专题07 与三角形有关的线段压轴题型全攻略（解析版）四川成都七年级数学下册-

专题07与三角形有关的线段压轴题型全攻略【例题精讲】例1.（等积转化）如图，点D，E分别是△ABC边BC，AC上一点，BD＝2CD，AE＝CE，连接AD，BE交于点F，若△ABC的面积为18，则△BDF与△AEF的面积之差S△BDF﹣S△AEF等于（

）A．3 B． C． D．6【答案】A【分析】由△ABC的面积为18，根据三角形的面积公式和等积代换即可求得．【详解】解：∵，∴，∵，，，∴，∴①，同理，∵，，∴，，∴，∴②，由①-②得：．故选：A．【点睛】本题主要考查三角形的面积及等积变换，解答此题的关键是等积代换．例2．（中线与高线综合）【问题情境】如图1，是的中线，与的面积有怎样的数量关系？小旭同学在图1中作边上的高，根据中线的定义可知．又因为高相同，所以，于是．据此可得结论：三角形的一条中线平分该三角形的面积．

【深入探究】（1）如图2，点在的边上，点在上．①若是的中线，求证：；②若，则______．【拓展延伸】（2）如图3，分别延长四边形的各边，使得点、、、分别为、、、的中点，依次连结、、、得四边形．①求证：；②若，则______．【答案】（1）①证明见解析；②；（2）①证明见解析；②【分析】（1）①根据中线的性质可得，点为的中点，推得是的中线，，即可证明；②设边上的高为，根据三角形的面积公式可得，，即可推得，同理推得，即可求得，即可证明；（2）①连接，，，根据中线的判定和性质可得，，，，推得，，即可求得，即可证明，②由①可得，同理可证得，根据，即可推得，即可求解．【详解】（1）①证明：∵是的中线，∴，点为的中点，∴是的中线，∴，∴，即；②，解：设边上的高为，则，，∵，∴，同理，则，即，∴．（2）①证明：连接，，，如图：

∵点、、、分别为、、、的中点，∴，，，分别为，，，的中位线，∴，，，，∴，∵，即；②15，解：由①可得，同理可证得，，即，∵，∴．【点睛】本题考查了中位线的判定和性质，三角形的面积公式，掌握三角形的一条中线把原三角形分成两个等底同高的三角形是题的关键．例3．（高线培优）阅读下列材料：阳阳同学遇到这样一个问题：如图1，在中，是的高，是边上一点，、分别与直线，垂直，垂足分别为点、．求证：．阳阳发现，连接，有，即．由，可得．他又画出了当点在的延长线上，且上面问题中其他条件不变时的图形，如图2所示，他猜想此时、、之间的数量关系是：．请回答：（1）请补全阳阳同学证明猜想的过程；证明：连接．________，________________．，．（2）参考阳阳同学思考问题的方法，解决下列问题：在中，，是的高．是所在平面上一点，、、分别与直线、、垂直，垂足分别为点、、．①如图3，若点在的内部，猜想、、、之间的数量关系并写出推理过程．②若点在如图4所示的位置，利用图4探究得此时、、、之间的数量关系是：_______．（直接写出结论即可）【答案】（1）S△APB；PN；PM；（2）①BD＝PM＋PN＋PQ，证明见解析②BD＝PM＋PQ−PN．【分析】（1）根据图形，结合阅读材料填写即可；（2）①连接AP、BP、CP，根据S△ABC＝S△APC＋S△APB＋S△BPC得出AC•BD＝AC•PN＋AB•PM＋BC•PQ，由AB＝AC＝BC，即可得出BD＝PM＋PN＋PQ；②连接AP、BP、CP，根据S△ABC＝S△APB＋S△BPC−S△APC，得出AC•BD＝AB•PM＋BC•PQ−AC•PN，由于AB＝AC＝BC，即可证得BD＝PM＋PQ−PN．【详解】解：（1）证明：连接AP．∵S△ABC＝S△APC−S△APB，∴AC•BD＝AC•PN−AB•PM．∵AB＝AC，∴BD＝PN−PM．故答案为：S△APB；PN；PM；（2）①BD＝PM＋PN＋PQ；如图3，连接AP、BP、CP，∵S△ABC＝S△APC＋S△APB＋S△BPC∴AC•BD＝AC•PN＋AB•PM＋BC•PQ，∵AB＝AC＝BC，∴BD＝PM＋PN＋PQ；②BD＝PM＋PQ−PN；如图4，连接AP、BP、CP，∵S△ABC＝S△APB＋S△BPC−S△APC．∴AC•BD＝AB•PM＋BC•PQ−AC•PN，∵AB＝AC＝BC，∴BD＝PM＋PQ−PN．【点睛】本题考查了等边三角形的性质，三角形的面积等，作出辅助线构建三个三角形是解题的关键．例4．（角平分线综合）如图①，在中，，平分，于点．试探究与，的数量关系．

【探究】小明尝试代入，的值求的值，得到下面几组对应值：（单位：度）707580（单位：度）304520（单位：度）2015a（1）上表中________，猜想得到与，的数量关系为________；（2）证明（1）中猜想得到的与，的数量关系；【应用】如图②，在中，平分，是线段上一点，于点．若，，则的大小为________度；【拓展】如图③，在中，，平分，点在的延长线上，于点，分别作和的平分线，交于点．设，，则的大小为__________（用含，的式子表示）．【答案】探究：（1）30，；（2）见解析；应用：15；拓展：【分析】探究：（1）根据三角形内角和等于，求得，根据三角形的角平分线可求得，再根据直角三角形的两锐角互余可求得，由此即可得到答案；根据表中三组数据即可猜想与，的数量关系；（2）根据三角形内角和等于，求得，根据三角形的角平分线可求得，然后根据直角三角形的两锐角互余可求得，最后计算即可证得答案；应用：根据三角形的角平分线可求得，根据三角形内角和等于，求得，再根据直角三角形的两锐角互余即可得到答案；拓展：根据三角形内角和等于，求得，根据三角形的角平分线可求得，，再根据三角形的外角定理可求得，进一步计算即可求得答案．【详解】探究：（1）当，时，，平分，，，，，故答案为：30．根据表中三组数据可猜想与，的数量关系为：，故答案为：．（2）证明：，，平分，，，，，，，；应用：平分，，，，，，，故答案为：15．拓展：当，时，如图④，记与交于点M，，平分，，平分，，，，故答案为：．

【点睛】本题考查了三角形内角和定理，三角形的外角定理，直角三角形的性质，三角形的角平分线，熟知相关知识并能灵活运用是解答本题的关键．【课后训练】1．如图，的面积为，，分别是，上的点，且．连接，交于点，连接并延长交于点．则四边形的面积为．【答案】/【分析】根据三角形中线的性质得出，，继而得出，设，由，得出，则，进而得出，根据三角形的面积得出，根据，即可求解．【详解】解：∵，则，，∴，设，∵，∴，，∴，∴，则，∴，∴，∵（等底的三角形的面积比等于高的比），∴（等高的三角形的面积等于底的比），即，∴，∵的面积为，∴，∴四边形的面积为，故答案为：．【点睛】本题考查了三角形中线的性质，掌握三角形的中线的性质是解题的关键．2．如图，在中，已知为的中线，过点A作分别交、于点F、E，连接，若，，，则．【答案】84【分析】根据为的中线，可得，，通过题中条件可求得，根据，可得，，设，则，，故，根据，列方程，即可解答．【详解】解：为的中线，，，，，，，，设，则，，，根据，列方程，解得，．故答案为：84．【点睛】本题考查了三角形中线的性质，根据题中的边长之比得出对应的三角形的面积之比是解题的关键．3．（2023下·重庆沙坪坝·七年级重庆一中校考期末）如图，在中，点是边上一点，，连接，点是线段上一点，，连接，点是线段的中点，连接交线段于点，若的面积是12，则的面积是．

【答案】【分析】连接，．由题意中的线段的比和，可推出，，从而可求出，．结合中点的性质即得出，从而可求出，进而得出，最后即得出，最后即可求出．【详解】解：如图，连接，．

∵，，∴，．又∵，∴，．∵点是线段的中点，∴．∵，∴，∴，∴，∴，即,∴，∴．故答案为：．【点睛】本题考查线段的中点的性质，线段的n等分点的性质，与三角形的高有关的计算问题．正确的连接辅助线是解题关键．5.如图1所示的图形，像我们常见的符号——箭号．我们不妨把这样图形叫做“箭头四角形”．探究：（1）观察“箭头四角形”，试探究与∠A、∠B、∠C之间的关系，并说明理由；应用：（2）请你直接利用以上结论，解决以下两个问题：①如图2，把一块三角尺XYZ放置在上，使三角尺的两条直角边、恰好经过点、，若，则；②如图3，、的2等分线（即角平分线）、相交于点，若，，求的度数；拓展：（3）如图4，，分别是、的2020等分线（），它们的交点从上到下依次为、、、…、．已知，，则度．【答案】（1），理由见详解；（2）①30；②；（3）．【分析】（1）如图（见解析），先根据三角形的外角性质可得，，再根据等量代换即可得出答案；（2）①根据（1）的结论可得，由此即可得出答案；②先根据（1）的结论可得，再根据角平分线的定义可得，然后根据（1）的结论即可得；（3）先根据（1）的结论可得，再根据角2020等分线的定义可得，然后根据（1）的结论即可得．【详解】（1），理由如下：如图，延长BD交AC于点E，由三角形的外角性质得：，，则；（2）①由题意得：，由（1）可知，，，，解得，故答案为：30；②由（1）可知，，，，，解得，、分别是、的2等分线（即角平分线），，，又由（1）可知，，即的度数为；（3）由（1）可知，，，，解得，，分别是、的2020等分线（），，，又由（1）可知，，，，故答案为：．【点睛】本题考查了三角形的外角性质、角平分线的定义、角n等分线的定义等知识点，较难的是题（3），掌握理解角n等分线的定义是解题关键．5．设的面积为．(1)如图1，延长的各边得到，且，，，记的面积为，则______．（用含的式子表示）(2)如图2，延长的各边得到，且，，，记的面积为，则________．（用含的式子表示）(3)如图3，P为内一点，连接、、并延长分别交边、、于点D、E、F，则把分成六个小三角形，其中四个小三角形面积已在图上标明，则计算得到的面积________．【答案】(1)；(2)；(3)【分析】此题是三角形的综合题，主要考查了面积及等积变换，利用三角形同高则面积比与底边关系分别分析得出是解题关键．（1）利用三角形同高等底面积相等，进而求出即可；（2）利用三角形同高不等底面积比为底边长的比，进而求出即可；（3）利用三角形面积之间关系得出其边长比，得出关于，的方程求出即可．【详解】（1）如图,连接，,，，，同理可得出：，，故答案为:；（2）如图，连接，，根据等高两三角形的面积比等于底之比，，，，同理可得出：，∴；故答案为:；（3）如图，过点作于点，，，，即，同理，设，，，即；，，，又，，，故答案为:．6．在△ABC中，BD平分∠ABC交AC于点D，点E是射线AC上的动点（不与点D重合），过点E作EF∥BC交直线BD于点F，∠CEF的角平分线所在直线与射线BD交于点G．(1)如图1，点E在线段AD上运动．①若∠ABC＝40°，∠C＝60°，则∠BGE＝______°；②若∠A＝70°，则∠BGE＝______；③探究∠BGE与∠A之间的数量关系，并说明理由；(2)若点E在射线DC上运动时，∠BGE与∠A之间的数量关系与（1）③中的数量关系是否相同？若不同，请写出它们之间的数量关系并说明理由．【答案】(1)①50°；②55°；③∠BGE=90°-∠A，理由见解析；(2)不同，当点E在线段CD上，∠BGE=∠A；当点E在DC的延长线上，∠BGE=90°+∠A，理由见解析．【分析】（1）①先求出∠FBC=20°，再求出∠EFB=∠CBF=20°，∠C=∠CEF=60°，进而求出∠FEG=30°，即可求出∠BGE=50°；②如图，根据角平分线的定义得到∠1＝∠ABC，∠2=∠CEF，结合平行线的性质进一步得到∠2=∠C，∠3=∠ABC，即可得到∠BGE=∠2+∠3=∠C+∠ABC=（∠180°-∠A）=55°；③如图，根据角平分线的定义得到∠1＝∠ABC，∠2=∠CEF，结合平行线的性质进一步得到∠2=∠C，∠3=∠ABC，即可得到∠BGE=∠2+∠3=∠C+∠ABC=（∠180°-∠A）=90°-∠A；（2）当点E在线段CD上，画出图形，类比（1）即可求出∠BGE=∠A；当点E在DC的延长线上，画出图形，∠BGE=90°+∠A．【详解】（1）解：（1）①∵BG平分∠ABC，∴∠FBC=∠ABC=20°，∵EF//BC，∴∠EFB=∠CBF=20°，∠C=∠CEF=60°，∵EG平分∠FEC，∴∠FEG=∠FEC=30°，∴∠BGE=∠EFG+∠FEG=50°．故答案为：50；

②如图，∵BD、EG分别平分∠ABC和∠CEF，∴∠1＝∠ABC，∠2=∠CEF，∵EF//BC∴∠C＝∠CEF，∠3=∠1，∴∠2=∠C，∠3=∠ABC，∴∠BGE=∠2+∠3=∠C+∠ABC=（∠C+∠ABC）=（∠180°-∠A）=（∠180°-70°）=55°．故答案为：55°；③∠BGE=90°-∠A理由：∵BD、EG分别平分∠ABC和∠CEF，∴∠1＝∠ABC，∠2=∠CEF，∵EF//BC∴∠C＝∠CEF，∠3=∠1，∴∠2=∠C，∠3=∠ABC，∴∠BGE=∠2+∠3=∠C+∠ABC=（∠C+∠ABC）=（∠180°-∠A）=90°-∠A；（2）解：①当点E在线段CD上，如图，若GE交BC于点H，由（1）知：∠1＝∠ABC，∠2=∠CEF，∵EF//BC，∴∠CEF=180°-∠C，∴∠2=∠3=（180°-∠C）∵∠1+∠A+∠BDA＝180°，∠3+∠BGE+∠EDG＝180°且∠BDA＝∠EDG，∴∠3+∠BGE=∠1+∠A，∠BGE=∠1+∠A-∠3即∠BGE=