数学说题课件应用2

说题第四届初中数学教师基本功说题比赛（备用图）原题再现

中考题如图所示，现有一张边长为4的正方形纸片，点P为正方形AD边上的一点（不与点A、点D重合）将正方形纸片折叠，使点B落在P处，点C落在G处，PG交DC于H，折痕为EF，连接BP、BH．（1）求证：∠APB=∠BPH；（2）当点P在AD边上移动时，△PDH的周长是否发生变化？并证明你的论；（3）设AP为x，四边形EFGP的面积为S，求出S与x的函数关系式，试问S是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由．一、审题分析

如图所示，现有一张边长为4的正方形纸片，点P为正方形AD边上的一点（不与点A、点D重合）将正方形纸片折叠，使点B落在P处，点C落在G处，PG交DC于H，折痕EF，连接BP、BH．（1）求证：∠APB=∠BPH；（2）当点P在AD边上移动时，△PDH的周长是否发生变化？并证明你的论；（3）设AP为x，四边形EFGP的面积为S，求出S与x的函数关系式，试问S是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由．涉及知识点1.正方形的性质、折叠问题；2.全等三角形、相似三角形的判定与性质；3.二次函数的最值。一、审题分析

如图所示，现有一张边长为4的正方形纸片，点P为正方形AD边上的一点（不与点A、点D重合）将正方形纸片折叠，使点B落在P处，点C落在G处，PG交DC于H，折痕EF，连接BP、BH．（1）求证：∠APB=∠BPH；（2）当点P在AD边上移动时，△PDH的周长是否发生变化？并证明你的论；（3）设AP为x，四边形EFGP的面积为S，求出S与x的函数关系式，试问S是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由．条件分析1.本题通过折叠将全等，相似，函数等知识，融进正方形。2.此图是正方形，里面有相等的边和角；折叠前后的图形全等，这些都是题中的隐含条件。一、审题分析

如图所示，现有一张边长为4的正方形纸片，点P为正方形AD边上的一点（不与点A、点D重合）将正方形纸片折叠，使点B落在P处，点C落在G处，PG交DC于H，折痕EF，连接BP、BH．（1）求证：∠APB=∠BPH；（2）当点P在AD边上移动时，△PDH的周长是否发生变化？并证明你的论；（3）设AP为x，四边形EFGP的面积为S，求出S与x的函数关系式，试问S是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由．难点、关键点1.难点是学生无法将分散的条件集中到有效的图形上进行解决。2.利用全等三角形的判定得出相等关系是关键．

一、审题分析

如图所示，现有一张边长为4的正方形纸片，点P为正方形AD边上的一点（不与点A、点D重合）将正方形纸片折叠，使点B落在P处，点C落在G处，PG交DC于H，折痕EF，连接BP、BH．（1）求证：∠APB=∠BPH；（2）当点P在AD边上移动时，△PDH的周长是否发生变化？并证明你的论；（3）设AP为x，四边形EFGP的面积为S，求出S与x的函数关系式，试问S是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由．学情分析

在解题中，学生会出现以下问题：1.推理能力不到位；2.数学思维缺乏严谨性；3.缺乏良好的学习习惯。二、解题过程

如图所示，现有一张边长为4的正方形纸片，点P为正方形AD边上的一点（不与点A、点D重合）将正方形纸片折叠，使点B落在P处，点C落在G处，PG交DC于H，折痕EF，连接BP、BH．（1）求证：∠APB=∠BPH；分析：本题由已知可得，四边形ABCD为正方形AD∥BC∠APB

=∠PBC由折叠可得，∠BPH=∠PBC∠APB=∠BPH证明：∵四边形ABCD为正方形∴AD∥BC∴∠APB=∠PBC由折叠得，∠BPH=∠PBC∴∠APB=∠BPH二、解题过程

（2）当点P在AD边上移动时，△PDH的周长是否发生变化？并证明你的论；分析（方法1）：由折叠图形可知∠EPH=90°在正方形中∠A=∠D=90°∠1+∠2=90°∠3+∠2=90°∠1=∠3∠A=∠D=90°△APE∽△DHP然后利用相似三角形的性质求周长。二、解题过程

（2）当点P在AD边上移动时，△PDH的周长是否发生变化？并证明你的论；证明：a4-a答：△PDH的周长不变，为定值8．设BE=a,则AE=4-a，由折叠可知PE=BE=a，∵∠EPH=90°∴∠1+∠2=90°∵∠3+∠2=90°∴∠1=∠3∵∠A=∠D=90°∴△APE∽△DHP=评析这种解法用的是设而不求的方法，这也是解决几何问题的常规解法之一，解题过程中运用了勾股定理、相似，使解题思路明确，计算过程简洁。二、解题过程

（2）当点P在AD边上移动时，△PDH的周长是否发生变化？并证明你的论；分析（方法2）：

在第（1）题中已证出∠APB=∠BPH，让这两个角存在于两个三角形来解决，因此构造辅助线，作BQ⊥PH，利用三角形全等将分散的条件集中到正方形的边上解决。二、解题过程

（2）当点P在AD边上移动时，△PDH的周长是否发生变化？并证明你的论；答：△PDH的周长不变，为定值8．证明：如图2，过B作BQ⊥PH，垂足为Q．由（1）知∠APB=∠BPH，又∵∠A=∠BQP=90°，BP=BP，

∴△ABP≌△QBP．∴AP=QP,AB=BQ．又∵

AB=BC，∴BC=BQ．又∵∠C=∠BQH=90°BH=BH，∴△

BCH≌△BQH．∴CH=QH．∴△PDH的周长为：PD+DH+PH=AP+PD+DH+HC=AD+CD=8.

评析这种解法用到了作辅助线,这样把问题进行了转化，利用三角形全等的知识，得出相等线段把分散的问题集中到已知条件上来，从而做到了化未知为已知，使问题迎刃而解。二、解题过程

（3）设AP为x，四边形EFGP的面积为S，求出S与x的函数关系式，试问S是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由．由折叠可知，折叠前后的图形全等，因此本题可求直角梯形BCFE的面积。分析：

在直角梯形BCFE中，高BC=4，求面积就需要知道上下底的长。因此通过作辅助线来求上下底。二、解题过程（3）设AP为x，四边形EFGP的面积为S，求出S与x的函数关系式，试问S是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由．M证明：过F作FM⊥AB，垂足为M，则MF=BC=AB.又∵EF为折痕，∴EF⊥BP.∴∠EFM+∠MEF=∠ABP+∠BEF=90°，∴∠EFM=∠ABP．又∵∠A=∠EMF=90°，∴△EFM≌△BPA．

∴EM=AP=x在Rt△APE中，解得∴∴当x=2时，S有最小值6．xx三、总结提升

本题以正方形为载体，将折叠融入图形，出现了很多相等的角和边，这为证明三角形全等提供了依据，熟练利用全等三角形的判定是解题重要环节。2.数学思想：数形结合思想，方程思想，函数思想，转化思想。勾股定理的运用求四边形的面积求三角形的周长和四边形的面积1.解题规律：三、总结提升3.题目变式：在原题的条件下，还可得以下结论：⑴求证：∠PBH=45°；⑵求证：S△PBH

=S△ABP

+S△BCH

；⑶当PH=m

时，则S△DHP=16-4m逆向探究：在原题的条件下，已知△DHP的周长为8.求△BPH面积的最小值。

评析拓展提升题有助于学生巩固所学知识，提高思维能力，培养学生综合运用知识的能力，并有助于拓展思维，激发学生学习兴趣，从而使学生学习积极性和主动性都得到提高.

评析加强逆向思维的训练，可改变思维结构，培养思维的灵活性、深刻性和双向性，提高分析问题和解决问题的能力。因此教学中应注重逆向思维的培养与塑造，以充分发挥学生的思考能力，训练其思维的敏捷性，从而激发学生探索数学奥秘的兴趣。三、总结提升4.解后反思：（1）加强书写的要求；（2）重视逻辑推理能力的培养；（3）重视思维训练，突出数学思想方法的教学；（4）运用变式训练，改变问题的呈现方式。图乱，书写乱！图形是全等，不是相等！没有这样的已知条件，推理不着边际！凭直观做题，找不到解决问题的途径！作辅助线要用虚线，做到规范做题！此题要有推理过程，不能根据测量得出！自己造概念！做题要冷静！证明这两条线段相等与上面的方法不一样，因此不能用“同理”！思路很清晰，可能解题存在畏惧感，没有把题解完！

在我们的教学过程中，我想拿到一个题目，如果这样深入去观察、分析、解决与反思，那必能起到以一当十、以少胜多的效果，增大课堂的容量，培养学生各方面的技能，定能收到做一题得一法，会一类通一片的效果。结束语：谢谢各位评委老师！活动后的感受一、紧张、充实、有效寻找问题听取意见修改完善认真聆听揣摩分析活动后的感受二、解决了几个误区1.业务考试数学是研究

的科学，这一观点是由

首先提出的。数量关系和空间形式

恩格斯从数学史上看，有理数的概念传入我国存在着翻译上的错误，其原意是

数包括________小数和

小数，________的发现，引发了第一次数学危