新教材同步备课2024春高中数学第6章平面向量及其应用6.4平面向量的应用6.4.3余弦定理正弦定理第4课时余弦定理正弦定理应用举例学生用书新人教A版必修第二册

第4课时余弦定理、正弦定理应用举例学习任务1．能将实际问题转化为解三角形问题．(数学建模)2．能够用正、余弦定理求解与距离、高度、角度有关的实际应用问题．(数学运算)在我国古代就有嫦娥奔月的神话故事．明月高悬，我们仰视夜空，会有无限遐想．问题：月亮离我们地球有多远呢？科学家们是怎样测出来的呢？学问点基线(1)定义在测量过程中，我们把依据测量的须要而确定的线段叫做__________．(2)性质在测量过程中，应依据实际须要选取合适的基线长度，使测量具有较高的精确度．一般来说，基线越长，测量的精确度越________．思索辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)基线选择不同，同一个量的测量结果可能不同． ()(2)两点间可视但不行到达问题的测量方案实质是构造已知两角及一边的三角形并求解． ()类型1测量距离问题【例1】(源自人教B版教材)如图所示，A，B是某沼泽地上不便到达的两点，C，D是可到达的两点．已知A，B，C，D四点都在水平面上，而且已经测得∠ACB＝45°，∠BCD＝30°，∠CDA＝45°，∠BDA＝15°，CD＝100m，求AB的长．[尝试解答]__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________求两个不行到达的点之间的距离问题，一般是把问题转化为求三角形的边长问题，基本方法是(1)细致理解题意，正确作出图形，依据条件和图形特点找寻可解的三角形．(2)把实际问题里的条件和所求转换成三角形中的已知和未知的边和角，利用正、余弦定理求解．[跟进训练]1．为了测量河的宽度，在一岸边选定两点A，B，望对岸标记物C，测得∠CAB＝30°，∠CBA＝75°，AB＝120m，则河的宽度为________m．类型2测量高度问题【例2】如图所示，为了测量河对岸电视塔CD的高度，小王在点A处测得塔顶D的仰角为30°，塔底C与A的连线同河岸成15°角，小王沿与河岸平行的方向向前走了1200m到达M处，测得塔底C与M的连线同河岸成60°角，求电视塔CD的高度．[尝试解答]__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________测量高度问题的解题策略(1)“空间”向“平面”的转化：测量高度问题往往是空间中的问题，因此先要选好所求线段所在的平面，将空间问题转化为平面问题．(2)“解直角三角形”与“解非直角三角形”结合，全面分析全部三角形，细致规划解题思路．[跟进训练]2．如图，为测量山高MN，选择A和另一座山的山顶C为测量观测点，从点A测得点M的仰角∠MAN＝60°，点C的仰角∠CAB＝45°以及∠MAC＝75°，从点C测得∠MCA＝60°，已知山高BC＝100m，则山高MN＝________m．类型3角度问题【例3】如图，甲船在A处，乙船在A处的南偏东45°方向，距A有9海里的B处，并以20海里每小时的速度沿南偏西15°方向行驶，若甲船沿南偏东θ度的方向，并以28海里每小时的速度行驶，恰能在C处追上乙船．问用多少小时追上乙船，并求sinθ的值．(结果保留根号，无需求近似值)[尝试解答]__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________解决实际问题应留意的问题(1)首先明确题中所给各个角的含义，然后分析题意，分析已知与所求，再依据题意画出正确的示意图，这是最关键最主要的一步．(2)将实际问题转化为可用数学方法解决的问题后，要正确运用正、余弦定理解决问题．[跟进训练]3．如图，渔船甲位于岛屿A的南偏西60°方向的B处，且与岛屿A相距6nmile，渔船乙以5nmile/h的速度从岛屿A动身沿正北方向航行，若渔船甲同时从B处动身沿北偏东α的方向追逐渔船乙，刚好用2h追上．(1)求渔船甲的速度；(2)求sinα的值．_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________1．某次测量中，A在B的北偏东55°，则B在A的()A．北偏西35° B．北偏东55°C．南偏西35° D．南偏西55°2．如图所示，设A，B两点在河的两岸，一测量者与A在河的同侧，在所在的河岸边先确定一点C，测出A，C的距离为50m，∠ACB＝45°，∠CAB＝105°后，可以计算出A，B两点的距离为()A．502m B．503mC．252m D．2523．如图，D，C，B三点在地面同始终线上，DC＝100m，从C，D两点测得A点仰角分别是60°，30°，则A点离地面的高度AB等于()A．503mB．1003mC．50mD．100m4．海上某货轮在A处看灯塔B在货轮北偏东75°，距离为126海里；在A处看灯塔C，在货轮的北偏西30°，距离为83海里；货轮向正北由A处航行到D处时看灯塔B在北偏东120°，则：(1)A处与D处之间的距离为________海里；(2)灯塔C与D处之间的距离为________海里．回顾本节学问，自主完成以下问题：测量距离问题有哪些类型？如何求解？秦九韶的“三斜求积术”你听说过“三斜求积术”吗？这是我国宋代的数学家秦九韶用实例的形式提出的，其实质是依据三角形的三边长a，b，c，求三角形面积S，即S＝14你能证明这个公式吗？“三斜求积术”中的“三斜”指三角形的三条边，而且三条边从小到大分别称为“小斜”“中斜”“大斜”．秦九韶是用语言叙述的相关公式，即：以少广求之，以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上；以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实；一为从隅，开平方得积．事实上，利用余弦定理等内容，也可推导出“三斜求积术”，过程如下．S2＝14c2a2sin2B＝14(c2a2－c2a2cos2B又因为cacosB＝c2S2＝14从而可知S＝14第4课时余弦定理、正弦定理应用举例[必备学问·情境导学探新知]学问点(1)基线(2)高课前自主体验(1)√(2)√[关键实力·合作探究释疑难]例1解：因为A，B，C，D4点都在水平面上，所以∠BDC＝∠BDA＋∠CDA＝15°＋45°＝60°，因此∠CBD＝180°－30°－60°＝90°，所以在Rt△BCD中，BC＝100cos30°＝503(m)．在△ACD中，因为∠CAD＝180°－45°－30°－45°＝60°，所以由正弦定理可知ACsin45°因此AC＝1006在△ABC中，由余弦定理可知AB2＝100632＋(503)2－2×10063×503cos45°＝12500跟进训练1．60[由题意知，∠ACB＝180°－30°－75°＝75°，∴△ABC为等腰三角形．河宽即AB边上的高，这与AC边上的高相等，过B作BD⊥AC于D，∴河宽BD＝120·sin30°＝60(m)．]例2解：在△ACM中，∠MCA＝60°－15°＝45°，∠AMC＝180°－60°＝120°，由正弦定理得AMsin∠MCA即120022＝AC32，解得在△ACD中，因为tan∠DAC＝CDAC＝3所以CD＝6006×33＝6002即电视塔CD的高度为6002m．跟进训练2．150[由题意可知AB＝BC＝100m，所以AC＝1002m，在△ACM中，由正弦定理得AM＝ACsin45°·sin60°＝1003(m)，所以MN＝AMsin60°＝1003例3解：设用t小时，甲船追上乙船，且在C处相遇，则在△ABC中，AC＝28t，BC＝20t，AB＝9，∠ABC＝180°－15°－45°＝120°，由余弦定理得，(28t)2＝81＋(20t)2－2×9×20t×-1即128t2－60t－27＝0，解得t＝34或t＝－9∴AC＝21海里，BC＝15海里．依据正弦定理，得sin∠BAC＝BC·sin∠则cos∠BAC＝1-7514又∠ABC＝120°，∠BAC为锐角，∴θ＝45°－∠BAC，sinθ＝sin(45°－∠BAC)＝sin45°cos∠BAC－cos45°sin∠BAC＝112跟进训练3．解：(1)依题意，知∠BAC＝120°，AB＝6，AC＝5×2＝10，∠BCA＝α．在△ABC中，由余弦定理，得BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos∠BAC＝62＋102－2×6×10×cos120°＝196，解得BC＝14，所以渔船甲的速度为BC2(2)在△ABC中，AB＝6，∠BAC＝120°，BC＝14，∠BCA＝α，由正弦定理，得ABsinα＝即sinα＝ABsin120°BC＝[学习效果·课堂评估夯基础]1．D[如图所示．]2．A[∠ABC＝180°－45°－105°＝30°，在△ABC中，由ABsin45°＝50sin30°，得3．A[因为∠DAC＝∠ACB－∠D＝60°－30°＝30°，由正弦定理得ACsinD＝DCsin∠DAC在Rt△ABC中，AB＝ACsin60°＝503m．]4．(1)24(2)83[由题意，画出示意图．(1)在△ABD中，可知∠ADB＝60°，B＝45°，AB＝126．由正弦定理得AD＝ABsin(2)在△ADC中，由余弦定理得CD2＝AD2＋AC2－2AD·ACcos30°＝242＋(83)2－2×24×83×32＝(83)2∴CD＝83海里．即A处与D处之间