北师大版九年级数学期中期末考试满分全攻略九年级下册第3章圆(压轴题专练)原卷版+解析

九下第3章圆压轴题专练一、单选题1．（2023·湖南娄底·中考真题）如图，直角坐标系中，以5为半径的动圆的圆心A沿x轴移动，当⊙与直线只有一个公共点时，点A的坐标为（）A． B． C． D．2．（2023·湖南师大附中博才实验中学一模）如图，在Rt△AOB中，∠ABO＝90°，∠AOB＝30°，AB＝，扇形AOC的圆心角为60°，点D为上一动点，P为线段BD上的一点，且PB＝2PD，当点D从点A运动至点C，则点P的运动路径长为（）A． B． C． D．3．（2023·江苏·苏州市振华中学校二模）如图，AB是半⊙O的直径，点C在半⊙O上，AB＝5cm，AC＝4cm．D是上的一个动点，连接AD，过点C作CE⊥AD于E，连接BE．在点D移动的过程中，BE的最小值为（）A．1 B．﹣2 C．2﹣1 D．34．（2023·浙江浙江·九年级期末）如图，在中，，BC＝6，AC＝8，⊙O的半径为2，圆心在AB边上运动，当⊙O与的边恰有4个交点时，OA的取值范围是（）A．7.5＜OA＜8 B．7.5＜OA＜8或2＜OA＜5C．＜OA＜7.5 D．7.5＜OA＜8或2＜OA＜5．（2023·浙江浙江·九年级期末）如图，已知在平面直角坐标系中，点M的横坐标为3，以M为圆心，5为半径作，与y轴交于点A和点B，点P是上的一动点，Q是弦上的一个动点，延长交于点E，运动过程中，始终保持，当的结果最大时，长为（）A． B． C． D．6．（2023·浙江杭州·九年级期末）如图，圆O的半径为R，正△ABC内接于圆O，将△ABC按逆时针方向旋转后得到△A'B'C'，它的两边与AB①；②；③；④A．1 B．2 C．3 D．47．（2023·浙江杭州·九年级期末）如图，△ABC内接于，其外角平分AD交于D，于M，则结论①②③④中正确的是（）A．① B．①②③ C．③④ D．①②③④8．（2023·江苏省无锡市侨谊教育集团九年级期中）如图，AB为半圆O的直径，M，C是半圆上的三等分点，AB＝8，BD与半圆O相切于点B．点P为AM上一动点（A，M重合），直线PC交BD于点D，BE⊥OC于点E，延长BE交PC于点F，则下列结论正确的是：①PB＝PD；②BC的长为π；③∠DBE＝45°；④当P为AM中点时EC=EF；⑤∠DFB＝∠CBP．其中正确的个数为（）A．5 B．4 C．3 D．29．（2023·浙江浙江·九年级期中）如图，点，，均在坐标轴上，，过，，作，是上任意一点，连结，，则的最大值是（）A．4 B．5 C．6 D．10．（2023·浙江·余姚市姚北实验学校九年级期中）如图，在等边中，，点是以为圆心，半径为3的圆上一动点，连接，为上一点，，连接，则线段的最大值与最小值之积为（）A．27 B．26 C．25 D．2411．（2023·浙江杭州·九年级期中）在直角中，，圆O经过A、B、D三点，的延长线交圆O于点E，过点A作圆O的切线，交的延长线于点F，若，则为（）A． B． C． D．12．（2023·浙江浙江·九年级期中）如图，在正方形纸片中，点M，N在上，将纸片沿折叠，折叠后使点A和点D重合于点I，的外接圆分别交于点P，Q．若，则的长度为（）A． B． C． D．13．（2023·江苏连云港·中考真题）如图，正方形内接于，线段在对角线上运动，若的面积为，，则周长的最小值是（）A．3 B．4 C．5 D．6二、填空题14．（2023·湖南岳阳·中考真题）如图，在中，，的垂直平分线分别交、于点、，，为的外接圆，过点作的切线交于点，则下列结论正确的是______．（写出所有正确结论的序号）①；②；③若，则的长为；④；⑤若，则．15．（2023·全国·九年级专题练习）如图，A，C是双曲线上关于原点对称的点，B，D是双曲线上关于原点对称的点，圆弧与围成了一个封闭图形，当线段AC与BD都最短时，图中阴影部分的面积为________．16．（2023·广东广州·中考真题）如图，正方形ABCD的边长为4，点E是边BC上一点，且，以点A为圆心，3为半径的圆分别交AB、AD于点F、G，DF与AE交于点H．并与交于点K，连结HG、CH．给出下列四个结论．（1）H是FK的中点；（2）；（3）；（4），其中正确的结论有________（填写所有正确结论的序号）．17．（2023·全国·九年级月考）如图，CD为⊙O的直径，AB为⊙O中长度为定值的弦，AB＜CD．作AE⊥CD于E，连接AC，BC，BE．下列四个结论中：①O到AB的距离为定值；②BE＝BC；③当OE＝AE时，∠ABC＝67.5°或22.5°；④∠BAE+2∠ACD为定值．正确的是___．（填所有正确的序号）18．（2023·浙江浙江·九年级期中）小明准备以“青山看日出”为元素为永嘉县某名宿设计标志示意图，如图所示，他利用两个等边三角形和一个圆分别表示青山和日出，已知点B，E，C，F在同一条直线上，且，四边形和四边形的面积之差为，则的长是______；连结，若是的内切圆，则圆心O到的距离是_______．19．（2023·浙江浙江·九年级期中）如图，已知中，，作的外接圆，直径将圆分成上下两部分，点E为上半圆上的动点，点B，C在下半圆上，连结，过点B作，交的延长线于点F，则周长的最大值为________．20．（2023·浙江杭州·九年级期中）在平面直角坐标系中，若菱形的两条对角线分别与轴、轴平行，则称该菱形为坐标平面内的“规则菱形”．已知点，，的坐标分别为，，，现以点为圆心，长为半径作，若在上存在点，线段上存在点，使以点，为相邻顶点的“规则菱形”为正方形，则的取值范围是______．21．（2023·广东·执信中学模拟预测）在一次数学探究活动中，李老师设计了一份活动单：已知线段，使用作图工具作，尝试操作后思考：（1）这样的点A唯一吗？（2）点A的位置有什么特征？你有什么感悟？“追梦”学习小组通过操作、观察、讨论后汇报：点A的位置不唯一，它在以为弦的圆弧上（点B、C除外），……．小华同学画出了符合要求的一条圆弧（如图1）．（1）小华同学提出了下列问题，请你帮助解决．①该弧所在圆的半径长为___________；②面积的最大值为_________；（2）经过比对发现，小明同学所画的角的顶点不在小华所画的圆弧上，而在如图1所示的弓形内部，我们记为，请你利用图1证明；（3）请你运用所学知识，结合以上活动经验，解决问题：如图2，已知矩形的边长，，点P在直线的左侧，且．①线段长的最小值为_______；②若，则线段长为________．22．（2023·四川广元·中考真题）如图，在正方形中，点O是对角线的中点，点P在线段上，连接并延长交于点E，过点P作交于点F，连接、，交于G，现有以下结论：①；②；③；④为定值；⑤．以上结论正确的有________（填入正确的序号即可）．23．（2023·江西·中考真题）如图，在边长为的正六边形中，连接，，其中点，分别为和上的动点，若以，，为顶点的三角形是等边三角形，且边长为整数，则该等边三角形的边长为______．24．（2023·浙江义乌·九年级期中）如图，要设计一个装彩铅的圆柱体纸盒，已知每支铅笔大小相同，底面均为正六边形，边长记作．下面我们来探究纸盒底面半径的最小值：（1）如果要装10支铅笔，小蓝画了图①、图②两种排列方式，请你通过计算，判断哪种方式更节省空间：_______．（填①或②）（2）如果要装24支铅笔，请你模仿以上两种方式，算出纸盒底面最小半径是_______．（用含a的代数式表示）三、解答题25．（2023·浙江·诸暨市暨阳初级中学九年级月考）如图，直线分别与x轴，y轴相交于点A，点B，作矩形ABCD，其中点C，点D在第一象限，且满足AB∶BC＝2∶1．连接BD．（1）求点A，点B的坐标．（2）若点E是线段AB（与端点A不重合）上的一个动点，过E作EF∥AD，交BD于点F，作直线AF．①过点B作BG⊥AF，垂足为G，当BE＝BG时，求线段AE的长度．②若点P是线段AD上的一个动点，连结PF，将△DFP沿PF所在直线翻折，使得点D的对应点落在线段BD或线段AB上．直接写出线段AE长的取值范围．26．（2023·湖北·武汉一初慧泉中学九年级月考）在△ABC中，CD平分∠ACB交AB于点D．（1）若BH平分∠ABC交CD于点H，已知∠A=82°，求∠BHC的度数；（2）如图2，若G为△ABC的内心，E，F分别为BC，AC边上的点，且CE=CF，BE=5，AF=2，求EF的长；（3）如图3，AF⊥BC于点F，交CD于点H，已知∠ADC=45°，tan∠ACD=，CF=3，直接写出BF的长．27．（2023·浙江·杭州市采荷中学二模）在中，，以为直径的交于点．（1）如图①，以点为圆心，为半径作圆弧交于点，连结，若，求；（2）如图②，过点作的切线交于点，求证：；（3）如图③，在（1）（2）的条件下，若，求的值．28．（2023·黑龙江·哈尔滨市第六十九中学校九年级月考）已知，E为正方形ABCD中CD边上一点，连接BE，过点C作CF⊥BE交AD于F，垂足为G．（1）如图1，求证：CE＝DF；（2）如图2，连接AG、BF，交于点H，求证：∠ABF＝∠AGF；（3）如图3，在（2）的条件下，若AG＝AB＝11，求线段GH的长．29．（2023·黑龙江·哈尔滨市萧红中学九年级月考）已知AB、CD为的两条弦，．（1）如图1，求证弧弧BD；（2）如图2，连接AC、BC、OA、BD，弦BC与半径OA相交于点G，延长AO交CD于点E，连接BE，使，若，求证：四边形ABEC为菱形；（3）在（2）的条件下，CH与相切于点C，连接CO并延长交BE于点F，延长BE交CH于点H，，，求CH长．30．（2023·江苏·泗阳县实验初级中学九年级月考）如图1，在正方形ABCD中，点E、F分别是BC、CD上的两个动点，且，AE和BF相交于点P．（1）探究AE、BF的关系，并说明理由；（2）求证：A、D、F、P在同一个圆上；（3）如图2，若正方形ABCD的边AB在y轴上，点A、B的坐标分别为、，点E、F分别是BC、CD上的两个点，且，AE和BF相交于点P，点M的坐标为，当点P落在以M为圆心1为半径的圆上．求a的取值范围．31．（2023·江苏省盐城中学新洋分校九年级月考）如图，矩形ABCD中，AB＝8，AD＝5，点O、P分别在AB、AD边上运动，以点O为圆心、OA为半径作⊙O，连接BP，把⊙O沿着BP翻折得⊙Q．（1）若⊙O的半径r＝1．①DQ的最小值为．②当DC切⊙Q于点E时，求CE长．（2）当⊙Q在运动的过程中与BC边始终没有公共点时，请直接写出⊙O的半径r的值或取值范围．32．（2023·江苏省盐城中学新洋分校九年级月考）如图，AB是⊙O的直径，点C是弧AB的中点，连接AC、BC，点Q是△ABC内一点，且有∠QAB＝∠QCA．（1）求∠AQC的度数．（2）线段QA、QC、QB三者之间的数量关系为：，并说明理由．（3）若，求∠AQB的度数．33．（2023·重庆一中九年级月考）如图，在等腰中，，，垂足为，点为边上一点，连接并延长至，使，以为底边作等腰．（1）如图1，若，，求的长；（2）如图2，连接，，点为的中点，连接，过作，垂足为，连接交于点，求证：；（3）如图3，点为平面内不与点重合的任意一点，连接，将绕点顺时针旋转得到，连接，，直线与直线交于点，为直线上一动点，连接并在的右侧作且，连接，为边上一点，，，当取到最小值时，直线与直线交于点，请直接写出的面积．34．（2023·北京·首都师范大学附属中学九年级月考）对图形M，N和点P，如果图形M上存在点Q1，图形N上存在点Q2，使得点Q1绕点P顺时针旋转90°后与点Q2重合，则称图形N是图形M关于点P的“秋实”图形．（1）如图1，A（﹣3，0），B（0，3），则点C1（1，0），C2（﹣2，﹣1），C3（3，0）中．是线段AB关于坐标原点O的“秋实”图形的点是；（2）设直线y＝x+b（b＞0）与x轴负半轴交于点D，与y轴正半轴交于点E，⊙F是以点F（2，1）为圆心，2为半径的圆．若⊙F是线段DE关于坐标原点O的“秋实”图形，求b的取值范围；（3）设直线l：y＝k（x+m），其中m＞0，⊙G是以G（4，0）为圆心，1为半径的圆，若对⊙G上的任意一点H，存在k（≤k≤），使得点H是直线l关于坐标原点O的“秋实”图形，请直接写出m的取值范围．九下第3章圆压轴题专练一、单选题1．（2023·湖南娄底·中考真题）如图，直角坐标系中，以5为半径的动圆的圆心A沿x轴移动，当⊙与直线只有一个公共点时，点A的坐标为（）A． B． C． D．答案：D分析：当⊙与直线只有一个公共点时，则此时⊙A与直线相切，（需考虑左右两侧相切的情况）；设切点为，此时点同时在⊙A与直线上，故可以表示出点坐标，过点作，则此时，利用相似三角形的性质算出长度，最终得出结论．【详解】如下图所示，连接，过点作，此时点坐标可表示为，∴，，在中，，又∵半径为5，∴，∵，∴，则，∴，∴，∵左右两侧都有相切的可能，∴A点坐标为，故选：D．【点睛】本题考查的是直线与圆的位置关系，熟知相似三角形的判定与性质是解答此题的关键．2．（2023·湖南师大附中博才实验中学一模）如图，在Rt△AOB中，∠ABO＝90°，∠AOB＝30°，AB＝，扇形AOC的圆心角为60°，点D为上一动点，P为线段BD上的一点，且PB＝2PD，当点D从点A运动至点C，则点P的运动路径长为（）A． B． C． D．答案：A分析：在OB上取BE=2OE，在AB上BF=2AF，在BC上取BG=2CG，分别连接EF、PE、GE、OD，则可证明△DBO∽△PBE，从而求得PE的长为定值，这样可确定点P的运动路径为一段弧，且弧的两端为点F和点G，因此只要求出OA的长及圆心角∠FEG的大小，即可求得圆弧的长，从而求得结果．【详解】在OB上取BE=2OE，在AB上BF=2AF，在BC上取BG=2CG，分别连接EF、PE、GE、OD，如图∵BP=2PD，BE=2OE∴∵∠DBE=∠PBE∴△DBO∽△PBE∴即∵∠ABO＝90°，∠AOB＝30°，AB＝∴∴同理：EF=，∴PE=EF=EG∵当点D与点A重合时，点P与点F重合；当点D与点C重合时，点P与点G重合∴点P在以点E为圆心，为半径的圆弧FG上运动∵∠AOC=60°∴∠COB=∠AOC+∠AOB=90°∵△FBE∽△ABO，△BEG∽△BOC∴∠FEB=∠AOB=30°，∠GEB=∠COB=90°∴∠FEG=90°－∠FEB=60°的长为故选：A．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，含30度角直角三角形的性质，弧长公式等知识，难点和关键在于点P的运动路径的探寻，有一定的难度．3．（2023·江苏·苏州市振华中学校二模）如图，AB是半⊙O的直径，点C在半⊙O上，AB＝5cm，AC＝4cm．D是上的一个动点，连接AD，过点C作CE⊥AD于E，连接BE．在点D移动的过程中，BE的最小值为（）A．1 B．﹣2 C．2﹣1 D．3答案：B分析：如图，连接BO′、BC．在点D移动的过程中，点E在以AC为直径的圆上运动，当O′、E、B共线时，BE的值最小，最小值为O′B﹣O′E，利用勾股定理求出BO′即可解决问题．【详解】解：如图，连接BO′、BC．∵CE⊥AD，∴∠AEC＝90°，∴在点D移动的过程中，点E在以AC为直径的圆上运动，∵AB是直径，∴∠ACB＝90°，在Rt△ABC中，∵AC＝4，AB＝5，∴，O′E＝2，在Rt△BCO′中，，∵O′E+BE≥O′B，∴当O′、E、B共线时，BE的值最小，最小值为O′B﹣O′E＝﹣2，故选：B．【点睛】本题主要考查了勾股定理、点与圆的位置关系等知识，解题的关键是确定点E的运动轨迹是在以AC为直径的圆上运动，属于中考选择题中的压轴题．4．（2023·浙江浙江·九年级期末）如图，在中，，BC＝6，AC＝8，⊙O的半径为2，圆心在AB边上运动，当⊙O与的边恰有4个交点时，OA的取值范围是（）A．7.5＜OA＜8 B．7.5＜OA＜8或2＜OA＜5C．＜OA＜7.5 D．7.5＜OA＜8或2＜OA＜答案：D分析：由勾股定理可求AB＝10，找出出⊙O与的边恰有3个交点时OA的临界值，即可求解．【详解】解：∵∴AB＝＝＝10，如图1，当⊙O过点A时，此时⊙O与△ABC的边恰有3个交点，此时OA＝2，当过点B时，此时与△ABC的边恰有3个交点，此时，则；如图2，当⊙O与AC相切于点E时，此时⊙O与的边恰有3个交点，连接OE，∴，∴，又∵，∴△AEO∽△ACB，∴，∴，∴AO＝，当与BC相切于点F时，此时与△ABC的边恰有3个交点，同理可求，∴，∴当⊙O与的边恰有4个交点时，OA的取值范围为或．故选D．【点睛】本题考查了勾股定理，相似三角形的判定和性质，圆的有关知识；关键在于能完整的找到临界位置来确定范围．5．（2023·浙江浙江·九年级期末）如图，已知在平面直角坐标系中，点M的横坐标为3，以M为圆心，5为半径作，与y轴交于点A和点B，点P是上的一动点，Q是弦上的一个动点，延长交于点E，运动过程中，始终保持，当的结果最大时，长为（）A． B． C． D．答案：D分析：根据△AQP∽△APB，确定，过点M作MG⊥AB，垂足为G，根据垂径定理计算AB=8，用AQ的代数式表示AP+QB，运用二次函数的思想确定最值，确定AQ=2，AP=4，证明AE=AP=4，连接MA，交PE于点N，根据垂径定理的推论，确定AM⊥PE，设AN=x，则MN=5-x，用勾股定理同时表示EN求得x，从而求得EN，根据PE=2EN计算即可【详解】如图，∵，，∴△AQP∽△APB，∴AP：AB=AQ：AP，∴，过点M作MG⊥AB，垂足为G，连接MA，则AG=GB，∵点M的横坐标为3，圆的半径为5，∴MG=3，MA=5，根据勾股定理，得AG==4，∴AB=2AG=8，∴，∴或（舍去），∵AQ=AB-QB，∴AP+QB=+8-AQ==∴AP+QB有最大值，且当时，有最大值10，∴AQ=2，AP=4，连接AE，设MA与PE的交点为N，∵△AQP∽△APB，∴∠APQ=∠ABP，∵∠AEP=∠ABP，∴∠APQ=∠AEP，∴AP=AE=4，，根据垂径定理的推论，得AM⊥PE，设AN=x，则MN=5-x，在Rt△AEN中，，在Rt△MEN中，，∴=,解得x=，∴，∴EN=，∴PE=2EN=，故选D．【点睛】本题考查了圆的对称性，三角形的相似，二次函数的最值，勾股定理，熟练掌握圆的对称性，活用三角形相似的判定和性质，勾股定理是解题的关键．6．（2023·浙江杭州·九年级期末）如图，圆O的半径为R，正△ABC内接于圆O，将△ABC按逆时针方向旋转后得到△A'B'C'，它的两边与AB①；②；③；④A．1 B．2 C．3 D．4答案：B分析：根据圆内接正三角形和旋转的性质得到，，则，于是可得到；在△中，根据含30度的直角三角形三边的关系得到，，，再利用“”可证明△△，则，所以；根据对顶角相等可得到；在△中利用勾股定理可得到，而，则，把代入得到．【详解】解：连接，，，，如图，∵△ABC是正角三角形，按逆时针方向旋转后得到△，△为等边三角形，，而点为△的内心，，又，，△是等腰直角三角形，，，，所以①正确；，而，，，，，，AB=AAA'，在△和△中，，△△，，，所以②错误；，所以③正确；在△中，，，，而，，，所以④错误．故选：B．【点睛】本题考查了圆的综合题：熟练掌握圆周角定理和圆内接正三角形的性质；会运用勾股定理和含30度的直角三角形三边的关系进行几何运算．7．（2023·浙江杭州·九年级期末）如图，△ABC内接于，其外角平分AD交于D，于M，则结论①②③④中正确的是（）A．① B．①②③ C．③④ D．①②③④答案：B分析：由A、B、C、D四点共圆，可得∠FAD=∠BCD，由同弧所对的圆周角相等得到圆周角相等，结合外角平分线可得∠BCD=∠CBD，可得BD=CD；过点D作DF⊥BE，可以通过证明三角形全等，通过边的关系可以得到②AC+AB=2CM，③AC-AB=2AM，都是正确的；S△ABD和S△ABC的大小无法判断．【详解】解：过点D作DF⊥BE于F，∵A、B、C、D四点共圆，∴∠FAD=∠BCD，∵外角平分线AD交⊙O于D，∴∠FAD=∠DAC，又∵∠DBC=∠DAC，∴∠BCD=∠CBD，∴①DB=DC，故此选项正确；∵AD外角平分线，DF⊥BE，DM⊥AC于M，∴DF=DM，在△BFD≌△CMD中，，∴Rt△BFD≌Rt△CMD，∴BF=CM，又∵AF=AM，∴②AC+AB=AM+MC+BF-FA=AM+MC+MC-AM=2CM，故此选项正确；∴③AC-AB=CM+AM-AB=CM+AM-CM+AF=CM+AM-CM+AM=2AM，故此选项正确；S△ABD和S△ABC的大小无法判断，④错误，故选：B．【点睛】本题考查了圆周角、三角形的外角的性质及全等三角形的判定与性质；作出辅助线，利用三角形全等是正确解答本题的关键．8．（2023·江苏省无锡市侨谊教育集团九年级期中）如图，AB为半圆O的直径，M，C是半圆上的三等分点，AB＝8，BD与半圆O相切于点B．点P为AM上一动点（A，M重合），直线PC交BD于点D，BE⊥OC于点E，延长BE交PC于点F，则下列结论正确的是：①PB＝PD；②BC的长为π；③∠DBE＝45°；④当P为AM中点时EC=EF；⑤∠DFB＝∠CBP．其中正确的个数为（）A．5 B．4 C．3 D．2答案：C分析：①连接AC，并延长AC，与BD的延长线交于点H，若PD=PB，得出P为AM的中点，与实际不符，即可判定正误；②先求出∠BOC，再由弧长公式求得BC的长度，进而判断正误；③由∠BOC=60°，得△OBC为等边三角形，再根据三线合一性质得∠OBE，再由角的和差关系得∠DBE，便可判断正误；④通过条件可证明△BCF∽△PCB，可得到∠CFE=∠FCE，便可判断正误；⑤通过④可得∠DFB＝∠CBP．【详解】解：①连接AC，并延长AC，与BD的延长线交于点H，如图1，

∵M，C是半圆上的三等分点，

∴∠BAH=30°，

∵BD与半圆O相切于点B．

∴∠ABD=90°，

∴∠H=60°，

∵∠ACP=∠ABP，∠ACP=∠DCH，

∴∠PDB=∠H+∠DCH=∠ABP+60°，

∵∠PBD=90°-∠ABP，

若∠PDB=∠PBD，则∠ABP+60°=90°-∠ABP，

∴∠ABP=15°，∴P点为AM的中点，这与P为AM上的一动点不完全吻合，

∴∠PDB不一定等于∠ABD，

∴PB不一定等于PD，

故①错误；②∵M，C是半圆上的三等分点，

∴∠BOC=×180°＝60°，

∵直径AB=8，

∴OB=OC=4，∴BC的长度=，故②正确；③∵∠BOC=60°，OB=OC，

∴∠ABC=60°，OB=OC=BC，

∵BE⊥OC，

∴∠OBE=∠CBE=30°，

∵∠ABD=90°，

∴∠DBE=60°，

故③错误；④∵M，C是半圆上的三等分点，∴∠BPC=30°，∠COB=60°∴△COB为等边三角形，∴∠OBC=60°又CF⊥OC，∴∠CBF=30°，又∠PCB=∠BCF，∴△PCB∽△BCF，∴∠CFB=∠CBP，又P为AM的中点，∴∠PBC=45°，∴∠CFE=45°，又∠CEF=90°，∴∠FCE=45°，∴EF=EC，故④正确；⑤由④可得出，∠DFB＝∠CBP正确，故⑤正确．∴②④⑤正确，故选：C．【点睛】本题主要考查了切线的性质，圆周角定理，直角三角形的性质，等边三角形的性质与判定，等腰三角形的性质，相似三角形的性质与判定，关键是熟练掌握这些性质，并能灵活应用．9．（2023·浙江浙江·九年级期中）如图，点，，均在坐标轴上，，过，，作，是上任意一点，连结，，则的最大值是（）A．4 B．5 C．6 D．答案：C分析：连接，，如图，利用圆周角定理可判定点在上，易得，，，，，设，则，由于表示点到原点的距离，则当为直径时，点到原点的距离最大，由于为平分，则，利用点在圆上得到，则可计算出，从而得到的最大值．【详解】解：连接，，如图，，为⊙D的直径，点在上，，，，，，，设，，而表示点到原点的距离，当为直径时，点到原点的距离最大，为平分，，，，即，此时，即的最大值是6．故选：．【点睛】本题考查了点与圆的位置关系、圆周角定理、勾股定理等，作出辅助线，得到是解题的关键．10．（2023·浙江·余姚市姚北实验学校九年级期中）如图，在等边中，，点是以为圆心，半径为3的圆上一动点，连接，为上一点，，连接，则线段的最大值与最小值之积为（）A．27 B．26 C．25 D．24答案：A分析：过作于，在上截取，连结，；先证明，然后运用相似三角形的性质和已知条件得到；再根据图形得到，即当且仅当，，三点共线时，取得最大值为最小值；然后求得最大值和最小值并相乘即可．【详解】解：如图：过作于，在上截取，连结，，是等边三角形，，，，，，．，，．，，，，，，，．∴当且仅当，，三点共线时，取得最大值为最小值，∴的最大值为，的最小值为，∴的最大值与最小值之积为．故答案为A．【点睛】本题主要考查了点与圆的位置关系、等边三角形的性质、勾股定理的应用以及相似三角形的判定与性质，正确作出辅助线并灵活应用相关知识成为解答本题的关键．11．（2023·浙江杭州·九年级期中）在直角中，，圆O经过A、B、D三点，的延长线交圆O于点E，过点A作圆O的切线，交的延长线于点F，若，则为（）A． B． C． D．答案：A分析：如图，连接DE，可知，证明为等腰三角形，得到，接着通过等量代换证明AC为的角平分线，从而证明△ACG≅△ACB，设BC=x，通过条件和勾股定理列式可解得AB=，最后求解即可．【详解】解：如图，连接DE，AE为直径，，又，为等腰三角形，，，，又AF为圆O的切线，，，，AC为的角平分线，过C点作AF的垂线，垂足为G，可知CB=CG，，AC为公共边，∴△ACG，设BC=x，，，在Rt△CGF中，，在Rt△ABF中，，，解得AB=，．故选：A．【点睛】本题主要考查圆的性质的综合运用，涉及求解三角函数值，勾股定理，角平分线，全等三角形等知识，综合性比较强，有一定难度，熟练掌握这些知识点，可以通过条件找出边的关系是解决本题的关键．12．（2023·浙江浙江·九年级期中）如图，在正方形纸片中，点M，N在上，将纸片沿折叠，折叠后使点A和点D重合于点I，的外接圆分别交于点P，Q．若，则的长度为（）A． B． C． D．答案：B分析：首先证明△IBC是等边三角形，得到，再根据折叠的性质推出，根据内心的性质得到，，过点作，则OH平分BC，利用勾股定理求出OB，再利用弧长公式计算即可．【详解】解：∵，，，∴，∴△IBC是等边三角形，∴，∴，由折叠知：，，∴，，∴，∵圆是△IBC的外接圆，∴点是△IBC的内心，∴OB平分，OC平分，∴，，过点作，则OH平分BC．则：，在中：，由勾股定理得：，即，解得：，（舍），∴PQ=故选B．【点睛本题考查了正方形的性质，等边三角形的判定和性质，三角形外接圆，内心的有关性质，弧长公式，解一元二次方程，解题的关键是熟练运用相关定理，掌握求弧长所需的条件．13．（2023·江苏连云港·中考真题）如图，正方形内接于，线段在对角线上运动，若的面积为，，则周长的最小值是（）A．3 B．4 C．5 D．6答案：B分析：利用将军饮马之造桥选址的数学方法进行计算．【详解】如图所示，（1）为上一动点，点关于线段的对称点为点，连接，则，过点作的平行线，过点作的平行线，两平行线相交于点，与相交于点M．四边形是平行四边形则C（2）找一点，连接，则，过点作的平行线，连接则C△AM'N'=AN'+AM'+N'M'=AN'+AM'+CG=AN'+AM'+NM=AN'+AM'+1．此时C△AMN（1）中△AMN周长取到最小值四边形是平行四边形四边形是正方形，又，，△CNO≅又∵AC⊥BD△ANM是等腰三角形，则圆的半径，故选：B．【点睛】本题难度较大，需要具备一定的几何分析方法．关键是要找到周长取最小值时的位置．二、填空题14．（2023·湖南岳阳·中考真题）如图，在中，，的垂直平分线分别交、于点、，，为的外接圆，过点作的切线交于点，则下列结论正确的是______．（写出所有正确结论的序号）①；②；③若，则的长为；④；⑤若，则．答案：②④⑤分析：①根据线段垂直平分线定理，为的直径，为的弦，即可得出结论；②根据段垂直平分线得出∠A+∠AED=90°，再证∠A+∠ABC=90°，等量代换即可；③根据已知条件先得出∠EBC的度数，再利用圆周角定理得∠EOC=2∠EBC，根据弧长公式计算即可；④根据角角相似证明△EFD∽△BFE即可得出结论；⑤先根据勾股定理得出BF的长，再根据等面积法得出ED，根据角角相似证明Rt△ADE∽Rt△ACB，得出，即可计算出结果．【详解】解:①∵DE是的垂直平分线∴为的直径，为的弦．故①不正确．②∵DE是的垂直平分线∴DE⊥AB∴∠A+∠AED=90°∵∴∠A+∠ABC=90°∴故②正确．③连接OD的长为．故③错误．④∵DE⊥AB，F是⊙O的切线∴∠FEB=∠EDF=90°又∠EFD=∠EFD∴△EFD∽△BFE∴．故④正确．⑤∵，∴BF=∵∴在Rt△EDB中，，∵DE是的垂直平分线，∴，AE=BE=8，∵在Rt△ADE和Rt△ACB中，∠A=∠A，∠ADE=∠ACB=90°∴Rt△ADE∽Rt△ACB∴∴∴AC=10.24又AE=BE=8∴CE=AC-AE=10.24-8=2.24．故⑤正确．综上所述：正确的有②④⑤．故答案为：②④⑤．【点睛】本题考查圆周角定理，相似三角形的判定及性质、线段垂直平分线的性质及定理、勾股定理、切线的性质、等面积法是常用的计算边长的方法、灵活进行角的转换是关键15．（2023·全国·九年级专题练习）如图，A，C是双曲线上关于原点对称的点，B，D是双曲线上关于原点对称的点，圆弧与围成了一个封闭图形，当线段AC与BD都最短时，图中阴影部分的面积为________．答案：分析：设点A，要使当线段AC与BD都最短，就是使OA最短，利用勾股定理表示出OA与x的函数解析式，将其函数解析式转化为顶点式，利用二次函数的性质可求出OA的最小值，即可求出AC的值；再利用同样的方法可求出BC的长；再证明△ABC是等边三角形，然后利用扇形的面积公式和三角形的面积公式可求出阴影部分的面积．【详解】解：设点A，要使当线段AC与BD都最短，就是使OA最短，∴，∴当时，OA的最小值为，∴x=1（负值舍去），∴点A（1，1），点；∴AC=，设点B，要使当线段BD都最短，就是使OB最短，∴，∴当时，OB的最小值为，∴x=-（负值舍去），∴点B，点D；∵点B和点D，点A和点C关于原点对称，∴BC=AB=CD=AD，∴，∴△ABC是等边三角形，∴BC=AC=AB，∴，∴S阴影部分=．故答案为：【点睛】本题考查了反比例函数，线段最值，二次函数求最值，等边三角形，弓形面积的计算，解题关键在于求出线段的最值．16．（2023·广东广州·中考真题）如图，正方形ABCD的边长为4，点E是边BC上一点，且，以点A为圆心，3为半径的圆分别交AB、AD于点F、G，DF与AE交于点H．并与交于点K，连结HG、CH．给出下列四个结论．（1）H是FK的中点；（2）；（3）；（4），其中正确的结论有________（填写所有正确结论的序号）．答案：（1）（3）（4）．分析：由正方形的性质可证明，则可推出，利用垂径定理即可证明结论（1）正确；过点H作交BC于N，交AD于M，由三角形面积计算公式求出，再利用矩形的判定与性质证得，并根据相似三角形的判定与性质分别求出，，则最后利用锐角三角函数证明，即可证明结论（2）错误；根据（2）中结论并利用相似三角形的性质求得，即可证明结论（3）正确；利用（1）所得结论并由勾股定理求出FH，再求得DK，即可证明结论（4）正确．【详解】解：（1）∵四边形ABCD是正方形，∴，．又∵，∴．∴．∵，∴，∴，∴，∴，即H是FK的中点；故结论（1）正确；（2）过点H作交BC于N，交AD于M，由（1）得，则．∵，∴．∵四边形ABCD是正方形，，∴．∴四边形ABNM是矩形．∴，．∵，∴．即．∵，∴．∵，∴．∴．即．解得．则．∵，．∵，，∴．∴．∴．∴与不全等，故结论（2）错误；（3）∵，∴．即．解得．由（2）得，．∴；故结论（3）正确；（4）由（1）得，H是FK的中点，∴．由勾股定理得．∴；故结论（4）正确．故答案为：（1）（3）（4）．【点睛】本题考查了正方形的综合问题，掌握特殊四边形、相似三角形的判定与性质及等腰三角形的性质是解题的关键．17．（2023·全国·九年级月考）如图，CD为⊙O的直径，AB为⊙O中长度为定值的弦，AB＜CD．作AE⊥CD于E，连接AC，BC，BE．下列四个结论中：①O到AB的距离为定值；②BE＝BC；③当OE＝AE时，∠ABC＝67.5°或22.5°；④∠BAE+2∠ACD为定值．正确的是___．（填所有正确的序号）答案：①④分析：对于①：过O点作OH垂直AB，由垂径定理即可求解；对于②：举反例，当A、B、E三点共线时，即：CD⊥AB时，此时BE＜BC，；对于③由OE＝AE时△AOE为等腰直角三角形，得到∠AOE=45°，进而得到∠AOC=180°-45°=135°，再由同弧所对的圆周角等于圆心角的一半即可求解；对于④：由已知得到∠ACD=∠DAE，进而得到∠BAE+2∠ACD=∠DCB+∠ACD=∠ACB，由AB为定弦即可求解．【详解】解：对于①：过O点做OH⊥AB于H点，如下图所示：由垂径定理可知：，由于AB为⊙O中长度为定值的弦，∴AH为定值，且圆O确定后其半径也为定值，∴必为定值，故①正确；对于②：当A、B、E三点共线时，即：CD⊥AB时，此时BE＜BC，故②错误；对于③：当OE＝AE时，连接OA，由已知条件AE⊥CD可知，△AOE为等腰直角三角形，此时E点在以AO的中点为为圆心，为半径的圆上，如上左图所示：当E点位于AO下方时，此时∠AOE=45°，∠AOC=180°-45°=135°，∴，当E点位于AO上方时，如上右图所示，此时∠AOE=45°，∠AOC=180°-45°=135°，∴，故③错误；对于④：连接AO、AD，如下图所示，∵CD为圆O的直径，∴∠CAD=90°，∴∠ACD+∠ADC=90°，又∠DAE+∠ADC=90°，∴∠ACD=∠DAE，由同弧所对的圆周角相等可知，∠DAB=∠DCB，∴∠BAE+2∠ACD=(∠BAE+∠ACD)+∠ACD=(∠BAE+∠DAE)+∠ACD=∠DAB+∠ACD=∠DCB+∠ACD=∠ACB，∵AB为定值，∴∠ACB为定值，∴∠BAE+2∠ACD为定值，故④正确；故答案为：①④．【点睛】本题考查了同弧所对的圆周角等于圆心角的一半、垂径定理、等腰直角三角形的性质等，熟练掌握圆周角定理及其推论是解决本类题的关键．18．（2023·浙江浙江·九年级期中）小明准备以“青山看日出”为元素为永嘉县某名宿设计标志示意图，如图所示，他利用两个等边三角形和一个圆分别表示青山和日出，已知点B，E，C，F在同一条直线上，且，四边形和四边形的面积之差为，则的长是______；连结，若是的内切圆，则圆心O到的距离是_______．答案：2分析：设CF=x，表示出相关线段的长，根据四边形和四边形的面积之差，得到，求出x值即可；连结AD，连接OG并延长交BF于点，设圆与AC的切点为，连接OH，连接AE，作，垂足为，证明为直角三角形，求出内切圆半径，再根据切线长定理得到∠HGO，从而证明OM⊥BF，求出GM，从而得到OM即可．【详解】解：∵，∴设，则，∴，，∵△ABC与△DEF为等边三角形，∴，，∵，∴，∴，∴，∴．连结AD，连接OG并延长交BF于点，设圆与AC的切点为，连接OH，连接AE，作，垂足为，∵等边△ABC的边长为，为BC中点，∴，，∵，∴，∵，∴，，∴，∴，∵，，∴，∴，为直角三角形，∴内切圆半径，∵，∴，∴，∵，，∴，∴，∴，∵，∴，∴圆心到BF的距离为，故答案为：2，．【点睛】本题是圆的综合题，考查了等边三角形的性质，勾股定理，切线长定理，切线的性质，19．（2023·浙江浙江·九年级期中）如图，已知中，，作的外接圆，直径将圆分成上下两部分，点E为上半圆上的动点，点B，C在下半圆上，连结，过点B作，交的延长线于点F，则周长的最大值为________．答案：分析：连结BD，过作于，首先得到HC和HB的关系，再证明AH=BH，可得AC=BH，根据AC求出AB，利用圆周角定理证明∠ABD=90°，从而推出∠F=30°，得到BF和EF，即可表示出△BEP的周长，可得当且仅当BE经过圆心，BE为⊙的直径时，BE取得最大值为时，△BEF的周长最大．【详解】解：连结BD，过作于，在中，，，∴．在中，，，∴，∴，∴．∵，∴，∴．∵AD是⊙的直径，∴．∵，∴．在中，，∵，，∴，∴，，∴．当且仅当BE经过圆心，BE为⊙的直径时，BE取得最大值为时，的周长最大，∴△BEF的周长最大值为．故答案为：．【点睛】本题是圆的综合题，考查了圆周角定理，直角三角形的性质，解题的关键是用BE表示出△BEF的周长．20．（2023·浙江杭州·九年级期中）在平面直角坐标系中，若菱形的两条对角线分别与轴、轴平行，则称该菱形为坐标平面内的“规则菱形”．已知点，，的坐标分别为，，，现以点为圆心，长为半径作，若在上存在点，线段上存在点，使以点，为相邻顶点的“规则菱形”为正方形，则的取值范围是______．答案：分析：如图，作点A关于x轴点对称点G，连接AG交x轴于H，以AG为对角线作正方形ADGE，可得正方形ADGE是“规则菱形”，根据以点，为相邻顶点的“规则菱形”为正方形可知△AHE为等腰直角三角形，根据点A坐标可得点E坐标，当点N与点B重合时，过点B作BF//AE，当⊙C与BF相切时，c有最大值，根据⊙C半径及等腰直角三角形点性质可求出FC1的长，可得点C坐标，即可得出c值，同理，当点N与点A重合时可求出点c的最小值，即可得c点取值范围．【详解】如图，作点A关于x轴点对称点G，连接AG交x轴于H，以AG为对角线作正方形ADGE，∴HD=HE，AH=HG，DE⊥AG，AG⊥x轴，∴点D、E在x轴上，△AHE为等腰直角三角形，正方形ADGE是“规则菱形”，∴AH=EH，∠AEH=45°，∵A（2，5），B（5，5），∴OE=7，AB=3，AB//EF，∵以点，为相邻顶点的“规则菱形”为正方形，∴当点N与点B重合时，过点B作BF//AE，则四边形AEFB是平行四边形，∴AB=EF，当⊙C与BF相切于M时，c有最大值，∴OF=10，∵BF//AE，∴∠BFE=45°，∵⊙C半径为，⊙C与BF相切于M，∴C1M⊥BF，C1M=，∵∠C1FM=45°，∴C1M=FM=，∴FC1=4，∴OC1=14，∴C1（14，0），即c=14，同理，当点N与点A重合时可得⊙C与AD相切时，c有最小值，HD=5，OD=3，C2D=4，∴OC2=7，∴C2（-7，0），即c=-7，∴的取值范围是．故答案为：．【点睛】本题考查圆综合题、正方形的性质、解题的关键是理解题意，学会利用图象解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题．21．（2023·广东·执信中学模拟预测）在一次数学探究活动中，李老师设计了一份活动单：已知线段，使用作图工具作，尝试操作后思考：（1）这样的点A唯一吗？（2）点A的位置有什么特征？你有什么感悟？“追梦”学习小组通过操作、观察、讨论后汇报：点A的位置不唯一，它在以为弦的圆弧上（点B、C除外），……．小华同学画出了符合要求的一条圆弧（如图1）．（1）小华同学提出了下列问题，请你帮助解决．①该弧所在圆的半径长为___________；②面积的最大值为_________；（2）经过比对发现，小明同学所画的角的顶点不在小华所画的圆弧上，而在如图1所示的弓形内部，我们记为，请你利用图1证明；（3）请你运用所学知识，结合以上活动经验，解决问题：如图2，已知矩形的边长，，点P在直线的左侧，且．①线段长的最小值为_______；②若，则线段长为________．答案：（1）①2；②；（2）见解析；（3）①；②分析：（1）①设O为圆心，连接BO，CO，根据圆周角定理得到∠BOC=60°，证明△OBC是等边三角形，可得半径；②过点O作BC的垂线，垂足为E，延长EO，交圆于D，以BC为底，则当A与D重合时，△ABC的面积最大，求出OE，根据三角形面积公式计算即可；（2）延长BA′，交圆于点D，连接CD，利用三角形外角的性质和圆周角定理证明即可；（3）①根据，连接PD，设点Q为PD中点，以点Q为圆心，PD为半径画圆，可得点P在优弧CPD上，连接BQ，与圆Q交于P′，可得BP′即为BP的最小值，再计算出BQ和圆Q的半径，相减即可得到BP′；②根据AD，CD和推出点P在∠ADC的平分线上，从而找到点P的位置，过点C作CF⊥PD，垂足为F，解直角三角形即可求出DP．【详解】解：（1）①设O为圆心，连接BO，CO，∵∠BAC=30°，∴∠BOC=60°，又OB=OC，∴△OBC是等边三角形，∴OB=OC=BC=2，即半径为2；②∵△ABC以BC为底边，BC=2，∴当点A到BC的距离最大时，△ABC的面积最大，如图，过点O作BC的垂线，垂足为E，延长EO，交圆于D，∴BE=CE=1，DO=BO=2，∴OE==，∴DE=，∴△ABC的最大面积为=；（2）如图，延长BA′，交圆于点D，连接CD，∵点D在圆上，∴∠BDC=∠BAC，∵∠BA′C=∠BDC+∠A′CD，∴∠BA′C＞∠BDC，∴∠BA′C＞∠BAC，即∠BA′C＞30°；（3）①如图，当点P在BC上，且PC=时，∵∠PCD=90°，AB=CD=2，AD=BC=3，∴tan∠DPC==，为定值，连接PD，设点Q为PD中点，以点Q为圆心，PD为半径画圆，∴当点P在优弧CPD上时，tan∠DPC=，连接BQ，与圆Q交于P′，此时BP′即为BP的最小值，过点Q作QE⊥BE，垂足为E，∵点Q是PD中点，∴点E为PC中点，即QE=CD=1，PE=CE=PC=，∴BE=BC-CE=3-=，∴BQ==，∵PD==，∴圆Q的半径为，∴BP′=BQ-P′Q=，即BP的最小值为；②∵AD=3，CD=2，，则，∴△PAD中AD边上的高=△PCD中CD边上的高，即点P到AD的距离和点P到CD的距离相等，则点P到AD和CD的距离相等，即点P在∠ADC的平分线上，如图，过点C作CF⊥PD，垂足为F，∵PD平分∠ADC，∴∠ADP=∠CDP=45°，∴△CDF为等腰直角三角形，又CD=2，∴CF=DF==，∵tan∠DPC==，∴PF=，∴PD=DF+PF==．【点睛】本题是圆的综合题，考查了圆周角定理，三角形的面积，等边三角形的判定和性质，最值问题，解直角三角形，三角形外角的性质，勾股定理，知识点较多，难度较大，解题时要根据已知条件找到点P的轨迹．22．（2023·四川广元·中考真题）如图，在正方形中，点O是对角线的中点，点P在线段上，连接并延长交于点E，过点P作交于点F，连接、，交于G，现有以下结论：①；②；③；④为定值；⑤．以上结论正确的有________（填入正确的序号即可）．答案：①②③⑤分析：由题意易得∠APF=∠ABC=∠ADE=∠C=90°，AD=AB，∠ABD=45°，对于①：易知点A、B、F、P四点共圆，然后可得∠AFP=∠ABD=45°，则问题可判定；对于②：把△AED绕点A顺时针旋转90°得到△ABH，则有DE=BH，∠DAE=∠BAH，然后易得△AEF≌△AHF，则有HF=EF，则可判定；对于③：连接AC，在BP上截取BM=DP，连接AM，易得OB=OD，OP=OM，然后易证△AOP∽△ABF，进而问题可求解；对于④：过点A作AN⊥EF于点N，则由题意可得AN=AB，若△AEF的面积为定值，则EF为定值，进而问题可求解；对于⑤由③可得，进而可得△APG∽△AFE，然后可得相似比为，最后根据相似三角形的面积比与相似比的关系可求解．【详解】解：∵四边形是正方形，，∴∠APF=∠ABC=∠ADE=∠C=90°，AD=AB，∠ABD=45°，①∵，∴由四边形内角和可得，∴点A、B、F、P四点共圆，∴∠AFP=∠ABD=45°，∴△APF是等腰直角三角形，∴，故①正确；②把△AED绕点A顺时针旋转90°得到△ABH，如图所示：∴DE=BH，∠DAE=∠BAH，∠HAE=90°，AH=AE，∴，∵AF=AF，∴△AEF≌△AHF（SAS），∴HF=EF，∵，∴，故②正确；③连接AC，在BP上截取BM=DP，连接AM，如图所示：∵点O是对角线的中点，∴OB=OD，，∴OP=OM，△AOB是等腰直角三角形，∴，由①可得点A、B、F、P四点共圆，∴，∵，∴△AOP∽△ABF，∴，∴，∵，∴，故③正确；④过点A作AN⊥EF于点N，如图所示：由②可得∠AFB=∠AFN，∵∠ABF=∠ANF=90°，AF=AF，∴△ABF≌△ANF（AAS），∴AN=AB，若△AEF的面积为定值，则EF为定值，∵点P在线段上，∴的长不可能为定值，故④错误；⑤由③可得，∵∠AFB=∠AFN=∠APG，∠FAE=∠PAG，∴△APG∽△AFE，∴，∴，∴，∴，故⑤正确；综上所述：以上结论正确的有①②③⑤；故答案为①②③⑤．【点睛】本题主要考查正方形的性质、旋转的性质、圆的基本性质及相似三角形的性质与判定，熟练掌握正方形的性质、旋转的性质、圆的基本性质及相似三角形的性质与判定是解题的关键．23．（2023·江西·中考真题）如图，在边长为的正六边形中，连接，，其中点，分别为和上的动点，若以，，为顶点的三角形是等边三角形，且边长为整数，则该等边三角形的边长为______．答案：9或10或18分析：根据点，分别为和上的动点，以，，为顶点的三角形是等边三角形，先在脑海中生成运动的动态图，通过从满足条件的特殊的情况入手，然后再适当左右摆动图形，寻找其它可能存在的解．【详解】解：如下图：（1）当M，N分别与B，F重合时，在中，由题意得：，易算得：，根据正多边形的性质得，，为等边三角形，即为等边三角形，边长为18，此时已为最大张角，故在左上区域不存在其它解；（2）当M，N分别与DF，DB的中点重合时，由（1）且根据三角形的中位线得：，，△DMN为等边三角形，边长为9，（3）在（2）的条件下，阴影部分等边三角形会适当的左右摆动，使得存在无数个这样的等边三角形且边长会在到之间，其中包含边长为，，，且等边三角形的边长为整数，边长在到之间只能取9或10，综上所述：该等边三角形的边长可以为9或10或18．故答案是：9或10或18．【点睛】本题考查了正多边形中动点产生等边三角形问题，解题的关键是：根据等边三角形的边只能取整数为依据，进行分类讨论，难点在于阴部部分等边三角形向左右适当摆动时如何取边长的整数值．24．（2023·浙江义乌·九年级期中）如图，要设计一个装彩铅的圆柱体纸盒，已知每支铅笔大小相同，底面均为正六边形，边长记作．下面我们来探究纸盒底面半径的最小值：（1）如果要装10支铅笔，小蓝画了图①、图②两种排列方式，请你通过计算，判断哪种方式更节省空间：_______．（填①或②）（2）如果要装24支铅笔，请你模仿以上两种方式，算出纸盒底面最小半径是_______．（用含a的代数式表示）答案：图①分析：(1)图①由10个正六边形构成，图②由10个正六边形和4个正三角形构成，分别计算出其面积比较大小即可，(2)要装24支铅笔，要使纸盒底面最小，按图①方式排每个正六边形相邻的空间最小计算出半径即可；【详解】（1）∵一个正六边形可以分为6个全等的等边三角形，且边长为∴小三角形的高=∴，图①由10个正六边形构成，图②由10个正六边形和4个正三角形构成∵∴图①更节省空间故答案为：①（2）由（1）可知，每个正六边形相邻空间最小，此时的盒地面半径最小，如图以中点O为圆心，OA长为半径纸盒底面半径最小,过O点作OB⊥AB，由（1）可知，OB=在Rt△AOB中，AB=a，OBOA=纸盒底面最小半径是故答案为：【点睛】此题主要考查了平面镶嵌，正多边形的面积，勾股定理，以及圆的知识，解题的关键要读懂题意画出示意图．三、解答题25．（2023·浙江·诸暨市暨阳初级中学九年级月考）如图，直线分别与x轴，y轴相交于点A，点B，作矩形ABCD，其中点C，点D在第一象限，且满足AB∶BC＝2∶1．连接BD．（1）求点A，点B的坐标．（2）若点E是线段AB（与端点A不重合）上的一个动点，过E作EF∥AD，交BD于点F，作直线AF．①过点B作BG⊥AF，垂足为G，当BE＝BG时，求线段AE的长度．②若点P是线段AD上的一个动点，连结PF，将△DFP沿PF所在直线翻折，使得点D的对应点落在线段BD或线段AB上．直接写出线段AE长的取值范围．答案：（1）A（6，0），B（0，8）；（2）①4；②或分析：（1）分别令中x=0、y=0，求出与之对应的y、x值，由此即可得出点A，点B的坐标；（2）由题意证，得出AF＝AD，设BE＝x，EF＝0.5x，AE＝10－x，即可求出线段AE的长度；在线段AB上时：（考虑以F为圆心的圆与AB相交的情况），分情况讨论即可．【详解】（1）令中x=0，则y=8，；令中y=0，则x=6，；（2）①由BE＝BG，，，∠BDA＝∠BFE＝∠BFG＝∠AFD，可得：AF＝AD，，，又AB∶BC＝2∶1，，，设BE＝x，EF＝0.5x，AE＝10－x，在Rt△AEF中：，可得x＝6，AE＝4；②当在BD上时，当P与A重合时，AE最长，即时，AE最长，，，，，，，当时，可把翻折到BD上；当在线段AB上时：当DP＝P时，与A重合，PF为AD中垂线，PF为中位线，AE＝5，（若此时E再上移，以F为圆心，FD为半径作圆，与AB不会有交点，所以）；当FE＝FD时：与E重合，设则，，由，得：，，，即，当在AB上时，．综上，或．【点睛】本题考查了一次函数图像上点的坐标特征、全等三角形的判定与性质和勾股定理，解题关键是理解题意，熟练掌握相关性质．26．（2023·湖北·武汉一初慧泉中学九年级月考）在△ABC中，CD平分∠ACB交AB于点D．（1）若BH平分∠ABC交CD于点H，已知∠A=82°，求∠BHC的度数；（2）如图2，若G为△ABC的内心，E，F分别为BC，AC边上的点，且CE=CF，BE=5，AF=2，求EF的长；（3）如图3，AF⊥BC于点F，交CD于点H，已知∠ADC=45°，tan∠ACD=，CF=3，直接写出BF的长．答案：（1）131°；（2）；（3）分析：（1）由角平分线的性质得出∠OBC=∠ABC，∠HCB=∠ACB，再由三角形内角和定理即可得出结论；（2）由点G为内心，得到∠BGC=90°+∠BAC，证明△BEG∽△GFA，利用相似三角形的性质即可求解；（3）设∠ACD=，HM=m，则∠ACD=∠BCD=∠MAH=，利用正切函数以及相似三角形的判定和性质求得AM=3m，DH=4m，CD=12m，CN=，NF=，最后由△BDN△BAF，即可求解．【详解】解：（1）∵CD平分∠ACB，BH平分∠ABC，∴∠ACD=∠BCD，∠ABH=∠CBH，∵∠A=82°，∴∠ABC+∠ACD=180°−∠A=98°，∴∠CBH+∠BCH=(∠ABC+∠ACD)=49°，∴∠BHC=180°−(∠CBH+∠BCH)=131°；（2）连AG，BG，∵点G为内心，∴∠BAG=∠CAG，∠ABG=∠CBG，同（1）可得到：∠BGC=90°+∠BAC，∵CE=CF，CD平分∠ACB，∴∠ACD=∠BCD，EG=FG，CG⊥EF，∴∠BEG=∠GFA，∠BGE=∠GAF，∴△BEG∽△GFA，∴，∴，∴；（3）如图，过点A作AM⊥CD于点M，过点D作DN⊥BC于点N，∵CD平分∠ACB，∴∠ACD=∠BCD，∵∠AMH=∠AFC=90°，∠AHM=∠CHF，∴∠ACD=∠BCD=∠MAH，设∠ACD=，HM=m，则∠ACD=∠BCD=∠MAH=，∵tan∠ACD=，则tan∠ACD=tan∠BCD=tan∠MAH==，在Rt△BDA中，HM=m，∴AM=3m，AH=，∵∠ADC=45°，∴AM=DM=3m，则DH=4m，在Rt△AMC中，AM=3m，∴CM=9m，CH=CM-HM=8m，CD=CH＋HD=12m，∴，∵AF⊥BC，DN⊥BC，∴HF∥DN，∴△CHF△CDN，∴，∵CF=3，∴CN=，NF=，DN=HF，在Rt△CFH中，CH=8m，CF=3，∵=，∴HF=，∴CH=，∴m=，∴AF=AH+HF=，DN=HF=，∵AF∥DN，∴△BDN△BAF，∴，∴BN=BF=2NF=3，∴BF=BN+NF=3．【点睛】本题考查三角形综合题、三角形内心的定义，相似三角形的判定和性质、角平分线的性质、解直角三角形等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题．27．（2023·浙江·杭州市采荷中学二模）在中，，以为直径的交于点．（1）如图①，以点为圆心，为半径作圆弧交于点，连结，若，求；（2）如图②，过点作的切线交于点，求证：；（3）如图③，在（1）（2）的条件下，若，求的值．答案：（1）见解析；（2）见解析；（3）分析：（1）由三角形内角和角的计算问题；（2）证明，则，得到，即可求解；（3）设，，，则，由，得到，同理可得：，即可求解．【详解】解：（1）由题意知，，，，又，；（2）如图2，为圆的切线，连接，则，，，，，，，且．．，；（3）过作的垂线交于，过作的垂线交于，连接，，，，设，，，则，而，，则，，则，，，同理可得：，则，所以．【点睛】本题为圆的综合题，主要考查圆的有关性质以及圆中切线性质的应用，题目难度不大．28．（2023·黑龙江·哈尔滨市第六十九中学校九年级月考）已知，E为正方形ABCD中CD边上一点，连接BE，过点C作CF⊥BE交AD于F，垂足为G．（1）如图1，求证：CE＝DF；（2）如图2，连接AG、BF，交于点H，求证：∠ABF＝∠AGF；（3）如图3，在（2）的条件下，若AG＝AB＝11，求线段GH的长．答案：（1）证明见解析，（2）证明见解析，（3）6分析：（1）证明△BCE≌△CDF即可；（2）取BF中点O，连接OA、OG，证明A、B、G、F四点共圆即可；（3）作AK⊥BG于K，HN⊥AB于N，GM⊥AB于M，根据等腰三角形的性质得出，进而得出∠BAG的正切值，求出AH长即可．【详解】（1）证明∵四边形ABCD是正方形，∴CB＝CD，∠BCD＝90°，∵CF⊥BE，∴∠BGC＝90°，∴∠CBE+∠GCB＝90°，∠GCB+∠DCF＝90°，∴∠CBE＝∠DCF，∴△CBE≌△DCF（AAS），∴CE＝DF；（2）取BF中点O，连接OA、OG，∵∠BAF＝90°，∴OA=OF=OB，同理，OG=OF=OB，∴A、B、G、F四点在以O为圆心，OA为半径的圆上，如图所示，∴∠ABF＝∠AGF；（3）作AK⊥BG于K，HN⊥AB于N，GM⊥AB于M，∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝CB，∠ABC＝90°，∵AK⊥BG，∴∠AKB＝90°，∴∠BAK+∠ABK＝90°，∠ABK+∠CBG＝90°，∴∠BAK＝∠CBG，∴△BAK≌△CBG（AAS），∴AK＝BG；∵AG＝AB＝11，∴，∴，∴BC＝2EC，由（1）得，DC＝2DF，∴，∴∵MG∥CB，∴∠MGB＝∠CBG，∴MG＝2MB，AM＝11-MB，,解得，，（舍去），，，∴，∴，∵，∴，解得，，则，，GH=11-5=6．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，解直角三角形，圆周角定理等知识，解题关键是恰当的作辅助线，熟练运用相关性质进行推理证明．29．（2023·黑龙江·哈尔滨市萧红中学九年级月考）已知AB、CD为的两条弦，．

（1）如图1，求证弧弧BD；（2）如图2，连接AC、BC、OA、BD，弦BC与半径OA相交于点G，延长AO交CD于点E，连接BE，使，若，求证：四边形ABEC为菱形；（3）在（2）的条件下，CH与相切于点C，连接CO并延长交BE于点F，延长BE交CH于点H，，，求CH长．答案：（1）见解析；（2）见解析；（3）分析：（1）直接根据同圆中，相等的圆周角所对的弧相等可得结论；（2）根据圆周角定理，以及等腰三角形的性质可得，即可得出四边形为平行四边形，根据对角线垂直的平行四边形为菱形可得结论；（3）延长交于,连接，过作于点，设，根据勾股定理相似三角形的性质求出的值，即可得出，根据锐角三角函数可得结果．【详解】解：（1）连接,

∵，∴,∴；（2）∵，∴,即,∴,∵，∴,∴,∴,∵，∴四边形为平行四边形，∵，即,∴四边形ABEC为菱形；（3）延长交于,连接，过作于点，∴,,∵,设，∴，∴，∵四边形ABEC为菱形，∴，∴，∵,∴,即，解得：，∴,∵,∴,∴,∵,∴，∴,解得：．【点睛】本题考查了圆周角定理，菱形的判定与性质，平行线分线段成比例定理等知识点，熟知性质定理是解本题的关键．30．（2023·江苏·泗阳县实验初级中学九年级月考）如图1，在正方形ABCD中，点E、F分别是BC、CD上的两个动点，且，AE和BF相交于点P．（1）探究AE、BF的关系，并说明理由；（2）求证：A、D、F、P在同一个圆上；（3）如图2，若正方形ABCD的边AB在y轴上，点A、B的坐标分别为、，点E、F分别是BC、CD上的两个点，且，AE和BF相交于点P，点M的坐标为，当点P落在以M为圆心1为半径的圆上．求a的取值范围．答案：（1）AE=BF，且AEBF，见解析；（2）见解析；（3）分析：（1）证明△ABE≅△BCF(SAS)，得AE=BF（2）由△ABE≅△BCF(SAS)得到，再利用同角的余角相等，解得（3）如图，先计算AB=2a，由可得在以为圆心，半径为的圆上，再确定点落在上的两个临界点，即两圆外切与两圆内切时，从而可得答案．【详解】解：（1）在正方形ABCD中，AB=BC,，在和中，AE=BF，∵，，∴，AEBFAE=BF，且AEBF；（2）由（1）知，A、D、F、P在以AF为直径的同一个圆上；（3）的中点的坐标为：如图，结合（1）可得：在以为圆心，半径为的圆上，要在以为圆心，半径为的圆上，当外切时，过作于则而如图，当内切时，过作于则同理可得：所以：当点P落在以M为圆心1为半径的圆上．a的取值范围为：

【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质、勾股定理的应用，90°所对的弦是直径、两圆的外切与内切的性质，四点共圆的知识，解题的关键是判断两圆外切与内切是解题的临界位置．31．（2023·江苏省盐城中学新洋分校九年级月考）如图，矩形ABCD中，AB＝8，AD＝5，点O、P分别在AB、AD边上运动，以点O为圆心、OA为半径作⊙O，连接BP，把⊙O沿着BP翻折得⊙Q．（1）若⊙O的半径r＝1．①DQ的最小值为．②当DC切⊙Q于点E时，求CE长．（2）当⊙Q在运动的过程中与BC边始终没有公共点时，请直接写出⊙O的半径r的值或取值范围．答案：（1）①；②；（2）r＞或0＜r＜时，⊙Q在运动的过程中与BC边始终没有公共点．分析：（1）①连接BD交圆弧于点Q，点Q在以B为圆心，BO长为半径的圆上，可知当B、Q、D三点在一条线上时，DQ最小，结合勾股定理即可求解；②连接QE，BQ，过点Q作QM⊥BC，可得四边形MCEQ是矩形，进而即可求解；（2）取两个临界状态：当点P与点A重合时，⊙O恰好过点C时，连接OC，当点P与点D重合时，⊙Q恰好过点C时，此时点Q在CD上，连接OQ交BD于点M，分别求出对应的r，进而即可得到答案．【详解】解：（1）①以B为圆心，BO长为半径画弧，连接BD交圆弧于点Q，由翻折的性质可得：BO=BQ，且点Q在以B为圆心，BO长为半径的圆上，∴当B、Q、D三点在一条线上时，DQ最小，∵AB=8，OA=1，∴BQ=BO=8-1=7，∴DQ的最小值=BD-BQ=，故答案是：；②连接QE，BQ，过点Q作QM⊥BC，∵DC切⊙Q于点E，即：QE⊥CD，∴四边形MCEQ是矩形，∴CM=QE=1，BM=5-1=4，在中，MQ=，∴CE=MQ=；（2）如图：当点P与点A重合时，⊙O恰好过点C时，连接OC，设OC=OP=r，则OB=8-r，∴，解得：r=，∴当点P在AD边上运动，r＞时，⊙Q在运动的过程中与BC边始终没有公共点；如图：当点P与点D重合时，⊙Q恰好过点C时，此时点Q在CD上，连接OQ交BD于点M，则OQ垂直平分BD，∵cos∠BDC=，DM=，∴，解得：DQ=，∴r=CQ=AO=8-=，∴当点P在AD边上运动，0＜r＜时，⊙Q在运动的过程中与BC边始终没有公共点，综上所述：r＞或0＜r＜时，⊙Q在运动的过程中与BC边始终没有公共点．【点睛】本题主要考查圆的性质和矩形的性质，轴对称的性质，切线的性质，分类画出图形，添加辅助线，是解题的关键．32．（2023·江苏省盐城中学新洋分校九年级月考）如图，AB是⊙O的直径，点C是弧AB的中点，连接AC、BC，点Q是△ABC内一点，且有∠QAB＝∠QCA．（1）求∠AQC的度数．（2）线段QA、QC、QB三者之间的数量关系为：，并说明理由．（3）若，求∠AQB的度数．答案：（1）135°；（2）AQ2+2QC2=BQ2，理由见详解；（3）150°分析：（1）先证是等腰直角三角形，可得∠QAB+∠QAC=∠BAC=45°，进而即可得到答案；（2）把CQ绕点C顺时针旋转90°得到CQ’，连接QQ’，AQ’，则是等腰直角三角形，再证，∠AQQ’=135°-45°=90°，进而即可得到答案；（3）设CQ=3x，AQ=，则QQ’=3x，从而得tan∠AQ’Q=，即：∠AQ’Q=30°，结合，即可得到答案．【详解】解：（1）∵AB是⊙O的直径，点C是弧AB的中点，∴是等腰直角三角形，∴∠QAB+∠QAC=∠BAC=45°，∵∠QAB＝∠QCA，∴∠QCA+∠QAC=45°，∴∠AQC=180°-（∠QCA+∠QAC）=135°；（2）如图：把CQ绕点C顺时针旋转90°得到CQ’，连接QQ’，AQ’，则是等腰直角三角形，∴∠CQQ’=45°，QQ’=QC，∵∠QCQ’=∠ACB=90°，∴∠ACQ’=∠BCQ，又∵AC=BC，CQ=CQ’，∴，∴AQ’=BQ，∵∠AQC=135°，∴∠AQQ’=135°-45°=90°，∴AQ2+QQ’2=AQ’2，∴AQ2+2QC2=BQ2；（3）∵，∴设CQ=3x，AQ=，则QQ’=3x，∴tan∠AQ’Q=，即：∠AQ’Q=30°，∴∠AQ’C=30°+45°=75°，∵，∴∠BQC=∠AQ’C=75°，∴∠AQB=360°-135°-75°=150°．【点睛】本题主要考查圆的综合以及全等三角形的判定和性质，旋转的性质，勾股定理，锐角三角函数，添加辅助线构造全等三角形是解题的关键．33．（2023·重庆一中九年级月考）如图，在等腰中，，，垂足为，点为边上一点，连接并延长至，使，以为底边作等腰．（1）如图1，若，，求的长；（2）如图2，连接，，点为的中点，连接，过作，垂足为，连接交于点，求证：；（3）如图3，点为平面内不与点重合的任意一点，连接，将绕点顺时针旋转得到，连接，，直线与直线交于点，为直线上一动点，连接并在的右侧作且，连接，为边上一点，，，当取到最小值时，直线与直线交于点，请直接写出的面积．答案：(1)；(2)见解析；(3)分析：(1)过E点作EH⊥AD于H点，在等腰Rt△ABC中求出，再结合已知条件∠ADE=30°求出，最后即可求出进而求