高中数学必修1教案学案

高中数学必修1教案、学案

［新课标人教版］

目录

目录......................................................................................I

1.1.1集合的概念.........................................................................II

1.1.2集合的表示方法.....................................................................1

1.1.3集合的运算（一）...................................................................3

1.1.3集合的运算..........................................................................3

1.1.3集合的运算（三）...................................................................5

1.2.1函数（一）..........................................................................6

1.2.1函数（二）..........................................................................7

122函数的表示方法（一）...................................................................8

1.2.2函数的表示方法（二）.................................................................10

1.2.3奇偶性与单调性（一）.................................................................19

1.2.3奇偶性与单调性（二）.................................................................23

124实数指数惠及运算...................................................................28

2.1.1指数与指数累的运算1................................................................................................................................31

2.1.1指数与指数塞的运算2................................................................................................................................33

2.1.1指数与指数塞的运算3..............................................................................................................................36

2.1.2指数函数及其性质1..................................................................................................................................39

2.1.2指数与指数函数.....................................................................43

第2课时函数的定义域和值域.............................................................48

第3课时函数的单调性..............................................................51

第4课时函数的奇偶性.................................................................55

第5课时指数函数.....................................................................58

第6课时对数函数.....................................................................62

第7课时函数的图象...............................................................67

第8课时基函数.......................................................................69

第9课时函数与方程...................................................................73

第10课时函数模型及其应用..........................................................77

1.1.1集合的概念

教学目标：(1)使学生初步理解集合的概念，知道常用数集的概念及其记法

(2)使学生初步了解“属于"关系的意义

(3)使学生初步了解有限集、无限集、空集的意义

教学重点：集合的基本概念

教学过程：

1.引入

(1)章头导言

(2)集合论与集合论的创始者——康托尔(有关介绍可引用附录中的内容)

2.讲授新课

阅读教材，并思考下列问题：

(1)有那些概念？

(2)有那些符号？

(3)集合中元素的特性是什么？

(4)如何给集合分类？

(-)有关概念：

1、集合的概念

(1)对象：我们可以感觉到的客观存在以及我们思想中的事物或抽象符号，都可以称作对象.

(2)集合：把一些能够确定的不同的对象看成一个整体，就说这个整体是由这些对象的全体构成的集

合.

(3)元素：集合中每个对象叫做这个集合的元素.

集合通常用大写的拉丁字母表示，如从B、C、……元素通常用小写的拉丁字母表示，如a、b、以……

2、元素与集合的关系

(1)属于：如果a是集合4的元素，就说a属于4记作aGl

(2)不属于：如果a不是集合力的元素，就说a不属于4记作aeA

要注意“W”的方向，不能把aGA颠倒过来写.

3、集合中元素的特性

(1)确定性：给定一个集合，任何对象是不是这个集合的元素是确定的了.

(2)互异性：集合中的元素一定是不同的.

(3)无序性：集合中的元素没有固定的顺序.

4、集合分类

根据集合所含元素个属不同，可把集合分为如下几类：

(1)把不含任何元素的集合叫做空集。

(2)含有有限个元素的集合叫做有限集

(3)含有无穷个元素的集合叫做无限集

注：应区分①，{①},{0},0等符号的含义

5、常用数集及其表示方法

(1)非负整数集(自然数集)：全体非负整数的集合.记作N

(2)正整数集：非负整数集内排除0的集.记作N*或N.

(3)整数集：全体整数的集合.记作Z

(4)有理数集：全体有理数的集合.记作Q

(5)实数集：全体实数的集合.记作R

注：(1)自然数集包括数0.

(2)非负整数集内排除0的集.记作N*或N,Q、Z、R等其它数集内排除0的集，也这样表示，例

如，整数集内排除0的集，表示成Z*

课堂练习：教材第5页练习A、B

小结：本节课我们了解集合论的发展，学习了集合的概念及有关性质

课后作业：第十页习题1TB第3题

附录：

集合论的诞生

韩雪涛

集合论是德国著名数学家康托尔于19世纪末创立的.十七世纪数学中出现了一门新的分支：微积分.

在之后的一二百年中这一崭新学科获得了飞速发展并结出了丰硕成果.其推进速度之快使人来不及检查和

巩固它的理论基础.十九世纪初，许多迫切问题得到解决后，出现了一场重建数学基础的运动.正是在这场

运动中，康托尔开始探讨了前人从未碰过的实数点集，这是集合论研究的开端.到1874年康托尔开始•般

地提出“集合”的概念.他对集合所下的定义是：把若干确定的有区别的（不论是具体的或抽象的）事物

合并起来，看作一个整体，就称为一个集合，其中各事物称为该集合的元素.人们把康托尔于1873年12

月7日给戴德金的信中最早提出集合论思想的那一天定为集合论诞生日.

康托尔的不朽功绩

前苏联数学家柯尔莫戈洛夫评价康托尔的工作时说：“康托尔的不朽功绩在于他向无穷的冒险迈进”.

因而只有当我们了解了康托尔在对无穷的研究中究竟做出了些什么结论后才会真正明白他工作的价值之

所在和众多反对之声之由来.

数学与无穷有着不解之缘，但在研究无穷的道路上却布满了陷阱.因为这一原因，在数学发展的历程

中，数学家们始终以一种怀疑的眼光看待无穷，并尽可能回避这一概念.但试图把握无限的康托尔却勇敢

地踏上了这条充满陷阱的不归路.他把无穷集这一词汇引入数学，从而进入了一片未开垦的处女地，开辟

出一个奇妙无比的新世界.对无穷集的研究使他打开了“无限”这一数学上的潘多拉盒子.下面就让我们来

看一下盒子打开后他释放出的是什么.

“我们把全体自然数组成的集合简称作自然数集，用字母N来表示.”学过集合那一章后，同学们应

该对这句话不会感到陌生.但同学们在接受这句话时根本无法想到当年康托尔如此做时是在进行一项更新

无穷观念的工作.在此以前数学家们只是把无限看作永远在延伸着的，•种变化着成长着的东西来解释.无

限永远处在构造中，永远完成不了，是潜在的，而不是实在.这种关于无穷的观念在数学上被称为潜无限.

卜八世纪数学王子高斯就持这种观点.用他的话说，就是“……我反对将无穷量作为一个实体，这在数学

中是从来不允许的.所谓无穷，只是一种说话的方式……”而当康托尔把全体自然数看作一个集合时，他

是把无限的整体作为了•个构造完成了的东西，这样他就肯定了作为完成整体的无穷，这种观念在数学上

称为实无限思想.由于潜无限思想在微枳分的基础重建中己经获得了全面胜利，康托尔的实无限思想在当

时遭到一些数学家的批评与攻击是无足为怪的.然而康托尔并未就此止步，他以完全前所未有的方式，继

续正面探讨无穷.他在实无限观念基础上进一步得出一系列结论，创立了令人振奋的、意义十分深远的理

论.这一理论使人们真正进入了一个难以捉摸的奇特的无限世界.

最能显示出他独创性的是他对无穷集元素个数问题的研究.他提出用一一对应准则来比较无穷集元素的个

数.他把元素间能建立-一对应的集合称为个数相同，用他自己的概念是等势.由于一个无穷集可以与它的

真子集建立一一对应一一例如同学们很容易发现自然数集与正偶数集之间存在着一一对应关系一一也就

是说无穷集可以与它的真子集等势，即具有相同的个数.这与传统观念“全体大于部分”相矛盾.而康托尔

认为这恰恰是无穷集的特征.在此意义上，自然数集与正偶数集具有了相同的个数，他将其称为可数集.又

可容易地证明有理数集与自然数集等势，因而有理数集也是可数集.后来当他又证明了代数数［注］集合也是

可数集时，一个很自然的想法是无穷集是清一色的，都是可数集.但出乎意料的是，他在1873年证明了实

数集的势大于自然数集.这不但意味着无理数远远多于有理数，而且显然庞大的代数数与超越数相比而言

也只成了沧海一粟，如同有人描述的那样：”点缀在平面上的代数数犹如夜空中的繁星；而沉沉的夜空则

由超越数构成.”而当他得出这一结论时，人们所能找到的超越数尚仅有一两个而已这是何等令人震惊的

结果！然而，事情并未终结.魔盒一经打开就无法再合上，盒中所释放出的也不再限于可数集这一个无穷

数的怪物.从上述结论中康托尔意识到无穷集之间存在着差别，有着不同的数量级，可分为不同的层次.他

所要做的下一步工作是证明在所有的无穷集之间还存在着无穷多个层次.他取得了成功，并且根据无穷性

有无穷种的学说，对各种不同的无穷大建立了一个完整的序列，他称为“超限数”.他用希伯莱字母表中

第.个字母“阿列夫”来表示超限数的精灵，最终他建立了关于无限的所谓阿列夫谱系

KKK……

它可以无限延长下去.就这样他创造了一种新的超限数理论，描绘出一幅无限王国的完整图景.可以想见这

种至今让我们还感到有些异想天开的结论在当时会如何震动数学家们的心灵了.毫不夸张地讲，康托尔的

关于无穷的这些理论，引起了反对派的不绝于耳的喧嚣.他们大叫大喊地反对他的理论.有人嘲笑集合论是

一种“疾病”，有人嘲讽超限数是“雾中之雾”，称“康托尔走进了超限数的地狱”.作为对传统观念的一

次大革新，由于他开创了一片全新的领域，提出又回答了前人不曾想到的问题，他的理论受到激烈地批驳

是正常的.当回头看这段历史时，或许我们可以把对他的反对看作是对他真正具有独创性成果的一种褒扬

吧.

公理化集合论的建立

集合论提出伊始，曾遭到许多数学家的激烈反对・，康托尔本人度成为这一激烈论争的牺牲品.在猛

烈的攻击下与过度的用脑思考中，他得了精神分裂症，几次陷于精神崩溃.然而集合论前后经历二十余年,

最终获得了世界公认.到二十世纪初集合论已得到数学家们的赞同.数学家们为一切数学成果都可建立在

集合论基础上的前景而陶醉了.他们乐观地认为从算术公理系统出发，借助集合论的概念，便可以建造起

整个数学的大厦.在1900年第二次国际数学大会匕著名数学家庞加莱就曾兴高采烈地宣布“……数学已

被算术化了.今天，我们可以说绝对的严格已经达到了.”然而这种自得的情绪并没能持续多久.不久，集

合论是有漏洞的消息迅速传遍了数学界.这就是1902年罗素得出的罗素悖论.罗素构造了•个所有不属于

自身（即不包含自身作为元素）的集合R.现在问R是否属于R?如果R属于R,则R满足R的定义，因此

R不应属于自身，即R不属于R；另一方面，如果R不属于R,则R不满足R的定义，因此R应属于自身，

即R属于R.这样，不论何种情况都存在着矛盾.这一仅涉及集合与属于两个最基本概念的悖论如此简单明

了以致根本留不下为集合论漏洞辩解的余地.绝对严密的数学陷入了自相矛盾之中.这就是数学史上的第

三次数学危机.危机产生后，众多数学家投入到解决危机的工作中去.1908年，策梅罗提出公理化集合论，

后经改进形成无矛盾的集合论公理系统，简称ZF公理系统.原本直观的集合概念被建立在严格的公理基础

之上，从而避免了悖论的出现.这就是集合论发展的第二个阶段：公理化集合论.与此相对应，在1908年

以前由康托尔创立的集合论被称为朴素集合论.公理化集合论是对朴素集合论的严格处理.它保留了朴素

集合论的有价值的成果并消除了其可能存在的悖论，因而较圆满地解决了第三次数学危机.公理化集合论

的建立，标志着著名数学家希耳伯特所表述的一种激情的胜利，他大声疾呼：没有人能把我们从康托尔为

我们创造的乐园中赶出去.从康托尔提出集合论至今，时间已经过去了一百多年，在这一段时间里，数学

又发生了极其巨大的变化，包括对上述经典集合论作出进一步发展的模糊集合论的出现等等.而这一切都

是与康托尔的开拓性工作分不开的.因而当现在回头去看康托尔的贡献时，我们仍然可以引用当时著名数

学家对他的集合论的评价作为我们的总结.

它是对无限最深刻的洞察，它是数学天才的最优秀作品，是人类纯智力活动的最高成就之一.

超限算术是数学思想的最惊人的产物，在纯粹理性的范畴中人类活动的最美的表现之一.

这个成就可能是这个时代所能夸耀的最伟大的工作.

康托尔的无穷集合论是过去两千五百年中对数学的最令人不安的独创性贡献之一.

注：整系数一元n次方程的根，叫代数数.如一切有理数是代数数.大量无理数也是代数数.如根号2.因为

它是方程x-2=0的根.实数中不是代数数的数称为超越数.相比之下，超越数很难得到.第一个超越数是刘

维尔于1844年给出的.关于n是超越数的证明在康托尔的研究后十年才问世.

1.1.2集合的表示方法

教学目标：掌握集合的表示方法，能选择自然语言、图形语言、集合语言描述不同的问题.

教学重点、难点：用列举法、描述法表示一个集合.

教学过程：

一、复习引入：

1.回忆集合的概念

2.集合中元素有那些性质？

3.空集、有限集和无限集的概念

二、讲述新课：

集合的表示方法

1、大写的字母表示集合

2、列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内表示集合的方法.

例如，24所有正约数构成的集合可以表示为｛1,2,3,4,6,8,12,24｝

注：(1)大括号不能缺失.

(2)有些集合种元素个数较多，元素又呈现出一定的规律，在不至于发生误解的情况下，亦可如卜表示:

从1到100的所有整数组成的集合：｛1,2,3,…，100｝

自然数集N：｛1,2,3,4,…,〃，…｝

(3)区分“与｛〃｝：｛a｝表示-一个集合，该集合只有一个元素.a表示这个集合的一个元素.

(4)用列举法表示集合时不必考虑元素的前后次序.相同的元素不能出现两次.

3、特征性质描述法：

在集合I中，属于集合A的任意元素x都具有性质p(x),而不属于集合A的元素都不具有性质p(x),则性质

p(x)叫做集合A的•个特征性质，于是集合A可以表示如下：

｛xG1|p(x)｝

例如，不等式—3x>2的解集可以表示为：｛xeRI——3x〉2｝或｛x|/一3》〉2｝,

所有直角三角形的集合可以表示为：｛x|x是直角三角形｝

注：(1)在不致混淆的情况下，也可以写成：｛直角三角形｝:｛大于1(/的实数｝

(2)注意区别：实数集，｛实数集｝.

4、文氏图：用--条封闭的曲线的内部来表示一个集合.

例1：集合｛(x,y)|y=x2+1｝与集合｛y|y=x2+1｝是同一个集合吗？

答：不是.

集合｛(x,y)|y=/+1｝是点集，集合｛y|y=x2+l｝=｛y|yN1｝是数集。

例2：(教材第7页例1)

例3：(教材第7页例2)

课堂练习：

(1)教材第8页练习A、B

(2)习题1-1A：1,

小结：本节课学习了集合的表示方法(字母表示、列举法、描述法、文氏图共4种)

课后作业:Ao1,2

1.1.2集合间的关系

教学目标：

理解集合之间包含与相等的含义,能识别给定集合的子集.

教学重、难点：

（1）子集、真子集的概念和性质

（2）集合相等的概念和性质

教学过程：

一、复习集合的概念、表示方法

二、讲述新课

（-）子集、真子集的概念

1、本班所有姓王的同学组成的集合与本班所有同学组成的集合间的关系.

2、白马非马论新解：所有白色的马组成的集合与所有马组成的集合之间的关系.

3、教材提供的实例.

通过上述大量的例子使学生理解子集的概念：如果集合A中的每一个元素都是集合B中的元素，那么

集合A叫做集合B的子集，记作A=B或83A.

若集合P中存在元素不是集合Q的元素，那么P不包含于Q,或Q不包含P.记作

P<ZQ

若集合A是集合B的子集，且B中至少有一个元素不属于A,那么集合A叫做集合B的真子集.Au8

或8A.

（二）子集、真子集的性质

传递性：若AqB,BqC,则AqC

空集是任意集合的子集，是任意非空集合的真子集.

（三）集合相等

1、若集合A中的元素与集合B中的元素完全相同则称集合A等于集合B,记作A=B.

（四）例子

1、教材第12页例1、例2

2、补充例子：

例3、设集合A={O,1},集合B={x|xcA}，则A与B的关系如何？

例4、已知A={x|*2+px+q=0},8={x|X?-3x+2=0}且Aq8,求p,q满足的条件.

注意：要讨论集合A为空集的情形

课堂练习：

1、满足{a,b}qAu{a/,c,d}的集合A是什么

2、已知集合A={x|-2<x<5},8={x|m+1Kx<2加一1}且4g8,求实数m的取值范围

3、设4={%,）；},8={l,xy},若A=8求x,y

4,教材第13页练习A、B

（3）小结：本节课学习了子集、真子集的概念和性质以及集合相等的概念和性质

（4）课后作业：P201,P213

1.1.3集合的运算(一)

教学目标：

理解两个集合的交集的含义，会求两个集合的交集

教学重、难点：

会求两个集合的交集

教学过程：

(-)复习集合的概念、子集的概念、集合相等的概念。

(-)讲述新课

、

1、观察下面两个图的阴影部分，它们同集合A、集合B有什么关系？

2、考察集合人={1,2,3},B={2,3,4}与集合C={2,3}之间的关系.

--、

•般地，由所有属于A又属于B的元素所组成的集合，叫做A,B的交集.

记作AAB(读作"A交B"),

即AAB={x|xGA,且x^B}.

如：{1,2,3,6}n{1,2,5,10}={1,2}.

又如：A={a,b,c,d,e},B={c,d,e,f}.贝1JAAB={c,d,e}

三、基本性质

AAB=BAA;AAA=A;AC中=中；AAB=AOAcB

注：是否给出证明应根据学生的基础而定.

四、补充例子

例1.设A={x|x>-2},B={x|x<3},求ACB.

解:AAB={x|x>-2}0{x|x<3}={x|-2<x<3}.

例2.设人={x|x是等腰三角形},B={x|x是直角三角形},求ACB.

解：ACB={x|x是等腰三角形}n{x|x是直角三角形}={x|x是等腰直角三角形}.

例3、已知集合知={(x,y)|x+y=2},N={(x,y)|x—y=4},那么集合加。77为()

A.x=3,y=~1B.(3,—1)

C.{3,-1}D.{(3,-1))

分析：山已知得MClN={(x,y)附7=2,且x—y=4}={(3,—1)}.

也可采用筛选法.首先，易知A、8不正确，因为它们都不是集合符号.又集合M,N的元素都是数

组(x,y),所以C也不正确.

注：求两集合的交集即求同时满足两集合中元素性质的元素组成的集合.本题中就是求方程组

：的解组成的集合.另外要弄清集合中元素的一般形式.

[x-y=4

课堂练习：第18页练习A、B

小结：本节课我们学习了交集的概念、和基本性质

课后作业：(略)

1.1.3集合的运算

教学目标：

理解两个集合的并集的含义，会求两个集合的并集

教学重、难点：

会求两个集合的并集

教学过程：

(-)复习集合的概念、子集的概念、集合相等的概念；两集合的交集.

(二)讲述新课

、

1、观察下面两个图的阴影部分，它们同集合A、集合B有什么关系？

2、考察集合人={1,2,3},B={2,3,4}与集合C={1,2,3,4}之间的关系.

---

一般地，对于给定的两个集合A,B把它们所有的元素并在一起所组成的集合，叫做A,B的并集.记作A

UB(读作"A并B"),

即AUB={x|xGA,或xGB}.

如：{1,2,3,6}U{1,2,5,10)={1,2,3,5,6,10).

又如：A={a,b,c,d,e},B={c,d,e,f}.则AUB={a,b,c,d,e,f}

三、基本性质

AUB=BUA;AUA=A;AU0=A;ACB=B=AqB

注：是否给出证明应根据学生的基础而定.

四、补充

1、设集合A={1,2,3,4},B={3,4,5,6»H&AUB,A,B,ADB中元素的个数有何关系.

2、n(AuB)=n(A)+n(B)-n(AnB)(容斥原理)

五、补充例子

1.设人={x|x是锐角三角形},B={x|x是钝角三角形},求AUB.

解：AUB={x|x是锐角三角形}U{x|x是钝角三角形}={x|x是斜三角形}.

2.设A={x|-l<x<2},B={x|l<x<3},求AUB.

解：AUB={x|-l<x<2}U{x|l<x<3}={x|-l<x<3}.

3.已知关于犬的方程7=0的解集为A,方程3/2—7行片0的解集为8,若AA3={—；},求

AUB.

【解】•.,Ar)B={-g},二一g且一；£8.

101101

・・.3(--)+p(--)—7=0且3(--)~-7(—-)+q=0

・"=-20均=-1

由才一20%一7=0得：A={--,7}

Q1Q

由3x?—7x——=0得：B={——,—}

333

ig

：.AUB={~~,-,7}

注：AAB中的元素都是A、B中的元素是解决本题的突破口，AUB中只能出现一次A与8的公共元

素，这是在求集合并集时需注意的.

课堂练习：第18页练习A、B

小结：1、本节课我们学习了并集的概念、和基本性质

2、容斥原理是计算集合中元素个数的重要方法

课后作业：(略)

1.1.3集合的运算(三)

教学目标：

理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集.

能用文氏图表达集合的关系及运算，体会直观图示对理解抽象概念的作用

教学重、难点：

会求给定3集的补集，用文氏图表达集合的关系及运算

教学过程：

(-)复习集合的概念、子集的概念、集合相等的概念；两集合的交集，并集.

(二)讲述新课

一、全集：在给定的问题中，若研究的所有集合都是某一给定集合的子集，那么称这个给定的集合为

全集.

二、若A是全集U的子集，由U中不属于A的元素构成的集合，叫做A在U中的补集，记作

三、基本性质

AcCuA=①，A<JCuA-U,/(C*A)-A

Cu(AuB)=CL,Ar>CL,B,C/Ac8)=CVA\JCL：B

注：是否给出证明应根据学生的基础而定.

四、补充

1、分别用集合A,B,C表示下图的阴影部分

2、已知全集1={2,3,1+2a—3},若4={b,2},C,A={5},求实数a”

3、已知全集/={-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4},集合A={-3,1,。+1},

B^{a-3,2a-\,a2+1},其中aeR,若AcB={—3},求G（Au8）

4、已知全集1={小于10的正整数},其子集A,B满足GACC/8={1,9},AcB={2},

C/Ac8={4,6,8},求集合A,B

课堂练习：第19页练习A、B

小结：1、本节课我们学习了补集的概念和基本性质

2、文氏图对理解集合概念有重要作用

课后作业：第20页，第8题

第21页，第5题

1.2.1函数（一）

教学目标：（1）通过丰富的实例，进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型

（2）学习用集合语言刻画函数

（3）了解构成函数的要素，会求•些简单函数的定义域、值域和解析式

教学重点：函数的概念.

教学过程：

1.通过多教材上四个例子的研究，进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型。

2.引出用集合语言刻画函数（见教材第33页）

3.明确函数的三要素：定义域、值域、解析式

4.区间概念

{x\a<x<b}=[a,b]

{x\a<x<b}=[a,b）

{x\a<x<b}=（a,b]

{x\a<x<b}=（a,b）

{x\x<b}=（-oo,/?]

{x\a<x}=[tz,+oo）

5.补充例子

例1求下列函数的定义域

2、y—J4-x~~\-------

|x|-l

例2求函数的值域

3.y=4+J2+1

例3求函数的解析式

1.若/(2%一1)=%2,求/(X)

2.若/(x+1)=2/+1,求/(x)

3.若一次函数/(x)满足/"(x)]=l+2x,求/(x)

课堂练习：教材第35页练习A、B

小结：学习用集合语言刻画函数，了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域、值域和解析式

课后作业：第58页习题1-1B第1题

1.2.1函数(二)

教学目标：理解映射的概念；

用映射的观点建立函数的概念.

教学重点：用映射的观点建立函数的概念.

教学过程：

1.通过对教材上例4、例5、例6的研究，引入映射的概念.

注：1,补充例子：投掷飞标时.，每一支飞标射到盘上时，是射到盘上的唯一点上。于是，如果我们

把A看作是飞标组成的集合，B看作是盘上的点组成的集合，那么，刚才的投飞标相当于集合A到集合B

的对应，且A中的元素对应B中唯一的元素，是特殊的对应.

同样，如果我们把A看作是实数组成的集合，B看作是数轴匕的点组成的集合，或把A看作是坐标平

面内的点组成的集合，B看作是有序实数对组成的集合，那么，这两个对应也都是集合A到集合B的对应,

并且和上述投飞标一样，也都是A中元素对应B中唯一元素的特殊对应.

一般地，设A,B是两个集合，如果按照某种对应法则f,对于集合A中的任何一个元素，在集合B

中都有唯一的元素和它对应，那么这样的对应(包括集合A,B以及A到B的对应法则f)叫做集合A到集合

B的映射，记作f:AfB.其中与A中的元素a对应的B中的元素b叫做a的象，a叫做b的原象.

2,强调象、原象、定义域、值域、一一对应和一一映射等概念

3.映射观点下的函数概念

如果A,B都是非空的数集，那么A到B的映射f：A-B就叫做A到B的函数，记作y=f(x),其中x

dA,yGB.原象的集合A叫做函数y=f(x)的定义域，象的集合C(C±B)叫做函数y=f(x)的值域.函数符

号y=f(x)表示“y是x的函数”,有时简记作函数f(是.

这种用映射刻划的函数定义我们称之为函数的近代定义.

注：新定义更抽象更一般

*少、U(x是有理数)/“到击中”取、

如：f(x)={曰(狄利克雷函数)

[0(x是无理数)

4.补充例子：

例1,已知下列集合A到B的对应，请判断哪些是A到B的映射？并说明理由：

(1)A=N,B=Z,对应法则：“取相反数”；

(2)A={-1,0,2),B={-1,0,1/2},对应法则：“取倒数”;

(3)A={1,2,3,4,5},B=R,对应法则：“求平方根”；

(4)A={。0°<a<90°},B={x|0<x<l},对应法则：“取正弦”.

例2,

1,(x,y)在影射f下的象是(x+y,x-y),则(1,2)在f下的原象是

2,已知：f：x->y=x2是从集合A=R到B=[0,+co]的一个映射，则B中的元素1在A中的原象是

3,已知：A={a,b},B={c,d},则从A到B的映射有几个

课堂练习：教材第39页练习A、B

小结：学习用映射观点理解函数，了解映射的性质。

课后作业：第56页习题2-1A第1、2题

1.2.2函数的表示方法(一)

教学目标：根据要求求函数的解析式、了解分段函数及其简单应用

教学重点：函数解析式的求法

教学过程：

1、分段函数

由实际生活中，卜一海至港、澳、台地区信函部分资费表

重量级别资费(元)

20克及20克以内1.50

20克以上至100克4.00

100克以上至250克8.50

250克以上至500克16.70

引出问题：若设信函的重量为(克)应支付的资费为元，能否建立函数的解析式？导

出分段函数的概念。

通过分析课本第46页的例4、例5进一步巩固分段函数概念，明确建立分段函数解析式的一般步骤，

学会分段函数图象的作法

可选例：1、动点P从单位正方形ABCD顶点A开始运动，沿正方形ABCD的运动路程为自变量,写出

P点与A点距离与的函数关系式。

2、在矩形ABCD中，AB=4m,BC=6m,动点P以每秒1m的速度，从A点出发，沿着矩形的

边按A-DTCTB的顺序运动到B,设点P从点A处出发经过秒后，所构成的4ABP面积为m2,求

函数的解析式。

3、以小组为单位构造一个分段函数，并画出该函数的图象。

2、补充综合例题

例1根据下列条件分别求出函数/(X)的解析式

⑴/(》+4)=一+3(2)/(x)+2/(l)=3x(3)/(x-2)=x2+3x+l

XXX

注：(1)观察法(2)方程法(3)换元法

例2设二次函数/(x)满足：/(x-2)=/(-x-2)且图像在y轴上的截距为1,被x轴截得的线段长

为2式，求函数/(x)的解析式

例3设/(x)为定义在R上的偶函数，当1时，y=/(x)得图像经过(-2,0),斜率为1的射线，

又在y=/(x)的图像中有一部分是顶点为(0,2),且过点(-1,1)的一段抛物线，试写出函数/(x)的表

达式，并作出函数/(x)的图像

例4用长为L的铁丝弯成下部为矩形，上部为半圆形的框架，若矩形底边长为2x,求此框架围成的

面积y与x的函数解析式.

例5.设/(了+》-1)=/+了-3,g(x+x-')=x2+x-2求;[g(x)]。

解：/(X+-!-)=(X+-)3-3(X+-)f(x)=x3-3x

XXX

11

g(x+_)=(x+_)92_2,g(x)*9_2

XX

f[g(x)]=x6-6x4+9x2-2

例6.已知f(—)=x++x2(x>0)求Ax)

x

例7已知/(2x+l)=x2-2x求/(x)

课堂练习：教材第47页练习A、B

小结：本节课学习了分段函数及其简单应用，进一步学习了函数解析式的求法.

课后作业：（略）

1.2.2函数的表示方法（二）

教学目标：根据要求求函数的解析式、了解分段函数及其简单应用

教学重点：函数解析式的求法

教学过程：

3、分段函数

由实际生活中，上海至港、澳、台地区信函部分资费表

重量级别资费（元）

20克及20克以内1.50

20克以上至100克4.00

100克以上至250克8.50

250克以上至500克16.70

引出问题：若设信函的重量为（克）应支付的资费为元，能否建立函数的解析式？导

出分段函数的概念。

通过分析课本第46页的例4、例5进一步巩固分段函数概念，明确建立分段函数解析式的一般步骤，

学会分段函数图象的作法

可选例：1、动点P从单位正方形ABCD顶点A开始运动，沿正方形ABCD的运动路程为自变量，写出

P点与A点距离与的函数关系式。

2、在矩形ABCD中，AB=4m,BC=6m,动点P以每秒1m的速度，从A点出发，沿着矩形的

边按A-DTC-B的顺序运动到B,设点P从点A处出发经过秒后，所构成的4ABP面积为n?,求

函数的解析式。

3、以小组为单位构造一个分段函数，并画出该函数的图象。

4、补充综合例题

例1根据下列条件分别求出函数/（x）的解析式

⑴/（、+3=/+二⑵/（x）+2/d）=3x（3）“x-2）=/+3X+1

XXX

注：（1）观察法（2）方程法（3）换元法

例2设二次函数/（x）满足：/（x-2）=/（-x-2）且图像在y轴上的截距为1,被x轴截得的线段长

为2忘，求函数/(x)的解析式

例3设/(x)为定义在R上的偶函数，当X4-1时，y=/(x)得图像经过(-2,0),斜率为1的射线，

又在y=/(x)的图像中有一部分是顶点为(0,2),且过点(-1,1)的一段抛物线，试写出函数/(x)的表

达式，并作出函数/(x)的图像

例4用长为L的铁丝弯成下部为矩形，上部为半圆形的框架，若矩形底边长为2x,求此框架围成的

面积y与x的函数解析式.

例5.f(x+x~l)=x3+x~3,g(x+x-1)=x2+x~2求施(x)5

解：f(x+—)=(x+—)3-3(x+—)/.f(x)-x3—3x

XXX

g(x+-)=(x+-)2-2g(x)=x2-2

XX

/[§(x)]-x6-6x4+9x2-2

例6.已知/(-)=x+71+x2(x>0)求危)

x

例7已知/(2x+l)=一2x求y(x)

课堂练习：教材第47页练习A、B

小结：本节课学习了分段函数及其简单应用，进一步学习了函数解析式的求法.

课后作业：(略)

第2课时

1.1.1集合的概念

教学目标：(1)使学生初步理解集合的概念，知道常用数集的概念及其记法

(2)使学生初步了解“属于“关系的意义

(3)使学生初步了解有限集、无限集、空集的意义

教学重点：集合的基本概念

教学过程：

1.引入

(1)章头导言

(2)集合论与集合论的创始者——康托尔(有关介绍可引用附录中的内容)

2.讲授新课

阅读教材，并思考下列问题：

(1)有那些概念？

(2)有那些符号？

(3)集合中元素的特性是什么？

(4)如何给集合分类？

(-)有关概念：

1、集合的概念

(1)对象：我们可以感觉到的客观存在以及我们思想中的事物或抽象符号，都可以称作对象.

(2)集合：把一些能够确定的不同的对象看成•个整体，就说这个整体是由这些对象的全体构成的集

合.

(3)元素：集合中每个对象叫做这个集合的元素.

集合通常用大写的拉丁字母表示，如4、B、C、……元素通常用小写的拉丁字母表示，如a、b、c、……

2、元素与集合的关系

(1)属于：如果a是集合4的元素，就说a属于儿记作aG/l

(2)不属于：如果a不是集合/的元素，就说a不属于4记作

要注意“G”的方向，不能把aGA颠倒过来写.

3、集合中元素的特性

(1)确定性：给定一个集合，任何对象是不是这个集合的元素是确定的了.

(2)互异性：集合中的元素一定是不同的.

(3)无序性：集合中的元素没有固定的顺序.

4、集合分类

根据集合所含元素个属不同，可把集合分为如下几类：

(1)把不含任何元素的集合叫做空集切

(2)含有有限个元素的集合叫做有限集

(3)含有无穷个元素的集合叫做无限集

注：应区分①，{①},{0},0等符号的含义

5、常用数集及其表示方法

(1)非负整数集(自然数集)：全体非负整数的集合.记作N

(2)正整数集：非负整数集内排除0的集.记作N*或N，

(3)整数集：全体整数的集合.记作Z

(4)有理数集：全体有理数的集合.记作Q

(5)实数集：全体实数的集合.记作R

注：(1)自然数集包括数0.

(2)非负整数集内排除。的集.记作N*或N.,Q、Z、R等其它数集内排除0的集，也这样表示，例

如，整数集内排除0的集，表示成Z*

课堂练习：教材第5页练习A、B

小结：本节课我们了解集合论的发展，学习了集合的概念及有关性质

课后作业：第十页习题1TB第3题

附录:

集合论的诞生

韩雪涛

集合论是德国著名数学家康托尔于19世纪末创立的.十七世纪数学中出现了一门新的分支：微积分.

在之后的一二百年中这一崭新学科获得了飞速发展并结出了丰硕成果.其推进速度之快使人来不及检查和

巩固它的理论基础.十九世纪初，许多迫切问题得到解决后，出现了一场重建数学基础的运动.正是在这场

运动中，康托尔开始探讨了前人从未碰过的实数点集，这是集合论研究的开端.到1874年康托尔开始一般

地提出“集合”的概念.他对集合所下的定义是：把若干确定的有区别的（不论是具体的或抽象的）事物

合并起来，看作一个整体，就称为一个集合，其中各事物称为该集合的元素.人们把康托尔于1873年12

月7日给戴德金的信中最早提出集合论思想的那一天定为集合论诞生日.

康托尔的不朽功绩

前苏联数学家柯尔莫戈洛夫评价康托尔的工作时说：“康托尔的不朽功绩在于他向无穷的冒险迈进”.

因而只有当我们了解了康托尔在对无穷的研究中究竟做出了些什么结论后才会真正明白他工作的价值之

所在和众多反对之声之由来.

数学与无穷有着不解之缘，但在研究无穷的道路上却布满了陷阱.因为这一原因，在数学发展的历程

中，数学家们始终以一种怀疑的眼光看待无穷，并尽可能回避这一概念.但试图把握无限的康托尔却勇敢

地踏上了这条充满陷阱的不归路.他把无穷集这一词汇引入数学，从而进入了一片未开垦的处女地，开辟

出一个奇妙无比的新世界.对无穷集的研究使他打开了“无限”这一数学上的潘多拉盒子.下面就让我们来

看一下盒子打开后他释放出的是什么.

“我们把全体自然数组成的集合简称作自然数集，用字母N来表示.”学过集合那一章后，同学们应

该对这句话不会感到陌生.但同学们在接受这句话时根本无法想到当年康托尔如此做时是在进行一项更新

无穷观念的工作.在此以前数学家们只是把无限看作永远在延伸着的，一种变化着成长着的东西来解释.无

限永远处在构造中，永远完成不了，是潜在的，而不是实在.这种关于无穷的观念在数学上被称为潜无限.

十八世纪数学王子高斯就持这种观点.用他的话说，就是“……我反对将无穷量作为一个实体，这在数学

中是从来不允许的.所谓无穷，只是一种说话的方式……”而当康托尔把全体自然数看作一个集合时，他

是把无限的整体作为了•个构造完成了的东西，这样他就肯定了作为完成整体的无穷，这种观念在数学上

称为实无限思想.由于潜无限思想在微积分的基础重建中已经获得了全面胜利，康托尔的实无限思想在当

时遭到一些数学家的批评与攻击是无足为怪的.然而康托尔并未就此止步，他以完全前所未有的方式，继

续正面探讨无穷.他在实无限观念基础上进一步得出一系列结论，创立了令人振奋的、意义十分深远的理

论.这•理论使人们真正进入了一个难以捉摸的奇特的无限世界.

最能显示出他独创性的是他对无穷集元素个数问题的研究.他提出用一一对应准则来比较无穷集元素的个

数.他把元素间能建立一一对应的集合称为个数相同，用他自己的概念是等势.由于一个无穷集可以与它的

真子集建立一一对应一一例如同学们很容易发现自然数集与正偶数集之间存在着一一对应关系一一也就

是说无穷集可以与它的真子集等势，即具有相同的个数.这与传统观念”全体大于部分”相矛盾.而康托尔

认为这恰恰是无穷集的特征.在此意义上，自然数集与正偶数集具有了相同的个数，他将其称为可数集.又

可容易地证明有理数集与自然数集等势，因而有理