备战2024高考数学艺体生一轮复习讲义专题35圆的方程快速基础能力提升

专题35圆的方程快速基础实力提升【考点预料】一、基本概念平面内到定点的距离等于定长的点的集合（轨迹）叫圆.二、基本性质、定理与公式1、圆的四种方程（1）圆的标准方程：，圆心坐标为(a,b)，半径为（2）圆的一般方程：，圆心坐标为，半径（3）圆的直径式方程：若，则以线段AB为直径的圆的方程是（4）圆的参数方程：①的参数方程为（为参数）；②的参数方程为（为参数）.注：对于圆的最值问题，往往可以利用圆的参数方程将动点的坐标设为（为参数，(a,b)为圆心，r为半径），以削减变量的个数，建立三角函数式，从而把代数问题转化为三角问题，然后利用正弦型或余弦型函数的有界性求解最值.2、点与圆的位置关系推断（1）点与圆的位置关系：①点P在圆外；②点P在圆上；③点P在圆内.（2）点与圆的位置关系：①点P在圆外；②点P在圆上；③点P在圆内.三、直线与圆的位置关系直线与圆的位置关系有3种，相离，相切和相交四、直线与圆的位置关系推断1、几何法（圆心到直线的距离和半径关系）圆心到直线的距离，则：则直线与圆相交，交于两点，；直线与圆相切；直线与圆相离2、代数方法（几何问题转化为代数问题即交点个数问题转化为方程根个数）由，消元得到一元二次方程，判别式为，则：则直线与圆相交；直线与圆相切；直线与圆相离.五、两圆位置关系的推断用两圆的圆心距与两圆半径的和差大小关系确定，详细是：设两圆的半径分别是，（不妨设），且两圆的圆心距为，则：则两圆相交；两圆外切；两圆相离两圆内切；两圆内含（时两圆为同心圆）【典例例题】例1．（2024·全国·模拟预料）已知圆，圆，则同时与圆和圆相切的直线有（

）A．4条 B．3条 C．2条 D．0条【答案】B【解析】由圆，则圆心，半径；由圆，整理可得，则圆心，半径；由，则两圆外切，同时与两圆相切的直线有3条.故选：B.例2．（2024·高三课时练习）过圆与圆交点的直线方程为（

）.A． B．C． D．【答案】C【解析】联立，解得或，所以圆与圆交点为和，所以过两圆交点的直线方程为，即.故选：C例3．（2024秋·江苏无锡·高三统考期末）请写出一个与x轴和直线都相切的圆的方程______．【答案】（答案不唯一）【解析】因为圆与x轴与都相切，所以圆心在.不妨取，则.要使圆与x轴相切，只需半径为1.所以圆的方程为：．故答案为：（答案不唯一）.例4．（2024·陕西宝鸡·校联考模拟预料）已知直线被圆所截得的弦长为，则实数m=___________.【答案】【解析】圆的圆心为，半径，圆心到直线的距离，则弦长，解得.故答案为：.例5．（2024·河南郑州·统考一模）经过点以及圆与交点的圆的方程为______．【答案】【解析】联立，整理得，代入，得，解得或，则圆与交点坐标为，设经过点以及的圆的方程为,则，解得，故经过点以及圆与交点的圆的方程为，故答案为：例6．（2024春·江西·高三校联考阶段练习）经过点，，且面积最小的圆的标准方程为__________．【答案】【解析】圆的面积最小即直径最小，即当直径为AB时最小，此时圆心为，半径为，故所求圆的标准方程为.故答案为：.例7．（2024春·河南濮阳·高三统考开学考试）已知圆，的圆心都在坐标原点，半径分别为与．若圆的圆心在轴正半轴上，且与圆，均内切，则圆C的标准方程为_________．【答案】【解析】依题意可知圆心的横坐标为，半径为，故圆的标准方程为.故答案为：.例8．（2024·广东茂名·统考一模）过四点、、、中的三点的一个圆的方程为______（写出一个即可）.【答案】（答案不唯一）【解析】过，，时，设圆的方程为，则，解得，圆的方程是：，即；同理可得：过、、时，圆的方程是：；过，，时，圆的方程是：；过，，时，圆的方程是：.故答案为：.（、、、写其中一个即可）例9．（2024·广东·高三校联考阶段练习）若斜率为的直线与轴交于点，与圆相切于点，则______.【答案】

【解析】设直线的方程为，即则点，由于直线与圆相切，且圆心为，半径为，则，解得，所以，因为，故.故答案为：.例10．（2024春·广东韶关·高三校联考开学考试）已知点，，若线段与圆存在公共点，则的取值范围为_________.【答案】【解析】如图：当圆和线段AB相切时，圆的半径最小，当圆过B点时，圆的半径最大.圆的圆心为，半径为，，当圆和线段AB相切时，，即，，得，当圆过B点时，，得.故答案为：.例11．（2024春·浙江·高三开学考试）直线与圆相交于A，B两点，且（O为坐标原点），则__________．【答案】【解析】由得知O到直线的距离为，所以，得．故答案为：．例12．（2024·高三课时练习）圆心为，半径为的圆在x轴上截得的弦长等于______.【答案】8【解析】圆心到轴的距离，圆的半径，圆在x轴上截得的弦长等于.故答案为：.例13．（2024秋·黑龙江大庆·高三铁人中学校考期末）圆与圆的公共弦长为______．【答案】【解析】由，得圆心，且一般式为，公共弦方程为，，则弦长，故答案为：.例14．（2024秋·黑龙江哈尔滨·高三哈尔滨三中校考阶段练习）在平面直角坐标系中，已知圆经过点且圆心在射线上，被轴截得弦长为，点.(1)求圆的方程；(2)求过点且与圆相切的直线方程.【解析】（1）由题可设圆的圆心为，又圆经过点，且被轴截得弦长为，所以，又，解得，所以圆的方程为；（2）由题可知圆心为，半径为2，点，当直线斜率不存在时，与相切，故满意题意；当直线斜率存在时，可设切线为，即，则，解得，所以切线为，即；综上，过点且与圆相切的直线方程为或.【实力提升训练】一、单选题1．（2024·河北邢台·高三统考期末）已知圆与直线相切，则圆关于直线对称的圆的方程为（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】由圆的圆心为原点，半径为5，又圆与直线相切，则到直线的距离为，则，解得，设过且与垂直的直线为，则：，联立，得直线l与的交点为，设圆心关于点的对称点为，由中点公式有所以圆心关于点的对称点为，因此圆C关于直线l对称的圆的方程为：，故选：D.2．（2024·高三课时练习）两圆和的位置关系是（

）A．相离 B．相交 C．内切 D．外切【答案】B【解析】解:由题知,的圆心为,半径为3,因为,即,圆心为,半径为4,所以两圆心之间的距离为,因为,所以两圆相交.故选:B3．（2024·全国·高三专题练习）已知圆方程的圆心为（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】因为，即，所以圆心坐标为；故选：C4．（2024·全国·高三专题练习）圆的圆心到直线的距离为1，则A． B． C． D．2【答案】A【解析】由配方得，所以圆心为，因为圆的圆心到直线的距离为1，所以，解得，故选A.【考点】圆的方程，点到直线的距离公式5．（2024·全国·高三专题练习）若点在圆的外部，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由题意得，解得，故选：C．6．（2024·全国·高三专题练习）圆关于直线：对称的圆的方程为（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】圆的圆心坐标为，半径为2，设关于直线：的对称点为，则，解得．所以，则圆关于直线对称的圆的方程为．故选：C．7．（2024·江苏·高三统考期末）已知点Q在圆C：上，点P在直线上，则PQ的最小值为（

）A． B．1 C． D．2【答案】A【解析】圆中圆心为，半径，圆心到直线的距离：，则，故选：A．8．（2024·北京通州·高三统考期末）已知半径为1的圆经过点，则其圆心到直线距离的最大值为（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【解析】由于半径为1的圆（设为圆）经过点，所以圆的圆心的轨迹是以为圆心，半径为的圆，到直线距离为，所以圆的圆心到直线距离的最大值为.故选：C9．（2024春·安徽·高二合肥市第八中学校联考开学考试）直线l：与圆C：的位置关系为（

）A．相交 B．相切 C．相离 D．与a的值有关【答案】A【解析】∵直线l的方程为，即，∴直线l恒过定点，∵，即该定点在圆C：内，∴直线l与圆C相交．故选：A．10．（2024·甘肃庆阳·高二校考期末）若圆上恰有一个点到直线的距离为1，则a的值为（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】圆的圆心坐标为，半径为，因为圆上恰有一个点到直线的距离为1，所以圆心到直线的距离为3，所以有.故选：A.11．（2024·重庆北碚·高二西南高校附中校考阶段练习）过点作圆的一条切线，切点为B，则（

）A．3 B． C． D．【答案】B【解析】因为圆，所以圆的圆心为，半径为，因为与圆相切，切点为B，所以，则，因为，所以.故选：B.12．（2024·重庆·高二校联考期末）已知直线上，过点向圆引切线，则切线长是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由题意直线上，可得，则，故在圆外，过点向圆引切线，由于,则切线长是,故选：A13．（2024春·甘肃兰州·高三校考开学考试）若曲线y＝与直线y＝k(x－2)＋4有两个交点，则实数k的取值范围是（

）A． B．C．(1，＋∞) D．(1，3]【答案】A【解析】依据题意画出图形，如图所示．由题意可得，曲线y＝的图象为以(0，0)为圆心，2为半径的半圆，直线l恒过A(2，4)，由图当直线l与半圆相切时，圆心到直线l的距离d＝r，即＝2，解得k＝；当直线l过B点时，直线l的斜率k＝，则直线l与半圆有两个不同的交点时，实数k的取值范围为.故选：A.14．（2024春·湖南长沙·高二长沙一中校考开学考试）已知直线与圆相交于两点，则（

）A． B．2 C． D．4【答案】D【解析】由可得，即圆的圆心坐标为，半径，所以圆心到直线的距离，所以.故选：D15．（2024春·湖北荆州·高二统考阶段练习）圆与圆的位置关系为（

）A．外离 B．外切 C．相交 D．内切【答案】D【解析】圆圆心为，半径为，圆的圆心，半径为，则两圆的圆心距为，而，则圆与圆的位置关系为内切．故选：D.16．（2024·广东广州·高二统考期末）圆C1：与圆C2：的位置关系是（

）A．内含 B．内切 C．相交 D．外切【答案】C【解析】标准方程是，圆心为，半径为，标准方程，圆心，半径，，，因此两圆相交，故选：C．二、多选题17．（2024·吉林长春·高三校考阶段练习）已知圆，直线，则（

）A．圆C的圆心为 B．点在l上C．l与圆C相交 D．l被圆C截得的最短弦长为【答案】ABC【解析】对A，圆，所以圆心为，A正确；对B，因为直线，即，所以直线过点，B正确；对C，因为,所以点在圆内，所以l与圆C相交，C正确；对D，因为圆心到直线的距离，所以l被圆C截得的弦长为，当直线时，取等号，D错误.故选:ABC.18．（2024·福建泉州·高三校考阶段练习）下列圆中与圆相切的是（

）A． B．C． D．【答案】BC【解析】圆，化为，则圆的圆心，半径，对于A，圆心为，半径为，圆心距为，因为，所以两圆相交，故A不符题意；对于B，圆心为，半径为，圆心距为，所以两圆外切，故B符合题意；对于C，圆心为，半径为，圆心距为，全部两圆内切，故C符合题意；对于D，圆心为，半径为，圆心距为，所以两圆外离，故D不符题意.故选：BC.19．（2024·广西桂林·高二校考期末）已知点在圆上，点，，则（

）A．直线与圆相交B．直线与圆相离C．点到直线距离最大值为D．点到直线距离最小值为【答案】BC【解析】由，,可得直线的方程为.由圆,可得圆心,半径,所以圆心到直线的距离,所以直线与圆相离,故A错误,B正确;圆心到直线的距离,则圆上一点到直线的距离的最大值和最小值分别为和,即和,故C正确,D错误.故选：BC三、填空题20．（2024·河南信阳·高三统考期末）圆关于直线l：对称的圆的方程为______．【答案】【解析】圆的圆心为，半径为，设圆心关于直线：的对称点为，则，解得，所以所求圆的圆心为，所以圆关于直线l：对称的圆的方程为，故答案为：21．（2024·山西·高三校联考阶段练习）已知圆经过两点，，且圆心在直线上，则圆的方程为______.【答案】【解析】由已知可设圆的圆心为，半径为，则圆的标准方程为.又圆经过两点，，所以，即，解得，所以圆心，，所以，圆的方程为.故答案为：.22．（2024·全国·高三专题练习）过三点中的两点且圆心在直线上的圆的标准方程为______．（写出一个满意条件的方程即可）【答案】或或(写出符合要求的一个答案即可).【解析】若圆过两点，则线段的中垂线方程为，即，与联立求得圆心坐标为，半径为，所以圆的标准方程为；若圆过两点，则线段的中垂线方程为，即，与联立得圆心坐标为，半径为，所以圆的标准方程为；若圆过两点，则线段的中垂线方程为，即，与联立得圆心坐标为，半径为，所以圆的标准方程为．故答案为：或或(写出符合要求的一个答案即可).23．（2024·全国·高三专题练习）过点作圆C：的两条切线，设切点分别为A，B，则直线AB的方程为______.【答案】【解析】可化为：，∴圆心为，半径为，∴MC的中点为，，以MC为直径的圆的方程为：，即∵，，∴M，A，C，B四点共圆，∴AB的方程为两圆的公共弦所在的直线方程，两圆方程相减得直线AB的方程为.故答案为：.24．（2024·浙江·高三校联考期末）写出过点，且与x轴和直线都相切的一个圆的方程________．【答案】（或）【解析】设圆心为，原点为，易知直线与x轴交于点，因为圆与直线相切，直线的倾斜角为，且圆点，所以，所在直线方程为.设圆心坐标为，由题意可得，化简可得，解得或.当时，圆心坐标为，半径为，故圆的方程为；当时，圆心坐标为，半径为，故圆的方程为.故满意题意的圆的方程为或.故答案为:（或）.25．（2024·江苏徐州·徐州市第七中学校考一模）过点作圆的两条切线，切点分别为，则的直线方程为___________.【答案】【解析】圆的圆心，半径，方程化为一般式方程为，则，以为圆心，为半径作圆，其方程为，方程化为一般式方程为，∵，则是圆与圆的交点，两圆方程作差可得：，∴直线的方程为.故答案为：.26．（2024·重庆·统考一模）已知圆：上恰有3个点到直线：的距离等于2，则的值为_________．【答案】【解析】解:因为圆的方程为,所以圆心为,半径为,因为圆上恰有个点到直线的距离都等于,所以只须要圆心到直线的距离为即可,直线方程为所以圆心到直线的距离为:,且解得,故答案为:27．（2024·高三课时练习）直线与圆相交于A、B两点，则的面积是______.【答案】2【解析】由得，所以圆心，半径，圆心到直线的距离，所以，所以的面积是.故答案为：228．（2024·全国·高三专题练习）若直线被圆截得的弦长为，则的最小值为______【答案】2【解析】圆的圆心为，半径为1，依题意，直线过圆心，即有，即，而，因此，当且仅当时取等号，所以的最小值为2.故答案为：229．（2024·江苏南京·南京市秦淮中学校考模拟预料）圆与圆的交点为A，B，则弦AB的长为______．【答案】【解析】圆与圆联立可得：公共弦的方程为，变形为，故的圆心为，半径为，而满意，故弦AB的长为圆的直径，故弦AB的长为．故答案为：.30．（2024·全国·高三专题练习）已知方程表示圆，则的取值范围是____________.【答案】【解析】原方程可化为由得故答案为：31．（2024·全国·高三专题练习）若圆上有且仅有三个点到直线的距离为1，则_______．【答案】【解析】圆化为，圆心为，半径为2，因为圆上有且仅有三个点到直线距离是1，所以圆心到直线的距离是圆的半径的一半，即，解得．故答案为：32．（2024·甘肃·模拟预料）已知的三个顶点为,,,求的外接圆方程__________________.【答案】【解析】设的外接圆方程为,则,解得所以的外接圆方程为故答案为：33．（2024·湖北武汉·高三统考期末）若圆与圆外离，则实数的取值范围是______.【答案】【解析】将圆化为标准形式得，故圆心为，半径为；将圆化为标准形式得，故圆心为，半径为；因为圆与圆外离，所以，即，即，解得或，所以，实数的取值范围是故答案为：34．（2024·上海·统考模拟预料）已知圆C的一般方程为，则圆C的半径为____________【答案】【解析】圆即，所以圆的半径为.故答案为：35．（2024·全国·高三专题练习）若坐标原点在圆的内部，则实数的取值范围为________.【答案】【解析】∵原点在圆的内部，，解得所以实数的取值范围为故答案为：36．（2024·全国·高三专题练习）已知a，b为正实数，直线将圆平分，则的最小值是_________.【答案】8【解析】因为直线过圆心，所以，因为a、b为正实数，所以，当且仅当时取等号，即时取等号，故答案为：837．（2024·高三课时练习）已知半径为1的圆经过点，则其圆心到原点的距离的最小值为________.【答案】4【解析】依据题意圆心到定点的距离为，所以圆心在以点为圆心，以为半径的圆上，易知原点在圆的圆外，由圆外一点到圆上一点的最近距离为该点到圆心的距离减去半径，所以圆心到原点的距离的最小值为，故答案为：438．（2024·辽宁阜新·高二校考期末）圆与直线的位置关系为_____________.【答案】相交【解析】由得，令得，即直线过定点由，故点在圆内，所以圆与直线的位置关系为相交.故答案为：相交39．（2024·高二课时练习）圆在点处的切线方程为______．【答案】【解析】圆的圆心为，即，则，则切线斜率为，故切线方程为：，即.故答案为：40．（2024·湖北·高二统考期末）直线l过且与圆相切，则直线l的方程为________．【答案】【解析】由圆的方程，得，此圆的圆心为，半径为2，明显点在圆上，因此直线l垂直于经过点、点的直线，所以直线l的方程为.故答案为：41．（2024·高二课时练习）经过点与圆相切的直线的方程为______．【答案】或【解析】当直线斜率不存在时，直线方程为，验证满意条件；当直线斜率存在时，设直线方程为，即，圆，圆心为，半径，则圆心到直线的距离，解得，故直线方程为.综上所述：直线方程为或.故答案为：或42．（2024·湖南长沙·高二雅礼中学统考期末）圆与圆的公共弦长等于______.【答案】【解析】联立,得公共弦所在直线方程为.圆心到距离所以公共弦长为故答案为：43．（2024·安徽淮南·统考一模）已知圆与圆交于A，B两点，则直线的方程为______；的面积为______.【答案】

【解析】两圆相减得：，化简得：，故直线的方程为，圆变形得到，圆心，半径为2，故圆心到直线的距离为，由垂径定理得：，故的面积为.故答案为：，.44．（2024春·安徽·高二合肥市第八中学校联考开学考试）若且，圆：和圆：有且只有一条公切线，则的最小值为______．【答案】4【解析】圆的圆心为，半径为2；圆的圆心为，半径为3.因为圆和圆只有一条公切线，所以圆与圆内切，所以，即，所以，当且仅当时等号成立，所以的最小值为4．故答案为：4四、解答题45．（2024·全国·高三专题练习）已知动圆经过点和(1)当圆面积最小时，求圆的方程；(2)若圆的圆心在直线上，求圆的方程.【解析】（1）要使圆的面积最小，则为圆的直径，圆心，半径所以所求圆的方程为：.（2）设所求圆的方程为，依据已知条件得，所以所求圆的方程为.46．（2024·全国·高三专题练习）求满意下列条件的圆的方程，并画出图形：(1)经过点和，圆心在x轴上；(2)经过直线与的交点，圆心为点；(3)经过，两点，且圆心在直线上；(4)经过，，三点．【解析】（1）圆心在x轴上，设圆的方程为：，将点代入圆的方程，得，解得，所以圆的方程为：，其图形如下：（2）圆心为点，设圆的方程为：，由，解得，即直线与直线的交点坐标为，因为圆过交点，所以，解得，所以圆的方程为：，其图形如下：（3）设圆的方程为：，圆心坐标为，在直线上，所以①，又圆过点，所以②，③，联立①②③，得，所以圆的方程为：，其图形如下：（4）设圆的方程为：，因为圆经过点，则，解得，所以圆的方程为：，即，其图形如下：47．（2024·全国·高三专题练习）求通过圆与的交点，并且过点的圆的方程．【解析】两圆方程联立得：，或，设经过点，的圆的方程为：，所以有：，所以经过这三点的圆的方程为：.48．（2024·高三课时练习）已知圆内有一点，过点P作直线l交圆C于A、B两点.(1)当l经过圆心C时，求直线l的方程；(2)当弦AB被点P平分时，求直线l的方程；(3)当直线l的倾斜角为时，求弦AB的长.【解析