番禺区一模第25题讲评

番禺区一模第25题讲评

教学目标：通过一道压轴题的解答：

1.进一步掌握组合图形的"形"以及性质；

2.体会几何题一题多解的"源"就是最基本的图形以及公理；

3.理解数学中的"唯一"和"最"；

4.体会中考压轴题的命题规律和方式，不断增强信心。

题目：

如图，在梯形ABCO中，ZABC=ZBAD=9Q°,在AO上取一点E,将AABE沿

直线BE折叠，使点A落在8。上的G处，EG的延长线交直线于点F.

(1)试探究AE、ED、OG之间有何数量关系？说明理由；

(2)判断aABG与△BFE是否相似，并对结论给予证明;

(3)设AD=a,AB=b,BC=c.

①当四边形EFCD为平行四边形时，

求a,b,c应满足的关系；

②在①的条件下，当8=2时，。的值是唯一的,

求NC的度数.

教学过程：

1.阅读题目，回顾题意。

2.问题解决：

(1)试探究AE、ED、OG之间有何数量关系？说明理由;

学生回答，教师点评。

笫25题

解答过程：(1)AE2+DG2=ED2;...……1分

理由:据折叠性质得：4EAB<AEGB,AE=GE,NEGB=NEAB=90°,

在中，由勾股定理得：EG2+DG2=ED2,：.AE2+DG2=ED2，……2分

点评：本题是一个翻折问题，翻折的作用就是转移条件。翻折之后，对应的边相等，

对应的角相等。所以我们先要了解被翻折图形的基本特征，在此题中，被翻折图形的

最令人关注的特征就是它是个直角三角形。因此，通过翻折后，直角也发生了转移。

另外，翻折之后，有AE=EG，而要判断AE.ED、DG之间的数量关系，则转化为

△EGO的三边关系，三角形的三边关系最基本的是：两边之和大于第三边，两边之差

小于第三边。当然我们还需要看是否有更明确的数量关系，例如和差倍积，平方关系

等。翻折之后，有NEGB=NEAB=90。，故有平方关系。

（2）判断与ABFE是否相似，并对结论给予证明；A-舄______火）

结论：AABGsABFE11

问题：要证△A6G与LBFE相似，可通过证两角对应相/

等。本题有哪些方面可以证对应的角相等？（学生讲解不同B

做法）

方法1:利用同角的余角相等；

方法2：不难发现，△A6G与均为等腰三角形，故我们只需找到一组对应角

相等，即可证明两个三角形相似。（或证两边对应成比例，夹角相等也可）

方法3：A、E、G、B四点共圆，利用圆的性质证明角相等。

点评：边的条件不明朗的状态下，相似问题往往要转化为证明角相等的问题。现在我

们来归纳一下证明角相等的方法：（学生思考并举例）

1.全等；

2.等腰

3.轴对称或者旋转

4.同角或等角的余角或者补角相等

5.放到圆里，运用圆的性质

6.直接求角度

7

翻折问题往往出现角平分线，加上平行的条件，就能得到等腰三角形。对于凸四边

形，对角互补可推出四点共圆，从而利用圆的相关性质解题。在解决几何问题的时

候，注意模型的积累。

四点共圆"

角平分线+平行等腰，

(3)设=AB=b,BC=c.

①当四边形EFCD为平行四边形时,

求。，4c应满足的关系；

问题：本题要求。，4c所满足的关系，请同学们思考：有哪些常见的方法可以建立

关系式？

提示:可利用勾股定理、相似、三角函数、面积法等找关系式。

(学生展示不同做法，一题多解，教师可做补充)

思路1:借助勾股定理，建立关系式;

BCD^,BD2+CD2=BC2,BP:(a2+Z?2)+[(c-a)2+Z>2]=c2,^fa2+b2=ac.

思路2：利用面积法：

由SBCD=；BC.DI=gBD.CD彳导:

BCDI=BDCD,即

<%=Ja=+12&2一(/+)2)得到a,b,。所满足的

关系式。

思路3:通过相似，找到“，b,c所满足的关系式。

方法1：（母子三角形）过。点作皿5。，可证△/DBs^ic。或

△BDIsWCD,则对应边成比例，即£=上-或/°=也*1,从而得到

bc-ayja2+b2c

a，4c所满足的关系式。

方法2：（由平行得到相似）通过ABGFs/\BDC或XEDG^AF5G找到

a,4c所满足的关系式。（需先由△ABDsaGFB先表示出BF）

由AABDsAGFB,则有也=也

DBAD

BFb，则有即=她辿

♦________________________四边形MCO为平行四边形,

y]a2+b2a

:.FC=ED=c_&+b：

ED//BC,:./\EDGs^FBG.:.--=■—

aBFBG

by/a2+b2,,

：.-----/a=a2+h2=ac.

加//+〃b

a

方法3……

思路4:通过三角函数得到a,b,c的关系式：

容易证明NC=ZABD,从而有sinZC=sinZABD,

即：®+“=一61一.（或tanNC=tanZABD,

c>Ja2+b2

即：六上.）

bc-a

思路5:设FC=x,表示出相关边的长度，寻找a,b,c,x之间的关系式，再通过消

元，得到“，b，c的关系式。（过程略）

点评：在直角出现较多的题目中，以上方法都是常用方法。本题可用勾股定理、面积

法、相似、三角函数来求解，多法归一，最终的目的都是建立关于“，b,c的关系

式。

⑶②在①的条件下，当人=2时，。的值是唯一的，求NC的度数.

问题：我们在初中数学中，在什么地方出现过唯一（或者最）？

几何：最

1.两点之间的距离；

2.点到直线的距离

3.将军饮马问题

4.三角形的两边之和大于第三边

5.相切

代数：

1、最大最小值

2、二次函数与直线的唯一交点

3、一元二次方程的判别式

问题：你是如何理解方程/一a。+2?=0中。的值是唯一的？（学生回答）

点评：本题中由于我们要考查a的值的情况，所以方程/一加+22=0可以看做是关

于a的一元二次方程（则把c看为常量），由于a的值唯一,则关于a的方程只有一

个解，故有△=心

解答过程：

当匕=2时,解关于a的一元二次方程/一a。+2?=0,得

。+户记＞0,%=三正工＞0,…

11分

2■2

由题意4=。2，二A=0,即d-16=0,

c＞0,c=4-,:.a=2,

/为BC中点，且ABID为正方形，

DI=IC,NC=45°

3.课堂小结

（1）通过本题的解答，你有什么收获（积累了哪些经验）？

（2）本题图形中包含了哪些常见的几何图形？（提问学生回答，课件展示）

角平分线I平行,等隈，

四点共圆一

（拓展延伸）关于四点共圆：

对角互补共底边顶角相等

总结：我们知道，压轴题是由一些简单题组成，实际上，压轴题中看起来比较复杂的

几何图形，也由一些基本的几何图形组合而成，熟练地掌握一些基本图形或常见的几

何模型的性质可以帮助我们寻找突破口，有助于我们解题。

提升训练(课后作业)

(2014年广州，25)如图，梯形ABCO中，AB||CD,

=90,AB=3,BC=4>CT)=5,点E为线段CO上一动点(不与点C重

合)，A8CE关于BE的轴对称图形为ABFE,连接“，设CE=x,ABCE的面积为

工，ACEf'的面积为邑

D____________