数列单元测试题(1)-答案-教师版

数列测试题（1）答案班次___学号____姓名___________________基础过关(一)选择题若数列

{an}的通项公式是an＝eq\f(n,n＋1)，则数列

{an}是(B)A.递减数列 B.递增数列C.摆动数殓 D.常数列数列{－n2＋11n－30}的最大项是(C)A.第5项 B.第6项C.第5项和第6项 D.第4项和第5项.在等差数列{an}中，d＝2，an＝11，Sn＝35，则a1为(D)A.5或7 B.3或5C.7或－1 D.3或－1.某工厂去年产值为a，计划在5年内每年比上一年产值增长10%，从今年起五年内这个工厂的总产值(D)A.1.14C.11(1.16－1)a D.11(1.15－1)a.制造某种产品，计划经过两年后要使成本降低36%，则平均每年应降低成本(D)A.6% B.9% C.18% D.20%(二)填空题已知数列{an}，a1＝1，an＝1＋eq\f(1,an－1)(n∈N，n≥2)，则a5＝____eq\f(8,5)_____.已知数列{an}的通项公式为an＝cn＋eq\f(d,n)，且a2＝eq\f(3,2)，a4＝eq\f(15,4)，则a10＝__eq\f(99,10)____.写出下列数列的一个通项公式：(1)3，8，15，24，35，……；(2)eq\f(2,3)，－eq\f(4,15)，eq\f(6,35)，－eq\f(8,63)，eq\f(10,99)，…….(1)an＝n(n＋2)；(2)an＝(－1)n＋1eq\f(2n,(2n)2－1).已知等比数列(an)中，a3＝1，a8＝32，则a12＝___512___.某种产品平均每三年降低价格的eq\f(1,4)，目前售价为270元，9年前此产品的价格为__640__.1·2＋2·4＋3·8＋…＋10·210＝__18434_.已知数列{an}中，an＝2n＋2n－1，则前n项和Sn＝__n2＋2n＋1－2__.技能提升(一)选择题三个从小到大的数构成公差为eq\r(6)的等差数列，且它们的和等于它们的积，则此三个数是(D)A.3－eq\r(6)，3，3＋eq\r(6)B.3－eq\r(6)，3，3＋eq\r(6)或－3－eq\r(6)，－3，－3＋eq\r(6)C.－eq\r(6)，0，eq\r(6)；D.－eq\r(6)，0，eq\r(6)或3－eq\r(6)，3，3＋eq\r(6)或－3－eq\r(6)，－3，－3＋eq\r(6)已知数列{an}是公比为q(q≠1)的等比数列，则数列①；②；③；④{anan＋1}：⑤{an＋an＋1}中，等比数列的个数为(B).A.2 B.3 C.4 D.5提示：②、③、④是等比数列，当q＝－1时，⑤不是等比数列.若某等比数列中，前7项的和为48，前14项的和为60，前21项的和为(D)A.180 B.108 C.75 D.63某工厂预计今年十二月份产量是今年一月份产量的m倍，则该厂今年的月平均增长率是(B)A.eq\r(11,m)＋1 B.eq\r(11,m)－1C.eq\r(12,m)－1 D.eq\r(13,m)－1.(二)填空题数列{an}中，a1a2a3…an＝n2(n∈N＋),则a2005＝___eq\f(20052,20042)____.所在被3整除的两位数的个数是_30___,这些数的和是__1665___已知数列{an}，a1＝－1，an＋1＝an＋n(n∈N＋)，则数列的通项公式是an＝_eq\f((n－2)(n＋1),2)__在等差数列{an}中，a1＝3，a100＝36，则a42＋a59＝____39_____.已知等比数列(an)中，a3＝1，a8＝32，则a12＝___512___.在等差数列{an}中，a4＋a6＋a8＋a10＋a12＝120，则2a9－a10＝___24___提示：2a9＝a8＋a在2与7之间插入n个数，使得包括2和7在内的n＋2个数组成以2为首的等差数列，如果这个等差数列的前16项的和为56，则n＝_24_.在等差数列{an}中，a1＋a2＋…＋a50＝200，a51＋a52＋…＋a100＝2700，则d＝__1_，a1＝_－20.5_若等差数列共有2n＋1(n∈N＋)项，且奇数项的和为44，偶数项的和为33，则项数＝__7___.提示：eq\f(S奇,S偶)＝eq\f(n＋1,n)＝eq\f(44,33)，∴n＝3正项等比数列{an}中，a6a15＋a9a12＝30，则log15(a1a2a3…a20提示：由a6a15＝a9a12，得a9a∴a1a2a3…a20＝(a9a12)如果将20，50，100各加上同一个数能组成一个等比数列，那么这个数列的公比为__eq\f(5,3)___.已知－1，a1，a2，－4成等差数列，－1，b1，b2，b3，－4成等比数列，则eq\f(a2－a1,b2)＝__eq\f(1,2)__.(三)解答题求由通项公式an＝－2n2＋11n＋8所给定的数列{an}的最大项解法1：an＝－2n2＋11n＋8＝－2(n－eq\f(11,4))2＋8＋eq\f(121,8)∵n∈N＋∴n＝3时，an取最大值为23即数列中的最大项是an＝23.解法2：设数列中的最大项是an，则 ∴eq\f(9,4)≤n≤eq\f(13,4)又∵n∈N＋∴n＝3∴最大的项为a3＝23.已知等差数列{an}满足a3·a7＝－12，a4＋a6＝－4，求数列{an}的通项公式.解法1：设公差为

d，首项为a1，由题设可知，(a1＋2d)(a1＋6d)＝－12①(a1＋3d)＋(a1＋5d)＝－4②联立解①②得：或an＝2n－12或an＝－2n＋8.解法2：∵{an}是等差数列，∴a3＋a7＝a4＋a6＝－4又∵a3·a7＝－12∴a3和a7是方程x2＋4x－12＝0的两个根解方程，得：x1＝2，x2＝－6①当a3＝2，a7＝－6时，得a1＝6，d＝－2∴an＝8－2n②当a3＝－6，a7＝2时，得a1＝－10，d＝2∴an＝2n－12.设{an.}为等差数列，Sn为等数列{an.}的前n项和，已知S7＝7，S15＝75，设Tn＝为数列的前n项和，求Tn.解：由已知知S7≠S15，∴数列{an.}的公差不为零，于是可知Sn是n的常数项为零的二次式，设Sn＝An2＋Bn(A≠0)，则解之，得A＝eq\f(1,2)，B＝－eq\f(5,2)∴Sn＝eq\f(1,2)n2－eq\f(5,2)n∴eq\f(Sn,n)＝eq\f(1,2)n－eq\f(5,2)，∴是以－2为首项，eq\f(1,2)为公差的等差数列.∴Tn＝n·(－2)＋eq\f(n(n－1),2)·eq\f(1,2)＝eq\f(1,4)n2－eq\f(9,4)n.在等差数列{an}中，已知a1＝25，S9＝S17，问数列前多少项的和最大，并求出最大值.解法1：由题意知17a1＋eq\f(17×16,2)·d＝9a1＋eq\f(9×8,2)·d∵a1＝25，∴d＝－2∴Sn＝25n＋eq\f(n(n－1),2)×(－2)＝－n2＋26n＝－(n－13)2＋169∴当n＝13时，Sn取最大值为169.解法2：同解法1，求出d＝－2，由an≥0，得n≤13.5，故当n≤eq999错误！未定义书签。13时an＞0，当n≥14时，an＜0∴n＝13时，Sn取最大值为169.已知数列{an}为等比数列(1)若a5＝4，a7＝16，求a12；(2)若a4－a2＝24，a2＋a3＝6，an＝125，求n.解：(1)由题意，得q2＝eq\f(a7,a5)＝eq\f(16,4)＝4∴q＝±2当q＝2时，a12＝a7·q5＝8·25＝256当q＝－2时，a12＝a7·q5＝8·(－2)5＝－256.(2)由题意，得：解之，得∴an＝(eq\f(1,5))·5n－1＝5n－2＝125解之，得：n＝5.若数列(an)的前n项和SN＝2an＋1，证明数列{an}成等比数列，并求出an.证明：当n＝1时，Sn＝2a1＋1＝2×(－1)＋1＝－当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2an＋1－(2an－1＋1)＝2an－2an－1∴an＝2an－1(n≥2)∴eq\f(an,an－1)＝2∴{an}是以－1为首项，以2为公比的等比数列∴an＝(－1)·2n－1.已知四个正数成等比数列，其积为16，中间两数之和为5，求这四个数及公比.解：设这四个正数为：a，aq，aq2，aq3，由题设知它们的积a4q6＝16，即aq·aq2＝4＞0.又aq＋aq2＝5，∴aq，aq2是方程x2－5x＋4＝0的两实根∴x＝1或x＝4，即或∴或∴所求四个数为：eq\f(1,4)，1，4，16或16，4，1，eq\f(1,4).已知等比数列{an}各项均为正数，Sn＝80，S2n＝6560，且在前n项中最大项为54，求n.解：∵Sn＝80，S2n＝6560，∴q≠1，q＞0.∴(2)÷(1)，得1＋qn＝82∴qn＝81又q＞0，∴q＞1∴a1，a2，a3，…，an中，an最大.∴an＝54＝a1qn－1∴eq\f(a1,q)·qn＝54eq\f(a1,q)＝eq\f(54,81)＝eq\f(2,3)(3)又将qn＝81代入(1)得eq\f(a1,q－1)＝1(4)联立解(3)、(4)得a1＝2，q＝3，n＝4.某城市2003年底人口为500万，人均居住面积为20平方米，如果该城市每年人口平均增长率为1%，每年平均新住房面积100万平方米，到2008年底，该市人均住房面积是多少(精确到0.01解：设2003年底住房面积总数为a1，相应地2008年底住房面积总数为a6，则a1，a2，…，a6成等差数列，且a1＝20×500万平方米，从而a6＝a1＋5d＝10500万平方米.另外，2003年底人口为b1，相应地，2008年底人口为b6，则b1，b1，…，b6成等比数列，且b1＝300万平方米，从而b6＝b1·q5＝500·1.015.故，2008年底人均住房面积为eq\f(an,bn)＝eq\f(10500,500×1.012)≈eq\f(10500,500×1.051)＝19.98平方米.(1)从1月起，若每月初存入100元，月利率是1.65‰并按单利计算，到第12月底本息和是多少？(2)若一年定期的年利率为p，三年期年利率为q(均按单利计算)，如果存一年定期的，一年后取出本息，再一起存入一年定期，这样三年后所取出的本息与直接存三年定期比较，还是直接存三年期的合算，请问p，q应怎样的关系？解：(1)第一个月存入银行100元，到期利息应为100×12×1.65‰，到期利息应为100×11×1.65‰，….∴共得本息和为100×12＋100×(12＋11＋…＋2＋1)×1.65‰＝1212.87元.(2)设本金为A元，则直接存三年定期，到期本息和为A(1＋3q)；而一年后取出再转存的，三年后本息和应为A(1＋p)3.由题意应有：A(1＋3q)＞A(1＋p)3.解之，得：q＞eq\f((1＋p)3－1,3).智力挑战已知函数f(x)＝eq\r(3,x3－2)，且数列{an}满足a1＝2，an＋1＝f－1(an)，求an.解：∵f(x)＝eq\r(3,x3－2)∴f－1(x)＝eq\r(3,x3＋2)∴an＋1＝eq\r(3,an＋2)∴a3n＋1＝a3n＋2∴a3n＋1－a3n＝2∴数列{a3n}是等差数列，首项为8，公差为2.∴a3n＝8＋(n－1)×2＝2n＋6∴an＝eq\r(3,2n＋6)已知数列{an}中相邻两项an，an＋1是关于x的方程x2＋3nx＋cn＋eq\f(9,4)n2＝0(n∈N＋)的两实根，且a1＝1，求c1＋c2＋c3＋…＋c2006的值.解：由题意，得由(1)知an＋1＋an＋2＝－3(n＋1)，