2023-2024学年江苏省南通市如皋中学高一（下）调研数学试卷（一）（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2023-2024学年江苏省南通市如皋中学高一（下）调研数学试卷（一）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.若α=6，则角α的终边在(

)A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限2.已知复数z=(1+i1−i)2025，则zA.−1 B.−i C.1 D.i3.设角θ的终边经过点P(4a,−3a)(a≠0)，则sin(π2+θ)+A.±75 B.±15 C.4.在锐角△ABC中，AD为BC边上的高，tanC=2tanB，AD=xAB+yAC，则x−yA.−12 B.12 C.−5.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sinA=217，(a+b−c)(a+b+c)=ab，则tanB的值为A.37 B.35 C.6.在平行四边形ABCD中，∠BAD=2π3，AB=2，F为CD的中点，BC=3BE，且AE⋅AFA.3 B.4 C.6 D.87.函数f(x)=sin(ωx+φ)(其中ω>0，|φ|<π)的部分图象如图所示.若将函数f(x)图象上所有点向右平移θ个单位，所得函数图象关于y轴对称，则θ的值可能为(

)A.π6

B.512π

C.π8.已知函数f(x)=3sin2ωx+2cos2ωx(ω>0)的定义域为[0,π]，在定义域内存在唯一x0，使得A.[112,1312] B.[二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.已知向量e1，e2不共线，且OA=2λe1+e2，OB=−2e1+3e2A.0 B.1 C.2 D.310.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，则下列说法正确的有(

)A.若A>C，则sinA>sinC

B.若△ABC为锐角三角形，则sinA<cosC

C.若△ABC为斜三角形，则tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC

D.若asinA=b11.若5cos2α=tan(π4+α)，则A.−1 B.1 C.2 D.1三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.用一根长度为1的绳子围成一个扇形，当扇形面积最大时，其圆心角的弧度数为______．13.已知向量a=(1,sin(π12+x))，b=(sin(5π1214.锐角△ABC的角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足cosCc=cosB−cosCc−b，则四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

已知sinα+2cosαsinα−cosα=4．

(1)求tan2α及sinαcosα的值；

(2)若π<α<2π，0<β<π，cosβ=−16.(本小题15分)

已知函数f(x)=sin(2x−π6)+2cos2x(x∈R)．

(1)求f(x)的对称中心及单调递减区间；

(2)将f(x)图象上所有点的横坐标变成原来2倍(纵坐标不变)得到函数g(x)17.(本小题15分)

△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知asinA+B2=csinA．

(1)求C；

(2)若△ABC面积为103，tanA=418.(本小题17分)

如图，点P，Q分别是矩形ABCD的边DC，BC上的两点，AB=3，AD=2．

(1)若DP=λDC，CQ=λCB，0≤λ≤1，求AP⋅AQ的范围；

(2)若∠PAQ=π4，求AP⋅AQ的最小值；

(3)若DP=2PC，连接AP交BC的延长线于点T，Q为BC的中点，试探究线段19.(本小题17分)

在凸四边形ABCD中，DC=2AD．

(1)若A，B，C，D四点共圆，∠ADC=2π3，AC=7，AB=BC+AD．

①求四边形ABCD的面积；

②求AB⋅AD的值；

(2)若DA⊥AB，∠ADC=∠BCD，参考答案1.D

2.A

3.A

4.C

5.B

6.B

7.B

8.C

9.AC

10.ACD

11.ACD

12.2

13.[14.(15.解：(1)因为sinα+2cosαsinα−cosα=4，所以tanα+2tanα−1=4，解得tanα=2，

所以tan2α=2tanα1−tan2α=2×21−22=−43，

sinαcosα=sinαcosαsin2α+cos2α=tanαtan2α+116.解：(1)f(x)=sin(2x−π6)+2cos2x=32sin2x−12cos2x+1+cos2x

=32sin2x+12cos2x+1=sin(2x+π6)+1，

令2x+π6=kπ(k∈Z)，解得x=−π12+k2π(k∈Z)，

令2kπ+π2≤2x+π6≤2kπ+3π2(k∈Z)，解得kπ+π6≤x≤kπ+17.解：(1)因为asinA+B2=csinA，

由正弦定理得sinAsinA+B2=sinCsinA，

因为A∈(0,π)，可得sinA>0，

又因为A+B2=π2−C2，可得sin(A+B2)=cosC2，

所以sinA+B2=cosC2=sinC=2sinC2cosC2，

即cosC2=2sinC2cosC2，

又因为C2∈(0,π2)，可得cosC2>0，

所以sinC2=12，所以C2=π6，故C=π3；

(2)由(1)知，C=π3，由△ABC面积为103，

可得12absinC=318.解：(1)因为AB=3，AD=2，所以|DP|=λ|DC|=3λ，|CQ|=λ|CB|=2λ，

则|BQ|=2−2λ，

所以AP⋅AQ=(AD+DP)⋅(AB+BQ)=AD⋅AB+AD⋅BQ+DP⋅AB+DP⋅BQ

=0+2(2−2λ)+3λ×3+0=5λ+4，

因为0≤λ≤1，所以AP⋅AQ∈[4,9]；

(2)如图所示，以A点为坐标原点，AB为x轴，建立直角坐标系，

设∠QAB=α∈[0,π4]，0≤tanα≤23，

则Q(3,3tanα)，P(2tan(π4−α),2)，

所以AP⋅AQ=6tan(π4−α)+6tanα=6×1−tanα1+tanα+6tanα

=121+tanα+6tanα−6=6(21+tanα+tanα+1)−12

≥1221+tanα⋅(tanα+1)−12=12219.解：(1)①因为A，B，C，D四点共圆且∠ADC=2π3，所以∠ABC+∠ADC=π，可得∠ABC=π3，

在△ADC中，由余弦定理AC2=DA2+DC2−2DA⋅DCcos∠ADC，

结合DC=2AD，可得7=DA2+4DA2−2DA×2DA×(−12)，解得DA=1(负值舍去)，所以DC=2AD=2，

则S△ADC=12DA⋅DCsin∠ADC=12×1×2×32=32，

在△ABC中由余弦定理AC2=BA2+BC2−2BA⋅BCcos∠ABC，

将AB=BC+AD