ch3信号的描述方法

第3章信号的描述方法

3.1信号的分类3.2信号的时域描述3.3信号的频域描述3.4随机信号的描述在工程和科学研究中，经常要对许多客观存在的物体或物理过程进行观测，就是为了获取有关研究对象状态与运动等特征方面的信息。被研究对象的信息量往往是非常丰富的，测试工作是按一定的目的和要求，获取信号中感兴趣的、有限的某些特定信息，而不是全部信息。为了达到测试目的，需要研究信号的各种描述方式，本章介绍信号基本的时域和频域描述方法。3.1信号的分类

信号按数学关系、取值特征、能量功率等，可以分为：确定性信号和非确定性信号连续信号和离散信号能量信号和功率信号3.1.1分类方法一：确定性信号和随机信号1.确定性信号：能用明确的数学关系式或图像表达的信号称为确定性信号。

mx(t)0x(t)f0Atk周期信号：经过一段时间间隔重复出现的信号，无始无终（时域无穷）。典型的如正（余）弦信号。周期：满足上式的最小T值。频率：周期的倒数，f=1/T，单位：（Hz赫兹）圆频率/角频率：频率乘以2

f,即

=2

f=2

/T

实际应用中，n通常取为正整数。数学表达：T0

=2

/0=1/f0(a)周期信号之--------正弦信号：tT0Ax(t)

0这种频率单一的正弦或余弦信号称为谐波信号。（如周期方波、周期三角波等）由多个乃至无穷多个频率成分（频率不同的谐波分量）叠加所组成，叠加后存在公共周期。x(t)=Asin0.5

t+Asin

t+Asin2

tx(t)t0(b)周期信号之------复杂周期信号(a)非周期信号之------准周期信号非周期信号能用明确的数学关系进行描述，但又不具有周期重复性的信号，称为非周期信号。它分为准周期信号和瞬态信号两类。也由多个频率成分叠加而成，但不存在公共周期（本质上不属于周期信号）。t是在有限时间段存在，或随着时间的增加而幅值衰减至零的信号，又称为瞬变非周期信号。x(t)t(b)非周期信号之------瞬态信号2.随机性信号：不能准确预测信号未来瞬时值，也无法用准确数学关系式来描述的信号，称为随机信号，也称不确定性信号。

特点：非确定性信号。具有不重复性（在相同条件下，每次观测的结果都不一样）、不确定性、不可预估性。采用概率和统计的方法进行描述。t0x(t)

3.1.2分类法二：连续信号和离散信号若信号数学表示式中的独立变量取值是连续的，则称为连续信号。若独立变量取离散值，则称为离散信号。t0连续信号t0离散信号3.1.3分类法三：能量信号和功率信号

如周期信号、准周期信号、随机信号等。信号的瞬时功率：

信号能量：

能量（有限）信号：功率（有限）信号：

信号在有限区间（t1,t2）上的平均功率：

如各类瞬变信号。

信号的时域描述以时间为独立变量，描述信号随时间的变化特征，

反映信号幅值随时间变化的关系。波形图：时间为横坐标的幅值变化图。

优点：形象、直观。

缺点：不能明显揭示信号的内在结构（频率组成关系）。信号的描述分时域描述与频域描述两大类方法。

3.2信号的时域描述

信号的频域描述应用傅里叶级数或傅里叶变换，对信号进行变换（分解），以频率为独立变量建立信号幅值、相位与频率的函数关系。频谱图：以频率为横坐标的幅值、相位变化图。幅值谱：幅值-频率图相位谱：相位-频率图频域描述抽取信号内在的频率组成及其幅值和相角的大小，描述更简练、深刻、方便。信号时域与频域描述的关系时域描述与频域描述是等价的，可以相互转换，两者蕴涵的信息相同；时域描述与频域描述各有用武之地；将信号从时域转换到频域称为频谱(specrtrum)分析；采用频谱图描述信号，需要同时给出幅值谱(amplitude

spectrun)和相位谱(phasespectrum)。3.2.1时域信号的合成与分解1.稳态分量与交变分量；2.偶分量与奇分量；3.实部分量与虚部分量；4.正交函数分量常用统计参数：均值、均方值和方差。

均值(mean)反映信号的静态分量，即常值分量：均方值(meansquare)反映信号的能量或强度：3.2.2信号的统计特征参数方差(Variance)反映信号偏离均值的波动情况：三者关系狄里赫利（Dirichet）条件：信号（函数）在一个周期内，若存在间断点，则间断点的数目为有限个。信号（函数）在一个周期内，极大值和极小值数目为有限个。信号（函数）在一个周期内满足绝对可积条件：3.3.1周期信号的频域描述（1）三角函数展开式

（傅里叶级数法）

3.3信号的频域描述

其中则可以展开为傅里叶系数

基础频率，简称基频式中进一步，可以改写为信号的幅值谱信号的相位谱两者合称信号的频谱例：求方波信号的频域描述（傅里叶级数法）……T0T0T02T020tx(t)解：由傅里叶变换定义有：X(t)为奇函数，

4A

4A34A50A(

)

03

05

0幅值谱0

03

05

0

(

)

/2相位谱x(t)0tT0周期方波信号的合成所合成的方波信号周期方波信号的时、频域描述

（2）复指数展开式所以：欧拉公式令：(n=0,±1,±2,…）其中：故用统一的公式描述傅里叶级数的复数形式为：按实频谱和虚频谱形式

幅频谱和相频谱形式

幅频谱图：|

Cn|-

实频谱图：

CnR

-虚频谱图：

CnI

-

相频谱图：

n-

例：画出余弦、正弦函数的实频及虚频谱图。

解：C-1=1/2，C1=1/2，Cn=0（n=0,2,

3,…）C-1=j/2，C1=-j/2，Cn=0（n=0,2,

3,…

）1x(t)=cos

0t0t1x(t)=sin

0tt0CnR0

0-01/21/2CnR0

0-0

0

0-01/2-1/2CnICnI0

0-0

An0

0

1An0

0

1单边幅频谱单边幅频谱|Cn|0

0-01/21/2|Cn|0

0-01/21/2双边幅频谱双边幅频谱几点结论复指数函数形式的频谱为双边谱（

从-到

+），三角函数形式的频谱为单边谱（

从0到+）。两种频谱各谐波幅值之间存在如下关系：双边幅值谱为偶函数，双边相位谱为奇函数

一般周期函数的复指数傅里叶展开式的实频谱总是偶对称的，虚频谱总是奇对称的。

综上所述，周期信号频谱的特点如下：周期信号的频谱是离散谱；每个谱线只出现在基波频率的整数倍上，基波频率是诸分量频率的公约数；复杂周期信号展开成傅里叶级数后，在频域上是无限的。工程上常见的周期信号，其谐波幅值随谐波次数的增高而减小

在频谱分析中没有必要取次数过高的谐波分量。3.3.2非周期信号的频域描述

瞬变信号例参见下页频率之比为有理数的多个谐波分量，其叠加后由于有公共周期，是周期信号。当信号中各个频率比不是有理数时，则信号叠加后是准周期信号（属非周期信号）。一般非周期信号是指瞬变信号。非周期信号准周期信号信号中各简谐成分的频率比为无理数

具有离散频谱瞬变信号在一定时间区间内存在或随时间的增长衰减至零准周期信号x(t)0tx(t)0t瞬变信号I0tx(t)瞬变信号II（1）傅里叶变换（非傅里叶级数）非周期信号可以看成是周期T0

趋于无穷大的周期信号。

Cn傅里叶变换（FT）

傅里叶逆变换（IFT）

以代入得记为：x(t)X(

)FTIFT可定义：用实、虚频谱形式和幅、相频谱形式写为

非周期信号的幅频谱和周期信号的幅频谱很相似，但是两者量纲不同。为信号幅值的量纲。为信号单位频宽上的幅值，是频谱密度函数。工程测试中为方便，仍称为频谱。

例：矩形窗函数的频谱（属非周期、瞬态信号，区别方波）

X(f)中τ称为窗宽，

1-τ/2τ/2tx(t)0森克函数，通常称窗函数X(f

)τA01τ1τf3τ3τ

(f)

01τ2τ3τ1τ2τ3τ2τ2τX(f)函数只有实部，没有虚部。非周期信号频谱的特点

基频无限小，包含了从0〜

的所有频率分量;

频谱连续;

|X(

)|与|Cn|量纲不同。|Cn|具有与原信号幅值相同的量纲，|X(

)|是单位频宽上的幅值。非周期信号频域描述的基础是傅里叶变换。（2）

傅里叶变换的主要性质

积分x(t

t0)时移

频域微分x(kt)尺度变换

时域微分x(-f)X(t)对称性

X1(f)

X2(f)x1(t)x2(t)频域卷积AX(f)+bY(f)ax(t)+by(t)线性叠加

X1(f)X2(f)x1(t)

x2(t)时域卷积实奇函数虚奇函数X*(-f)x*(t)共轭虚偶函数虚偶函数X(-f)x(-t)翻转

虚奇函数实奇函数X(f

f0)频移

实偶函数实偶函数函数的奇偶虚实性频域时域性质频域时域性质奇偶虚实性

若x(t)为实偶函数，则ImX(f)=0，X(f)为实偶函数。若x(t)为实奇函数，则ReX(f)=0，X(f)为虚奇函数。若x(t)为虚偶函数，则ReX(f)=0，X(f)为虚偶函数。若x(t)为虚奇函数，则ImX(f)=0，X(f)为实奇函数。若x(t)为实函数，则ReX(f)=ReX(-f)

ImX(f)=-ImX(-f)对称性：证明：

互换t

和f从而：X(t)

x(-f)尺度改变性

证明：（k>0）（k<0）综上所述时间尺度特性表明：信号在时域中压缩（k>1，变化速度加快）等效于在频域扩展（频带加宽）；反之亦然。尺度改变性质举例000000证明：因

t0为常数

则时移结果只改变信号的相频谱，不改变信号的幅频谱时移性(c)时移的时域矩形窗(d)图(c)对应的幅频和相频特性曲线

时移性质举例（a）时域矩形窗图（a）对应的幅频和相频特性曲线000000例：求三个窗函数的频谱。x(t)tT/2-T/2ττ1对于矩形窗函数w(t)问题描述为求w(t-τ)+w(t)+w(t+τ)的频谱根据时移性质频移特性

若f0为常数证明卷积特性

证明：函数x(t)与y(t)的卷积定义为同理可得微分特性证明：同理：傅里叶的两个最主要的贡献——周期信号都可表示为谐波关系的正弦信号的加权和

——傅里叶的第一个主要论点非周期信号都可用正弦信号的加权积分表示

——傅里叶的第二个主要论点3.3.3几种典型信号的频谱3.3.3.1单位脉冲函数(δ函数)的频谱

1.δ函数定义且其面积（强度）：

/2

01/

t

(t)0t

(t)2.δ函数的性质

采样性筛选性

筛选结果为x(t)在发生δ函数位置的函数值(又称为采样值)

卷积性

函数与其他函数的卷积示例

(t)0t1x(t)0tA0tAx(t)(t)

(t

t0)0tx(t)0t0t

(t+t0)

(t-t0)x(t)(t

t

0)-t0t0-t0t03.δ函数的频谱

对δ(t)取傅里叶变换

δ函数具有等强度、无限宽广的频谱，这种频谱常称为“均匀谱”。

δ函数是偶函数；由时移性质，对称性质，可以得到以下傅里叶变换对：0t

(t)10f

(f)1（各频率成分分别移相2

ft0）

(t

t0)

(f)（单位脉冲谱线）1（幅值为1的直流量）1（均匀频谱密度函数）

(t)（单位瞬时脉冲）频域时域单位脉冲函数的时、频域关系3.3.3.2矩形窗函数和常值函数的频谱

（1）矩形窗函数的频谱1-τ/2τ/2tx(t)0X(f

)τA01τ1τf3τ3τ

(f)

01τ2τ3τ1τ2τ3τ2τ2τf（2）常值函数(又称直流量)的频谱幅值为1的常值函数的频谱为f=0处的δ函数，即：进一步，利用傅里叶变换频移特性有：(3)单位阶跃函数的频谱单位阶跃函数可以看作是单边指数衰减函数α→0时的极限形式。≥当时，有当时，有说明在频率处存在冲击，其强度为单位阶跃函数及其频谱

因此，单位阶跃信号的频谱为01tx(t)0|X(f)|1－1

（4）正余弦(sine/cosine)函数的频谱密度函数

正余弦函数不满足绝对可积条件，不能直接对之进行傅里叶变换。由欧拉公式知：1/21/20fReX(f)-f0f01/2-1/20fImX(f)-f0f00tsin2

f0t0tcos2

f0t（5）梳状(comb)函数（周期单位脉冲序列）的频谱

Ts为周期；n为整数。梳状函数为周期函数。表示成傅里叶级数

（fs

=1/Ts）因为在（-Ts

/2，Ts/2）区间内只有一个

函数

(t)，故从而所以即梳状函数的频谱也为梳状函数，且其周期为原时域周期的倒数（1/Ts），脉冲强度为1/Ts。

...comb(t,Ts)10Ts2Ts-Ts-2Ts......COMB(f,fs)1/Ts01Ts2Ts1Ts2Ts（6）指数(exponent)函数的频谱双边指数衰减函数

其傅里叶变换为

≥单边指数衰减函数及其频谱

（7）符号(sign)函数及其频谱符号函数的频谱符号函数可以看作是双边指数衰减函数当a→0时的极限形式，即：≥3.4随机信号的频域描述

随机信号是机械工程中经常遇到的一种信号，其特点为时间函数不能用精确的数学关系式来描述；不能预测它未来任何时刻的准确值；对这种信号的每次观测结果都不同，但大量地重复试验可以看到它具有统计规律性，因而可用概率统计方法来描述和研究。产生随机信号的物理现象称为随机现象。表示随机信号的单个时间历程称为样本函数。某随机现象可能产生的全部样本函数的集合（也称总体）称为随机过程。随机信号的主要统计特征集合平均：