高中数学竞赛试卷

2007年安徽省高中数学竞赛初赛试题

一选择题

1.如果集合AB同时满足AUB={1.2.3.4}={1},A"1},BH{1}就称有序集对

(A,B)为“好集对”。这里的有序集对(A,B)意指当AKB,(A,B)和(8,A)是不同的集

对，那么“好集对”一共有()个。A6488c6。2

2.设函数“x)=lg(l(T+l),方程〃一2，)=尸(2,)的解为()

Alog2(lg2)-1B.lg(log210)-1C.lg(lg2)+1D.log2(log210)+1

3.设A=100101102…499500是一个1203位的正整数，由从100到500的全体三位数按顺

序排列而成那么A除以126的余数是()

A78B36C6D0

4.在直角ABC中，NC=90°,CO为斜边上的高，D为垂足.

AD=a,BD=b,CD=a—b=l.设数列｛4｝的通项为

i"=ak-ak-'h+一…+(_1)%工=i,13,…，贝ij()

A-M2OO8=M2007+M20O6B.“2008=112001~112006

C.D.

2007w?Znv0u8o=2008WZ?UOUOI72008wZ?vovno8=2007%/U0UnI7

5.在正整数构成的数列1.357……删去所有和55互质的项之后，把余下的各项按从小到大的

顺序排成•个新的数列｛a,,｝,易见q=1,%=3,%=7,%=9,%=3-那么

A.9597B.5519C.2831D.2759

A-yl1+cos30+Vl+cos70+Vl+cosl1°+…Jl+cos870

6.设________________________________则A:8o=

B=Vl-cos30+V1-COS7°+Vl-cosl1°+・••Vl-cos87°

2-V2D2+V2

-------D.-------C.V2-ID.V2+I

二.填空题

7.边长均为整数且成等差数列,周长为60的钝角三角形一共有种.

8.设〃22007，且〃为使得见取实数值的最小正整数，则对应此〃的

a”为().

9.若正整数〃恰好有4个正约数，则称〃为奇异数，例如6,8,10都是奇异数.那么在

27,42,69,111,125,137,343,899,3599,7999这10个数中奇异数有个.

10.平行六面体—中，顶点A出发的三条棱的长度分别为

2,3,4,且两两夹角都为60'那么这个平行六面体的四条对角线AG，BR,。用,CA的长度(按

顺序)分别为___________________

11.函数〃x),g(x)的迭代的函数定义为/⑴(x)=/(x)J⑵")=/(/(x)),-

/⑺(x)=/(/("叫(x»,g⑴(x)=g(x),g("(x)=g(g(x)),…g(")(x)=g(g"T(x))

其中〃=2,3,4…

/⑼(x)=g(6)(y)

设/(x)=2x—3,g(x)=3x+2，则方程组■/⑼(y)=g⑹(z)的解为

/⑼(z)=g(6)(x)

12.设平行四边形ABCD中，AB=4,AD=2,BD=2区则平行四边形ABCD绕直线

AC旋转所得的旋转体的体积为

三解答题

13.已知椭圆r：3/+4/=12和点。(q,0),直线/过。且与「交于AB两点(可以重合).

1)若NAOB为钝角或平角(。为原点)，q=4,试确定/的斜率的取值范围.

2)设A关于长轴的对称点为人,尸为椭圆的右焦点,q=4,试判断4和F,8三点是否共

线,并说明理由.

3)问题2)中，若qH4,那么4,尸,B三点能否共线?请说明理由.

14.数歹！]{%}由下式确定：xn+l=—v—,〃=1,2,3,-、玉=1,试求

112x„+1

1g%附整数部分火=[1g3W].(注⑷表示不大于。的最大整数，即a的整数部分.)

15.设给定的锐角ABC的三边长a,b,c,正实数x,y,z满足些+螭+也=。,其中p为

xyz

给定的正实数，试求s=(b+c-a)x2+(c+a-8)y2+(a+匕一c)[2的最大值，并求出当s

取此最大值时，x,y,z的取值.

解答

一、选择题

1.C.2,A,3.C.4,A.5.B6.D.

1.逐个元素考虑归属的选择.

元素1必须同时属于A和8.

元素2必须至少属于A、B中之一个，但不能同时属于A和8,有2种选择：属于A但

不属于8,属于8但不属于A.

同理，元素3和4也有2种选择.

但元素2,3,4不能同时不属于4,也不能同时不属于8

所以4个元素满足条件的选择共有2x2x2-2=6种.换句话说，“好集对”一共有6

个.答:C.

2.令y=lg(10-x+1),则y>0,且10-x+l=10v,10-JC=10'-1,

-x=lg(10v-1),

A

x=-Ig(lO'-l).从而/t(X)=-lg(10-1).

令2'=f,则题设方程为f(-t)=BPlg(10z+l)=-lg(10,-1),

故lg[(10'+1)(10'_])]=0,(10'+1)(10,=IO?，=2,2f=lg2,

解得2*=f=；lg2.从而x=log2(|lg2)=log2(lg2)-l.答：A.

3.注意126=2x7x927和9两两互质.因为A三0(modi),

4三(1+0+0)+(1+0+1)+(1+0+2)+…+(4+9+9)+(5+0+0)

=100+101+102+---+500=(100+500)x4014-2=120300^6(mod9),

所以A三6(modi8).(1)

又因为1()3三一1,103"=(-1)"(mod7),所以

400400

A=Z(500-z)xl03'=Z(500一i)x(—1);

1=0i=0

三(500—499)+(498-497)+(496-495)+…+(102-101)+100=300三6(mod7).

(2)

由(1),(2)两式以及7和18互质，知A三6(mod126).答：C.

另解：126=2x63,63|999999,999999=106-1,(106-l)|(106n-1),

n=1,2,3,…所以

A=1OOX1O1200+1O11O2X1OI,!>4+1O31O4X1O,188+---+497498xl06+499500

=100x(1012(x,-1)+101102X(10"94-1)+103104X(101188-1)+---+497498X(106-1)+

(100+101102+103104+---+497498+499500)

=9999998+100+(101102+499500)x200+2=9999998+100+60060200

=999999B+60060300=999999C+60360,

其中8,。为整数.从而4=63。+60360=63后+6,其中。，E为整数.所以4除以63的

余数为6.因为4是偶数，所以A除以126的余数也为6.答：C.

4.易见CD?=AOBO,即(。一。)2="，又已知。一匕=1,故加=1,

a(a-l)=l,a2-a-l=0；贴+1)=1,b2+Z?+l=0.

显然4是首项为ak,公比为q=-9的等比数列的前火+1项和.故

a

a(\-q)_a—(-/?)

攵=1,2,3•••.

l-<7a+b

从而

a—(—b)+Q—(—b)

uk+散+i

a+ba+b

=----[ak+2+ak+i-(-/?)<'+2-(-/?)i+l]

a+b

=—[at+1(a+1)-(-b)t+I(-b+1)]=—!—[at+1-a2-b2]

a+ba+b

=—5—g*+3_(_加£+3]=%+2，女=1,2,3….

a+b

故答案为A.(易知其余答案均不成立)

另解：易见CD?=ADBD,即(。一匕)2=。匕，又已知。一匕=1,故ab=l,

(a+b)2=(a-b)2+4ab=\2+4x1=5,”+8=布.解得

V5+1,V5-1

a=-----，b=-----.

22

显然即是首项为/，公比为q=-2的等比数列的前％+1项和，故

a

kA+lk+k+

a(1-^)a'~(-b)'1f,l+75*+11-V5A.+1

\-qa+bV522

k—1,2,3,….

于是数列｛wJ就是斐波那契数列

1,2,3,5,8,13,21,…，

它满足递推关系/+2=做+|+即，女=1,2,3，….所以答案为A.

5.｛%｝可看成是在正整数数列1,2,3,4,5,6,7,…中删去所有能被2,5或11

整除的项之后，把余下的各项按从小至大顺序排成的数列.由三阶容斥原理，1,2,3,4,…,

m中不能被2,5或11整除的项的个数为

mmmmtnmm

Xm=m-++

2511552210110

其中3」不表示不大于a的最大整数，即a的整数部分.

估值：设

mmmmmmm八1、八1、八1、

2007xbtn-------------------H-------1-------1--------------=wix(1—)(1—)(1-------)

25115522101102511

=x—x—x~-=一m,故m«2007x—»5519.

2511114

又因为

5519551955195519551955195519

X

55I9—5519—+++--

21122"ToTw

=5519-2759-1103-501+100+250+551-50=2007,

并且5519不是2,5,11的倍数，从而知的007=5519.答：B.

又解：｛%｝可看成是在正整数数列1,2,3,4,5,6,7,…中删去所有能被2,5或

11整除的项之后，把余下的各项按从小至大顺序排成的数列.因为2,5,11是质数，它们

的最小公倍数为110易见,-54,-53,…，0,1,2,3,55中不能被2,5,11整除的

数为±1,±3,±7,±9；±13,±17,±19；±21,

±23,±27,±29；±31,±37,±39；±41,±43,±47,±49；±51,±53,共40个.(或由欧拉公

式，1,2,3,…，110中不能被2,5,11整除的数的个数，等于1,2,3,…，110中与

110互质的数的个数，等于0(110)=110x(1—bx(l-')x(l--!-)=40.)

2511

显然1,2,3,…中每连续110个整数，不能被2,5,11整除的数都有40个.所以，1,

2,3,…，110x50=5500中，不能被2,5,11整除的数有40x50=2000个.大于5500

中的数不能被2,5,11整除的,是5500+1,5500+3,5500+7,5500+9,5500+13,5500+17,

5500+19,….所以5519是第2007个不能被2,5,11整除的数，亦即所求的的助=5519.

答：B.

=cos1.5°+cos3.5°+cos5.5°+・・・+cos43.5°；

1_cos3°/1-cos7°/l-cos87"

B~2+V2+…+{2

正

=sin1.5°+sin3.5°+sin5.5°H—+sin43.5°.

注意到

2cossin1°=sin(6+l°)—sin(。一1°),2sinsin1°=cos(。一1°)一cos(6+l°),

所以

A

2sinl°x—=­=(sin2.5°-sin0.5°)+(sin4.5°-sin2.5°)+(sin6.5°一sin4.5°)+…

x/2

+(sin44.5°-sin42.5°)=sin44.5°-sin0.5°=2cos22.5°sin22°,

D

2sinl°x—=(cos0.5°一cos2.5")+(cos2.5°-cos4.5°)+(cos4.5°-cos6.5°)+・・・

V2

+(cos42.5°-cos44.5°)=cos0.50-cos44.5°=2sin22.5°sin22°.

故

A:B=(2sin1°x:(2sinl°x=(2cos22.5°sin22°):(2sin22.5°sin22°)=cot22.5°

V2+1.答：D.

4

另解：—==cos1.5°+cos3.5。4-COS5.50+•・•++cos43.5°,

V2

—i==sin1.5°+sin35+sin5.5°+…+sin43.5°,

V2

AB

—？=+z-7=r=(cosl.50+isinl.5°)+(cos3.5°+isin3.5°)+…+(cos43.5°+/sin43.5°)

V2V2

21

(cos1.5°+zsin1.5°)^(cos20+zsin20)k

k=0

=(cos1.5。+isin1.5。)「(”"2+"2>

l-(cos20+zsin2°)

5年露黑黑

=(cos1.50+isinlS)2sur22-2,sin22cos22

2sin~1°-2zsinl0cosl°

(cos15+isin1.5°)(-2isin22°)(cos220+isin22°)

(-2zsinr)(cosl°4-zsinl°)

Sin22(cos22.5°+fsin22.5°).

sin10

4工B日^皿,,Asin22°cos22.5°Bsin22°sin22.5

因为〒和〒是实数，所rr以〒=---------------,7=-----------

V2v272sinl°y[2sinT

V2

A：人人二=3225=2cos222.5。l+cos450_2_2+V2_

V2V2sin22.5°2sin22.5°cos22.5°

2

答：D.

填空题（满分54分，每小题9分）

7.解:设三边长a,b,c为整数，a+b+c=60,a>h>c,。,瓦c成等差数列，ZA

为钝角，则必有2b=〃+c,/?24-c2<a2.

易解得60=〃+0+c=/?+(a+c)=/?+2b=3。，0=20,a+c=40；b2<a2-c2

=(a+c)(a-c),即2()2<40(a-c),10<a-c.因此50<(a+c)+(a-c)=2a,25<a,

即

a>26.另外，b+c>a,60=a+/?+c>a+a=2a,a<30,<29.易检验(a,Z?,c)

=(26,20,14),(27,20,13),(28,20,12),(29,20,11)都是钝角三角形.答:4.

8.注意到x=-后，y=J2+后满足F+y2=Q—直)+(2+后)=4,

>0,故可令x=2cos6,y=2sind,0<。■.从而4cos之。=2-0,

V2-4cos20-2,--2cos20-1-cos--cos2^,故0-—,

248

/3兀..3%、“3n兀

a„=(cos----Hsin——)=cos-----+

"888

zsin—.取实数，当且仅当sin"=0,当且仅当〃=8k,keZ.满足此条件且

88

3r20()8

的最小正整数〃为此时

n>20072008,aint=tzZ2OvOvo8=cos-----g----冗-cos753〃=-1.

答：-1.

9.易见奇异数有两类：第一类是质数的立方p3(P是质数)；第二类是两个不同质

数的乘积P/2(P2为不同的质数).由定义可得

27=33是奇异数（第一类）;

42=2x3x7不是奇异数；

69=3x23是奇异数（第二类）;

111=3x37是奇异数（第二类）；

125=53是奇异数（第一类）；

137是质数，不是奇异数；

343=73是奇异数（第一类）；

899=900—1=3（）2=（30+1）（30—1）=31x29是奇异数（第二类）;

3599=3600-1=602-I2=(60+1)(60-1)=61x59是奇异数(第二类)；

7999=8000-1=203-13=(20-1)(202+20+1)=19x421是奇异数(第二类).

答：8.

10.解：将向量A41,AB,AD分别记为a,b,c.则卜|=a=2,b-b-3,

，=c=4,且易见

.—>f—.—♦—►—.—>—►—>.—»——•

4C]=Q+〃+c,A]C=—a+/?+c,BD]—ci—b+c,DB、=a+b—c.

■2f-*-*-♦2-2-*2-•-•-•*

所以AG=(a+〃+c)=。+b+c+2(6P/?+Z?・C+C・Q)

=a2+h2+c2+2(ab++cd)cos60°=a2+/72+c2ah+he+ca

=22+32+42+2x3+3x4+4x2=55,

故kG|=卮.类似地，可算得，=|。与|=后，|。阂=后=3百.

答：底,M,V15,3技

11.令x-3=t,易见x=t+3,/(x)=2x-3=2Q+3)-3=2/+3,

-2)(x)=2(2f+3)—3=22f+3,3,/(")(x)=2"，+3；令y+l=s,易见y=s—1,

g(y)=3y+2=3($—1)+2=35-1,g⑵(y)=3(3s—1)+2=3?s-1,…，

g""(y)=3"s—l,“=1,2,3,….因此，题设方程组可化为

29(x-3)+3=36(y+l)-l,(l)

<29(y-3)+3=36(z+l)-l,(2)

29(Z-3)+3=36(X+1)-1.(3)

(1)-(2),(2)-(3),(3)-(1)得

,29(x-y)=36(y-z),(4)

<29(y—z)=36(z-x),⑸

29(z-x)=36(x-y).(6)

所以

o606o6

x-y=29(y-z)=(29)2(Z7)=(29)3(x-y)=x-y=0=y-z=0

=>x=y=z.

代入(1)得

29(X-3)+3=36(X+1)-1,512(x—3)+3=729(x+l)-1,

323

512x—1533=729x+728,-217x=2261,-31x=323,x=--.

31

所以原方程组的解为x=y=z=—归323.答：x=y=z=—三323.

3131

12.以/_/表示平面图形T绕直线/所得旋转体体积.

记直线AC为/,作BM,ON_L/,交I于E,F,分别交CO,A3于M,N.过。作

PQLI,分别交A&C。于P,。.由于。是8。的中点，所以P,。分别是的中

点.由对称性，易见所求旋转体体积为

V=V平行四边形A8C。-7=2（VMDNU+V平行四边形NP2。-/）・

由于A3=4,BD=243,40=2,易见NA£)B=90°,ZDBA=30°,

AO=^AD2+D02=J4+3=V7,AC=2s.显然ZDAC>ZDCA=Z.CAB,

DF>FN.

且。尸="外=处空=萃=2Z，

AOAOV77

^4-y=楞=2.从而由圆锥体积公式得

AF=>]AD2-DF2

,,,,1)12416万16-/

v\ADNI=V,=-X乃XDFXA.F=—X—-X--==-==--yj171.

“DNT.皿337V777749

r-414-410

又CF=AC-AF=2/l-.=—^=一CO=AO=41

V7V7V7

CF:C0=DF:Q0,

QO=""Di=J7X2亚从而由圆锥体积公式得

CF7775

1212

V平行四边形NP。。-/=V梯形=匕CWT-Lc00T=1兀乂DFxCF一];rx。。xCO

安唱-亲历坨碟-虾3型啮缶・从而

V=2（《缶+黑后）=2缶（仁+黑）=2瓜x1057302缶

1225175

小3°2A/7乃

答：所求体积为--------

175

13.解：I）可设/：x=/町+4,与「联立得（3加2+4）；/+24/町+36=0.这是

y的一元二次方程，由判别式A20解得〃/24.记A（修，%），B（x2,y2）,则

-24〃?36

由题设条件,OA-OB=x,x2+y2<0，即（〃3+4）（机力+4）+必为<°，

36—24Azz

得（〃/+1）必为+4i+为）+16<0,即加+1）・#7r痴•就不+16<0,

3

即9（加2+1）—24加2+4（3机2+4）<0.得一3〃J+25<0,m2>—,（―）2<一,

3m25

一工

55

故/的斜率的取值范围为（-三,—）.

因为F（l,0）,所以FA〕=J-1,一口），FB=5-1,丫2），从而

（国一1）为~（x2T）（f）=（my,+3）y2+（my2+3）月

-〜、-36c-24/W八

W1），2+3（yi+y2>2m,wT7+3-wT7=0-

FA,与FB共线，即4与F、B三点共线.

III）假设q#4,过0（/0）的直线与「交于A、8,且A关于长轴的对称点为从，如

果A、F、8三点共线我们另取点P（4,0）.设直线4P与r交于与，那么如H）的证明，4、

F、B三点必共线.故B与B1重合，从而直线AB和AB1重合，就是AQ与AP重合.所以P与

。重合，q=4,与假设矛盾.这就是说，q#4时，三点儿、尸、B不能共线.

14.解：」-2x:+l三11,2”1

——=2七,+-，二-=4x“+4+-,

X

%n+\Xn

11-

--------2~^(xn2+1)，〃=1,2,3….

%+1%

2006112006112006

故------F)=4Z(X「+1)，亦即--------7=4^^2+8024,

XX

«=1X〃+lnn=l2007玉〃=1

I2006

由再=1得-—=4Zx,「+8025.(*)

•^2007n=I

由于也±L=J<i”=1,2,3/一,且显然》“>0,故｛x“｝是递减数列，且

猫2x„2+l

再JX—/_3=3

232-2

2x(+1-3'-"2x2+1+1-H

9

200612006<1+宗弟