机械基础-学做一体化 课件 任务二 构件基本变形的强度计算

任务二构件基本变形的强度计算2.1静力分析基础2.2力矩和力偶2.3平面任意力系2.4轴向拉伸和压缩2.5零件的剪切与挤压2.6圆轴的扭转2.7直梁的弯曲

2.1静力分析基础

2.1.1基本概念1.力力是物体之间的相互机械作用。工人推动小车运动，如图2-1(a)所示；担水时扁担由于重力的作用而变形，如图2-1(b)所示。图2-1力的作用实例

2.刚体

刚体是指在受力情况下保持其几何形状和尺寸不变的物体。显然，这只是一种简化手段的理论模型，实际上并不存在这样的物体。

3.力系

作用在物体上的若干个力总称为力系。对同一物体产生相同效应的两个力系互称为等效力系，等效力系间可以相互替代。如果一个力系与一个力等效，则这个力称为该力系的合力，而力系中的各力则称为合力的分力。

4.平衡

工程上一般指物体相对于地面保持静止或做匀速直线运动的状态。平衡力系中各个力对物体的作用效果相互抵消，即合力为零；另外，物体所受的合力偶也为零；这种物体既不转动也不移动的状态，即为完整意义上的物体平衡状态。

2.1.2静力学公理

1.二力平衡公理

作用于刚体上的两个力，使刚体处于平衡状态的充分和必要条件：此两力的大小相等、方向相反、作用线沿同一直线。

这个公理总结了作用于刚体上最简单的力系平衡时所必须满足的条件。如图2-2所示，工程中常将满足二力平衡原理的构件称为二力构件或二力杆。图2-2二力平衡及二力杆

2.加减平衡力系公理

在作用于刚体的已知力系中，增加或减去一个平衡力系后构成的新力系与原力系等效。

这个公理表明了简化力系的基本手段。与二力平衡公理相同，加减平衡力系公理只适用于同一刚体。实践经验表明，作用于刚体上的力可沿其作用线任意移动而不致改变其对于刚体的运动效应，力的这种性质称为力的可传性(见图2-3)。图2-3加减平衡力系公理

3.平行四边形公理

作用于物体上某一点的两个力，可以合成为一个合力，合力的大小和方向由两已知力为邻边所构成的平行四边形的对角线确定。

这个公理介绍了合成力的基本方法见图2-4(a)。图2-4(b)所示为求两汇交力合力的三角形法则，可以看作是这个公理的推论。图2-4平行四边形公理

4.作用与反作用公理

两个物体间的作用力与反作用力，总是大小相等、作用线相同、指向相反、分别作用在两个不同的物体上。

这个公理说明了物体间相互作用的关系。如图2-5所示为作用力与反作用力的关系和表示方法。图2-5作用与反作用公理

2.1.3约束与约束反力

在实际工程中，构件总是以一定的形式与周围其他构件相互制约的。凡是限制某一物体运动的周围物体，均称为该物体的约束。

物体的受力可以分为两类：主动力和约束反力。主动力：能主动地使物体运动或有运动趋势的力。例如物体的重力，结构承受的风力、水压力等。约束反力：约束对物体运动起限制作用的力。约束反力总是作用在约束与物体的接触处，其方向与约束所能限制的运动方向相反，它的确定与约束类型及主动力有关。

1.柔性约束

工程上常用的钢丝绳、皮带、链条等柔性索状物体即为柔性约束。如图2-6所示，柔性约束只能受拉不能受压，约束反力的方向是沿着柔索中心线而背离约束物体，通常用符号FT表示。图2-6柔性约束

2.光滑接触面约束

物体与光滑面刚性接触(摩擦力可忽略不计)所形成的约束即为光滑接触面约束。如图2-7所示，约束反力方向沿着接触点(或面)的公法线，指向受力物体，通常用FN表示。图2-7光滑接触面约束

3.光滑圆柱形铰链约束

两构件通过圆柱形铰链所形成的约束即为光滑圆柱形铰链约束。它分为以下三种类型：

(1)固定铰链约束：两构件之一固定的圆柱铰链连接(见图2-8)。图2-8固定铰链约束

(2)连接铰链约束：两构件均不固定的圆柱形铰链连接(见图2-9)。图2-9连接铰链约束

(3)活动铰链约束：在铰链支座与支承面之间装上辊轴，即成为辊轴铰链支座。如图2-10所示，约束反力FN必垂直于支承面，并通过铰链中心，通常用FN表示。图2-10活动铰链约束

4.固定端约束

对物体一端起固定作用，限制物体的转动和移动的约束。如图2-11所示，车刀和楼房阳台托架都属于固定端约束。图2-11固定端约束

固定端约束的约束反力可简化为两个垂直的约束反力FAx、FAy和一个约束反力偶MA，如图2-12所示。其中，FAx、FAy限制物体的移动，MA限制物体的转动。图2-12固定端约束反力

2.1.4构件的受力分析

1.受力分析的概念

分析物体所受的所有主动力和约束反力。

2.分析步骤

(1)确定研究对象并从原系统中将其分离，确定研究对象的方法是先简后繁、先主后从；

(2)分析研究对象所受的主动力，此步骤应注意重力的取舍；

(3)从接触处的约束类型和运动趋势分析得出约束反力，分析时应注意作用力与反作用力在两个作用物体上的体现，用平衡物体的三力汇交现象判断第三个力的方向，根据实际情况对摩擦力进行取舍和判断二力杆等。

例2.1如图2-13(a)所示，圆球O重力G，用BC绳系住，旋转在与水平面成角的光滑斜面上，试画出圆球O的受力图。图2-13球体受力分析

解(1)取分离体。单独画出圆球O。

(2)画圆球O的主动力。圆球O的主动力只有重力G。

(3)画圆球O的约束反力。圆球O的约束有B点的柔索约束和A点的光滑接触面约束，对应有两个约束反力。

圆球O的受力图如图2-13(b)所示。

(4)检查。分离体上所画之力是否正确、齐全。

2.2力 矩 和 力 偶2.2.1力矩1.力矩的概念力对物体除了具有移动效应外，有时还会产生转动效应。如图2-14所示，拧动螺母的作用不仅与F的大小有关，而且与转动中心O点到力的作用线的距离d有关。因此，力F使物体绕O点的转动效应可用两者的乘积Fd来度量，称为力矩，用MO(F)表示。(2.1)图2-14力矩

O点称为矩心，O点到力F作用线垂直距离d称为力臂。通常规定：力使物体绕矩心逆时针方向转动时力矩为正，反之为负(见图2-15)。力矩的单位是牛·米(N·m)。图2-15力矩的符号规定

例2.2如图2-16所示，已知皮带紧边的拉力FT1 = 2000 N，松边的拉力FT2 = 1000 N，轮子的直径D = 500 mm。试分别求皮带两边拉力对轮心O的力矩。图2-16带轮

解由于皮带拉力沿着轮缘的切线，所以轮的半径就是拉力对轮心O的力臂，即

于是

拉力FT1使轮逆时针转动，故其力矩为正；FT2使轮顺时针转动，故其力矩为负。

2.合力矩定理

力系有一合力时，合力对某点之矩等于各分力对同点之矩的代数和，即

(2.2)

在计算力矩时，有时欲求一个力对于某一矩心的力矩，力臂不易计算，就可应用合力矩定理，将原力分解为两个适当的分力，先分别求两分力对于该矩心之矩，再求其代数和。

例2.3如图2-17所示，在ABO折杆上A点作用一力F，已知a = 180 mm，b = 400 mm， = 60°，F = 100 N。求力F对O点之矩。图2-17折杆

解由力矩的定义式(2.1)可得

因为力臂d值计算较繁琐，应用合力矩定理式(2.2)，则可以较方便地计算出结果：

由此可以看出，力矩大小的计算应根据情况选择分解力或延长力的作用线。

2.2.2力偶

1.力偶

在实践中，除了力矩可以使物体产生转动效应外，还有其他一些例子。如图2-18所示，司机用双手转动方向盘，钳工用双手转动铰杠攻螺纹等。以上例子中都有一对大小相等、方向相反的平行力组成的力系，称之为力偶。

力偶对刚体的转动效应取决于力偶矩的大小、力偶的转向和力偶作用平面的方位，这三者称为力偶的三要素。图2-18力偶实例

2.力偶矩

力偶对刚体的作用效应，用力偶中一力的大小F与力偶臂d的乘积F·d来度量，称为力偶矩，记作M(F,F')，简记为M，即

如图2-19所示，力偶中两力作用线间的垂直距离称为力偶臂，用d表示。图2-19力偶矩的力偶臂与符号

3.力偶的性质

性质1力偶在任何坐标轴上的投影为零。

它表明不能将力偶简化为一个力，或者说力偶没有合力。即力偶不能与一个力等效，也不能用一个力来平衡，力偶只能与力偶等效，也只能与力偶相平衡。

性质2力偶对其作用面内任意点的矩恒等于此力偶的力偶矩，而与矩心的位置无关，即对于力偶来讲，是没有矩心之说的。

性质3力偶对刚体的作用效应取决于力偶的三要素，而与作用位置无关。

由此可以得到两个推论：

(1)力偶可以在其作用面内任意移转，而不改变它对物体的转动效应；

(2)在保持力偶矩大小和力偶转向不变的情况下，可任意改变力偶中力的大小和力偶臂的长短，而不改变此力偶对物体的转动效应，如图2-20所示。图2-20力偶的不同表示

4.平面力偶系的合成与平衡

1)合成

合力偶矩为

即平面力偶系合成的结果为一个合力偶，合力偶矩等于力偶系中各力偶矩的代数和。

这就是平面力偶系的平衡方程，应用该方程可以求解一个未知量。

例2.4多头钻床在水平工件上钻孔如图2-21所示，设每个钻头作用于工件上的切削力在水平面上构成一个力偶。M1 = M2 = 13.5 N·m，M3 = 17 N·m。求工件受到的合力偶矩。如果工件在A、B两处用螺栓固定，A和B之间的距离l = 0.2 m，试求两螺栓在工件平面内所受的力。图2-21多头钻床

解(1)求三个主动力偶的合力偶矩。

负号表示合力偶矩为顺时针方向。

(2)求两个螺栓所受的力

选工件为研究对象，工件受三个主动力偶的作用和两个螺栓的反力作用而平衡，故两个螺栓的反力作用相平衡，因此两个螺栓的反力FA与FB必然组成一力偶，设它们的方向如图2.21所示。

由平面力偶系的平衡条件可得

2.3平面任意力系

力系中各力的作用线处于同一平面内，既不平行又不汇交于一点，这样的力系称为平面任意力系。平面任意力系是工程中最常见的一种力系，平面汇交力系和平面平行力系是平面任意力系的特殊情况。

2.3.1力的平移定理

如图2-22所示，作用在刚体上某点的力F，可平移到刚体内的任意一指定点，但必须同时附加一个力偶，其附加力偶矩等于原力对指定点之矩。图2-22力的平移定理

例如，用丝锥攻螺纹时，如果只在丝锥的一端加力F，如图2-23(a)所示，由力的平移定理可知，力F'却使丝锥弯曲，从而影响攻丝精度，甚至使丝锥折断，因此这样操作是不允许的。图2-23丝锥

2.3.2平面任意力系的简化

在刚体上作用于平面任意力系，如图2-24所示。在力系平面内任取一点O，称为简化中心。根据力的平移定理，可将各力都向O点平移，得到一个平面汇交力系和一个附加平面力偶系，所得的平面汇交力系可以合成为一个作用于O点的合矢量，称为主矢，它体现了原力系对刚体的移动效应。

所得的附加平面力偶系可以合成为一个合力偶，称为主矩MO，它体现了原力系对刚体绕简化中心的转动效应。

综上所述可知，平面力系向一点(简化中心)简化的一般结果是一个力(主矢)和一个力偶(主矩)。力系的主矢与简化中心的位置无关。主矩一般随简化中心的位置不同而改变。图2-24平面任意力系的简化

2.3.3平面任意力系的平衡条件

1.平面力系平衡的充分与必要条件

力系的主矢和力系对任意点的主矩都等于零，即

上面的平衡条件可用下面的解析式表示：

2.解题步骤

(1)确定研究对象，画其受力图，判断平面力系的类型。

注意：一般应选取有已知力和未知力同时作用的物体为考虑平衡问题的研究对象。

(2)选取坐标轴和矩心。由于坐标轴和矩心的选择是任意的，在选择时应遵循以下原则：

①坐标轴应与尽可能多的力垂直(或平行)；

②矩心应选在较多未知力的汇交点处。

(3)将各个力向两坐标轴投影，对矩心取力矩，建立平衡方程求解。

例2.5图2-25中起重机重W = 10 kN，可绕铅垂轴AB转动。起重机的挂钩上挂一重为FP = 40 kN的重物。起重机的重心C到转动轴的距离为1.5 m，其他尺寸(均以m计)如图2-25所示。求在止推轴承A和径向轴承B处的约束反力。

解(1)以起重机为研究对象，画出受力图。起重机上作用有主动力W和FP；止推轴承A有轴向反力FAy和径向反力FAx；径向轴承B只有一个垂直于转轴的径向反力FB，其指向假设向右，如图2-25(b)所示。图2-25简易起重机

(2)选取坐标系Axy，如图2-25(b)所示，列平衡方程并求解：

解得

FB为负值，说明它的方向与受力图中假设的方向相反，即正确的指向应向左。

2.3.4平面特殊力系的平衡条件

1.平面汇交力系

如图2-26(a)所示，平面汇交力系平衡时，应满足平面力系的平衡方程式。其中，是恒等式，因此，平面汇交力系独立的平衡方程为两个投影方程，即图2-26平面汇交力系和平面平行力系

2.平面平行力系

如图2-26(b)所示，若取x轴与各力的作用线垂直，则不论平行力系是否平衡，各力在x轴上的投影均为零。即

是恒等式。因此平面平行力系独立的平衡方程为

平面平行力系的平衡方程也可用二矩式表示为

其中，矩心A、B两点的连线不能与各力的作用线平行。

若力在一定范围内连续均匀分布于物体上，则称之为均布载荷，即q = 常数。载荷集度的单位是N/m或kN/m。如图2-27所示，在进行受力分析计算时，常将均布载荷简化为一个集中力F，其大小为F = ql(l为载荷作用的长度)，作用线通过作用长度的中点。图2-27均布载荷

例2.6如图2-28所示，物重G = 20 kN，用钢丝绳经过滑轮B再缠绕在绞车D上。杆AB与BC铰接，并以铰链A、C与墙连接。设两杆和滑轮的自重不计，并略去摩擦和滑轮的尺寸，求平衡时杆AB和BC所受的力。图2-28铰车

例2.7在水平双伸梁上作用有集中载荷FP，力偶矩为M的力偶和集度为q的均布载荷，如图2-29(a)所示。FP = 20 kN，M = 16 kN·m，q = 20 kN/m，a = 0.8 m。求支座A、B的约束反力。图2-29双伸梁

解(1)取AB梁为研究对象，画受力图。作用于梁上的主动力有集中力FP、力偶矩为M的力偶和均布载荷q，均布载荷可以合成为一个力，其大小为qa = 20 × 0.8 = 16 kN，方向与均布载荷相同，作用于分布长度的中点，B支座反力FB铅垂向上；因以上各力(力偶)均无水平分力，故A支座反力FA必定沿铅垂方向。这些力组成一平衡的平面平行力系，如图2-29(b)所示。

(2)选取坐标系Axy，矩心为A，如图2-29(b)所示。

(3)列平衡方程如下：

2.4轴向拉伸和压缩

2.4.1拉伸和压缩的概念如图2-30所示，工程上存在一些杆件受拉伸和压缩的情况，拉压杆的受力特点是作用在杆端各外力的合力作用线与杆件轴线重合，拉压杆的变形特点是杆件沿轴线方向伸长或缩短，这种变形称为轴向拉伸或压缩(图2-31)。图2-30拉压杆实例图2-31轴的拉伸与压缩

2.4.2拉压杆的内力

1.截面法

内力大小的计算需要用截面法来求。它是通过假取截面，使零件内力显示出来以便确定其数值的方法。

如图2-32(a)所示，杆件在外力F作用下处于平衡状态，力的作用线与杆件轴线重合，用假想平面在m—m处将杆件截开，截面处的内力用FN表示，根据平衡关系可求出内力FN的大小。图2-32截面法

若以左段杆为研究对象，如图2-32(b)所示，可得

综上所述，用截面法求内力的步骤为：

(1)截——在欲求内力处，假想地用一个截面将构件截为两段。

(2)取——任取一段(一般取受力情况较简单的部分)作为研究对象。

(3)代——在截面上用内力代替弃去部分对所取部分的作用。

(4)平——列研究对象的静力平衡方程，并求解内力。

2.轴力图

件拉伸和压缩时内力与外力平衡，其作用线与杆件轴线重合，因此，称其为轴力。轴力的正负号表示杆件不同的变形：杆件拉伸时，轴力背离截面取正号；杆件压缩时，轴力指向截面取负号。

直接利用外力计算轴力的规则：杆件承受拉伸(或压缩)时，杆件内任意截面上的轴力等于截面任一侧所有外力的代数和，外力背离截面时取正，外力指向截面时取负。

为了能够形象直观地表示出各横截面轴力大小的分布情况，人们用平行于杆件轴线的坐标表示各横截面的位置，用垂直于杆件轴线的坐标表示横截面上轴力的大小，绘出轴力FN随截面坐标x的变化曲线称为轴力图。

例2.8如图2-33(a)所示，已知一个等直杆受到F1 = 3 kN，F2 = 1.4 kN，F3 = 1.6 kN的作用，试求各截面的轴力，并作轴力图。

解计算各截面的轴力。

根据轴力计算规则，各截面的轴力可直接写为

FN1 = F1 = -3 kN，FN2 = F3 = -1.6 kN

作轴力图如图2-33(b)所示，杆件的最大轴力为FN max = 3 kN。

除了用截面法的计算结果画轴力图外，还有一个较简便的方法——外力法：从左向右画，在外力作用处画出突变线，外力向左(右)向上(下)画，其值等于外力的大小，其余部分为水平线；从右向左画，画的方向相反。图2-33直杆的轴力图

2.4.3拉伸和压缩的强度计算

要确定应力，必须了解内力在横截面上的分布情况。取一等直杆，在其侧面上画两条垂直于轴线的直线ab、cd，如图2-34(a)所示，并在杆的两端加一对轴向拉力F，使其产生拉伸变形。这时可以看到，ab、cd分别平移至a'b'、c'd' 位置，且仍为垂直于轴线的直线。根据上述现象可以假设，变形前为平面的横截面，变形后仍为平面。如图2-34(b)所示，如将杆件设想为由无数纵向纤维所组成，则任意两个横截面间所有纤维的纵向伸长均相同。图2-34拉杆的变形与应力分布

根据强度条件式，可以解决以下三类问题：

(1)强度校核。若已知零件的尺寸、所承受的载荷以及材料的许用应力，可校核零件是否满足强度条件式。若满足，表示强度足够；反之，说明强度不够。

(2)设计截面。若已知零件所承受的载荷和材料的许用应力，则可确定横截面尺寸。此时，强度条件式可表示为A≥FN / [σ]，由此确定拉(压)杆所需要的横截面面积，然后根据所需截面形状设计截面尺寸。

(3)确定许可载荷。若已知零件的尺寸及材料的许用应力，则可计算杆件所能承受的最大载荷。此时，强度条件式可表示为FN≤[σ]A，由此求得拉(压)杆能承受的最大轴力，再通过内外力的平衡条件来确定许可载荷。

例2.9图2-35(a)所示为一钢木结构的起吊架，AB为木杆，其截面积为AAB = 104 mm2，许用压应力[σ]AB = 7 MPa；BC为钢杆，其截面面积为

许用拉应力[σ]BC = 160 MPa。试求B处可承受的许可载荷[FP]。图2-35起吊架

解(1)受力分析：用截面法截取B铰为研究对象，画出受力图，如图2-35(b)所示。由平衡条件可求得各杆轴力FNAB和FNBC与载荷FP的关系：

所以

(2)求最大许可载荷：由强度条件式(2.14)可得木杆的许可载荷为

2.5零件的剪切与挤压

2.5.1剪切和挤压的概念工程上常用的连接件如螺栓、销和键等，都是剪切和挤压的工程实例。如图2-36所示图2-36螺栓连接

2.5.2剪切的实用计算

现以螺栓为例，应用截面法假想地沿剪切面m—n将螺栓分为两段，任取一段为研究对象，如图2-37所示。由图2-37剪切力和挤压力的分布

剪力FQ分布于剪切面上，方向与剪切面相切的工作应力称为切应力，用符号τ表示。切应力分布规律比较复杂，工程上常采用以实际经验为基础的实用计算法来确定，即假设切应力是均匀地分布在剪切面上的，切应力的计算公式为

式中，FQ是剪切面上的剪力，A是剪切面的面积。

为了保证零件安全可靠地工作，其强度条件为

式中，[τ]为材料的许用切应力，可从设计手册中查得。实验表明，许用切应力与许用拉应力之间有如下关系：

2.5.3挤压的实用计算

如图2-38所示，从理论上讲，挤压面上挤压应力的分布是不均匀的，最大值在中间。为了计算简化，假定挤压应力是均匀分布在挤压面的。因此，挤压强度的条件为

挤压面面积的计算，要根据实际接触的情况而定。若挤压面为平面，则挤压面面积就是接触面面积，如图2-38所示的键连接图2-38挤压面

例2.10拖车挂钩的销钉连接，如图2-39(a)所示。已知挂钩部分的钢板厚度δ1 = 30 mm，δ2 = 20 mm，销钉与钢板的材料相同，许用切应力[τ] = 60 MPa，许用挤压应力[σjy] = 180 MPa，拖车的拉力F = 100 kN。试计算销钉的直径。

解(1)销钉的剪切强度计算。由图2.39(b)可以看出，销钉受剪切和挤压，它的破坏形式可能是被剪断或与孔壁间的挤压破坏；钢板间有两个剪切面。图2.39拖车挂钩

(2)销钉的挤压强度计算。由图2.39(a)可知，钢板间有三个挤压面，根据钢板的厚度和受载大小进行分析，可知销钉与中间钢板的挤压是最大的。

所以，选取铆钉直径d = 35 mm是安全的。

2.6圆 轴 的 扭 转

2.6.1扭转的概念如图2-40所示的汽车转向轴，轴的两端受到一对大小相等、方向相反、作用面垂直于轴线的两力偶作用，它们的横截面将绕轴线产生相对转动，这种变形称为扭转变形。图2-40扭转实例

2.6.2扭矩图

圆轴在外力偶矩作用下，横截面上将产生抵抗扭转变形和破坏的内力，求内力仍用截面法。

如图2-41(a)所示，一圆轴AB在一对大小相等、转向相反的外力偶矩MO作用下产生扭转变形，并处于平衡状态。取左段为研究对象，如图2-41(b)所示。

由平衡关系可知，扭转时横截面上内力合成的结果必定是一个力偶，其内力偶矩称为扭矩，用符号T表示。图2-41扭矩图

由平衡条件T - Me = 0，即

如果取右段为研究对象，也得到同样的结果。为使从左右两段所求得的扭矩正负号相同，通常采用右手螺旋法则来规定扭矩的正负号。如图2-42所示，如果以右手四指表示扭矩的转向，则拇指的指向离开截面时的扭矩为正；反之为负。图2-42扭矩的正负号规定

例2.11图2-43(a)为一齿轮轴，已知轴的转速n = 300 r/min，齿轮A输入功率PA = 50 kW，齿轮B、C输出功率PB = 30 kW，PC = 20 kW。不计轴和轴承的摩擦阻力，试作该轴的扭矩图。图2-43齿轮轴

解(1)计算外力偶矩：

(2)计算扭矩：根据图2-43(a)求出各段轴的扭矩。

(3)画扭矩图：根据以上计算的结果，按比例画扭矩图，如图2-43(b)所示。

除了用截面法画扭矩图外，也可用外力偶矩直接画，而且方法更加简便。具体方法：从左向右画扭矩图，在外力偶矩作用处，按其可视转向分别向上或向下(上上或下下)画出突变线，其值等于外力偶矩的大小，其余部分皆为水平线。

2.6.3圆轴扭转时的强度计算

如图2-44所示，圆轴横截面上各点切应力的大小与该点到圆心的距离成正比，圆心处的切应力为零，轴周边的切应力最大。图2-44横截面上切应力的分布图2-45圆轴的截面

例2.12某机器传动轴如图2-46(a)所示。已知轮B输入功率PB = 30 kW，轮A、C、D分别输出功率为PA = 15 kW，PC = 10 kW，PD = 5 kW，轴的转速n = 500 r/min，轴材料的[τ] = 400 MPa。试按轴的强度设计轴的直径。图2-46传动轴

解(1)计算外力偶矩：

(2)画扭矩图。根据图2-46(a)求出各段轴的扭矩，并由计算结果画出扭矩图，如图2-46(b)所示。

(3)按强度条件计算轴的直径d。

为了使该轴满足强度要求，选取d≥34 mm。

2.7直 梁 的 弯 曲

2.7.1直梁平面弯曲的概念通过分析火车轮轴(图2-47)和起重机梁(图2-48)的变形可发现，其共同特点是：在过轴线的平面内，受到垂直于轴线方向的外力作用，杆的轴线由变形前的直线变为一条曲线。工程中通常把以弯曲为主要变形的杆件称为梁。图2-47火车轮轴图2-48桥式起重机大梁

工程中的梁多数具有这样的特征：整个梁具有一个包含轴线的纵向对称平面，如图2-49、图2-50所示；梁上作用的所有外载荷都位于梁的纵向对称平面内，并且垂直于轴线方向作用，梁的轴线将弯成一条在这个纵向对称平面内的平面曲线，这种弯曲称为平面弯曲。图2-49梁横截面的纵向对称轴图2-50直梁的纵向对称轴

2.7.2梁的力学模型和基本形式

梁的支承情况和载荷作用比较复杂，为了便于分析计算，常进行以下简化。

1.梁的简化

用梁的轴线代替实际的梁，如图2-47(b)和图2-48(b)分别用梁的轴线AB代替梁。

2.载荷的简化

作用于梁上的外力，都可以简化为以下三种类型：

(1)集中力：当力的作用范围远小于梁的长度时，可简化为作用于一点的集中力，如图2-47中火车车厢对轮轴的作用力。

(2)集中力偶：当力偶的作用范围远小于梁的长度时，可简化为作用在某一横截面上的集中力偶，如图2-50中的MO。

(3)分布载荷：沿梁的全长或部分长度连续分布的横向力。若均匀分布，则可称为均布载荷，通常用载荷集度q表示，其单位为N/m(见图2-50)。

3.基本形式

(1)简支梁：梁的两端分别为固定铰支座和活动铰支座，见图2-48(b)。

(2)外伸梁：具有一端或两端外伸部分的简支梁，见图2-47(b)。

(3)悬臂梁：梁的一端为固定端约束，另一端为自由端，见图2-51(b)。图2-51车刀的简化

2.7.3梁的内力——剪力和弯矩

1.用截面法求梁的内力

如图2-52所示的悬臂梁AB，在其自由端作用集中力F，由静力平衡方程可求出其固定端的约束力FB = F，约束力偶矩MB = Fl。

式中，矩心C是横截面的形心。这个作用平面垂直于横截面的内力偶矩称为弯矩，用符号M表示。同理，如取右段梁为研究对象，见图2-52(d)，也可以求得截面m—m上的剪力FQ和弯矩M，但它与取左段梁的结果是等值、反向的。

剪力符号规定：某梁段上左侧截面向上或右侧截面向下的剪力为正，反之为负，见图2-53(a)。

弯矩符号规定：某梁段上左侧截面顺时针转向或右侧截面逆时针转向的弯矩为正，反之为负，见图2-53(b)。图2-52梁的内力——剪力和弯矩图2-53剪力和弯矩的正负号规定

2.任意横截面上剪力和弯矩的计算

任意截面的剪力等于该截面左段梁或右段梁上所有外力的代数和，左段梁向上的外力或右段梁向下的外力产生正值剪力，反之产生负值剪力。

任意截面的弯矩，等于截面左段梁或右段梁上所有外力对截面形心力矩的代数和，左段梁上顺时针转向或右段梁上逆时针转向的外力矩产生正值弯矩，反之产生负值弯矩。

例2.13如图2-54所示一简支梁受集中力F = 1 kN、力偶矩M = 4 kN·m和均布载荷集度q = 10 kN/m作用。求截面1—1、2—2上的剪力和弯矩。(题中长度单位为mm)图2-54简支梁

3.剪力图与弯矩图

画剪力图和弯矩图有两种方法：①用剪力、弯矩方程；②用内力随外力的变化规律。以下仅介绍比较容易掌握的第二种方法。

1)剪力图、弯矩图随外力的变化规律

(1)无载荷作用的梁段上，剪力图为水平线，弯矩图为斜直线。

(2)在集中力作用处，剪力图有突变，突变的幅值等于集中力的大小，突变的方向与集中力同向；弯矩图则在该处发生转折。

(3)在集中力偶作用处，剪力图无变化；弯矩图有突变，突变的幅值等于集中力偶矩的值，突变的方向为：集中力偶顺时针转向弯矩正向突变，反之则负向突变。

(4)在均布载荷作用的梁段上，剪力图为斜直线，渐变的幅值等于均布载荷的大小；弯矩图为二次曲线，曲线的凹向与均布载荷同向，通常在剪力等于零的截面，曲线有极值。

2)作图步骤

(1)画出梁的受力图，并