2023-2024学年黑龙江省齐齐哈尔市高二上学期10月期中考试数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1黑龙江省齐齐哈尔市2023-2024学年高二上学期10月期中数学试题考生注意：1．本试卷满分150分，考试时间120分钟．2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚．3．考生作答时，请将〖答案〗答在答题卡上．选择题每小题选出〖答案〗后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的〖答案〗标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签宇笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的〖答案〗无效，在试题卷、草稿纸上作答无效．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．1.已知，则（）A.-19 B.-20 C.20 D.19〖答案〗D〖解析〗因为，所以，则，故选：D.2.直线的一个方向向量是（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗直线的斜率，直线的一个方向向量为.故选：C.3.已知椭圆，则椭圆的长轴长为（）A.1 B. C. D.〖答案〗A〖解析〗由椭圆得：，所以，解得，所以长轴长，故选：A.4.若圆关于直线对称，则等于（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗∵圆的方程可化为，∴圆心为，∵圆关于直线对称，∴圆心在直线上，∴，∴．故选：C.5.已知空间三点，则向量与的夹角为（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗由已知可得，，所以.又，所以．故选：C.6.空间直角坐标系中，经过点，且法向量为的平面方程为，经过点且一个方向向量为的直线的方程为，阅读上面的内容并解决下面问题：现给出平面的方程为，经过的直线的方程为，则直线与平面所成角的正弦值为（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗由题意得，直线的方向向量为，平面的法向量为，设直线与平面所成角的大小为，则故选：A.7.已知直线与曲线有两个不同的交点，则的取值范围为（）A. B.C. D.〖答案〗A〖解析〗曲线表示圆在x轴的上半部分，当直线与圆相切时，，解得，当点在直线上时，，可得，所以实数取值范围为.故选：A.8.已知椭圆的右焦点为F，上顶点为A，直线AF与E相交的另一点为M，点M在x轴的射影为点N，O为坐标原点，若，则E的离心率是（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗，，，则，，故，即，解得（舍去负值），故选：B二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.关于直线，下列说法正确的有（）A.过点 B.斜率为C.倾斜角为60° D.在轴上的截距为1〖答案〗BC〖解析〗A.当时，，所以直线不经过点，所以该选项错误；B.由题得，所以直线的斜率为，所以该选项正确；C.由于直线的斜率为，所以直线的倾斜角为60°，所以该选项正确；D.当时，，所以直线在轴上的截距不为1，所以该选项错误.故选：BC.10.已知圆心为的圆与点，则（）A.圆的半径为2B.点在圆外C.点与圆上任一点距离的最大值为D.点与圆上任一点距离的最小值为〖答案〗BCD〖解析〗依题意，圆：，则圆心，半径，A不正确；因点，则，点在圆外，B正确；因点在圆外，在圆上任取点P，则，当且仅当点P，C，A共线，且P在线段AC延长线上时取“=”，C正确；在圆上任取点M，则，当且仅当点C，M，A共线，且M在线段CA上时取“=”，C正确.故选：BCD.11.已知点P是椭圆上一点，，是椭圆的左、右焦点，若，则下列说法正确的是（）A.的面积为B.若点M是椭圆上一动点，则的最大值为9C.点P的纵坐标为D.内切圆的面积为〖答案〗AD〖解析〗对A，根据椭圆定义可得，则①，在中，由余弦定理②，由①②可得，所以的面积为，故A正确；对B，设，则，，，则当时，取得最大值为5，故B错误；对C，由A，的面积为，则，解得，故C错误；对D，设内切圆的半径为，因为的面积为，所以，即，解得，所以内切圆的面积为，故D正确.故选：AD.12.《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑.如图，在阳马中，侧棱底面，且分别为的中点，则（）A.若的中点为M，则四面体是鳖臑B.与所成角的余弦值是C.点S是平面内的动点，若，则动点S的轨迹是圆D.过点E，F，G的平面与四棱锥表面交线的周长是〖答案〗ABC〖解析〗连接，因为底面，面，所以，又，面，面，，所以面，又面，所以，所以面MCB为直角三角形，所以，又由勾股定理知，所以面MBD为直角三角形，又面BCD，面DCM均为直角三角形，所以四面体是鳖臑，所以A正确；以D为坐标原点，分别以为正半轴建系如图，则，故，，.故与所成角的余弦值，故B正确；对于选项C：因，，所以的轨迹是以为焦点的椭球面，又，，，又面，面，，所以面，即面垂直于椭球的长轴，故面截椭球的截面为圆，所以动点S的轨迹是圆，所以C正确；对于选项D：设平面的法向量为，由可取，设过点E，F，G的平面与交于，与交于，设，故，又因为平面，所以，解得，，又，由几何体的对称性知，所以截面周长为，故D错误，故选：ABC.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.若直线与直线平行，则实数的值为__________.〖答案〗〖解析〗由直线与不相交，得，解得或，当时，直线的纵截距为，直线的纵截距为，则，当时，直线的纵截距为，直线的纵截距为，则直线重合，所以实数的值为.故〖答案〗为：14.已知直线的方向向量为，平面的法向量为，且，则__________.〖答案〗〖解析〗设平面的法向量为，因为，所以，所以有，故〖答案〗为：.15.已知圆与圆只有一条公切线，则__________.〖答案〗16〖解析〗圆的圆心为，半径，圆的圆心为，半径，因为圆与圆只有一条公切线，所以两圆相内切，所以，即，所以.故〖答案〗为：.16.已知椭圆：的左、右焦点分别是，，斜率为的直线经过左焦点且交C于A，B两点（点A在第一象限），设的内切圆半径为，的内切圆半径为，若，则椭圆的离心率___________．〖答案〗〖解析〗如图所示，由椭圆定义可得，，设的面积为，的面积为，因为，所以，即，设直线，则联立椭圆方程与直线，可得，由韦达定理得：，，又，即，化简可得，即，即时，有.故〖答案〗为：.四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.已知直线经过点．（1）求直线的一般式方程；（2）若直线与直线垂直，且在轴上的截距为2，求直线的方程．解：（1）∵直线的斜率为，∴直线的方程为，∴直线的一般式方程为．（2）∵直线与直线垂直，由（1）知：直线的斜率为2，∴直线存在斜率，设直线的方程为，且，即，∴直线的方程为，即．18.已知椭圆，点．（1）若椭圆的左焦点为，上顶点为，求点到直线的距离；（2）若点是椭圆的弦的中点，求直线的方程．解：（1）如图，∵椭圆方程为，点，∴椭圆的左焦点是，上顶点，则直线在轴、轴截距为和，∴直线的截距式方程为，可化为，∴点到直线的距离．（2）如图，设，则，两式相减得：，∴直线的斜率①，又∵点是椭圆的弦的中点，∴，，∴代入①式得：，∴直线的方程为，即．19.如图，四棱锥中，面，底面为菱形，，M是中点．（1）求证：平面；（2）求二面角的余弦值．解：（1）∵面，面，∴，又，∴平面.（2）取的中点为N，则两两垂直，∴以分别为x轴，y轴，z轴建立直角坐标系如图，则，设面的法向量为，则令，则，．又面，∴面的法向量，∴，又二面角的平面角为锐角，∴余弦值为．20.已知圆经过，且圆心在直线上.（1）求圆的方程；（2）若从点发出的光线经过直线反射后恰好平分圆的圆周，求反射光线所在直线的方程.解：（1）由题知中点为，，所以的垂直平分线方程为，即，联立，解得，即圆心为，所以圆的半径为，故圆的方程为.（2）设关于的对称点为，则直线与垂直，且的中点在直线上，则，解得，由题意知反射光线过圆心，故，即.21.在如图所示的几何体中，四边形为矩形，平面，，，，点为棱上一点（不含端点）．（1）当为何值时，；（2）求直线与平面所成角的正弦值．解：（1）由题意，∵四边形为矩形，∴，∵直线平面，平面，∴，，即两两垂直，∴以点为原点，所在直线为轴，建立空间直角坐标系，如下图，∵，，，∴，∴，，设，因点为棱上一点（不含端点），故，则，可得，∴，∵，∴，即，解得：或（舍去），∴，又因点为棱上一点（不含端点），∴．（2）设平面法向量，则，，∴，即令，解得：，，则，，∵，∴，设直线与平面所成角为，则，所以直线与平面所成角的正弦值为．22.已知椭圆，点P为E上的一动点，分别是椭圆E的左､右焦点，的周长是12，椭圆E上的点到焦点的最短距离是2.（1）求椭圆的标准方程；（2）过点的动直线l与椭圆交于P，Q两点，求面积的最大值及此时l的方程.解：（1）由题意得，解得：，椭圆的方程是：.（2）设，联立消去得：由题意可知：点,所以令，则，所以，，易知在单调递增，所以当，此时，所以直线的方程为：.黑龙江省齐齐哈尔市2023-2024学年高二上学期10月期中数学试题考生注意：1．本试卷满分150分，考试时间120分钟．2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚．3．考生作答时，请将〖答案〗答在答题卡上．选择题每小题选出〖答案〗后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的〖答案〗标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签宇笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的〖答案〗无效，在试题卷、草稿纸上作答无效．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．1.已知，则（）A.-19 B.-20 C.20 D.19〖答案〗D〖解析〗因为，所以，则，故选：D.2.直线的一个方向向量是（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗直线的斜率，直线的一个方向向量为.故选：C.3.已知椭圆，则椭圆的长轴长为（）A.1 B. C. D.〖答案〗A〖解析〗由椭圆得：，所以，解得，所以长轴长，故选：A.4.若圆关于直线对称，则等于（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗∵圆的方程可化为，∴圆心为，∵圆关于直线对称，∴圆心在直线上，∴，∴．故选：C.5.已知空间三点，则向量与的夹角为（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗由已知可得，，所以.又，所以．故选：C.6.空间直角坐标系中，经过点，且法向量为的平面方程为，经过点且一个方向向量为的直线的方程为，阅读上面的内容并解决下面问题：现给出平面的方程为，经过的直线的方程为，则直线与平面所成角的正弦值为（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗由题意得，直线的方向向量为，平面的法向量为，设直线与平面所成角的大小为，则故选：A.7.已知直线与曲线有两个不同的交点，则的取值范围为（）A. B.C. D.〖答案〗A〖解析〗曲线表示圆在x轴的上半部分，当直线与圆相切时，，解得，当点在直线上时，，可得，所以实数取值范围为.故选：A.8.已知椭圆的右焦点为F，上顶点为A，直线AF与E相交的另一点为M，点M在x轴的射影为点N，O为坐标原点，若，则E的离心率是（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗，，，则，，故，即，解得（舍去负值），故选：B二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.关于直线，下列说法正确的有（）A.过点 B.斜率为C.倾斜角为60° D.在轴上的截距为1〖答案〗BC〖解析〗A.当时，，所以直线不经过点，所以该选项错误；B.由题得，所以直线的斜率为，所以该选项正确；C.由于直线的斜率为，所以直线的倾斜角为60°，所以该选项正确；D.当时，，所以直线在轴上的截距不为1，所以该选项错误.故选：BC.10.已知圆心为的圆与点，则（）A.圆的半径为2B.点在圆外C.点与圆上任一点距离的最大值为D.点与圆上任一点距离的最小值为〖答案〗BCD〖解析〗依题意，圆：，则圆心，半径，A不正确；因点，则，点在圆外，B正确；因点在圆外，在圆上任取点P，则，当且仅当点P，C，A共线，且P在线段AC延长线上时取“=”，C正确；在圆上任取点M，则，当且仅当点C，M，A共线，且M在线段CA上时取“=”，C正确.故选：BCD.11.已知点P是椭圆上一点，，是椭圆的左、右焦点，若，则下列说法正确的是（）A.的面积为B.若点M是椭圆上一动点，则的最大值为9C.点P的纵坐标为D.内切圆的面积为〖答案〗AD〖解析〗对A，根据椭圆定义可得，则①，在中，由余弦定理②，由①②可得，所以的面积为，故A正确；对B，设，则，，，则当时，取得最大值为5，故B错误；对C，由A，的面积为，则，解得，故C错误；对D，设内切圆的半径为，因为的面积为，所以，即，解得，所以内切圆的面积为，故D正确.故选：AD.12.《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑.如图，在阳马中，侧棱底面，且分别为的中点，则（）A.若的中点为M，则四面体是鳖臑B.与所成角的余弦值是C.点S是平面内的动点，若，则动点S的轨迹是圆D.过点E，F，G的平面与四棱锥表面交线的周长是〖答案〗ABC〖解析〗连接，因为底面，面，所以，又，面，面，，所以面，又面，所以，所以面MCB为直角三角形，所以，又由勾股定理知，所以面MBD为直角三角形，又面BCD，面DCM均为直角三角形，所以四面体是鳖臑，所以A正确；以D为坐标原点，分别以为正半轴建系如图，则，故，，.故与所成角的余弦值，故B正确；对于选项C：因，，所以的轨迹是以为焦点的椭球面，又，，，又面，面，，所以面，即面垂直于椭球的长轴，故面截椭球的截面为圆，所以动点S的轨迹是圆，所以C正确；对于选项D：设平面的法向量为，由可取，设过点E，F，G的平面与交于，与交于，设，故，又因为平面，所以，解得，，又，由几何体的对称性知，所以截面周长为，故D错误，故选：ABC.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.若直线与直线平行，则实数的值为__________.〖答案〗〖解析〗由直线与不相交，得，解得或，当时，直线的纵截距为，直线的纵截距为，则，当时，直线的纵截距为，直线的纵截距为，则直线重合，所以实数的值为.故〖答案〗为：14.已知直线的方向向量为，平面的法向量为，且，则__________.〖答案〗〖解析〗设平面的法向量为，因为，所以，所以有，故〖答案〗为：.15.已知圆与圆只有一条公切线，则__________.〖答案〗16〖解析〗圆的圆心为，半径，圆的圆心为，半径，因为圆与圆只有一条公切线，所以两圆相内切，所以，即，所以.故〖答案〗为：.16.已知椭圆：的左、右焦点分别是，，斜率为的直线经过左焦点且交C于A，B两点（点A在第一象限），设的内切圆半径为，的内切圆半径为，若，则椭圆的离心率___________．〖答案〗〖解析〗如图所示，由椭圆定义可得，，设的面积为，的面积为，因为，所以，即，设直线，则联立椭圆方程与直线，可得，由韦达定理得：，，又，即，化简可得，即，即时，有.故〖答案〗为：.四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.已知直线经过点．（1）求直线的一般式方程；（2）若直线与直线垂直，且在轴上的截距为2，求直线的方程．解：（1）∵直线的斜率为，∴直线的方程为，∴直线的一般式方程为．（2）∵直线与直线垂直，由（1）知：直线的斜率为2，∴直线存在斜率，设直线的方程为，且，即，∴直线的方程为，即．18.已知椭圆，点．（1）若椭圆的左焦点为，上顶点为，求点到直线的距离；（2）若点是椭圆的弦的中点，求直线的方程．解：（1）如图，∵椭圆方程为，点，∴椭圆的左焦点是，上顶点，则直线在轴、轴截距为和，∴直线的截距式方程为，可化为，∴点到直线的距离．（2）如图，设，则，两式相减得：，∴直线的斜率①，又∵点是椭圆的弦的中点，∴，，∴代入①式得：