高中物理竞赛试题分类汇编电磁学

全国中学生物理竞赛分类汇编

电磁学

第21届预赛

三、（15分）测定电子荷质比

（电荷q与质量m之比q/m）

试验装置如下图。真空玻璃

管内，阴极K发出电子，经阳

极A与阴极K之间高电压加速后，形成一束很细电子流，电子流以平行于平板电容器极板

速度进入两极板C、D间区域。假设两极板C、D间无电压，那么分开极板区域电子将打在

荧光屏上。点；假设在两极板间加上电压。，那么分开极板区域电子将打在荧光屏上P点；

假设再在极板间加一方向垂直于纸面对外、磁感应强度为8匀强磁场，那么打到荧光屏上

电子产生光点又回到。点。现极板长度/=,C、D间间隔d=,极板区中点M到荧光屏中点

。间隔为L=,L/=200V,P点到。点间隔y=OP=3.0cm；B—X104T«试求电子荷质比。

（不计重力影响）。

五、（15分）如下图，两条平行长直金属

细导轨KL、PQ固定于同一程度面内，它

们之间间隔为/,电阻可忽视不计；ab和

cd是两根质量皆为m金属细杆，杆与导轨

垂直，且与导轨良好接触，并可沿导轨无

摩擦地滑动。两杆电阻皆为R。杆cd中点系一轻绳，绳另一端绕过轻定滑轮悬挂一质量为

M物体，滑轮与转轴之间摩擦不计，滑轮与杆cd之间轻绳处于程度伸直状态并与导轨平行。

导轨和金属细杆都处于匀强磁场中，磁场方向垂直于导轨所在平面对上，磁感应强度大小

为8。现两杆及悬物都从静止开始运动，当ab杆及cd杆速度分别到达匕和V2时，两杆加速

度大小各为多少？

八、(17分)如下图电路中，10Q〃1.0QI.OQ10Q1.0Q

।■―D■i—n______f—I_______IT_____

-1____1—1—11—11—■

各电源内阻均为零，其中B、C

20V*==20MF

两点与其右方由。电阻和。电J||

AII-D|J2.()Q[J2.0。II2.()

阻构成无穷组合电路相接。求020uFZ10T

30QnPF

图中10"电容器与E点相接T.E._J,L_L__________

1

V—0

10VJLI8Q24V

极板上电荷量。

第21届复赛

五、（20分）如下图，接地空心导体球壳内半径为R,在空腔内始终径上

Pi和P2处，放置电量分别为qi和q2点电荷，qi=q2=q，两点电荷到球

心间隔均为a.由静电感应与静电屏蔽可知：导体空腔内外表将出现感应电荷分布，感

应电荷电量等于-2q.空腔内部电场是由qi、q2和两者在空腔内外表上感应电荷共同产

生.由于我们尚不知道这些感应电荷是怎样分布，所以很难用场强叠加原理干脆求得腔内

电势或场强.但理论上可以证明，感应电荷对腔内电场奉献，可用假想位于腔外（等效）

点电荷来代替（在此题中假想（等效）点电荷应为两个），只要假想（等效）点电荷位置和

电量能满意这样条件，即：设想将整个导体壳去掉，由qi在原空腔内外表感应电荷假想

（等效）点电荷式与qi共同产生电场在原空腔内外表所在位置处各点电势皆为0;由92

在原空腔内外表感应电荷假想（等效）点电荷公与q2共同产生电场在原空腔内外表所在

位置处各点电势皆为0.这样确定假想电荷叫做感应电荷等效电荷，而且这样确定等效电

荷是唯一.等效电荷取代感应电荷后，可用等效电荷力、必和qi、92来计算原来导体存

在时空腔内部随意点电势或场强.

1.试依据上述条件，确定假想等效电荷〃、质位置及电量.

2.求空腔内部随意点A电势UA.A点到球心。间隔为r,3与两夹角为0.

七、125分）如下图，有二平行金

属导轨，相距/,位于同一程度面

内（图中纸面），处在磁感应强度

为B匀强磁场中，磁场方向竖直

向下［垂直纸面对里）.质量均为

m两金属杆ab和cd放在导轨上，与导轨垂直.初始时刻，金属杆ab和cd分别位于x=

x0和x=0处.假设导轨及金属杆电阻都为零，由两金属杆与导轨构成回路自感系数为L今

对金属杆ab施以沿导轨向右瞬时冲量，使它获得初速%.设导轨足够长，/也足够大，

在运动过程中，两金属杆之间间隔变更远小于两金属杆初始间距/,因此可以认为在杆

运动过程中由两金属杆与导轨构成回路自感系数L是恒定不变.杆与导轨之间摩擦可不

计.求随意时刻两杆位置Xab和Xcd以及由两杆和导轨构成回路中电流，三者各自随时间t

变更关系.

第20届预赛

四、（20分）从z轴上。点放射一束电量为q〔＞0）、质量为m带电粒子，它们速度统

方向分布在以。点为顶点、z轴为对称轴一个顶角很小锥体内（如下图），速度大小都等

于v.试设计一种匀强磁场，能使这束带电粒

M

子会聚于z轴上另一点M,M点分开。点经

离为d.要求给出该磁场方向、磁感应强度大

小和最小值.不计粒子间互相作用和重力作用预2（M

用.

七、（20分）图预20-7-1中A和B是真空中两块面积很大平行金属板、加上周期为7•沟

通电压，在两板间产生交变匀强电场.己知8板电势为零，A板电势UA随时间变更规律

如图预20-7-2所示，其中UA最大值为Uo，最小值为一2Uo.在图预20-7-1中，虚线MN

表示与A、8扳平行等距一个较小面，此面到A和8间隔皆为/.在此面所在处，不断地

产生电量为q、质量为m带负电微粒，各个时刻产生带电微粒时机均等.这种微粒产生

后，从静止动身在电场力作用下运动.设微粒一旦遇到金属板，它就附在板上不再运动，

且其电量同时消逝，不影响A、8板电压.己知上述7\U。、/,q和m等各量值正好满意

等式

—"丫

162mV2J

假设在沟通电压变更每个周期7■内，平均产主320个上述微粒，试论证在t=0至h=T/2

这段时间内产主微粒中，有多少微粒可到达4板（不计重力，不考虑微粒之间互相作用）。

B

一4-一.一♦一一♦一

772T37722T

N

r

由预20-7-1图预20・7・2

第20届复赛

一、（15分）图中a为一固定放置半径为R匀

称带电球体，。为其球心.己知取无限远处电

势为零时，球外表处电势为。=1000V.在离球

心。很远。’点旁边有一质子b,它以Ek=

2000eV动能沿与。'0平行方向射向a.以/S120.1

表示b与。，。线之间垂直间隔，要使质子b可以与带电球体a外表相碰，试求/最大值.把

质子换成电子，再求/最大值.

六、（23分）两个点电荷位于x轴上，在它们形成电场中，

假设取无限远处电势为零，那么在正x轴上各点电势如图

中曲线所示，当X—>0时，电势Ufoo：当xfoo时，电

势U-0；电势为零点坐标％,电势为微小值-U。点坐标

为or。（“>2）。试依据图线供给信息，确定这两个点电

荷所带电荷符号、电量大小以及它们在x轴上位置.

第19届预赛1k-

二、（20分）图预19-2所示电路中，电池电动势

为E,两个电容器电容皆为C,K为一单刀双掷

开关。开始时两电容器均不带电

（1）第一种状况，现将K与。接通，到达稳定，---------------

此过程中电池内阻消耗电能等于：再空预19-2

将K与a断开而与6接通，此过程中电池供给电能等于o

（2）第二种状况，现将K与b接通，到达稳定，此过程中电池内阻消耗电能等于

；再将K与b断开而与a接通,此过程中电池供给电能等于.

第19届复赛

二、（18分）在图复19-2中，半径为R圆

柱形区域内有匀强磁场，磁场方向垂直纸

面指向纸外，磁感应强度8随时间匀称变

更，变更率AB/A/=K（K为一正值常量）,

圆柱形区外空间没有磁场，沿图中AC弦

方向画始终线，并向外延长，弦AC与半径夹角a=7/4.直线上有一随意点，设该

点与A点间隔为x,求从A沿直线到该点电动势大小.

四、（18分）有人设计了下述装置用以测量线圈自感系数.在图复19-4-1中，E为电压可

调直流电源。K为开关，L为待测线圈自感系数，〃为线圈直流电阻，D为志向二极管,

，・为用电阻丝做成电阻器电阻，A为电流表。将图复19-4-1中a、b之间电阻线装进图复

19-4-2所示试管1内，图复19-4-2中其它装置见图下说明.其中注射器筒5和试管1组

成密闭容器内装有某种气体（可视为志向气体），通过活塞6上下挪动可调整毛细管8中

有色液注初始位置,调整后将阀门10关闭，使两边气体隔开.毛细管8内直径为d.

在压强不

变条件下，试管

中气体温度上

升1K时，须要

汲取热量为

Cq,大气压强72

1.试蕾2.橡皮塞3.眼导线4.三通管5.注射器前6.活辗7.电用丝8.水平放置的毛耶营.内有

一段有色液柱•其右端与大气相通，左端与试管相通.9.血I有刻度尺的底板,10.阀门

为P。设试管、

图复19-4-2

三通管、注射器

和毛细管皆为绝热，电阻丝热容不计.当接通电键K后，线圈L中将产生磁场，线圈中储

存磁场能量卬=，"2,/为通过线圈电流，其值可通过电流表A测量，现利用此装置及

2

合理步骤测量自感系数L.

1.简要写出此试验步骤.

2.用题中所给出各量（r、也、Cq、p、d等）及干脆测得量导出Z,表达式,

六、（20分）在相对于试验室静止平面直角坐标系S中，有一个光子，沿无轴正方向射向

一个静止于坐标原点O电子.在y轴方向探测到一个散射光子.电子静止质量为机。,光

速为c,入射光子能量与散射光子能量之差等于电子静止能量1/10.

1.试求电子运动速度大小上电子运动方向与x轴夹角6；电子运动到离原点间隔为

品（作为量）A点所经验时间

2.在电子以1中速度v开始运动时，一视察者S'相对于坐标系S也以速度v沿S中

电子运动方向运动（即S'相对于电子静止），试求S'测出。4长度.

第18届预赛

二、（15分）两块竖直放置平行金属大平板A、B,相距d,两

极间电压为Uo一带正电质点从两板间M点开始以竖直向上初速

度为运动，当它到达电场中某点N点时，速度变为程度方向，大

小仍为％,如图预18—2所示.求知、N两点问电势差.（忽

视带电质点对金属板上电荷匀称分布影响）

图预18-2

七、（25分）如图预18—7所示，在半径为。圆柱空间中（图中圆为其横截面）充溢磁

感应强度大小为3匀称磁场，其方向平行于轴线远离读者.在圆柱空间中垂直轴线平面

内固定放置一绝缘材料制成边长为£=1.6。刚性等边三角形框架ADEF,其中心。位于

圆柱轴线上.DE边上S点、（示处有一放射带电粒子源，放射粒子方向皆在图预

4

18-7中截面内且垂直于DE边向下.放射粒子电量皆为q（＞0）,质量皆为机，但速度

u有各种不同数值.假设这些粒子与三角形框架碰撞均为完全弹性碰撞，并要求每一次碰

撞时速度方向垂直于被碰边.试问：

1.带电粒子速度v大小取哪些数值时可使S点发出粒

子最终又回到S点？

2.这些粒子中，回到S点所用最短时间是多少？

图预18.7

第18届复赛

四、（22分）如图复18-4所示，匀称磁

场方向垂直纸面对里，磁感应强度3随

时间♦变更，B=B（「kt（k为大于。

常数）.现有两个完全一样匀称金属圆环

互相交叠并固定在图中所示位置，环面，

X"XX"

处于图中纸面内。圆环半径为R,电阻

为r,相交点电接触良好.两个环接触图复I》

点A与C间劣弧对圆心0张角为60。。求f=f＜）时，每个环所受匀称磁场作用力，不考虑

感应电流之间作用.

五、（25分）如图复18-5所示，一薄壁导体球壳（以下简A

称为球壳）球心在。点.球壳通过一细导线与端电压

U=90V电池正极相连，电池负极接地.在球壳外A点有B

一电量为%=10xl（p9c点电荷，B点有一电量为

%=16xl0-9c点电荷。Q4之间间隔&=20cm,OB囱甘，

囹区lo-J

之间间隔J2=40cm.现设想球壳半径从a=10cm开始缓慢地增大到50cm,问：在

此过程中不同阶段，大地流向球壳电量各是多少？己知静电力恒量

k=9x1（）9N.n?.CT.假设点电荷能穿过球壳壁进入导体球壳内而不与导体壁接触。

第17届预赛

四、（20分）某些非电磁量测量是可以通过一些相应装置

转化为电磁量来测量。一平板电容器两个极扳竖直放置在

光滑程度平台上，极板面积为S,极板间间隔为d。极

板1固定不动，与四周绝缘；极板2接地，且可在程度平

台上滑动并始终与极板1保持平行。极板2两个侧边与劲

度系数为々、自然长度为L两个完全一样弹簧相连，两弹

簧另一端固定.图预17-4-1是这一装置俯视图.先将电容

器充电至电压U后即与电源断开，再在极板2右侧整个外

Effl517-4-2

表上施以匀称向左待测压强〃；使两极板之间间隔发生

微小变更，如图预17-4-2所示。测得此时电容器电压变更量为设作用在电容器极

板2上静电作用力不致引起弹簧可测量到形变，试求待测压强p。

五、（20分）如图预17-5-1所示，在正方形导线回路所围区域

A&&A4内分布有方向垂直于回路平面对里匀强磁场，磁感应强

度8随时间以恒定变更率增大，回路中感应电流为

/=1.0mA.AA2、A3Al两边电阻皆为零；边电阻

舄=3.0kQ,边电阻&=7.0kQ。

1.试求44两点间电压U12、443两点间电压U23、A3A4两点间电压〃34、44月1两

点间电压〃41。

2.假设一内阻可视为无限大电压表V位于正方形导线回路所在平面内，其正负端与

连线位置分别如图预17-5-2、图预17-5-3和图预17-5-4所示，求三种状况下电压表读数1、

%、入。

4Al

第17届复赛

三、（25分）1995年，美国费米国家试验室CDF试验组和DO试验组在质子反质子对撞机

TEVATRON试验中，视察到了顶夸克，测得它静止质量〃q=1.75x10“eV/c?=3.1xl0-25kg,

寿命r=0.4x10-24s,这是近十几年来粒子物理探讨最重要试验进展之一.

1.正、反顶夸克之间强互相作用势能可写为U（r）=-%也，式中r是正、反顶夸克

3r

之间间隔，％=0」2是强互相作用耦合常数，%是与单位制有关常数，在国际单位制中

^=0.319xl0-25Jm.为估算正、反顶夸克能否构成一个处在束缚状态系统，可把束缚

状态设想为正反顶夸克在彼此间吸引力作用下绕它们连线中点做匀速圆周运动.如能构成

束缚态，试用玻尔理论确定系统处于基态中正、反顶夸克之间间隔为.处于束缚态正、

反夸克粒子满意量子化条件，即

式中为一个粒子动量加v与其轨道半径£乘积，”为量子数，"=6.63x1074J。

为普朗克常量.

2.试求正、反顶夸克在上述设想基态中做匀速圆周运动周期T.你认为正、反顶夸

克这种束缚态能存在吗

五、（25分）在真空中建立一坐标系，以程度向右为x轴正方向,

竖直向下为y轴正方向，z轴垂直纸面对里［图复17-5）.在

y4L区域内有匀强磁场，L=0.80m,磁场磁感强度方向

沿z轴正方向，其大小B=0.10T.今把一荷质比

q/〃7=5OC・kgT带正电质点在x=0,y=-0.20m,z=0处

静止释放，将带电质点过原点时刻定为f=0时刻，求带电质点在磁场中任一时刻“立置坐

标.并求它刚分开磁场时位置和速度.取重力加速度g=10m-s-2。

第16届预赛

四、（20分）位于竖直平面内矩形平面导线框而cd。成长为

4,是程度，从长为4，线框质量为胴，电阻为R.。其下方

有一匀强磁场区域，该区域上、下边界PP'和。。'均与必平

P'

行，两边界间间隔为H,H>12,磁场磁感应强度为3,方

向与线框平面垂直，如图预16-4所示。令线框旅边从离磁场

区域上边界PP间隔为〃处自由下落，在线框公边进入磁场

Q'

后，ab边到达边界P尸之前某一时刻线框速度已到达这一阶敬16-4

段最大值。问从线框开始下落到A边刚刚到达磁场区域下边界QQ'过程中，磁场作用于

线框安培

六、（15分）如图预16-4-1所示，电阻与=&=lk。，电动势E=6V,两个一样二极管

D串联在电路中，二极管D/D-"D特性曲线如图预16-6-2所示。试求:

1.通过二极管D电流.

2.电阻与消耗功率。

图预16-6-1

第16届复赛

三、（25分）用直径为1mm超导材料制成导线做成一个半径为5cm圆环。圆环处于超导

状态，环内电流为100A。经过一年，经检测发觉，圆环内电流变更量小于1（厂6A.试

估算该超导材料电阻率数量级上限。

提示：半径为r圆环中通以电流/后，圆环中心磁感应强度为3="，式中8、I、

2r

r各量均用国际单位，〃o=4万Xi。-?N.A-2。

五、（25分）六个一样电阻（阻值均为R）连成一个电阻环，六个接点依次为1、2、3、

4、5和6,如图复16-5-1所示。现有五个完全一样这样电阻环，分别称为A、与、…

£）5。

现将£>21、3、5三点分别与22、4、6三点用导线连接，如图复16-5-2所示。然后

将2,1、3、5三点分别与22、4、6三点用导线连接，---依此类推。最终将。51、3、5

三点分别连接到力42、4、6三点上。

1.证明全部接好后，在2上1、3两点间等效电阻7为24巴

627

2.求全部接好后，在。5上1、3两点间等效电阻。

六、（25分）如图复16-6所示，z轴竖直向上，孙

平面是一绝缘、固定、刚性平面。在4（闻,0,0）处放

一带电量为-4（4>0）小物块，该物块与一细线相

连，细线另一端8穿过位于坐标原点。光滑小孔，

可通过它牵引小物块。现对该系统加一匀强电场，

场强方向垂直与x轴，与z轴夹角为。（如图复16-6

所示）。设小物块和绝缘平面间摩擦系数为

〃=tan。，且静摩擦系数和滑动摩擦系数一样。不

图复16-6

计重力作用。现通过细线来牵引小物块，使之挪动。在牵引过程中，我们约定：细线8端

只准沿z轴向下缓慢挪动，不得沿z轴向上挪动；小物块挪动特别缓慢，在任何时刻，都

可近似认为小物块处在力平衡状态。假设小物块挪动轨迹是一条二次曲线，试求出此轨迹

方程。

参考答案

第21届预赛

三、设电子刚进入平行板电容器极板间区域时速度为由，因为速度方向平行于电容器极板,

通过长度为/极板区域所需时间

tl—1/Vo(1)

当两极板之间加上电压时，设两极板间场强为£,作用于电子静电力大小为qE方向垂直于

极板由C指向D,电子加速度

qE

a=-i—(2)

m

而

E上(3)

d

因电子在垂直于极板方向初速度为0,因此在时间h内垂直于极板方向位移

%(4)

电子分开极板区域时，沿垂直于极板方向末速度

Vy=Otl(5)

设电子分开极板区域后，电子到达荧光屏上P点所需时间为t2

t2—(L—//2)No(6)

在t2时间内，电子作匀速直线运动，在垂直于极板方向位移

)

Y2=Vyt2(7

P点分开。点间隔等于电子在垂直于极板方向总位移

y=yi+y2(8)

由以上各式得电子荷质比为

4_嶷v

一——y(9)

mUlL-

加上磁场B后，荧光屏上光点重新回到。点，表示在电子通过平行板电容器过程中电子所

受电场力与磁场力相等，即

qE=qv()B(10)

留意到(3)式，可得电子射入平行板电容器速度

代人(9)式得

—=~5—y

mB2lLd"

代入有关数据求得

"=1.6x10“C/kg

m

评分标准：

此题15分.⑴、（2）、（3）、（4）、（5）

式各1分，（10）式3分，（12）、（13）式各2分。

五、用，’和/分别表示。bdc回路感应电动势和感应电流大小，依据法拉第电磁感应定律和

欧姆定律可知

/=BI(.V2—V1)(1)

I=—⑵

2R

令F表示磁场对每根杆安培力大小，那么

F=IBI(3)

令th和。2分别表示岫杆cd杆和物体M加速度大小，丁表示绳中张力大小，由牛顿定律可知

F=mai(4)

Mg—T=ma2(5)

T—F=ma2(6)

由以上各式解得

2Rm

2(M+m)R

评分标准：

此题15分.⑴式3分，（2）式2分，（3）式3分，（4）、（5）、（6）式各1分，

（7）、（8）式各2分。

八、设B、C右方无穷组合电路等效电阻为RBC,那么题图中通有电流电路可以简化为图1

中电路。8、砧方电路又可简化为图2电路，其中RBC是虚线右方电路等效电阻。由于8'、

C，右方电路与B、C右方电路构造一样，而且都是无穷组合电路，故有

RBC：^B'C7

B'

(1)20V

由电阻串、并联公式可

30Q2.0Q白冒

得

10VC

•-C'

1+等

⑵图1图2

由式（1）、（2）两式得

%一RBC-2=0

解得

RBC=2.0Q⑶

图1所示回路中电流为

2力3-2fA=O」OA（4）

10+30+18+2

电流沿顺时针方向。

设电路中三个电容器电容分别为G、C2和C3，各

电容器极板上电荷分别为。1、。2和Q3,极性如图3所示•

由于电荷守恒，在虚线框内，三个极板上电荷代数和

应为零，即

QI+Q2—Q3—0⑸

肉、E两点间电势差

噂+得(6)

又有

力_/=(10-30x0.10)V=7.0V（7）

8、E两点间电势差

“UE亳管⑻

又有

/_/=(24+20x0.10)V=26V⑼

依据（5）、（6）、（7）、（8）、（9）式并代入G、C2和C3之值后可得

4

Q3=XIO~C（10）

即电容器C3与E点相接极板带负电，电荷量为X10气。

评分标准：

此题17分.求得（3）式给3分，（4）式1分，（5）、（6）、17）、（8）、（9）,

（10）式各2分，指出所考察极板上电荷是负电荷再给1分。

第21届复赛

五、1,解法I：

如图1所示，S为原空腔内外表所在位置，《位置应位于西延长线上某点&处，q'2

位置应位于。外延长线上某点B2处.设4为S

面上随意一点，依据题意有

k^=+k^==O⑴

AMA4

£+*=()

(2)

AP?A'

怎样才能使（1）式成立呢？下面分析图1中△OAA与AOABi关系.

假设等效电荷《位置81使下式成立，即

2

OPC~OB\=R⑶

(4)

OA]OB]

那么sAQ41g

-46OP、a

⑸

A与OA}R

由（1）式和（5）式便可求得等效电荷〃

，R

%二一一%(6)

a

由（3）式知，等效电荷〃位置&到原球壳中心位置。间隔

西=%⑺

a

同理，82位置应使△0舄4。△。4生，用类似方法可求得等效电荷

(11=--^2⑻

a

等效电荷《位置员到原球壳中心。位置间隔

-----R2

0%=—(9)

a

解法II：

在图1中，设嘉=八，4瓦=八'，OB,=d.依据题意，名和《两者在4点产生

电势和为零.有

%如+A幺=0(TJ

式中

八=(/?2+a2-2Racos(9),/2

⑵)

('=(尺2+筋_2R/COS6严

⑶)

由(1‘)、(2')、⑶)式得

%2(/?2+/-2R"COS6)=4『(R2+。2—2R4COS。)

⑷)

(4,)式是以COS。为变量一次多项式，要使(4')式对随意。均成立，等号两边相应系

数应相等，即

/2(R2+d2)=/2(R2+/)⑶)

27，2

%"=%a

(6‘)

由(5')、(6’)式得

ad1-(a?+R2)d+aR2=0

7)

解得d="+*)±("—(8')

2a

由于等效电荷位于空腔外部，由(8‘)式求得

dE

⑼)

a

由(6‘)、(9')式有

,2R22

%F(10')

考虑到(T)式，有

R

q；=——q]

a

(llz)

同理可求得

西二幺(12，)

~a

，R

的—2(13，)

2.A点位置如图2所示.A电势由qi、q；、qz、小共同产生,即

、

iR1

UA=kq」上+工_do)

不aB{AP2AaB2A^

闪

22

P{A=yjr-2racos0+a

1R

kVr2-2racosO+a2/尸-2m7?2cos8+R，

\lr2+2racos0+a24a2r+2raR:cos.+R4,

评分标准：

此题20分.第1问18分，解法I中（1）、⑵、（6）、⑺、（8）、（9）式各3分.解法H评分可

参考解法I.

第2问2分，即（11）式2分.

七、解法I:

当金属杆ab获得沿x轴正方向初速比时，因切割磁力线而产生感应电动势，由两金

属杆与导轨构成回路中会出现感应电流.由于回路具有自感系数，感应电流出现，又会在

回路中产生自感电动势，自感电动势将阻碍电流增大，所以，虽然回路电阻为零，但回路

电流并不会趋向无限大，当回路中一旦有了电流，磁场作用于杆ab安培力将使ab杆减

速，作用于cd杆安培力使cd杆运动.

设在随意时刻t,ab杆和cd杆速度分别为oi和力（相对地面参考系5）,当历、s

为正时，表示速度沿x轴正方向；假设规定逆时针方向为回路中电流和电动势正方向，那

么因两杆作切割磁力线运动而产生感应电动势

E=-%)⑴

当回路中电流i随时间变更率为加/At时，回路中自感电动势

⑵

依据欧姆定律，留意到回路没有电阻，有

£+5=。⑶

金属杆在导轨上运动过程中，两杆构成系统受到程度方向合外力为零，系统质心作

匀速直线运动.设系统质心速度为生,有

mvQ=2mVc

Uc方向与一样，沿x轴正方向.

现取一新参考系S',它与质心固连在一起，并把质心作为坐标原点O',取坐标轴O'x'

与x轴平行.设相对S'系，金属杆ab速度为u,cd杆速度为〃'，那么有

%=VC+u

v2=Vc+u'

因相对S'系，两杆总动量为零，即有

mu+mu'=0

由⑴、（2）、（3）、（5）、⑹、（7）、（8）各式,得

在S'系中，在t时刻，金属杆ab坐标为在t+At时刻，它坐标为x'+Ar',那

么由速度定义

Ar'

u=-----

Ar

代入⑼式得

2BlAx'=LM

假设将x'视为/函数，由（11）式知Ar'/加为常数，所以£与，关系可用始终线方程表

式中b为常数，其值待定.如今时刻，金属杆ab在S,系中坐标。9，这时，一。，

故得

2BI

~~L

,与表示t=0时刻金属杆ab位置.尤'表示在随意时刻3杆ab位置，故（7-'/

就是杆ab在t时刻相对初始位置位移，用X表示,

x=x'--xo(15)

当X>0时，ab杆位于其初始位置右侧；当X<0时，ab杆位于其初始位置左侧.代入(14)

式，得

小(16)

这时作用于ab杆安培力

F=-iBl=-^^X(17)

L

ab杆在初始位置右侧时,，安培力方向指向左侧；ab杆在初始位置左侧时，安培力方

向指向右侧，可知该安培力具有弹性力性质.金属杆ab运动是简谐振动，振动周期

m

T=2n(18)

2B2l2/L

在随意时刻t,ab杆分开其初始位置位移

X=Acos泽+fP(19)

A为简谐振动振幅，e为初相位，都是待定常量.通过参考圆可求得ab杆振动速度

2兀

M=-A(20)

~Tsin律+。

(19)、(20)式分别表示随意时刻ab杆分开初始位置位移和运动速度.如今t=0时刻，ab

杆位于初始位置，即

X=0

速度

11

"=%-%=%一5%=5%

故有

0=Acos(p

sine

解这两式，并留意到(18)式得

(P=3兀/2(21)

mL

(22)