高中数学《直接证明与间接证明》同步练习1 新人教A版选修2-2

推理与证明综合测试题

一、选择题

1.分析法是从要证明的结论出发，逐步寻求使结论成立的（）

A.充分条件B.必要条件C.充要条件D.等价条件

答案：A

2.结论为：炉+丫“能被》+），整除,令n=1,234睑证结论是否正确,得到此结论成立的条

件可以为（）

A.neN*B.”wN*且n23C.〃为正奇数D.〃为正偶数

答案：C

3.在△ABC中,sinAsinC>cosAcosC，则△ABC一定是（）

A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.不确定

答案：C

4.在等差数列｛q｝中，若a,>0,公差，/>0,则有w叼>%%，类经上述性质，在等比

数列｛4｝中，若。>0,q>l,则%%,""的一个不等关系是（）

A.b4+bs>bs+b7B.b5+b7>b4+bg

C.b4+b7>bs+bsD.b4+b5>b-；+

答案：B

5.（1）已知/+/=2,求证p+qW2,用反证法证明时，可假设p+422,

（2）己知a,/"R,同+网<1,求证方程d+ax+6=0的两根的绝对值都小于1.用反证

法证明时可假设方程有一根为的绝对值大于或等于1,即假设归|21,以下结论正确的是

（）

A.⑴与（2）的假设都错误

B.⑴与⑵的假设都正确

C.⑴的假设正确；（2）的假设错误

D.⑴的假设错误；（2）的假设正确

答案：D

6.观察式子：1+襄＜5，11+5+3+?＜（，…’则可归纳出式子为（

1i

A.1+—+—+•••十<("22)

2232滔2n-1

11

B.1+—+—+•••+<(Q2)

n2n+1

1+9+9+-12n-1

C.•+<(〃22)

n2n

12n

D.•十<(”22)

72〃+1

答案：C

7.如图，在梯形A8CD中，AB//DC,AB=aCD=b（a＞b）.若

EF//AB,EF到C。与A8的距离之比为机：〃，则可推算出：

EF=ma+mb试用类比的方法，推想出下述问题的结果.在上面

m+m

的梯形A8C。中，延长梯形两腰ADBC相交于。点，设△048,

△03的面积分别为即S2,EF//AB旦EF到CD与AB的距离之

比为小:”，则△0EF的面积5。与％S?的关系是（）

AsO=w.+〃邑及S|+mS2

D*%—

m+nm+n

D.底/店+“后

答案：C

8.已知〃，eR,且owb,〃+。=2,则()

4i.a2+b2口.।a-+b-

A.i<ah<------

22

22

「.a+Z?.na?+廿,

C.ab<------<1D.------<ab<\1

22

答案：B

9.用反证法证明命题：若整系数一元二次方程办2+公+。=（）3。0）有有理根，那么幺b

中至少有一个是偶数时，下列假设中正确的是（）

A.假设。b。都是偶数

B.假设。b。都不是偶数

C.假设。bc至多有一个是偶数

D.假设0bc至多有两个是偶数

答案：B

10.用数学归纳法证明5+1)(〃+2)…(”+w)=2"・l@7-1),从k到k+1,左边需要增乘

的代数式为()

9k

A.2k+lB.2(2k+l)C.4-1D.2A+3

%+lZ+l

答案：B

11.类比“两角和与差的正余弦公式”的形式，对于给定的两个函数，S(x)J"',

2

C(x)，+4',其中a>0,且awl,下面正确的运算公式是()

2

①5(x+)，)=S(x)C(y)+C(x)S(y);

②S(x-y)=5(x)C(y)-C(x)5(y)；

③C(x+y)=C(x)C(y)-S(x)S(y)；

④C(x-y)=C(x)C(y)+S(x)S(y)；

A.①③B.②④C.①④D.①②③④

答案：D

12.正整数按下表的规律排列

1251017

1111

4--------361118

III

9--------8---------71219

II

16--------15--------14---------1320

I

25--------24---------23---------2221

则上起第2005行，左起第2006列的数应为()

A.20052B.20062C.2005+2006D.2005x2006

答案：D

二、填空题

13.写出用三段论证明/(x)=x3+sinx(xeR)为奇函数的步骤是.

答案：满足=的函数是奇函数,大前提

/(-x)=(-x)3+sin(-x)=-x3-sinx=-(x3+sinx)=-/(x),小前提

所以f(x)=d+sinx是奇函数.结论

14.南/•(〃)=1+1+1+…+』(〃eN*),用数学归纳法证明f(2")＞巴时,/(2*-/(2*)等

23n2

于.

答案：-7----1---F—^―

2*+12"+22*+1

15.由三角形的性质通过类比推理，得到四面体的如下性质：四面体的六个二面角的平分面

交于一点，且这个点是四面体内切球的球心，那么原来三角形的性质为.

答案：三角形内角平分线交于点，且这个点是三角形内切圆的圆心

16.下面是按照一定规律画出的一列“树型”图：

设第n个图有4个树枝，则限与a,,(n22)之间的关系是

答案：%+i=2a“+2

三、解答题

17.如图(1),在三角形A8C中，ABA.AC,若ADJ.BC,«1]AB1=BD-BC；若类比该命

题，如图(2),三棱锥A-BC。中，AOJ.面48C,若A点在三角形BCD所在平面内的射

影为M,则有什么结论？命题是否是真命题.

图(1)图(2)

解：命题是：三棱锥A-8C。中，4。，面ABC,若A点在三角形8C。所在平面内的射影

为M,则有S之的=SBC/S8co是一个真命题.

证明如下：

在图（2）中，连结。例，并延长交BC于E,连结AE,则有。E_L8C.

因为4。_1_面48（7,,所以AO_LAE.

又AMJ.OE,所以A£：2=EM・E。.

*BCEM

-BCED

18.如图，已知PA_L矩形ABC。所在平面，M,N分别是AB,PC的中点.

求证：（1）MN〃平面PAO；（2）MNLCD.

证明：（1）取PO的中点E,连结AE,NE.

,:N,E分别为PC,P。的中点.

...EN为△PCD的中位线，

II/..........•yL/

:.ENJL-CD,AM=-AB,而为矩形，

-ABCQ尸\/

22n/M\/

.,.如AB,且CZ）=4B.c

：.ENAM,且EN=AM.

Z.AENM为平行四边形，MN〃AE,而MN<Z平面PAC,AEu平面PAD,

...MN平面PAD.

（2）YPA，矩形ABC。所在平面，

CDLPA,而CO_L4D,PA与A。是平面PAO内的两条直交直线，

CD1平面PAD，而AEu平面PAD,

AEVCD.

又,/MNAE,MN1CD.

19.求证：当一个圆和一个正方形的周长相等时・，圆的面积比正方形的面积大.

证明：（分析法）设圆和正方形的周长为/,依题意，圆的面积为讨

正方形的面积为.

因此本题只需证明n（—Y>f-Y.

1212

要证明上式，只需证明三〉

47d6

两边同乘以正数得1>l.

I2兀4

因此，只需证明44.

・・•上式是成立的，所以冗

这就证明了如果一个圆和一个正方形的周长相等，那么圆的面积比正方形的面积最大.

20.已知实数〃，b,cd满足a+匕=c+d=1,ac+bd>\f求证b,cd中至少有一个

是负数.

证明：假设ab,c〃都是非负实数，因为a+Z?=c+d=1,

所以ab,cdG[O,1],所以右？巴,bd,

22

「匕।、i,.7〃+cb+di

所以〃c+/;dW----+-----=1,

22

这与已知ac+bd>l相矛盾，所以原假设不成立，即证得〃，b,cd中至少有一个是负数.

21.设f(x)=°；"—,g{x)=-~(一(其中a>0,且awl).

(1)5=2+3请你推测g(5)能否用了⑵，f(3)g⑵g(3)来表示;

(2)如果(1)中获得了一个结论，请你推测能否将其推广.

3-33-23-32-25-5

AW/1、rhr/o\zo\a'+Qa—a~a—acr+aa'—a

解(1)由/⑶g(2)+g(3)/(2)=-----f—+---------=-1—，

因此g(5)=f(3)g(2)+g(3)/(2).

(2)由g(5)=f(3)g⑵+g(3)/⑵,即g(2+3)=/(3)g(2)+g(3)/(2),

于是推测g(x+y)=,f(x)g(y)+g(x)f(y).

证明：因为/(x)=V匚，g(x)=jU(大前提).

ax+y_a~(x+y)ay-a~yay+n~y

所以g(x+y)=-----------,g(y)=----——，f(y)=----——,(小刖提及结论)

所以/*)g(y)+g(x)/(y)=---—+---------------=-----------=g(x+y)•

乙乙乙乙乙

22.若不等式>2对一切正整数”都成立，求正整数。的最大值,

n+1〃+23n+124

并证明结论.

11Ia’即家会

解：当〃=1时,-----+------+------>—

1+11+23+124

所以a<26.

而。是正整数，所以取。=25,下面用数学归纳法证明：—+—+

n+1〃+23n+124

(1)当〃=1时,已证；

即+—5—+…+125

(2)假设当〃=女时，不等式成立,---->—.

k+Tk+23攵+124

则当〃=攵+1时,

111

\J----------------1------------------F…H-----------------

(4+1)+1伏+1)+23(左+1)+1

=-----++…+

左+1左+23Z+13k+23k+33k+4k+\

25「112一

>一+----+-------------.

24|_3%+23攵+43伏+1)_

因为」

3k+23k+49k"8k+83(k+l)

g、i116(k+l)2

3k+23k+49k?+18k+83(A+1)

所以当”=A+1时不等式也成立.

由（1）（2）知，对一切正整数〃，都有」一+—!—+—+—!—>”,

〃+1〃+23〃+124

所以〃的最大值等于25.

高中新课标选修（2-2）推理与证明综合测试题

一、选择题

1.下面使用的类比推理中恰当的是（）

A.”若m*2匕n2,则ni=n"类比得出“若m*0三〃0,则m=〃”

B“（〃+b）c=ac+be”类比得出“（a・b）c=acbe”

Cu（a+b）c=ac+bcn类比得出“*=q+2（,工（））”

ccc

D"（％）”=pF”类比得出“（p+q）“=p"+q"”

答案：C

2.图1是一个水平摆放的小正方体木块，图2,图3是由这样的小正方体木块叠放而成的,

按照这样的规律放下去，至第七个叠放的图形中，小正方体木块总数就是（）

A.25B.66C.91D.120

答案：C

3.推理“①正方形是平行四边形；②梯形不是平行四边形；③所以梯形不是正方形”中的

小前提是()

A.①B.②C.③D.①和②

答案：B

4.用数学归纳法证明等式1+2+3+…+(n+3)=四卷^(nwN*)时，第一步验证"=1

时，左边应取的项是()

A.1B.1+2C・1+2+3D.1+2+3+4

答案：D

5.在证明命题“对于任意角cos40-sin40=cos2^”的过程：

ucos40-sin40=(cos20+sin20)(cos20-sin20)=cos20-sin20=cos20n中应用了()

A.分析法B.综合法C.分析法和综合法综合使用D.间接证法

答案：B

6.要使正-惠〈标工成立，则a,b应满足的条件是()

A.ab<0SLa>bB.ab>QS.a>b

C.ab<0^.a<bD.ab>0且或ab<0且

答案：D

7.下列给出的平面图形中，与空间的平行六面体作为类比对象较为合适的是()

A.三角形B.梯形C.平行四边形D.矩形

答案：C

8.命题“三角形中最多只有一个内角是钝角”的结论的否定是()

A.有两个内角是钝角B.有三个内角是钝角

C.至少有两个内角是钝角D.没有一个内角是钝角

答案：C

9.用数学归纳法证明3“川+5.(”eN)能被8整除时，当”=k+l时，对于3“*+向+523”

可变形为()

A.56«34*+I+25(34t+l+52t+l)B.34-34i+,+5252*

C.34A+,+52t+,D.25(3"*'+52*

答案：A

10.已知扇形的弧长为/,所在圆的半径为r,类比三角形的面积公式：S='x底x高，可

2

得扇形的面积公式为（)

A.lr2B.I/2C.lr/D.不可类比

222

答案：C

11.已知m>1,a=\/m+1-yfm,b=y[m-y/m-},则以下结论正确的是()

A.a>bB.a<bC.a-bD.b大小不定

答案：B

12.观察下列各式：1=产，2+3+4=32,3+4+5+6+7=52,4+5+6+7+8+9+10=72,

…，可以得出的一般结论是()

A.拉+(〃+1)+(〃+2)+•••+(3/1-2)=a?

B.〃+(〃+1)+(几+2)+•••+(3"-2)=(2"一I)?

C.〃+(〃+1)+(〃+2)+…+(3〃-1)=几2

D.〃+(〃+1)+(〃+2)+…+(3n-1)=(2/7-1)2

答案：B

二、填空题

13.已知/(")=2+-1-+_L+…+!，则/(")中共有______项.

n〃+1〃+2n~

答案：n2-n+l

14.已知经过计算和验证有下列正确的不等式：6+折<2屈，V75+Vll5<2Vi0,

+返+J12-&<2后,根据以上不等式的规律，请写出对正实数加〃成立的条件不

等式.

答案：当，"+”=20时，有赤+

15.在数列｛七｝中，q=2,an+1=^-j(neN,),可以猜测数列通项％的表达式为

16.若三角形内切圆的半径为r,三边长为a,bc,则三角形的面积等于S=；r(a+&+c),

根据类比推理的方法，若一个四面体的内切球的半径为R,四个面的面积分别是

品与，邑S厂则四面体的体积V=.

答案：：/?0+邑+邑+$4)

三、解答题

17.已知。是整数，/是偶数，求证：。也是偶数.

证明：(反证法)假设。不是偶数，即。是奇数.

设a=2"+1(”eZ),贝lja2=4〃2+4〃+1.

V4(n2+n)是偶数,

.••4/+4.+1是奇数，这与已知人是偶数矛盾.

由上述矛盾可知，a一定是偶数.

18.已知命题：”若数列｛4｝是等比数列，且＞0,则数歹Ub,=Ma「q(”eN，)也是等

比数列”.类比这一性质，你能得到关于等差数列的一个什么性质？并证明你的结论.

解：类比等比数列的性质，可以得到等差数列的一个性质是：若数列｛凡｝是等差数列，则

数列",=也是等差数列.

n

证明如下：

n(n-\)d

nax+----------,

设等差数列｛”“｝的公差为a,则瓦=%"2%=----------Z—=q+色(〃-1),

nn2

所以数列物,,｝是以q为首项，g为公差的等差数列.

19.已知〃>b>c,且〃+b+c=O,求证：————<>/3.

a

证明：因为〃>b>c,且〃+/?+c=0,

所以。>0,c<0,要证明原不等式成立，只需证明J一—ac<&r,

即证b2-ac<3a\从而只需证明(a+c>-ac<3a2,

即(a-c)(2a+c)>0,

因为〃-c>0,2a+c=a+c+a=a-b>0f

所以(〃-C)(2Q+C)>0成立，故原不等式成立.

20.用三段论方法证明：+J/+c2+，02+〃2N6(a+b+c).

证明：因为所以2(/+/)/+/+2"(此处省略了大前提),

所以“2+/2孝心+可曰(a+b)(两次省略了大前提，小前提)，

同理，y/b2+c2^-—(b+c),>Jc2+a2>—(c+a).

22

三式相加得\la2+b2+y/b2+c2+\lc2+a22应(a+b+c).

(省略了大前提，小前提)

21.由下列不等式：1>—,1+-+->1,1+-+-+••-+->—,!+-+-+-••+—>2.…,

22323722315

你能得到一个怎样的•般不等式？并加以证明.

解：根据给出的几个不等式可以猜想第〃个不等式，即一般不等式为：

用数学归纳法证明如下：

(1)当”=1时，\>-,猜想成立；

2

(2)假设当〃=%时，猜想成立，即1+1+』+…+——>人，

2324-12

则当〃=«+1时，

,111111kli1k2kk+\

232*-12*2«+12M-122*2k+12t+l-l22*+,2

,即当〃=G+1时，猜想也正确，所以对任意的“eNL不等式成立.

2