北师大版九年级数学期中期末考试满分全攻略 九年级下册第3章 圆（知识清单）

九下第3章圆知识清单一、圆及与的相关的概念圆的定义1）圆：描述性定义：在平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一端点A所形成的轨迹。记作：“⊙O”，读作：“圆O”，其中端点O叫作圆心集合性定义：圆是平面内所有到定点的距离等于定长的点的集合，定点是圆心，定长是半径。2）基本概念=1\*GB3①半径：线段OA叫作圆的半径（OB、OC也是圆的半径）=2\*GB3②弦：圆上任意两点间的线段（半径是特殊的弦）=3\*GB3③直径：经过圆心的弦（如AB）=4\*GB3④弧：圆上任意两点间的部分（如AC）=5\*GB3⑤半圆：圆的任一直径的两个端点将圆分成两条弧，每条弧叫作半圆=6\*GB3⑥等圆：两个圆能完全重合（即全等，即半径r相等）3）确定一个圆的两要素（圆心、半径）4）圆的任一半径长度都相等5）圆的任一直径长度都相等，且直径长度=2倍的半径长度6）等弧：能够完全重合的两段弧是等弧。也可说在同圆或等圆中，等长弧对应的弧相等；7）C=2πrS=π注：=1\*GB3①直径是弦，但弦不一定是直径，直径是圆中最长的弦；=2\*GB3②半圆是弧，但弧不一定是半圆。通常将大于半圆的弧称为优弧，小于半圆的弧称为劣弧；=3\*GB3③等弧必须以“等圆或同圆”为前提，等弧是全等的（能完全重合），不仅指弧长相等，弧度也相等。2.弦与直径、弧与半圆①连接圆上任意两点的线段叫做弦，如下图线段AC，AB；②经过圆心的弦叫做直径，如下图线段AB；③圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧，“以A、C为端点的弧记作”，读作“圆弧”或“弧AC”．大于半圆的弧（如图所示叫做优弧，小于半圆的弧（如图所示）或叫做劣弧．④圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆．3.同心圆和等圆同心圆：圆心相同，半径不等的圆叫做同心圆。如图2所示：图2图3等圆：半径相等的圆（能够互相重合的圆）叫做等圆。注：同圆或等圆的半径相等。如图3.等圆与位置无关等弧：在同圆和等圆中，等够完全重合的弧叫做等弧。注：长度相等的弧，度数相等的弧都不一定是等弧。二、圆的对称性1.圆的对称性（1）圆是轴对称图形，对称轴是经过圆心的任意一条直线．（2）圆是中心对称图形，对称中心是圆心．2.弧、弦、圆心角（1）顶点在圆心的角叫做圆心角．将整个圆分成360等分，每一份的弧对应1o的圆心角，我们也称这样的弧为1o的弧．圆心角的度数和它所对的弧的度数相等．（2）圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系定理在同圆或等圆中，相等的圆心角所对弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等．推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量分别相等．三、垂径定理及推论和重要公式1）垂径定理：垂直于弦的直径平分弦、且平分弦所对的两条弧。证明：连AO、BO∵CD⊥AB∴∠AEC=∠CEB=90°又∵OE=OE，OA=OB∴△OAE≌△OBE（HL）∴AE=EB，∴AD=BDAC=CB2）知二推三（推论）=1\*GB3①CD过圆心（直径/半径）；=2\*GB3②CD垂直弦AB；=3\*GB3③CD平分AB；=4\*GB3④AC=CB；=5\*GB3⑤AD=BD垂径定理重要推论：上述5个条件中，任意2个条件成立，则其余3个条件必定成立，即“知二推三”。3）重要公式：设半径为r，AB=a，OE=d圆中常用的辅助线：连OB，作OE垂直弦AB，构造出直角三角形。四：圆周角定理及推论1）推论1：同弧或等弧所对圆周角相等∵同弧或等弧所对圆心角相等∴同弧或等弧所对圆周角相等2）圆周角、圆心角、弧长、弦长关系总结：在同圆或等圆中，有如下关系：即在同圆或等圆的情况下，圆周角、圆心角、弦长、弧长中任一个相等，则另外几个条件也相等。3）推论2：半圆（直径）所对的圆周角是90°。（因为圆心角为180°）4）推论3：两直角三角形共斜边，这四点共圆证明：∵∠A=90°∴△ACB外接圆的圆心在CB上，且CB为直径∵∠D=90°∴△BCD外接圆的圆心在CB上，且CB为直径∴四点共圆五、确定圆的条件1.不在同一条直线上的三个点确定一个圆；2.一个三角形能画一个外接圆，一个圆中有无数个内接三角形。3.三角形的外接圆与外心示意图点和圆的位置关系经过三角形的三个顶点可以作一个圆,这个圆叫做三角形的外接圆,外接圆的圆心是三角形三条边的垂直平分线的交点,叫做这个三角形的外心．从三角形外心的定义知:三角形的外心到三角形的三个顶点的距离相等．如图,分别作出线段AB的垂直平分线l1和线段BC的垂直平分线l2,设它们的交点为O,则OA＝OB＝OC．于是以点O为圆心,OA(或OB、OC)为半径,便可作出经过A、B、C三点的圆．因为过A、B、C三点的圆的圆心只能是点O,半径等等于OA,所以这样的圆只有一个．1）经过一个已知点A可画无数个圆。2）经过已知两点A，B作圆，可画无数个，它们的圆心在线段AB的垂直平分线上3）经过同一直线上三个点A、B、C的圆是不存在的。4）经过不再同一直线上的三个点A、B、C可画一个圆，而且只能作一个圆。4.点和圆的位置关系1）点和圆的位置关系有3种：圆外、圆上、圆内2）设O的半径为r，点P到圆心的距离OP=d，则：P在圆外⟺d>r；P在圆上⟺d=r；P在圆内⟺d<r六、直线与圆的位置关系1.直线和圆有几种位置关系如图（a），直线L和圆有两个公共点，这时我们就说这条直线和圆相交，这条直线叫做圆的割线．如图（b），直线和圆有一个公共点，这时我们说这条直线和圆相切，这条直线叫做圆的切线，这个点叫做切点．如图（c），直线和圆没有公共点，这时我们说这条直线和圆相离．[2.切线的判定和性质1、切线的性质定理圆的切线垂直于过切点的半径2、推论：经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点，经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心.3、切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线4.弦切角定理及其逆定理弦切角定理(需证明)弦切角的定义顶点在圆上,并且一边和圆相交,另一边和圆相切的角叫做弦切角弦切角定理弦切角的度数等于它所夹得弧所对得圆心角得一半,等于它所交得弧所对得圆周角得度数．如图所示,线段PT所在的直线切圆O于点C,BC、AC为圆O的弦,∠TCB、∠TCA、∠PCA、∠PCB都为弦切角．证明过程略.弦切角定理逆定理(需证明)弦切角定理逆定理如右图,在△ABC的形外作∠PAB=∠BCA,则PA是△ABC的外接圆的切线.证明:只要用切线的定义,要证AP垂直于过切点的半径,先作过A点的直径,连接DB,则∠DBA=90°,∠D=∠C=∠PAB,所以∠PAD=∠DAB+∠PAB=∠DAB+∠D=90°.所以PA是圆O的切线.七、切线长定理切线长与切线长定理八、圆内接正多边形把圆分成n(n≥3)等份：(1)依次连结各分点所得的多边形是这个圆的内接正n边形；(2)经过各分点作圆的切线，以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的外切正n边形．九.正多边形的性质1.正多边形都只有一个外接圆，圆有无数个内接正多边形.2.正ｎ边形的半径和边心距把正ｎ边形分成2ｎ个全等的直角三角形.3.正多边形都是轴对称图形，对称轴的条数与它的边数相同，每条对称轴都通过正n边形的中心；当边数是偶数时，它也是中心对称图形，它的中心就是对称中心.4.边数相同的正多边形相似。它们周长的比，边心距的比，半径的比都等于相似比，面积的比等于相似比的平方．5.任何正多边形都有一个外接圆HYPERLINK和一个内切圆，这两个圆是同心圆要点诠释：（1）各边相等的圆的内接多边形是圆的内接正多边形；（2）各角相等的圆的外切多边形是圆的外切正多边形.十、正多边形的相关计算设正n边形的半径长为Rn、中心角为αn、边长为an、边心距为rn，则利用等腰三角形OAB，通过解直角三