公式可得：，，，故④正确．故正确的有①④．故选：C．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）11.若在实数范围内有意义，则实数的取值范围是______．【答案】【解析】【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，根据二次根式的被开方数为非负数得出，求解即可得出答案．解：由题意得：，解得：，故答案为：

．12.已知一个多边形的每一个内角都等于，则这个多边形的边数为_____．【答案】20【解析】【分析】本题主要考查了多边形内角和定理，设这个多边形的边数为n，则其内角和为，再由每个内角都为列出方程求解即可．解：设这个多边形的边数为n，由题意得，，解得，∴这个多边形的边数为20，故答案为：20．13.对于实数m，n，先定义一种新运算“”如下：，若，则实数x的值为______．【答案】2【解析】【分析】根据定义，分和两种情况进行解方程，得出x的值．解：当时，，解得：，（不合题意，舍去）；当时，，解得：（不合题意，舍去）；∴．故答案为：2．【点睛】本题主要考查了新定义运算，解一元二次方程和解一元一次方程，体现了分类讨论的数学思想，分和两种情况进行解方程是解题的关键．14.如图，在平行四边形中，平分交于点，，，．（1）的长为_____________．（2）点为平行四边形边上的一个动点，设点到直线的距离为．当时，满足条件的点有_________________个．【答案】①.②.3【解析】【分析】（1）由平行四边形，可得，由平分，可得，则，，，由勾股定理得，，，计算求解即可；（2）如图，作于，于，则，即，可求；，即，可求；由，可知边上各有一点，使点到直线的距离为；由，可知点与点重合时，点到直线的距离为；然后作答即可．（1）解：∵平行四边形，∴，∴，∵平分，∴，∴，∴，∴，由勾股定理得，，∴，故答案为：；（2）解：如图，作于，于，作平分交于，作于，于，∴，∴，即，解得，，由勾股定理得，，∴，即，解得，；∴，即，解得，；，即，解得，；∵，∴边上有一点，使点到直线的距离为；∵，∴边上有一点，使点到直线的距离为；∵，∴点与点重合时，点到直线的距离为；综上所述，满足条件的点有3个，故答案为：3．【点睛】本题考查了平行四边形的性质，角平分线，等角对等边，勾股定理，角平分线的性质，点到直线的距离等知识．熟练掌握平行四边形的性质，角平分线，等角对等边，勾股定理，角平分线的性质，点到直线的距离是解题的关键．三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）15.计算：【答案】【解析】【分析】首先计算二次根式的除法，化简二次根式，然后计算加减即可求解．此题考查了二次根式的化简，二次根式的加减和除法运算，解题的关键是掌握以上运算法则．．16.解方程.【答案】【解析】【分析】先移项，再配方，然后开方得出答案．整理，得，配方，得，即，∴，∴，．【点睛】本题主要考查了解一元二次方程，灵活的选择解一元二次方程的方法是解题的关键．四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）17.已知关于的一元二次方程．（1）求证：该方程总有两个不相等的实数根；（2）若是该方程的一个解，求方程的另一个根．【答案】（1）见解析（2）【解析】【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程的根与系数的关系．熟练掌握一元二次方程根的判别式，一元二次方程的根与系数的关系是解题的关键．（1）由，可知该方程总有两个不相等的实数根；（2）设方程的另一个根为，则，，计算求解即可．【小问1】解：∵，∴，∴该方程总有两个不相等的实数根；【小问2】解：设方程的另一个根为，∵，∴，，解得，，∴方程的另一个根为．18.如图，网格中小正方形的边长为1，的三个顶点都在小正方形的格点上，求：（1）请判断三角形是否是直角三角形，并说明理由；（2）点到边的距离；（3）借助网格，利用无刻度直尺画出边上的中线．【答案】（1）不是，理由见解析（2）（3）图形见解析【解析】【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，勾股定理，三角形的面积，中线的定义，掌握勾股定理的逆定理以及面积法是解题的关键．（1）先根据勾股定理求出各个边长，然后再根据勾股定理的逆定理判断即可；（2）根据三角形的面积可求得结果；（3）根据矩形对角线互相平分找到的中点，即可找到中线；【小问1】解：不是直角三角形，理由：由题可得，，，∵，∴三角形不是直角三角形；【小问2】解：设点到边的距离为h，由（1）可得，∵的面积为：，∴，解得：，∴点到边的距离为；【小问3】解：根据的特点找到矩形，连接，则与交于一点，即为的中点，连接，如图所示：，则为边上的中线．五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）19.观察下列等式：第1个等式：；第2个等式：；第3个等式：，……按照以上规律，解决下列问题．（1）写出第4个等式：______．（2）写出你猜想的第n个等式（用含n的等式表示）．（3）请用（2）中发现的规律计算：．【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】本题考查了二次根式的规律探究，分式的规律探究．根据题意推导一般性规律是解题的关键．（1）由题意可得，第4个等式；（2）由题意知，第n个等式为；（3）根据，计算求解即可．【小问1】解：由题意可得，第4个等式，故答案为：；【小问2】解：由题意知，第n个等式为；【小问3】解：，∴．20.如图所示，菱形的对角线相交于点，过点作，且，连接，连接交于点．（1）求证：；（2）若菱形的边长为8，，求的长．【答案】（1）见（2）【解析】【分析】本题考查菱形的性质，矩形的判定与性质，勾股定理．（1）先证四边形是平行四边形，再证四边形是矩形即可；（2）由菱形的边长为8，可得是等边三角形，再求得的长，可得的长，最后用勾股定理求即可．【小问1】证明：四边形是菱形，即四边形是平行四边形四边形是矩形；【小问2】菱形的边长为8，是等边三角形由（1）知，四边形是矩形．六、（本大题共2小题，每小题12分，满分24分）21.为“提升青少年科学素养，夯实科技强国之基”，某初中分别在七、八、九年级中随机抽取的学生加科学竞赛．同时对全体学生“是否愿意利用课余时间参加科学讲座”这一问题进行调查．【收集数据】本次竞赛满分10分，已收集到三个年级参加竞赛同学的成绩数据与三个年级全体学生的问卷调查数据．【整理数据】a．图1为七、八年级学生科学竞赛成绩折线统计图；

平均数众数中位数七年级687八年级76、7、8n九年级8m8b．九年级学生科学竞赛成绩数据为：8，8，5，10，9，7，9，8．【分析数据】图表为七、八、九年级所抽取学生参加科学竞赛成绩的平均数、众数、中位数；【解决问题】（1）______，______．（2）设七、八年级学生科学竞赛成绩的方差分别是，比较大小______；（3）在“是否愿意利用课余时间参加科学讲座？”这一问题的调查中，已知七、八、九三个年级选择“非常愿意”的学生所占百分比分别为，和，求出该校全体学生中选择“非常愿意”的学生所占百分比．【答案】（1）8，7（2）（3）【解析】【分析】本题考查折线统计图、中位数、众数、平均数、方差以及用样本估计总体，掌握中位数、众数的计算方法是正确解答的关键．（1）分别根据中位数、众数和算术平均数的定义解答即可；（2）根据数据的波动情况判断即可；（3）用样本估计总体即可．【小问1】解：∵出现了3次，出现的次数最多，∴众数是8，即；把8年级的学生科学竞赛成绩从小到大排列为：，中位数是；故答案为：8，7；【小问2】从折线统计图可以看出，七年级科学竞赛成绩的波动幅度较大，故方差较大；八年级科学竞赛成绩波动幅度较小，故方差较小，所以，故答案为：；【小问3】人，七八年级各200人，人，九年级160人，，∴该初中所有学生中选择“非常原意”的学生所占百分比为．22.《劳动教育》成为一门独立的课程，某校率先行动，在校园内开辟了一块劳动教育基地．八年级数学兴趣小组在课余时间里，利用一面学校的墙（墙的最大可用长度为22米），现用长为34米的篱笆（篱笆正好要全部用完，且不考虑接头的部分），围成中间隔有一道篱笆的长方形菜地，在菜地的前端各设计了两个宽1米的小门，供同学们进行劳动实践．设垂直于墙的篱笆边长为米．（1）求当为何值时，围成的菜地面积为81平方米；（2）要想围成菜地面积为120平方米，可能吗？请计算说明理由；（3）围成菜地的最大面积为

平方米．【答案】（1）米（2）不能，理由见（3）108【解析】【分析】本题考查了一元二次方程的应用和二次函数的性质．（1）根据各边之间的关系，可知为米，根据围成的菜地面积为平方米，可得出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可；（2）根据菜地面积若为平方米，即可得出关于一元二次方程，利用根的判别式即可判断；（3）利用二次函数的性质求其最大值即可．【小问1】解：∵篱笆的总长为米，菜地的前端各设计