高中数学学案2：高中数学人教A版2019必修 第二册 平面与平面平行

8.5.3平面与平面平行

■知识对点练*

ZHISHIDUIDIANLIAN

知识点一平面与平面平行的判定

1.已知a,b,c为三条不重合的直线，a,B,7为三个不重合的平面，现

给出下列四个命题：

c//a,a//Y,c//a,

0a//B&=>a〃£;③，=>a〃a；

c//££〃Yallc

力a〃y,

@5=>a〃a.

[a//r

其中正确的命题是（）

A.①②③B.②④C.②D.③④

2.如图是正方体的平面展开图，在这个正方体中,

H

F

①8力〃平面DE-,②0V〃平面AF-,③平面〃平面AFN；④平面被5〃平面

以上四个命题中，正确命题的序号是.

3.如图，四边形/颇为平行四边形，四边形4两是正方形，G是AE,DF

的交点，H,R分别是应,4。的中点.求证：平面〃平面仪应

知识点二平面与平面平行的性质

4.如果平面a〃平面£,那么下列命题中不正确的是（）

A.平面a内有无数条互相平行的直线平行于平面B

B.平面a内仅有两条相交直线平行于平面J3

C.对于平面。内的任意一条直线，都能在平面尸内找到一条直线与它平行

D.平面a内的任意一条直线都不与平面£相交

5.已知平面。〃平面£,尸是£外一点，过点尸的直线力与£分别

交于点4C,过点尸的直线〃与。，£分别交于点6,D,且为=6,4。=9,PD

=8,则朋的长为（）

24

A.16B.24或二

5

C.14D.20

6.如图所示，在棱长为a的正方体4?切一43。〃中，E,F,P,0分别是比；

G〃，AD”施的中点.

求证：⑴尸0〃平面〃制〃；

(2)跖〃平面BRD\D.

7.如图，在四棱柱ABCD-ABCDi中,底面ABCD为梯形，AD〃BC,平面A.DCE

与38交于点£.求证：EC//A.D.

课时综合练

KESHIZONGHELIAN

一、选择题

1.若三条直线a,b,c满足a〃6〃c,且aua,Zxz£,cu£,则两个平

面a,£的位置关系是（）

A.平行B.相交

C.平行或相交D.不能确定

2.已知a,6表示不同的直线，a,£,只表示不同的平面，则下列推理正

确的是（）

A.aC£=a,8ua=a〃8

B.aA£=a,a〃心6〃a且8〃£

C.a〃£,b〃3,aua,Zxza=>a〃尸

D.a〃£,aA/=a,BC丫=ga"b

3.若两个平面互相平行，则分别在这两个平行平面内的两条直线（）

A.平行B.异面

C.相交D.平行或异面

4.在正方体箱第一6AG向中，下列四对截面彼此平行的一对是（）

A.平面与平面戊汨

B.平面布与平面

C.平面与平面隧

D.平面£出与平面随G

5.（多选）如图，在多面体中，平面平面Z®%,EF//DG,且

AB=DE,DG=2EF,则（）

A.AB//DE

B.跖〃平面力皈

C.CF〃平面ABED

D.平面/颇〃平面CGF

二、填空题

6.已知a和8是异面直线，且au平面a,左平面£,a〃£,b//a,则

平面。与£的位置关系是.

7.设a,£,y为三个不同的平面，m,〃是两条不同的直线，在命题“a

n£=加，nuy,且_______,则/〃中的横线处填入下列三组条件中的一组,

使该命题为真命题.

①。〃7,nuB；②勿〃Y,n//J3；③〃〃£,归y.

8.如图，四棱锥一一力筋的底面是平行四边形，PA=PB=AB=2,E,6分别

是AB,切的中点，平面Z67W平面侬；外n平面〃F=G,豆PG=入GD,则八=

‘初与"'相交于点〃，则而=.

三、解答题

9.如图，在四棱锥尸一48口中，底面力腼为平行四边形，点弘M0分别

在处，BD,PD上,且9：物=即：初=阀：伽求证：平面4VQ〃平面W

10.已知肱/V分别是底面为平行四边形的四棱锥产一4%?的棱46,尸。的中

点，平面。网与平面为。交于阳求证：

(1)的V〃平面PAD；

②MN〃PE.

8.5.3平面与平面平行

知识对点练

ZHISHIDUIDIANLIAN

知识点一平面与平面平行的判定

1.已知a,b,c为三条不重合的直线，a,£,只为三个不重合的平面，现

给出下列四个命题：

'c//a,a//y,c//a,

①彳〃。0a〃£；②，0a〃£；③，=>a〃a；

、c〃p£〃Ya//c

[a//y,

④<=a〃a.

\a//Y

其中正确的命题是（）

A.①②③B.②④C.②D.③④

答案C

解析命题②正确.①中。与£还可能相交，③④中a还可能在。内，所以

命题①③④错误.

2.如图是正方体的平面展开图，在这个正方体中，

①81/〃平面DE-,②平面AF-,③平面BDM〃平面AFN；④平面应花'〃平面

NCF.

以上四个命题中，正确命题的序号是.

答案①②③④

解析以/腼为下底面还原正方体，如图，则易判定四个命题都是正确的.

w

3.如图，四边形485为平行四边形，四边形/应F是正方形，G是熊,DF

的交点，H,不分别是比4?的中点.求证：平面〃平面。应

证明是力反加的交点，四边形力颂是正方形，

...G是四，母'的中点.

又H是BE的中点、，：.GH〃AB.

•.•四边形48切为平行四边形，

：.AB//CD,：.GH//CD.

又CDa平面CDE,6用平面CDE,

.•.6W平面CDE.

又〃为4〃的中点，〃被

又加平面CDE,&七平面CDE,：.67?〃平面CDE.

,：GHCGR=G,且向匕平面M?,GRu平面GHR,

,平面67加〃平面CDE.

知识点二平面与平面平行的性质

4.如果平面a〃平面£,那么下列命题中不正确的是（）

A.平面。内有无数条互相平行的直线平行于平面尸

B.平面a内仅有两条相交直线平行于平面B

C.对于平面。内的任意一条直线，都能在平面£内找到一条直线与它平行

D.平面。内的任意一条直线都不与平面?相交

答案B

解析根据两平面平行的定义,知平面。内的任意一条直线与平面尸都平行,

无公共点，所以A,D命题正确，B命题不正确；对于C,过平面。内的任意一条

直线6都能作出一个平面与平面£相交，其交线与，平行，故C命题正确.故选

B.

5.已知平面a〃平面£,P是a,£外一点，过点。的直线勿与a,。分别

交于点4C,过点尸的直线〃与。，£分别交于点6,D,且为=6,/C=9,PD

=8,则施的长为（)

A.16B.24或六

5

C.14D.20

答案B

解析当尸点在平面。和平面£之间时，由三角形相似可求得劭=24；当平

24

面a和平面£在点尸同侧时，可求得以合三.

5

6.如图所示，在棱长为a的正方体4?切一43。〃中，E,F,P,0分别是比；

C、D\,AD”施的中点.

求证：⑴尸0〃平面〃阳〃；

⑵0〃平面BBM

证明如图所示,

⑴证法一：连接CD、,

,:P,0分别是四,的中点，

：.PQ//CDy.

又欧平面DCCD，CDc平面DCCD，

.,.河〃平面DCCD.

证法二：取助的中点G,连接用,GQ.

则有尸G〃〃〃

POI平面DC。",Dg平面。

...%〃平面。宓〃，同理“〃平面％

又PGCGQ=G,，平面PGQ//平面DCCD.

又PQc.平面PGQ,PQ//平面DCC\D\.

(2)证法一：取3〃的中点Q,连接阳，F0\,

贝”有尸。"身a

又止为G，:.BJFO、.

...四边形颇。为平行四边形，.•.砥〃6。，

又四平面BB\D、D,BOu平面BB\D、D,

〃平面BBDD.

证法二：取AG的中点£,连接旗，FE、,

则有居〃旦〃，EEJ/BB,.

二平面四尸〃平面BBM

又正平面璇凡:.EF〃平面BB、D\D.

7.如图，在四棱柱48(小〃中，底面⑦为梯形，AD//BC,平面4a万

与58交于点£.求证：ECHA。

证明因为应'〃力4，44u平面44〃，侬平面力4〃，

所以应'〃平面AA.D.

因为/比平面A448a平面/14〃，

所以比〃平面AA.D.

又BECBC=B,应b平面腔at平面比E

所以平面腔〃平面A4D

又平面平面比平面4〃6FA平面44片4〃，所以比〃4〃

■课时综合练•

SHIZONGHELIA卜

一、选择题

1.若三条直线a,b,c满足a〃8〃c,且aua,8u£,cu£,则两个平

面a,£的位置关系是（）

A.平行B.相交

C.平行或相交D.不能确定

答案C

解析由题意可知6,c在平面£内，但不相交，因为a〃6〃c,所以a所在

平面a与平面£不一定平行，有可能相交.

2.已知a,6表示不同的直线，a,£,只表示不同的平面，则下列推理正

确的是（）

A.aA£=a,Zxzaaallb

B.aCl£=a,a//gb//a旦b"3

C.a〃£,bi/B,aua,Sua今a〃£

D.a//尸，any=a,Y=ga//b

答案D

解析anB=a,Zxza,直线a,b可能相交，故A错误；anB=a,a

//b,直线力可能在两个平面内，故B错误；a〃£,8〃£,aua,ka,直线

a,6如果不相交，则明。可能相交，故C错误；根据面面平行的性质定理可知

D正确.

3.若两个平面互相平行，则分别在这两个平行平面内的两条直线（）

A.平行B.异面

C.相交D.平行或异面

答案D

解析分别在两个互相平行的平面内的两条直线没有公共点，故平行或异面，

故选D.

4.在正方体瓯〃中，下列四对截面彼此平行的一对是（）

A.平面与平面戊汨

B.平面砌与平面£"G

C.平面与平面FHE、

D.平面%%与平面倒G

答案A

解析易得谷以修。,跖〃6G/n£G=£”从而易得平面£AG〃平面£阳；

£G与bG相交，则平面以修।与平面£4G相交；HH\CFH=H,则平面£4〃与平面

砸;相交；倒与£〃相交，则平面£46与平面功G相交.

5.（多选）如图，在多面体48。一际G中，平面力比〃平面庞FG,EF//DG,且

AB=DE,DG=2EF,则（）

A.AB//DE

B.BF〃平面ACG。

C.行〃平面/颇

D.平面/版〃平面CGF

答案AB

解析取，G的中点为也连接4队，FM,如图所示.则由已知条件易证四边形

第物是平行四边形，,D亚FMJ：平面ABC//平面DEFG,平面ABCQ平面ADEB=

AB,平面DEFGC平面ADEB=DE,：.AB//DE,：.AB//FM.又AB=DE,：.AB=FM,：.

四边形4曲¥是平行四边形，:.BF〃AM.又帆平面ACGD,川仁平面力。①，...防〃

平面ACGD.故选AB.

二、填空题

6.已知a和力是异面直线，且au平面a,9平面£,a〃6，b//a,则

平面a与£的位置关系是.

答案平行

解析在6上任取一点。，则直线a与点。确定一个平面/.设7a£=1,

则Ju£.ta〃£,...a与/无公共点.V7cy,：.a//1,：.!//a.Xb//a,

.•.根据面面平行的判定定理可得。〃£.

7.设a,£,7为三个不同的平面，m,〃是两条不同的直线，在命题“a

nB=m,nuy,且________,则勿〃〃”中的横线处填入下列三组条件中的一组,

使该命题为真命题.

①。〃/，nu②卬〃y,〃〃£；③z?〃8,gy.

答案①或③

解析由面面平行的性质定理可知①可以；对于③，•••。0£=加，nur,

【仁Y,二勿〃〃或加A〃=A假设rC〃=尸，则尸Wr,PGn,又aCB=m,:.PG

£,这与〃〃。相矛盾，因此/。不成立，故加〃〃，所以③可以.

8.如图，四棱锥尸一/时的底面是平行四边形，PA=PB=AB=2,E,6分别

是AB,W的中点，平面心/〃平面PEC,依n平面AGF=G,且PG=AGD,则A=

,9与46相交于点〃，则67/=.

行g,VI

答案1

解析因为抽⑦是平行四边形，所以AB//CD,且AB=CD.又反尸分别是AB,

切的中点，所以4£=外，又/EAH=/DFH,4AEH=4