第01讲分类加法原理与分步乘法原理（教师版）

第01讲分类加法原理与分步乘法原理（核心考点精讲精练）1.4年真题考点分布4年考情考题示例考点分析关联考点2023年新I卷，第13题,5分分类加法计数原理实际问题中的组合计数问题2023年新Ⅱ卷，第3题,5分分步乘法计数原理及简单应用抽样比、样本总量、各层总数、总体容量的计算实际问题中的组合计数问题2023年全国甲卷（理），第9题,5分分类加法计数原理排列数的计算2023年全国乙卷（理），第7题,5分分步乘法计数原理及简单应用排列数的计算实际问题中的组合计数问题2020年全国乙卷（理），第14题,5分分步乘法计数原理及简单应用相邻问题的排列问题2.命题规律及备考策略【命题规律】本节内容是新高考卷的常考内容，设题稳定，难度中等，分值为5分【备考策略】1.理解、掌握分类加法原理与分步乘法原理的定义2.会分类加法原理与分步乘法原理在实际问题中的应用及计算【命题预测】本节内容是新高考卷的常考内容，一般会和排列组合结合在小题中考查，需重点复习知识讲解1．分类加法计数原理做一件事，完成它有n类办法，在第一类办法中有m1种不同的方法，在第二类办法中有m2种不同的方法……在第n类办法中有mn种不同的方法．那么完成这件事共有N＝m1＋m2＋…＋mn种不同的方法．2．分步乘法计数原理做一件事，完成它需要分成n个步骤，做第一个步骤有m1种不同的方法，做第二个步骤有m2种不同的方法……做第n个步骤有mn种不同的方法．那么完成这件事共有N＝m1×m2×…×mn种不同的方法．3．分类加法计数原理和分步乘法计数原理的区别分类加法计数原理针对“分类”问题，其中各种方法相互独立，用其中任何一种方法都可以做完这件事；分步乘法计数原理针对“分步”问题，各个步骤相互依存，只有各个步骤都完成了才算完成这件事．使用分类加法计数原理时两个注意点(1)根据问题的特点确定一个合适的分类标准，分类标准要统一，不能遗漏.(2)分类时，注意完成这件事的任何一种方法必须属于某一类，不能重复.利用分步乘法计数原理解题时三个注意点(1)要按事件发生的过程合理分步，即分步是有先后顺序的．(2)各步中的方法互相依存，缺一不可，只有各步骤都完成才算完成这件事．(3)对完成每一步的不同方法数要根据条件准确确定．应用两个计数原理的难点在于明确分类和分步．分类要做到“不重不漏”，正确把握分类标准是关键；分步要做到“步骤完整”，步步相连能将事件完成，较复杂的问题可借助图表完成．考点一、分类加法原理1．（2023·全国·高三专题练习）现有5幅不同的油画，2幅不同的国画，7幅不同的水彩画，从这些画中选一幅布置房间，则不同的选法共有（

）A．7种 B．9种 C．14种 D．70种【答案】C【分析】根据分类加法计数原理求解即可【详解】分为三类:从国画中选，有2种不同的选法;从油画中选，有5种不同的选法;从水彩画中选，有7种不同的选法，根据分类加法计数原理，共有5+2+7=14(种)不同的选法;故选：C2．（2023·全国·高三专题练习）在中华传统文化里，建筑、器物、书法、诗歌、对联、绘画几乎无不讲究对称之美.如图所示的是清代诗人黄柏权的《茶壶回文诗》，其以连环诗的形式展现，20个字绕着茶壶成一圆环，无论顺着读还是逆着读，皆成佳作.数学与生活也有许多奇妙的联系，如2020年02月02日（20200202）被称为世界完全对称日（公历纪年日期中数字左右完全对称的日期）.数学上把20200202这样的对称数叫回文数，如11，242，5225都是回文数，则用0，1，2，3，4，5这些数字构成的所有三位数的回文数中能被3整除的个数是（

）A．8 B．10 C．11 D．13【答案】B【分析】根据回文数的定义，结合被3整除的性质进行分类讨论求解即可.【详解】当三位数的三个数位上的数都相同时，有，共有5个；当三位数的三个数位上的数有二个相同时，有，共有5个，所以满足题意的回文数共有10个，故选：B3．（2023·全国·高三专题练习）将编号1，2，3，4的小球放入编号为1，2，3的盒子中，要求不允许有空盒子，且球与盒子的号不能相同，则不同的放球方法有（

）A．16种 B．12种 C．9种 D．6种【答案】B【分析】分六种情况讨论，求解每一种类型的放球方法数，然后利用分类计数加法原理求解即可．【详解】由题意可知，这四个小球有两个小球放在一个盒子中，当四个小球分组为如下情况时，放球方法有：当1与2号球放在同一盒子中时，有2种不同的放法；当1与3号球放在同一盒子中时，有2种不同的放法；^当1与4号球放在同一盒子中时，有2种不同的放法；当2与3号球放在同一盒子中时，有2种不同的放法；当2与4号球放在同一盒子中时，有2种不同的放法；当3与4号球放在同一盒子中时，有2种不同的放法；因此，不同的放球方法有12种，故选B．点睛：本题主要考查分类计数加法原理的应用，解答这类问题理解题意很关键，一定多读题才能挖掘出隐含条件．解题过程中要首先分清“是分类还是分步”，在应用分类计数加法原理讨论时，既不能重复交叉讨论又不能遗漏，这样才能提高准确率．4．（2023·浙江温州·乐清市知临中学校考二模）一个圆的圆周上均匀分布6个点，在这些点与圆心共7个点中，任取3个点，这3个点能构成不同的等边三角形个数为.【答案】8【分析】利用圆的对称性，分两种情况：相邻两个点和圆心、相间隔的三点，即可求出结果.【详解】如图1，由圆上相邻两个点和圆心可构成等边三角形，共有6个；如图2，由圆上相间隔的三点可构成等边三角形，共有2个；所以，7个点中，任取3个点，这3个点能构成不同的等边三角形个数为个.故答案为：8.5．（全国·统考高考真题）如图，将钢琴上的12个键依次记为a1，a2，…，a12.设1≤i<j<k≤12．若k–j=3且j–i=4，则称ai，aj，ak为原位大三和弦；若k–j=4且j–i=3，则称ai，aj，ak为原位小三和弦．用这12个键可以构成的原位大三和弦与原位小三和弦的个数之和为（

）A．5 B．8 C．10 D．15【答案】C【分析】根据原位大三和弦满足，原位小三和弦满足从开始，利用列举法即可解出．【详解】根据题意可知，原位大三和弦满足：．∴；；；；．原位小三和弦满足：．∴；；；；．故个数之和为10．故选：C．【点睛】本题主要考查列举法的应用，以及对新定义的理解和应用，属于基础题．1．（2023·全国·高三专题练习）有5本不同的中文书，4本不同的数学书，3本不同的英语书，每次取一本，不同的取法有（

）A．3种 B．12种 C．60种 D．不同于以上的答案【答案】B【分析】根据给定条件，利用分类加法计数原理计算作答.【详解】依题意，计算不同取法种数有3类办法：取一本中文书有5种方法，取一本数学书有4种方法，取一本英语书有3种方法，由分类加法计数原理得：每次取一本，不同的取法有（种）.故选：B2．（2023·全国·高三专题练习）如果把个位数是1，且恰有3个数字相同的四位数叫做“好数”，那么在由1，2，3，4四个数字组成的有重复数字的四位数中，“好数”共有个.【答案】12【分析】分析可得，共有三个1，三个2，三个3，三个4，4种情况，分别求得满足题意“好数”个数，根据分类加法计数原理，即可得答案.【详解】当组成的数字有三个1，三个2，三个3，三个4时共有4种情况.当有三个1时：2111，3111，4111，1211，1311，1411，1121，1131，1141，有9种，当有三个2，3，4时：2221，3331，4441，有3种，根据分类加法计数原理可知，共有12种结果.故答案为：123．（2023·全国·高三专题练习）已知集合，，在中任取一元素，在中任取一元素，组成数对，则其中的数对有多少个?【答案】15【分析】通过列举法，求满足条件的数对个数.【详解】的数对可以分类来解：当时，，有种结果；当时，，有种结果；当时，，有种结果；当时，，有种结果；当时，，有5种结果.综上所述，共有（个）满足条件的数对.4．（2023·安徽马鞍山·统考三模）据史书的记载，最晚在春秋末年，人们已经掌握了完备的十进位制记数法，普遍使用了算筹这种先进的计算工具．算筹记数的表示方法为：个位用纵式，十位用横式，百位再用纵式，千位再用横式，以此类推，遇零则置空．如下图所示：如：10记为，26记为，71记为．现有4根算筹，可表示出两位数的个数为（

）A．8 B．9 C．10 D．12【答案】C【分析】由题意，分别求出当十位1根，个位3根；当十位2根，个位2根；当十位3根，个位1根；当十位4根，个位0根时两位数的个数即可.【详解】由题意知，共有4根算筹.当十位1根，个位3根，共有2个两位数；当十位2根，个位2根，共有4个两位数；当十位3根，个位1根，共有2个两位数；当十位4根，个位0根，共有2个两位数，所以一共有10个两位数.故选：C.5．（2023春·浙江杭州·高三浙江省杭州第二中学校考阶段练习）在一个圆周上有8个点，用四条既无公共点又无交点的弦连结它们，则连结方式有种.【答案】14【分析】根据加法分类计数原理求解即可.【详解】不妨设圆周上的点依次为，要使得四条弦既无公共点又无交点，如图所示：符合图①的连结方式有2种；符合图②的连结方式有4种；符合图③的连结方式有8种；共计种.故答案为：.考点二、分步乘法原理1．（2023秋·黑龙江佳木斯·高三校考开学考试）甲、乙分别从门不同课程中选修门，且人选修的课程不同，则不同的选法有（

）种．A． B． C． D．【答案】C【分析】根据分步乘法计数原理直接求解即可.【详解】甲从门课程中选择门，有种选法；乙再从甲未选的课程中选择门，有种选法；根据分步乘法计数原理可得：不同的选法有种.故选：C.2．（2023·全国·高三专题练习）将4个不同的小球放入3个不同的盒子，其中有的盒子可能没有放球，则总的方法共有（

）A．81种 B．64种 C．36种 D．18种【答案】A【详解】对于四个小球放入三个盒子的可能与机会是均等的，故每个都可能放入三个盒子中的任意一个之中，由分步计数原理可得所有方法种数为：，故选：A．3．（2023·全国·高三专题练习）某学校举行校庆文艺晚会，已知节目单中共有七个节目，为了活跃现场气氛，主办方特地邀请了三位老校友演唱经典歌曲，并要将这三个不同节目添入节目单，而不改变原来的节目顺序，则不同的安排方式有种．【答案】【分析】根据分步乘法计数原理求得正确答案.【详解】原来个节目，形成个空位，安排一位老校友；个节目，形成个空位，安排一位老校友；个节目，形成个空位，安排一位老校友.所以不同的安排方式有种.故答案为：4．（2022·全国·高三专题练习）洛书，古称龟书，是阴阳五行术数之源，在古代传说中有神龟出于洛水，其甲壳上心有此图象如图，结构是戴九履一，左三右七，二四为肩，六八为足，以五居中，五方白圈皆阳数，四角黑点为阴数（图中白圈为阳数，黑点为阴数）.现利用阴数和阳数构成一个四位数，规则如下：（从左往右数）第一位数是阳数，第二位数是阴数，第三位数和第四位数一阴一阳和为7，则这样的四位数有个【答案】120【分析】结合分步乘法计算原理计算出正确结论.【详解】据题意，阳数为：1，3，5，7，9，阴数为：2，4，6，8，第一位数的选择有5种，第二位数的选择有4种，第三位数和第四位数可以的组合有（1，6），（2，5），（3，4），（4，3），（5，2），（6，1）共有6种选择，根据分步乘法计数原理，这样的四位数共有个.故答案为：1．（2023秋·山东·高三校联考阶段练习）某商店共有，，三个品牌的水杯，若甲、乙、丙每人买了一个水杯，且甲买的不是品牌，乙买的不是品牌，则这三人买水杯的情况共有（

）A．3种 B．7种 C．12种 D．24种【答案】C【分析】根据分步乘法计数原理即可求解.【详解】由分步乘法计数原理可得这三人买水杯的情况共有（种）．故选：C2．（2023秋·黑龙江佳木斯·高三校考开学考试）在落实“绿水青山就是金山银山”的工作中，吉林省走在了全国前列，工作落实到位，产生的效果也非常好，受到了群众的一致认可，同时也吸引了很多的旅游爱好者前来．现南京有4个家庭准备在2023年五一小长假期间选择吉林、白山、四平三个城市中的一个城市旅游，则这4个家庭共有多少种不同的安排方法（）A．24种 B．6种 C．64种 D．81种【答案】D【分析】根据分步乘法计数原理求解.【详解】由题意可知，每一个家庭有3种选择方式，则4个家庭共计有3×3×3×3＝81种选择方式．故选：D．3．（2023·全国·高三专题练习）同室人各写一张贺年卡,先集中起来,然后每人从中拿一张别人送出的贺年卡,则张贺年卡不同的分配方式有（

）A．种 B．种 C．种 D．种【答案】B【分析】设四人分别为,写的卡片分别为,从开始分析,易得有三种拿法,假设拿了,再分析的取法数目,剩余两人只有种取法,由分步计数原理,计算可得答案.【详解】设四人分别为,写的卡片分别为,由于每个人都要拿别人写的卡片,即不能拿自己写的卡片,故有种拿法,不妨设拿了,则可以拿剩下张中的任一张,也有3种拿法,和只能有一种拿法,所以共有种分配方式.故选：B.4．（2023·全国·高三专题练习）电脑调色板有红、绿、蓝三种基本颜色，每种颜色的色号均为.在电脑上绘画可以分别从三种颜色的色号中各选一个配成一种颜色，那么在电脑上可配成的颜色种数为（

）A． B．27 C． D．6【答案】A【分析】根据分步乘法计数原理易得答案.【详解】分3步取色，第一、第二、第三次都有256种取法，根据分步乘法计数原理得，共可配成种颜色.故选：A.考点三、两个计数原理的综合应用1．（2023春·海南高三校考阶段练习）如图，要让电路从A处到B处接通，不同的路径条数为（

）A．5 B．7 C．8 D．12【答案】C【分析】根据分类计数原理与分步计数原理计算可得答案．【详解】要让电路从A处到B处接通，不同的路径条数为．故选：C．2．（全国·高考真题）如图，小明从街道的E处出发，先到F处与小红会合，再一起到位于G处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为A．24 B．18 C．12 D．9【答案】B【详解】解：从E到F，每条东西向的街道被分成2段，每条南北向的街道被分成2段，从E到F最短的走法，无论怎样走，一定包括4段，其中2段方向相同，另2段方向相同，每种最短走法，即是从4段中选出2段走东向的，选出2段走北向的，故共有C42C22＝6种走法．同理从F到G，最短的走法，有C31C22＝3种走法．∴小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为6×3＝18种走法．故选B．【考点】计数原理、组合【名师点睛】分类加法计数原理在使用时易忽视每类中每一种方法都能完成这件事情，类与类之间是相互独立的；分步乘法计数原理在使用时易忽视每步中某一种方法只是完成这件事的一部分，而未完成这件事，步步之间是相互关联的．3．（2022·江西鹰潭·统考一模）2021年12月，南昌最美地铁4号线开通运营，甲、乙、丙、丁四位同学决定乘坐地铁去观洲、人民公园、新洪城大市场三个地方游览，每人只能去一个地方，人民公园一定要有人去，则不同游览方案的种数为.【答案】65【分析】利用间接法，利用分步计数原理求出没有限制的方案数，排除没人去人民公园的方案数，即得.【详解】由题可知没有限制时，每人有3种选择，则4人共有种，若没人去人民公园，则每人有2种选择，则4人共有种，故人民公园一定要有人去的不同游览方案有种.故答案为：65.4．（2023·江苏扬州·仪征中学校考模拟预测）某人从上一层到二层需跨10级台阶，他一步可能跨1级台阶，称为一阶步，也可能跨2级台阶，称为二阶步，最多能跨3级台阶，称为三阶步，从一层上到二层他总共跨了6步，而且任何相邻两步均不同阶，则他从一层到二层可能的不同走法共有（

）种.A．10 B．9 C．8 D．12【答案】A【分析】利用计数原理直接计算即可.【详解】按题意要求，不难验证这6步中不可能没有三阶步，也不可能有多于1个的三阶步.因此，只能是1个三阶步，2个二阶步，3个一阶步.为形象起见，以白、黑、红三种颜色的球来记录从一层到二层跨越10级台阶的过程：白球表示一阶步，黑球表示二阶步，红球表示三阶步，每一过程可表为3个白球、2个黑球、1个红球的一种同色球不相邻的排列.下面分三种情形讨论.（1）第1、第6球均为白球，则两黑球必分别位于中间白球的两侧，此时，共有4个黑白球之间的空位放置红球，所以此种情况共有4种可能的不同排列；（2）第1球不是白球.（i）第1球为红球，则余下5球只有一种可能的排列；（ii）若第1球为黑球，则余下5球因红、黑球的位置不同有两种不同的排列，此种情形共有3种不同排列；（3）第6球不是白球，同（2），共有3种不同排列.总之，按题意要求从一层到二层共有种可能的不同过程.故选：A1．（2023·高三校考课时练习）如图，一只蚂蚁沿着长方体的棱，从顶点A爬到相对顶点C1，求其中经过3条棱的路线共有多少条？【答案】6条【分析】由分类分步计数原理，即可得出结果.【详解】经过AB，有m1=1×2=2条；经过AD，有m2=1×2=2条；经过AA1，有m3=1×2=2条.根据分类加法计数原理，从顶点A到顶点C1经过3条棱的路线共有N=2+2+2=6条.2．（2023·全国·高三专题练习）为了丰富学生的课余生活，某学校开设了篮球、书法、美术、吉他、舞蹈、击剑共六门活动课程，甲、乙、丙3名同学从中各自任选一门活动课程参加，则这3名学生所选活动课程不全相同的选法有种【答案】210【分析】根据题意先求出甲、乙、丙3名同学从中各自任选一门活动课程参加，共有多少种情况，减去所选活动课程完全相同的选法种数，可得答案【详解】甲、乙、丙3名同学从中各自任选一门活动课程参加各有6种选法，共有种选法，其中甲、乙、丙3名同学所选活动课程完全相同的选法共6种，则这3名学生所选活动课程不全相同的选法有种，故答案为：3．（2023春·江苏·高三校联考阶段练习）自然数是一个三位数，其十位与个位、百位的差的绝对值均不超过1，我们就把叫做“集中数”.那么，大于600的“集中数”的个数是（

）A．30 B．31 C．32 D．33【答案】B【分析】根据已知条件，一一列举即可.【详解】当百位为6时，十位可以为5，6，7，当十位为5时，个位可以为4，5，6；当十位为6时，个位可以为5，6，7；当十位为7时，个位可以为7，8，9；共9个；当百位为7时，十位可以为6，7，8，当十位为6时，个位可以为5，6，7；当十位为7时，个位可以为6，7，8；当十位为8时，个位可以为7，8，9；共9个；当百位为8时，十位可以为7，8，9，当十位为7时，个位可以为6，7，8；当十位为8时，个位可以为7，8，9；当十位为9时，个位可以为8，9；共8个；当百位为9时，十位可以为8，9，当十位为8时，个位可以为7，8，9；当十位为9时，个位可以为8，9；共5个；综上，总共9+9+8+5=31个，故A，C，D错误.故选：B.4．（2023·安徽合肥·校考一模）重庆九宫格火锅，是重庆火锅独特的烹饪方式．九宫格下面是相通的，实现了“底同火不同，汤通油不通”它把火锅分为三个层次，不同的格子代表不同的温度和不同的牛油浓度，其锅具抽象成数学形状如图（同一类格子形状相同）：“中间格“火力旺盛，不宜久煮，适合放一些质地嫩脆、顷刻即熟的食物；“十字格”火力稍弱，但火力均匀，适合煮食，长时间加热以锁住食材原香；“四角格”属文火，火力温和，适合焖菜，让食物软糯入味．现有6种不同食物（足够量），其中1种适合放入中间格，3种适合放入十字格，2种适合放入四角格．现将九宫格全部放入食物，且每格只放一种，若同时可以吃到这六种食物（不考虑位置），则有多少种不同放法（

）A．108 B．36 C．9 D．6【答案】C【分析】利用分步计数原理及分类计数原理即得.【详解】由题可知中间格只有一种放法；十字格有四个位置，3种适合放入，所以有一种放两个位置，共有3种放法；四角格有四个位置，2种适合放入，可分为一种放三个位置，另一种放一个位置，有两种放法，或每种都放两个位置，有一种放法，故四角格共有3种放法；所以不同放法共有种.故选：C.考点四、涂色问题1．（2023·全国·高三专题练习）用四种颜色给下图的6个区域涂色，每个区域涂一种颜色，相邻区域不同色，若四种颜色全用上，则共有多少种不同的涂法（

）A．72 B．96 C．108 D．144【答案】B【详解】设四种颜料为，①先涂区域B，有4中填涂方法，不妨设涂颜色1；②再涂区域C，有3中填涂方法，不妨设涂颜色2；③再涂区域E，有2中填涂方法，不妨设涂颜色3；④若区域A填涂颜色2，则区域D、F填涂颜色1，4，或4，3，若区域A填涂颜色4，则区域D、F填涂颜色1，3或4，3，共4中不同的填涂方法，综合①②③④，由分步计数原理可得，共有种不同的填涂法．故选B．2．（2023·全国·高三专题练习）用红、黄、蓝、绿、橙五种不同颜色给如图所示的5块区域、、、、涂色，要求同一区域用同一种颜色，有公共边的区域使用不同颜色，则共有涂色方法．【答案】960【分析】根据分步乘法计数原理即可求出．【详解】因为区域和各个区域都相邻，所以首先给区域染色有5种方法,区域、各有4种方法,区域、一个4种,一个3种,根据分步乘法计数原理可知,共有涂色方法.故答案为：960．3．（2023·全国·高三专题练习）学习涂色能锻炼手眼协调能力，更能提高审美能力.现有四种不同的颜色：湖蓝色、米白色、橄榄绿、薄荷绿，欲给小房子中的四个区域涂色，要求相邻区域不涂同一颜色，且橄榄绿与薄荷绿也不涂在相邻的区域内，则共有种不同的涂色方法.【答案】66【分析】运用分类计数原理、分步计算原理，结合组合定义进行求解即可.【详解】当选择两种颜色时，因为榄绿与薄荷绿不涂在相邻的区域内，所以共有种选法，因此不同的涂色方法有种，当选择三种颜色且橄榄绿与薄荷绿都被选中，则有种方法选法，因此不同的涂色方法有种，当选择三种颜色且橄榄绿与薄荷绿只有一个被选中，则有种方法选法，因此不同的涂色方法有种，当选择四种颜色时，不同的涂色方法有种，所以共有种不不同的涂色方法，故答案为：664．（2023·全国·高三专题练习）西部五省，有五种颜色供选择涂色，要求每省涂一色，相邻省不同色，有种涂色方法．【答案】420【分析】根据题意，分别分析5个省的涂色方法的数目，进而由分步、分类计数原理，计算可得答案．【详解】对于新疆有5种涂色的方法，对于青海有4种涂色方法，对于西藏有3种涂色方法，对于四川：若与新疆颜色相同，则有1种涂色方法，此时甘肃有3种涂色方法；若四川与新疆颜色不相同，则四川只有2种涂色方法，此时甘肃有2种涂色方法；根据分步、分类计数原理，则共有5×4×3×（2×2+1×3）＝420种方法．故答案为420.【点睛】本题考查分类、分步计数原理，对于计数原理的应用，解题的关键是分清要完成的事情分成几部分及如何分类，注意做到不重不漏．1．（2023·全国·高三专题练习）如图，现要对某公园的4个区域进行绿化，有5种不同颜色的花卉可供选择，要求有公共边的两个区域不能用同一种颜色的花卉，共有种不同的绿化方案（用数字作答）.【答案】180【分析】利用分步乘法原理求解即可【详解】如图：ABDC从A开始摆放花卉，A有5种颜色花卉摆放方法，B有4种颜色花卉摆放方法，C有3种颜色花卉摆放方法；由D区与B，C花卉颜色不一样，与A区花卉颜色可以同色也可以不同色，则D有3种颜色花卉摆放方法.故共有种涂色方法.故答案为：1802．（2023·全国·高三专题练习）如图，一个地区分为5个行政区域，现给该地区的5个区域涂色，要求相邻区域不得使用同一种颜色，现有4种颜色可供选择，则不同的涂色方法共有种.【答案】72【分析】根据给定信息，利用用色多少分类，再结合分步乘法计数原理列式计算作答.【详解】观察图形知，2区与4区不相邻，3区与5区不相邻，且不相邻的区域可用同1种颜色涂色，因此计算涂色方法可用3色和4色，使用3种颜色，则2区与4区同色，3区与5区必同色，涂2区与4区有4种方法，涂3区与5区有3种方法，涂1区有2种方法，则涂色方法有（种）；使用4种颜色，选取同色的方案有2种，涂同色的两块有4种方法，涂另外3块依次有3，2，1种方法，则涂色方法有（种），所以不同的涂色方法共有（种）.故答案为：723．（2023·高三课时练习）如图所示的五个区域中，现要求在五个区域中涂色，有四种颜色可供选择，要求每个区域只涂一种颜色，相邻区域所涂颜色不同，则不同的涂色方法种数为（用数字作答）．【答案】【分析】利用分步乘法及分类加法计数原理即可求解.【详解】设这四个颜色分别为，先给区域涂色，有种涂法；假设区域涂的是颜色1，再给区域涂色，可以是颜色,有种涂法;假设区域涂的是颜色，再给区域涂色，可以是颜色，有种涂法;假设区域涂的是颜色，如果区域涂的是颜色，则区域可以涂颜色或颜色，有种涂法;如果区域涂的是颜色4,那么区域可以涂颜色，有1种涂法.所以不同的涂色方法种数为(种)故答案为：.4．（2023秋·江苏常州·高三华罗庚中学校考阶段练习）中国是世界上最早发明雨伞的国家，伞是中国劳动人民一个重要的创造.如图所示的雨伞，其伞面被伞骨分成8个区域，每个区域分别印有数字1，2，3，..，8，现准备给该伞面的每个区域涂色，要求每个区域涂一种颜色，相邻两个区域所涂颜色不能相同，对称的两个区域（如区域1与区域5）所涂颜色相同.若有7种不同颜色的颜料可供选择，则不同的涂色方案有（

）A．1050种 B．1260种 C．1302种 D．1512种【答案】C【分析】由题意可得，只需确定区域的颜色，先涂区域1，再涂区域2，再分区域3与区域1涂的颜色不同、区域3与区域1涂的颜色相同，最后根据分步乘法原理即可求解.【详解】由题意可得，只需确定区域的颜色，即可确定整个伞面的涂色.先涂区域1，有7种选择；再涂区域2，有6种选择.当区域3与区域1涂的颜色不同时，区域3有5种选择，剩下的区域4有5种选择.当区域3与区域1涂的颜色相同时，剩下的区域4有6种选择.故不同的涂色方案有种.故选：C【基础过关】一、单选题1．（2023·全国·高三对口高考）三名同学分别从英语和日语中选修一门外语课程，选法有（

）种．A． B． C． D．【答案】C【分析】根据题意逐一安排每个同学，结合分步乘法计数原理运算求解.【详解】因为每个同学均为2门外语课程可以选择，所以不同的选法有种.故选：C.2．（2023·全国·高三专题练习）已知，，则可表示不同的值的个数为（）A．8 B．12C．10 D．9【答案】D【分析】第一步先从集合中取一个值，得到对应的情况数，第二步再从集合中取一个值，得到对应的情况数，两次的情况数相乘并分析结果，由此可知可表示不同的值的个数.【详解】因为从集合中任取一个值共有种情况，从集合中任取一个值共有种情况，故可表示个不同的乘法计算，且经检验计算结果均不相同，所以可表示不同的值有个．故选：D.3．（2023春·河南·高三阶段练习）书桌上有3本不同的数学书和4本不同的语文书，从中任取数学书和语文书各1本，则不同的取法有（

）A．6种 B．7种 C．12种 D．21种【答案】C【分析】根据分步乘法计数原理即可求解.【详解】第一步：从数学书中任取1本，有3种不同的取法.第二步：从语文书中任取1本，有4种不同的取法.故从中任取数学书和语文书各1本，不同的取法有种.故选：C4．（2023·全国·高三专题练习）一个电路中含有（1）（2）两个零件，零件（1）含有A，B两个元件，零件（2）含有C，D，E三个元件，每个零件中有一个元件能正常工作则该零件就能正常工作，则该电路能正常工作的线路条数为（

）A．9 B．8 C．6 D．5【答案】C【分析】根据分步乘法计数原理即可求得【详解】由分步乘法计数原理易得，该电路能正常工作的线路条数为条．故选：C．5．（2023·全国·高三专题练习）甲､乙､丙､丁四名交通志愿者申请在国庆期间到三个路口协助交警值勤，他们申请值勤路口的意向如下表：交通路口ABC志愿者甲､乙､丙､丁甲､乙､丙丙､丁这4名志愿者的申请被批准，且值勤安排也符合他们的意向，若要求三个路口都要有志愿者值勤，则不同的安排方法数有（

）A．14种 B．11种 C．8种 D．5种【答案】B【分析】根据分类计数法进行分类讨论，然后进行求和.【详解】解：由题意得：以C路口为分类标准：C路口执勤分得人口数情况有种，两个人或一个人C路口执勤分得人口数为个，丙、丁在C路口，那么甲、乙只能在路口执勤；C路口执勤分得人口数为个，丙或丁在C路口，具体情况如下：丙在C路口：A（丁）B（甲乙）C（丙）；A（甲丁）B（乙）C（丙）；A（乙丁）B（甲）C（丙）；丁在C路口：A（甲乙）B（丙）C（丁）；A（丙）B（甲乙）C（丁）；A（甲丙）B（乙）C（丁）；A（乙）B（甲丙）C（丁）；A（乙丙）B（甲）C（丁）；A（甲）B（乙丙）C（丁）；.所以一共有2+3+6=11种选法.故选：B.6．（2023·全国·高三专题练习）回文联是我国对联中的一种，用回文形式写成的对联，既可顺读，也可倒读，不仅意思不变，而且颇具趣味，相传，清代北京城里有一家饭馆叫“天然居”，曾有一副有名的回文联：“客上天然居，居然天上客；人过大佛寺，寺佛大过人．”在数学中也有这样一类顺读与倒读都是同一个数的自然数，称之为“回文数”．如44，585，2662等；那么用数字1，2，3，4，5，6可以组成3位“回文数”的个数为（

）A．30 B．36 C．360 D．1296【答案】B【分析】根据题意，第一步选择第一位数，第二步选择第二位数，结合分步计数原理，即可求解.【详解】由题意，第一步选择第一位数，有种方法，第二步选择第二位数，有种方法，利用分步计数原理，共有种．故选：B.7．（2023·全国·高三专题练习）如图，某市由四个县区组成，现在要给地图上的四个区域染色，有红､黄､蓝､绿四种颜色可供选择，并要求相邻区域颜色不同，则不同的染法种数有（

）A．64 B．48 C．24 D．12【答案】B【分析】利用分步乘法计数原理即可求解.【详解】先染④有种染法，①有种染法，③有种染法，②有种染法，所以不同的染法种数有.故选：B二、填空题8．（2023秋·山东烟台·高三山东省烟台第一中学校考期末）现有5种不同颜色要对如图所示的四个部分进行着色，要求有公共边界的两块不能用同一种颜色，则不同的着色方法种数为．【答案】180【分析】根据题设，先从A区块着色，判断各部分的着色方案数，即可求不同的着色方法种数.【详解】按A、B、C、D顺序着色，A区块有5种着色方案，B区块有4种着色方案，C区块有3种着色方案，D区块有3种着色方案，故不同的着色方法种数为5×4×3×3＝180，故答案为：180．三、双空题9．（2023·全国·高三对口高考）用1，5，9，13任意一个数做分子，4，8，12，16中任意一个数作分母，可构造个不同的分数，可构造个不同的真分数．【答案】1610【分析】由分子、分母的选择个数及分步乘法计数原理可得分数的个数；按照分子取值分类，结合分类加法计数原理即可得真分数得个数.【详解】从1，5，9，13中的任选一个数作分子，4，8，12，16中任选一个数作分母，可构成个不同的分数；由真分数的定义，①若1为分子，分母有4种选择；②若5为分子，分母有3种选择；③若9为分子，分母有2种选择；④若13为分子，分母有1种选择；所以真分数共有个.故答案为：16；10.四、解答题10．（2023秋·黑龙江佳木斯·高三校考开学考试）书架的第一层放有6本不同的语文书，第2层放有5本不同的数学书，第3层放有4本不同的外语书．(1)从书架中任取1本书，共有多少种不同的取法？(2)从书架中的第1，2，3层各取1本书，共有多少种不同的取法？【答案】(1)(2)【分析】（1）利用分类相加计数原理即可得解；（2）利用分步相乘计数原理即可得解.【详解】（1）从书架上任取1本书，有三类方案：第1类，从第1层取1本语文书，有6种方法；第2类，从第2层取1本数学书，有5种方法；第3类，从第3层取1本外语书，有4种方法.根据分类加法计数原理，不同取法的种数为.（2）从书架的第1层、第2层、第3层各取1本书，可以分三步完成：第1步，从第1层取1本语文书，有6种方法；第2步，从第2层取1本数学书，有5种方法；第3步，从第3层取1本外语书，有4种方法.根据分步乘法计数原理，不同取法的种数为.【能力提升】一、单选题1．（2023·全国·高三专题练习）为庆祝广益中学建校130周年，高二年级派出甲､乙､丙､丁､戊5名老师参加“130周年办学成果展”活动，活动结束后5名老师排成一排合影留念，要求甲、乙两人不相邻且丙、丁两人必须相邻，则排法共有（

）种.A．40 B．24 C．20 D．12【答案】B【分析】根据相邻问题用捆绑法和不相邻问题用插空法即可求解.【详解】由题意得，5名代表排成一排合影留念，要求甲、乙两人不相邻且丙、丁两人必须相邻，先令丙、丁两人相邻用捆绑法，再把丙、丁与戊排列在一起，最后插空令甲、乙两人不相邻,则不同的排法共有种.故选：.2．（2023秋·浙江·高三浙江省春晖中学校联考阶段练习）某市抽调5位老师分赴3所山区学校支教，要求每位老师只能去一所学校，每所学校至少安排一位老师．由于工作需要，甲、乙两位老师必须安排在不同的学校，则不同的分派方法的种数是（

）A．124 B．246 C．114 D．108【答案】C【分析】利用分布乘法计数原理，根据排列及间接法计算.【详解】设学校为，先把甲乙两人安排到不同学校，有种，不妨设甲在A，乙在B，只需剩余3人至少有1人去C即可，利用间接法计算，有种不同安排方法，根据分步乘法计数原理可知，共有种不同安排方法.故选：C3．（2023·全国·高三对口高考）运输公司从5名男司机，4名女司机中选派出3名男司机，2名女司机，到，，，，这五个不同地区执行任务，要求地只能派男司机，地只能派女司机，则不同的方案种数是（

）A．360 B．720 C．1080 D．2160【答案】D【分析】根据分步乘法，先抽取司机，再分配去不同地方，有限制条件的先排.【详解】第一步，先从5名男司机，4名女司机中选派出3名男司机，2名女司机，共有种方法，第二步，从抽取到的司机中，派1名男司机去地，派一名女司机去地，共有种方法，第三步，剩下3名司机随机去，，三地，共有种方法，故不同方案种数为，故选：D4．（2023春·河南开封·高三通许县第一高级中学校考阶段练习）某研究机构采访了“一带一路”沿线20国的青年，让他们用一个关键词表达对中国的印象，使用频率前12的关键词为：高铁、移动支付、网购、共享单车、一带一路、无人机、大熊猫、广场舞、中华美食、长城、京剧、美丽乡村，其中使用频率排前四的关键词“高铁、移动支付、网购、共享单车”也成为了他们眼中的“新四大发明．从这12个关键词中选择4个不同的关键词，则至多包含2个“新四大发明”关键词的选法种数为（

）A．491 B．462 C．392 D．270【答案】B【分析】分类求出不包含“新四大发明”关键词的选法种数、包含1个“新四大发明”关键词的选法种数、包含2个“新四大发明”关键词的选法种数，根据分类加法计数原理即可得答案.【详解】从这12个关键词中选择4个不同的关键词，不包含“新四大发明”关键词的选法种数有种；包含1个“新四大发明”关键词的选法种数有种；包含2个“新四大发明”关键词的选法种数有种；故至多包含2个“新四大发明”关键词的选法种数为种.故选：B5．（2023·全国·高三专题练习）第届世界大学生夏季运动会于月日至月日在成都举办，现在从男女共名青年志愿者中，选出男女共名志愿者，安排到编号为、、、、的个赛场，每个赛场只有一名志愿者，其中女志愿者甲不能安排在编号为、的赛场，编号为的赛场必须安排女志愿者，那么不同安排方案有（

）A．种 B．种 C．种 D．种【答案】D【分析】对女志愿者甲是否被选中进行分类讨论，分别确定各赛场的人员安排，结合分类加法计数原理可得结果.【详解】分以下两种情况讨论：①女志愿者甲被选中，则还需从剩余的人中选出男女，选法种数为，则女志愿者甲可安排在号或号或号赛场，另一位女志愿者安排在号赛场，余下个男志愿者随意安排，此时，不同的安排种数为；②女志愿者甲没被选中，则还需从剩余人中选出男女，选法种数为，编号为的赛场必须安排女志愿者，只需从名女志愿者中抽人安排在号赛场，余下人可随意安排，此时，不同的安排方法种数为.由分类加法计数原理可知，不同的安排方法种数为种.故选：D.6．（2023秋·江西南昌·高三南昌市外国语学校校考阶段练习）某植物园要在如图所示的5个区域种植果树，现有5种不同的果树供选择，要求相邻区域不能种同一种果树，则共有（

）种不同的方法.A．120 B．360 C．420 D．480【答案】C【分析】利用分类计数原理求解，按2与4两区域种植果树是否相同进行分类即可.【详解】分两类情况：第一类：2与4种同一种果树，第一步种1区域，有5种方法；第二步种2与4区域，有4种方法；第三步种3区域，有3种方法；最后一步种5区域，有3种方法，由分步计数原理共有种方法；第二类：2与4种不同果树，第一步在1234四个区域，从5种不同的果树中选出4种果树种上，是排列问题，共有种方法；第二步种5号区域，有2种方法，由分步计数原理共有种方法.再由分类计数原理，共有种不同的方法.故选：C.二、填空题7．（2023秋·上海黄浦·高三上海市敬业中学校考开学考试）三位同学参加跳高、跳远、铅球项目的比赛，若每人只选择一个项目，则同一个项目最多只有2人参赛的情况共有种．【答案】24【分析】同一个项目最多只有2人参赛有两种情况，分别求出其种数即可求解.【详解】三位同学参加跳高、跳远、铅球项目的比赛，若每人只选择一个项目，同一个项目最多只有2人参赛有以下两种情况：①同一个项目有且仅有两人选择；②每个项目分别只有一人选择；有且仅有两人选择的项目完全相同有种；每个项目分别只有一人选择；种；故同一个项目最多只有2人参赛的情况共有种.故答案为：24.8．（2023秋·江苏南京·高三南京市第一中学校考阶段练习）甲、乙、丙3人从1楼上了同一部电梯，已知人都在至层的某一层出电梯，且在每一层最多只有两人同时出电梯，从同一层出电梯的两人不区分出电梯的顺序，则甲、乙、丙人出电梯的不同方法总数是．【答案】120【分析】分人都在至层的某一层人独自出电梯；人中有人在同一层出电梯，另人在另外一层出电梯，两种情况讨论即可求解．【详解】由题意，人都在至层的某一层人独自出电梯，共有种；人中有人在同一层出电梯，另人在另外一层出电梯，共有种；故甲、乙、丙人出电梯的不同方法总数是种．故答案为：1209．（2023·全国·高三专题练习）有5张卡片，每张卡片的正反两面分别标有两个数字，且第张卡片上的两个数字分别为和．用这五张卡片排成一排，一共可以组成个不同的五位数（用数字作答）．【答案】3456【分析】先分析每张卡片上数字，再分类讨论，利用排列组合数及两个计数原理求解.【详解】第1张卡片上的两个数字分别为0和1；第2张卡片上的两个数字分别为2和3；第3张卡片上的两个数字分别为4和5；第2张卡片上的两个数字分别为6和7；第5张卡片上的两个数字分别为8和9，若第1张卡片上选数字0，则可以组成不同的五位数的个数为；若第1张卡片上选数字1，则可以组成不同的五位数的个数为；由一共可以组成不同的五位数的个数为.故答案为：3456.10．（2023春·江苏扬州·高三仪征中学校考阶段练习）已知如图所示的电路中，每个开关都有闭合、不闭合两种可能，因此5个开关共有种可能，在这种可能中，电路从P到Q接通的情况有种．【答案】16【分析】根据题意，按1、4的闭合与否，分三种情况讨论：（1）若1闭合，而4不闭合；（2）若4闭合，而1不闭合；（3）若1、4都闭合，分别求出每种情况下的电路接通情况的数目，结合分类计数原理，即可求解.【详解】若电路从到接通，共有三种情况：（1）若1闭合，而4不闭合时，可得分为：①若1、2闭合，而4不闭合，则3、5可以闭合也可以不闭合，共有种情况；②若1、3、5闭合，而4不闭合，则2可以闭合也可以不闭合，有2种情况，但①与②中都包含1、2、3、5都闭合，而4不闭合的情况，所以共有种情况；（2）若4闭合，而1不闭合时，可分为：③若4、5闭合，而1不闭合，则2、3可以闭合也可以不闭合，有种情况；④若4、3、2闭合，而1不闭合，则5可以闭合也可以不闭合，有2种情况，但③与④中，都包含4、2、3、5都闭合，而1不闭合的情况，所以共有种情况；（3）若1、4都闭合，共有种情况，而其中电路不通有2、3、5都不闭合与2、5都不闭合2种情况，则此时电路接通的情况有种情况；所以电路接通的情况有种情况.故答案为：.【真题感知】一、单选题1．（北京·高考真题）从0，2中选一个数字．从1，3，5中选两个数字，组成无重复数字的三位数．其中奇数的个