2024八年级数学下册专题4.2平行四边形的判定与性质压轴题专项讲练含解析新版浙教版

Page1专题4.2平行四边形的判定与性质【典例1】如图，在平行四边形ABCD中，AE、CF分别平分∠BAD和∠BCD，AE交BC于点E，CF交AD于点F．（1）如图1，求证：BE＝DF；（2）如图2，连接BD分别交AE、CF于点G、H，连接AH，CG，CF，EH，AH与GF交于点M，EH与GC交于点N，请干脆写出图中全部的平行四边形（平行四边形ABCD除外）．【思路点拨】（1）证△ABE≌△CDF（ASA），即可得出结论；（2）先证四边形AECF是平行四边形，得AE∥CF，AE＝CF，再证△DAG≌△BCH（ASA），得AG＝CH，又AG∥CH，则四边形AGCH是平行四边形，然后证四边形EGFH是平行四边形，最终得四边形MGNH是平行四边形即可．【解题过程】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠B＝∠D，∠BAD＝∠BCD，AB＝CD，∵AE、CF分别平分∠BAD和∠BCD，∴∠BAE=12∠BAD，∠DCF=1∴∠BAE＝∠DCF，在△ABE和△CDF中，∠B=∠DAB=CD∴△ABE≌△CDF（ASA），∴BE＝DF；（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD＝BC，由（1）得：∠DAE＝∠BCF，BE＝DF，∴CE＝AF，∴四边形AECF是平行四边形，∴AE∥CF，AE＝CF，∵AD∥BC，∴∠ADG＝∠CBH，在△DAG和△BCH中，∠ADG=∠CBHAD=CB∴△DAG≌△BCH（ASA），∴AG＝CH，又∵AG∥CH，∴四边形AGCH是平行四边形，∴AH∥CG，∵AE＝CF，∴AE﹣AG＝CF﹣CH，即EG＝FH，∴四边形EGFH是平行四边形，∴EH∥GF，又∵AH∥CG，∴四边形MGNH是平行四边形，∴图中全部的平行四边形（平行四边形ABCD除外）为平行四边形AECF、平行四边形AGCH、平行四边形EGFH、平行四边形MGNH．1．（天河区一模）如图，▱ABCD中，E，F分别在边BC，AD上，添加选项中的条件后不能判定四边形AECF是平行四边形的是（）A．BE＝DF B．AE∥CF C．AF＝EC D．AE＝EC【思路点拨】利用平行四边形的性质，依据平行四边形的判定方法，分别对各个选项进行推断即可．【解题过程】解：A、∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD＝BC，∵BE＝DF，∴AF＝CE，∴四边形AECF是平行四边形，故选项A不符合题意；B、∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∵AE∥CF，∴四边形AECF是平行四边形，故选项B不符合题意；C、∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∵AF＝EC，∴四边形AECF是平行四边形，故选项C不符合题意；D、∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，由AE＝EC，不能判定四边形AECF是平行四边形，故选项D符合题意；故选：D．2．（江都区期中）如图，平行四边形ABCD中，AB＝8cm，AD＝12cm，点P在AD边上以每秒1cm的速度从点A向点D运动，点Q在BC边上，以每秒4cm的速度从点C动身，在CB间来回运动，两个点同时动身，当点P到达点D时停止（同时点Q也停止），在运动以后，以P、D、Q、B四点组成平行四边形的次数有（）A．1次 B．2次 C．3次 D．4次【思路点拨】首先设经过t秒，依据平行四边形的判定可得当DP＝BQ时，以点P、D、Q、B为顶点组成平行四边形，然后分状况探讨，再列出方程，求出方程的解即可．【解题过程】解：设经过t秒，以点P、D、Q、B为顶点组成平行四边形，∵以点P、D、Q、B为顶点组成平行四边形，∴DP＝BQ，分为以下状况：①点Q的运动路途是C﹣B，方程为12﹣4t＝12﹣t，此时方程t＝0，此时不符合题意；②点Q的运动路途是C﹣B﹣C，方程为4t﹣12＝12﹣t，解得：t＝4.8；③点Q的运动路途是C﹣B﹣C﹣B，方程为12﹣（4t﹣24）＝12﹣t，解得：t＝8；④点Q的运动路途是C﹣B﹣C﹣B﹣C，方程为4t﹣36＝12﹣t，解得：t＝9.6；∴共3次．故选：C．3．（襄州区期末）如图，平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于O，BD＝2AD，E、F、G分别是OC、OD、AB的中点，下列结论：①四边形BEFG是平行四边形；②BE⊥AC；③EG＝FG；④EA平分∠GEF．其中正确的是（）A．①② B．①②③ C．①②④ D．①③④【思路点拨】依据平行四边形的性质和已知条件可得OB＝BC，再由等腰三角形的性质可推断②正确；然后由直角三角形的斜边上的中线性质和三角形中位线定理推断③错误，可证四边形BGFE是平行四边形，推断①正确，最终由平行线的性质和等腰三角形的性质可推断④正确．【解题过程】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴BO＝DO=12BD，AD＝BC，AB＝CD，AB∥又∵BD＝2AD，∴OB＝BC＝OD＝DA，∵点E是OC中点，∴BE⊥AC，故②正确；∵E、F分别是OC、OD的中点，∴EF是△OCD的中位线，∴EF∥CD，EF=12CD=∴EF∥AB，∵点G是Rt△ABE斜边AB上的中点，∴EG=12AB＝AG＝∴EG＝EF＝AG＝BG，∴四边形BEFG是平行四边形，故①正确；无法证明GE＝GF，故③错误；∵EF∥CD∥AB，∴∠BAC＝∠ACD＝∠AEF，∵AG＝GE，∴∠GAE＝∠AEG，∴∠AEG＝∠AEF，∴AE平分∠GEF，故④正确；故选：C．4．（盐都区月考）如图，在△ABC中，AB＝3，AC＝4，BC＝5，△ABD，△ACE，△BCF都是等边三角形，下列结论中：①AB⊥AC；②四边形AEFD是平行四边形；③∠DFE＝150°；④S四边形AEFD＝8．正确的个数是（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【思路点拨】由AB2+AC2＝BC2，得出∠BAC＝90°，故①正确；再由SAS证得△ABC≌△DBF，得AC＝DF＝AE＝4，同理△ABC≌△EFC（SAS），得AB＝EF＝AD＝3，则四边形AEFD是平行四边形，故②正确；然后由平行四边形的性质得∠DFE＝∠DAE＝150°，则③正确；最终求出S▱AEFD＝6，故④错误；即可得出答案．【解题过程】解：∵AB＝3，AC＝4，BC＝5，32+42＝52，∴AB2+AC2＝BC2，∴△ABC是直角三角形，∠BAC＝90°，∴AB⊥AC，故①正确；∵△ABD，△ACE都是等边三角形，∴∠DAB＝∠EAC＝60°，∴∠DAE＝150°，∵△ABD和△FBC都是等边三角形，∴BD＝BA，BF＝BC，∠DBF+∠FBA＝∠ABC+∠ABF＝60°，∴∠DBF＝∠ABC，在△ABC与△DBF中，AB=DB∠ABC=∠DBF∴△ABC≌△DBF（SAS），∴AC＝DF＝AE＝4，同理可证：△ABC≌△EFC（SAS），∴AB＝EF＝AD＝3，∴四边形AEFD是平行四边形，故②正确；∴∠DFE＝∠DAE＝150°，故③正确；过A作AG⊥DF于G，如图所示：则∠AGD＝90°，∵四边形AEFD是平行四边形，∴∠FDA＝180°﹣∠DFE＝180°﹣150°＝30°，∴AG=12AD∴S▱AEFD＝DF•AG＝4×3∴正确的个数是3个，故选：C．5．（福田区期末）如图，已知△ABC是边长为6的等边三角形，点D是线段BC上的一个动点（点D不与点B，C重合），△ADE是以AD为边的等边三角形，过点E作BC的平行线，分别交线段AB，AC于点F，G，连接BE和CF，则下列结论中：①BE＝CD；②∠BDE＝∠CAD；③四边形BCGE是平行四边形；④当CD＝2时，S△AEF＝23，其中正确的有（）A．4个 B．3个 C．2个 D．1个【思路点拨】①证△AEB≌△ADC（SAS），得BE＝CD，故①正确；再由平角的定义和三角形内角和定理得∠BDE＝∠CAD，故②正确；由∠EBC+∠ACB＝180°，得EB∥GC．则四边形BCGE是平行四边形．故③正确；证出BD＝2CD，得S△ACD=13S△ABC＝33，再证AF＝2BF，得S△AEF=23S△AEB=23【解题过程】解：①∵△ABC和△ADE都是等边三角形，∴AE＝AD，AB＝AC，∠EAD＝∠BAC＝60°，又∵∠EAB＝∠EAD﹣∠BAD，∠DAC＝∠BAC﹣∠BAD，∴∠EAB＝∠DAC，在△AEB和△ADC中，AE=AD∠EAB=∠DAC∴△AEB≌△ADC（SAS），∴BE＝CD，故①正确；∵∠BDE+∠ADE+∠ADC＝180°，∠ACD+∠ADC+∠CAD＝180°，∠ADE＝∠ACD＝60°，∴∠BDE＝∠CAD，故②正确；由①得△AEB≌△ADC，∴∠ABE＝∠ACB＝60°．又∵∠ABC＝∠C＝60°，∠EBC＝120°，∴∠EBC+∠ACB＝180°，∴EB∥GC．又∵EG∥BC，∴四边形BCGE是平行四边形，故③正确；∵AC＝BC＝6，CD＝2，∴BD＝4＝2CD，∴S△ACD=13S△ABC=13×∵EG∥BC，∴∠BFE＝∠ABC＝60°＝∠ABE，∴△BEF是等边三角形，∴BF＝BE，∴BF＝CD＝2，∴AF＝4＝2BF，∴S△AEF=23S△AEB=23S△故选：A．6．（新吴区月考）如图，分别以直角△ABC的斜边AB，直角边AC为边向△ABC外作等边△ABD和等边△ACE，F为AB的中点，DE与AB交于点G，EF与AC交于点H，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°．给出如下结论：①EF⊥AC；②四边形ADFE为平行四边形；③AD＝4AG；④BD＝4FH；其中正确结论的是（）A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④【思路点拨】由SAS证得△ABC≌△EFA，则∠AEF＝∠BAC，得出EF⊥AC，易证FH是△ABC的中位线，得出FH=12BC，再由BC=12AB，AB＝BD，推出BD＝4FH，由等边三角形的性质得出∠BDF＝30°，由AAS证得△DBF≌△EFA，则AE＝DF，再由FE＝AB，得出四边形ADFE为平行四边形，依据平行四边形的性质得出【解题过程】解：∵△ACE是等边三角形，∴∠EAC＝60°，AE＝AC，∵∠BAC＝30°，∴∠EAF＝∠ACB＝90°，AB＝2BC，∵F为AB的中点，∴AB＝2AF，∴BC＝AF，在△ABC和△EFA中，AC=AE∠ACB=∠EAF∴△ABC≌△EFA（SAS），∴FE＝AB，∠AEF＝∠BAC＝30°，∴∠AHE＝180°﹣∠EAC﹣∠AEF＝180°﹣60°﹣30°＝90°，∴EF⊥AC，故①正确，∵EF⊥AC，∠ACB＝90°，∴FH∥BC，∵F是AB的中点，∴FH是△ABC的中位线，∴FH=12∵BC=12AB，AB＝∴BD＝4FH，故④说法正确；∵AD＝BD，BF＝AF，∴∠DFB＝90°，∠BDF＝30°，∵∠FAE＝90°，∴∠DFB＝∠EAF，∵EF⊥AC，∴∠AEF＝30°，∴∠BDF＝∠AEF，在△DBF和△EFA中，∠BDF=∠AEF∠DFB=∠EAF∴△DBF≌△EFA（AAS），∴AE＝DF，∵FE＝AB＝AD，∴四边形ADFE为平行四边形，故②说法正确；∴AG=12∴AG=14∵AD＝AB，则AD＝4AG，故③说法正确，故选：D．7．（西湖区校级期中）如图，在▱ABCD中，AC，BD相交于点O，点E，F在对角线BD上，有下列条件：①BF＝DE；②AE＝CF；③∠EAB＝∠FCD；④AF∥CE．其中确定能判定四边形AECF是平行四边形的是①③④．【思路点拨】依据全等三角形的判定与性质和平行四边形的判定与性质分别推理论证，即可得到结论．【解题过程】解：①∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AB＝CD，OB＝OD，OA＝OC，∵BF＝DE，∴BF﹣OB＝DE﹣OD，即OF＝OE，∴四边形AECF是平行四边形；③∵AB∥CD，∴∠ABE＝∠CDF，∵∠BAE＝∠DCF，在△ABE和△CDF中，∠ABE=∠CDFAB=CD∴△ABE≌△CDF（ASA），∴BE＝DF，∵AO＝CO，BO＝DO，∴OE＝OF，∴四边形AECF是平行四边形；④∵AF∥CE，∴∠AFB＝∠CED，在△ABF和△CDE中，∠ABF=∠CDE∠AFB=∠CED∴△ABF≌△CDE（AAS），∴BF＝DE，∴BF﹣OB＝DE﹣OD，即OF＝OE，又∵OA＝OC，∴四边形AECF是平行四边形；②∵AE＝CF，不能判定△ABE≌△CDF，∴不能判定四边形AECF是平行四边形；∴确定能判定四边形AECF是平行四边形的是①③④，故答案为：①③④．8．（海安市校级月考）如图，已知△ABC是边长为3的等边三角形，点D是边BC上的一点，且BD＝1，以AD为边作等边△ADE，过点E作EF∥BC，交AC于点F，连接BF，则下列结论中：①△ABD≌△BCF；②四边形BDEF是平行四边形；③S四边形BDEF=32；④S△AEF=3【思路点拨】连接EC，作CH⊥EF于H．首先证明△BAD≌△CAE（SAS），依据SAS可证明△ABD≌△BCF，再证明△EFC是等边三角形即可解决问题．【解题过程】解：连接EC，作CH⊥EF于H．∵△ABC，△ADE都是等边三角形，∴AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝∠ABC＝∠ACB＝60°，∴∠BAD＝∠CAE，在△BAD与△CAE中，AB=AC∠BAD=∠CAE∴△BAD≌△CAE（SAS），∴BD＝EC＝1，∠ACE＝∠ABD＝60°，∵EF∥BC，∴∠EFC＝∠ACB＝60°，∴△EFC是等边三角形，∴CH=32，EF＝EC＝∵EF∥BD，∴四边形BDEF是平行四边形，故②正确，∵BD＝CF＝1，BA＝BC，∠ABD＝∠BCF，∴△ABD≌△BCF（SAS），故①正确，∵S平行四边形BDEF＝BD•CH=3故③正确，∵AC＝BC＝3，BD＝CF＝1，∴CD＝2BD，AF＝2CF，∵S△ABD=12×∴S△AEF=23•S△AEC=23•S故④错误，∴①②③都正确，故答案为：①②③．9．（朝阳期中）如图，在平面直角坐标系中，已知点A的坐标为（9，0），点C的坐标为（3，33），四边形OABC是平行四边形，点D、E份别在边OA、BC上，且OD=13OA，CE＝4．动点P、Q在平行四边形OABC的一组邻边上，以点D、E、P、Q为顶点的四边形是平行四边形时，其面积为93或123【思路点拨】过点C作CH⊥OA于点H，依据A，C两点坐标可得D，H重合，动点P、Q在平行四边形OABC的一组邻边上，以点D、E、P、Q为顶点的四边形是平行四边形时，则可分以下状况画图说明：①点P在OC上，点Q在BC上，当点P与点O重合，当DE是对角线时；②点Q在OC上，点P在OA上，点C与Q重合；③点Q在OC上，点P在AB上，点P与B重合，依据平行四边形的面积公式即可解决问题．【解题过程】解：如图，过点C作CH⊥OA于点H，∵A的坐标为（9，0），∴OA＝9，∵OD=13∴OD＝3，∵点C的坐标为（3，33），∴OH＝3，CH＝33，∴D，H重合，∵CE＝4．∴BE＝BC﹣CE＝OA﹣CE＝9﹣4＝5，AD＝OA﹣AD＝9﹣3＝6，动点P、Q在平行四边形OABC的一组邻边上，以点D、E、P、Q为顶点的四边形是平行四边形时，则可分以下状况：①点P在OC上，点Q在BC上，如图，当点P与点O重合，∴S平行四边形PDEQ＝PD•CH＝3×33=93当DE是对角线时，如图，∴S平行四边形PDQE＝PD•CD＝3×33=93②点Q在OC上，点P在OA上，如图，点C与Q重合，∴S平行四边形QDPE＝PD•CD＝4×33=123③点Q在OC上，点P在AB上，如图，点P与B重合，∴S平行四边形DQPE＝PE•CD＝5×33=153综上所述：平行四边形面积为93或123或故答案为：93或123或10．（重庆期末）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，E，F为对角线AC上两点，满足AE＝CF，且BE∥DF．（1）求证：四边形ABCD为平行四边形；（2）若AB＝AC＝BE，∠ABE＝20°，求∠BAD的度数．【思路点拨】（1）依据ASA证明△ABE≌△CDF，可得AB＝CD，进而证明四边形ABCD为平行四边形；（2）依据AB＝AC＝BE，∠ABE＝20°，利用等腰三角形的性质即可求∠BAD的度数．【解题过程】（1）证明：∵AB∥CD，∴∠BAE＝∠DCF，∵BE∥DF．∴∠BEF＝∠DFE，∴∠AEB＝∠DFC，在△ABE和△CDF中，∠BAE=∠DCFAE=CF∴△ABE≌△CDF（ASA），∴AB＝CD，∵AB∥CD，∴四边形ABCD为平行四边形；（2）解：∵AB＝BE，∠ABE＝20°，∴∠BAE＝∠BEA=1∵AB＝AC，∴∠BCA＝∠BAE=1∵四边形ABCD为平行四边形，∴AD∥BC，∴∠DAC＝∠BCA＝50°，∴∠BAD＝∠BAC+∠DAC＝80°+50°＝130°．11．（渝中区校级期末）如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于O点，DE⊥AC于E点，BF⊥AC于F．（1）求证：四边形DEBF为平行四边形；（2）若AB＝20，AD＝13，AC＝21，求△DOE的面积．【思路点拨】（1）依据平行四边形的性质和全等三角形的判定和性质解答即可；（2）依据勾股定理和三角形面积公式解答即可．【解题过程】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC，AD∥BC，∴∠DAE＝∠BCF，∵DE⊥AC于E点，BF⊥AC于F，∴∠DEA＝∠BFC＝90°，在△DEA与△BFC中，∠DEA=∠BFC∠DAE=∠BCF∴△DEA≌△BFC（AAS），∴DE＝BF，∵∠DEA＝∠BFC＝90°，∴∠DEO＝∠BFO＝90°，∴DE∥BF，∴四边形DEBF是平行四边形；（2）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝DC＝20，AO＝OC＝10.5，∵DE⊥AC，在Rt△ADE中，AD2﹣AE2＝DE2，在Rt△DEC中，DC2﹣EC2＝DE2，即132﹣AE2＝202﹣（21﹣AE）2，解得：AE＝5，∴OE＝OA﹣AE＝10.5﹣5＝5.5，DE＝12，∴△DOE的面积=112．（拱墅区期中）如图，在△ABC中，过点C作CD∥AB，E是AC的中点，连接DE并延长，交边AB于点F，连接AD，CF．（1）求证：四边形AFCD是平行四边形；（2）若AF＝2BF，四边形AFCD的面积为S1，四边形FBCE的面积为S2，求S1：S2．【思路点拨】（1）由题意可证明△AEF≌△CED（ASA），可得AF＝CD，进而可得四边形AFCD是平行四边形；（2）设BF＝a，则AF＝2a，过点C作CG⊥AB于点G，设CG＝h，可得S1＝2S△ACF＝2ah，S2＝S△DCF+S△BCF=32ah，进而可求出S1：S【解题过程】（1）证明：如图，∵CD∥AB，∴∠FAC＝∠DCA，∵点E是AC的中点∴AE＝CE，又∵∠AEF＝∠CED，∴△AEF≌△CED（ASA），∴AF＝CD，又∵AF∥CD，∴四边形AFCD是平行四边形；（2）解：设BF＝a，则AF＝2BF＝2a，如图，过点C作CG⊥AB于点G，设CG＝h，∴S△ACF=12•AF•CG=12•2a•S△BCF=12•BF•CG=12•a•∴S1＝2S△ACF＝2ah，S△ECF=14S1=∴S2＝S△ECF+S△BCF＝ah，∴S1：S2＝2ah：ah＝2．13．（滕州市期末）已知，如图，在平行四边形ABCD中，点G，H分别是AB，CD的中点，点E，F在对角线AC上，且AE＝CF．（1）求证：四边形EGFH是平行四边形．（2）连接BD交AC于点O，若BD＝12，AE＝EF﹣CF，求EG的长．【思路点拨】（1）证△AGE≌△CHF（SAS），得GE＝HF，∠AEG＝∠CFH，则∠GEF＝∠HFE，得GE∥HF，即可得出结论；（2）先由平行四边形的性质得出OB＝OD＝6，再证出AE＝OE，可得EG是△ABO的中位线，然后利用中位线定理可得EG的长度．【解题过程】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AB＝CD，∴∠GAE＝∠HCF，∵点G，H分别是AB，CD的中点，∴AG＝CH，在△AGE和△CHF中，AG=CH∠GAE=∠HCF∴△AGE≌△CHF（SAS），∴GE＝HF，∠AEG＝∠CFH，∴∠GEF＝∠HFE，∴GE∥HF，又∵GE＝HF，∴四边形EGFH是平行四边形；（2）解：连接BD交AC于点O，如图：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA＝OC，OB＝OD，∵BD＝12，∴OB＝OD＝6，∵AE＝CF，OA＝OC，∴OE＝OF，∵AE＝EF﹣CF，∴AE+CF＝EF，AE＝CF，∴2AE＝EF＝2OE，∴AE＝OE，又∵点G是AB的中点，∴EG是△ABO的中位线，∴EG=1214．（鹿城区校级期中）如图，在▱ABCD，点E为AD的中点，延长BE、CD交于点F，连接AF，BD，CE．（1）求证：四边形ABDF为平行四边形．（2）若BE为∠ABC的角平分线，AB＝5，CE＝6，求△AEF的面积．【思路点拨】（1）通过证明△ABE≌△DFE，即可推出AB平行且相等于FD，即得证；（2）通过帮助线进行转化得S△AEF＝S△EDF＝S△ECD，再通过已知条件算出△ECD面积即为△AEF的面积．【解题过程】解：（1）证明：由题意得，AB∥CF，∴∠ABE＝∠DFE，又∵点E为AD的中点，∴AE＝DE，在△ABE和△DFE中，∠ABE=∠DFE，∠AEB=∠DEF∴△ABE≌△DFE（AAS）∴AB＝DF，又∵AB∥DF，∴四边形ABDF为平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）；（2）过点F作AD的垂线交AD延长线于点K，过点D作DH⊥EC，过点E作EG⊥CD，∵S△AEF=12AE⋅FK∴S△AEF＝S△EDF，又∵BE为∠ABC的角平分线，∴∠ABE＝∠EBC，又∵AD∥BC，∴∠EBC＝∠FED，而∠ABE＝∠DFE，∴∠FED＝∠DFE，∴ED＝FD，由（1）可知AB＝DC＝FD＝5，∴ED＝FD＝DC＝5，又∵S△EFD=12DF⋅EG，S△∴S△AEF＝S△EDF＝S△ECD，在等腰△EDC中，ED＝CD＝5，EC＝6，∵DH⊥EC，∴EH=1在Rt△EHD中，ED＝5，EH＝3，∴DH=E∴S△ECD=1∴S△AEF＝S△EDF＝S△ECD＝12，故S△AEF＝12．15．（栖霞市期末）如图，AM是△ABC的中线，D是线段AM上一点（不与点A重合）．DE∥AB交AC于点F，CE∥AM，连结AE．（1）如图1，当点D与M重合时，求证：四边形ABDE是平行四边形；（2）如图2，当点D不与M重合时，（1）中的结论还成立吗？请说明理由．【思路点拨】（1）由AM是△ABC的中线，D与M重合得DC＝BD，再依据平行线的性质证明∠EDC＝∠B，∠ECD＝∠ADB，即可证明△ECD≌△ADB，则DE与AB平行且相等，可证明四边形ABDE是平行四边形；（2）过点M作MG∥AB交CG于点G，则四边形DEGM是平行四边形，得MG＝DE，由（1）得MG＝AB，所以DE＝AB，而DE∥AB，即可证明四边形ABDE是平行四边形．【解题过程】（1）证明：如图1，∵AM是△ABC的中线，D与M重合，∴DC＝BD，∵DE∥AB，∴∠EDC＝∠B，∵CE∥AM，即CE∥AD，∴∠ECD＝∠ADB，在△ECD和△ADB中，∠EDC=∠BDC=BD∴△ECD≌△ADB（ASA），∴DE＝AB，∴四边形ABDE是平行四边形．（2）成立，理由如下：如图2，过点M作MG∥AB交CG于点G，∵DE∥AB，∴MG∥DE，∵CE∥AM，∴四边形DEGM是平行四边形，∴MG＝DE，由（1）得MG＝AB，∴DE＝AB，∴四边形ABDE是平行四边形．16．（哈尔滨模拟）已知，△ABC、△ADE是等腰三角形，AB＝AC，AD＝AE，D是BC上一点，∠DAE＝∠BAC，过点E作BC的平行线交AB于点F，连接CF．（1）如图1，求证：四边形CDEF是平行四边形；（2）如图2，连接BE、DF，若AD⊥BC，在不添加任何帮助线的状况下，请干脆写出图2中长度等于BC的长的12【思路点拨】（1）由SAS证明△ACD≌△ABE得出CD＝BE，∠ACD＝∠ABE，由平行线的性质得出∠ABC＝∠EFB，得出∠ABE＝∠EFB，证出EB＝EF，得出EF＝CD，即可得出结论，（2）证明四边形BEFD是平行四边形可得BE＝DF，结合（1）即可得结论．【解题过程】（1）如答图1，证明：连接BE，∵∠BAC＝∠DAE，∴∠DAC＝∠EAB，在△ACD和△ABE中，AC=AB∠DAC=∠EAB∴△ACD≌△ABE（SAS），∴CD＝BE，∠ACD＝∠ABE，∵EF∥BC，∴∠ABC＝∠EFB，∴∠ABE＝∠EFB，∴EB＝EF，∴EF＝CD，∵EF∥BC，∴四边形EDCF是平行四边形；（2）∵AB＝AC，AD⊥BC，∴BD＝CD=12由（1）知CD＝BE＝EF，∴BD＝EF，∵E作BC的平行线交AB于点F，即BD||EF，∴四边形BEFD是平行四边形，∴BE＝DF，∴BD＝CD＝BE＝EF＝DF=12故答案为：BD，CD，BE，EF，DF．17．（安国市期末）如图，平面直角坐标系中，四边形ABCD是平行四边形，A（﹣3，0），B（3，0），C（0，4），连接OD，点E是线段OD的中点．（1）求点E和点D的坐标；（2）平面内是否存在一点N，使以C、D、E、N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．【思路点拨】（1）由A，B两点坐标，可以得到AB＝6，因为四边形ABCD为平行四边形，所以CD∥AB，且CD＝AB＝6，由此干脆得到D点坐标，利用中点坐标公式，得到E点坐标；（2）N为动点，故须要分三类探讨，即CE，DE，CD均可以为对角线构造平行四边形，画出草图，依据坐标与平移的关系，干脆写出N点坐标．【解题过程】解：（1）∵A（﹣3，0），B（3，0），∴AB＝6，∵四边形ABCD为平行四边形，∴AB∥CD，AB＝CD＝6，又C（0，4），∴D的坐标为（﹣6，4），∵E是OD的中点，∴E的坐标为（﹣3，2），即D（﹣6，4），E（﹣3，2）；（2）存在一点N，使以C、D、E、N为顶点的四边形是平行四边形，①当CE为平行四边形CDEN的对角线时，如图1，∴EN∥CD，EN＝CD＝6，∵CD∥AB，∴EN∥AB，又E的坐标为（﹣3，2），EN＝6，∴N的坐标为（3，2），②当DE为平行四边形CDNE的对角线时，如图2，∴EN∥CD∥AB，EN＝CD＝6，∴N的坐标为（﹣9，2），③当DC为平行四边形CNDE的对角线时，如图3，则DE∥CN，DE＝CN，由坐标与平移关系可得，N（﹣3，6），∴N点坐标为（3，2），（﹣9，2），（﹣3，6）．18．（海珠区校级月考）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，∠B＝45°，BC＝10，过点A作AD∥BC，且点D在点A的右侧，点P从点A动身沿射线AD方向以每秒1个单位的速度运动，同时点Q从点C动身沿射线CB方向以每秒2个单位的速度运动，在线段QC上取点E，使得QE＝2，连接PE，设点P的运动时间为t秒．（1）请问是否存在t的值，使以A，B，E，P为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由；（2）若PE⊥BC，求BQ的长．【思路点拨】（1）分两种状况，先由平行四边形的判定得出AP＝BE，得出方程，再解方程即可；（2）过A作AM⊥BC于M，先证AB＝AC，得BM＝CM，再由直角三角形斜边上的中线性质得AM=12BC＝5，然后证△APN和△CEN是等腰直角三角形，得PN＝AP＝t，CE＝NE＝5﹣t，由CE＝CQ﹣QE＝2【解题过程】解：（1）存在，t＝4秒或12秒；理由如下：①当点Q、E在线段BC上时，若以A，B，E，P为顶点的四边形为平行四边形，则AP＝BE，∴t＝10﹣2t+2，解得：t＝4，②当点Q、E在线段CB的延长线上时，若以A，B，E，P为顶点的四边形为平行四边形，则AP＝BE，∴t＝2t﹣2﹣10，解得：t＝12，∴存在t的值，使以A，B，E，P为顶点的四边形为平行四边形，t＝4秒或12秒；（2）过A作AM⊥BC于M，设AC交PE于N，如图所示：∵∠BAC＝90°，∠B＝45°，∴∠C＝45°＝∠B，∴AB＝AC，∴BM＝CM，∴AM=12∵AD∥BC，∴∠PAN＝∠C＝45°，∵PE⊥BC，∴PE＝AM＝5，PE⊥AD，∴△APN和△CEN是等腰直角三角形，∴PN＝AP＝t，CE＝NE＝5﹣t，∵CE＝CQ﹣QE＝2t﹣2，∴5﹣t＝2t﹣2，解得：t=7∴BQ＝BC﹣CQ＝10﹣2×719．（滕州市期末）在△ABC中，AB＝AC，点P为△ABC为所在平面内一点，过点P分别作PF∥AC交AB于点F，PE∥AB交BC于点D，交AC于点E．（1）当点P在BC边上（如图1）时，请探究线段PE，PF，AB之间的数量关系式为PE+PF＝AB．（2）当点P在△ABC内（如图2）时，线段PD，PE，PF，AB之间有怎样的数量关系，请说明理由．（3）当点P在△ABC外（如图3）时，线段PD，PE，PF，AB之间有怎样的数量关系，干脆写出结论．【思路点拨】（1）先求出四边形PFAE是平行四边形，依据平行四边形对边相等可得PF＝AE，再依据两直线平行，同位角相等可得∠BPE＝∠C，然后求出∠B＝∠BPE，利用等角对等边求出PE＝BE，然后求解即可；（2）依据等边对等角可得∠B＝∠C，再依据两直线平行，同位角相等可得