2025届新教材高中数学第2章直线和圆的方程2.4圆的方程2.4.1圆的标准方程课件新人教A届选择性必修第一册

2．4圆的方程2．4.1圆的标准方程素养目标•定方向

1．会用定义推导圆的标准方程，掌握圆的标准方程的特点．(重点)2．会根据已知条件求圆的标准方程．(重点、难点)3．能准确判断点与圆的位置关系．(易错点)

通过对圆的标准方程的学习，提升直观想象、逻辑推理、数学运算的数学素养.必备知识•探新知

圆的标准方程知识点1(1)条件：圆心为C(a，b)，半径长为r.(2)方程：____________________.(3)特例：圆心为坐标原点，半径长为r的圆的方程是_____________.思考：方程(x＋a)2＋(y＋b)2＝m2一定是圆的方程吗？若方程表示圆，m满足什么条件？此时圆的圆心和半径分别是什么？提示：当m＝0时，方程(x＋a)2＋(y＋b)2＝m2表示点(－a，－b)．当m≠0时，方程表示圆，此时圆的圆心为(－a，－b)，半径为|m|.(x－a)2＋(y－b)2＝r2x2＋y2＝r2做一做：1.圆心为(1，－2)，半径为3的圆的方程是(

)A．(x＋1)2＋(y－2)2＝9B．(x－1)2＋(y＋2)2＝3C．(x＋1)2＋(y－2)2＝3D．(x－1)2＋(y＋2)2＝9[解析]

由圆的标准方程得，圆的方程是(x－1)2＋(y＋2)2＝9，故选D.2．若圆的标准方程为(x－1)2＋(y＋5)2＝3，则此圆的圆心坐标为_______________，半径为______.D(1，－5)点与圆的位置关系知识点2点M(x0，y0)与圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置关系及判断方法位置关系利用距离判断利用方程判断点M在圆上|CM|_____r(x0－a)2＋(y0－b)2_____r2点M在圆外|CM|_____r(x0－a)2＋(y0－b)2_____r2点M在圆内|CM|_____r(x0－a)2＋(y0－b)2_____r2＝＝>><<做一做：点P(－2，－2)和圆x2＋y2＝4的位置关系是(

)A．在圆上 B．在圆外C．在圆内 D．以上都不对[解析]

∵(－2)2＋(－2)2＝8>4，∴点P(－2，－2)在圆外，故选B.B关键能力•攻重难1．求经过A(1,3)，B(4,2)两点，且圆心C在直线l：x＋y－3＝0上的圆的标准方程．题型探究题型一求圆的标准方程[规律方法]

求圆的标准方程的方法确定圆的标准方程只需确定圆心C(a，b)和半径r，其求解方法：一是待定系数法，由三个独立的条件建立关于a，b，r的方程组，进而求得圆的方程，它是求圆的方程的常用方法．二是几何法，常用到中点坐标公式，两点间距离公式，有时还用到平面几何知识，如“弦的中垂线必过圆心”“两条弦的中垂线交点必为圆心”等．

求满足下列条件的圆的标准方程．(1)圆心在y轴上，半径长为5，且过点(3，－4)；(2)△ABC的三个顶点的坐标分别为A(1,0)，B(3,0)，C(3,4)，求△ABC的外接圆方程．[解析]

(1)设圆心C(0，b)，则(3－0)2＋(－4－b)2＝52，整理得(b＋4)2＝16，解得b＝0或b＝－8.∴圆的标准方程为x2＋y2＝25或x2＋(y＋8)2＝25.对点训练❶题型二点与圆的位置关系2．已知圆N的标准方程为(x－5)2＋(y－6)2＝a2(a>0)．(1)若点M(6,9)在圆上，求a的值；(2)已知点P(3,3)和点Q(5,3)，线段PQ(不含端点)与圆N有且只有一个公共点，求a的取值范围．[规律方法]

点与圆的位置关系及其应用点与圆的位置关系有三种：点在圆内、点在圆上、点在圆外．判断点与圆的位置关系有两种方法：一是用圆心到该点的距离与半径比较，二是代入圆的标准方程，判断与r2的大小关系．通过点与圆的位置关系建立方程或不等式可求参数值或参数的取值范围．

若点(1,1)在圆(x－a)2＋(y＋a)2＝4的内部，则a的取值范围是(

)A．a<－1或a>1 B．－1<a<1C．0<a<1 D．a＝±1[解析]

由题意可知，(1－a)2＋(1＋a)2<4，解得a2<1，故－1<a<1.对点训练❷B题型三与圆有关的轨迹问题3．已知圆x2＋y2＝4上一定点A(2,0)，B(1,1)为圆内一点，P，Q为圆上的动点．(1)求线段AP中点的轨迹方程；(2)若∠PBQ＝90°，求线段PQ中点的轨迹方程．[解析]

(1)设AP的中点为M(x0，y0)，由中点坐标公式可知点P坐标为(2x0－2,2y0)．因为点P在圆x2＋y2＝4上，所以(2x0－2)2＋(2y0)2＝4.故线段AP中点的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝1.(2)设PQ的中点为N(x′，y′)．在Rt△PBQ中，|PN|＝|BN|.设O为坐标原点，连接ON，则ON⊥PQ，所以|OP|2＝|ON|2＋|PN|2＝|ON|2＋|BN|2.所以x′2＋y′2＋(x′－1)2＋(y′－1)2＝4.[规律方法]

求与圆有关的轨迹方程的方法(1)直接法：根据题设条件直接列出方程．(2)定义法：根据圆的定义写出方程．(3)几何法：利用圆的性质列方程．(4)代入法：找出要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式．对点训练❸课堂检测•固双基1．点P(1,3)与圆x2＋y2＝24的位置关系是(

)A．在圆外 B．在圆内C．在圆上 D．不确定[解析]

由12＋32<24可知，点P(1,3)在圆内，故选B.B2．以(2，－1)为圆心，4为半径的圆的方程为(

)A．(x＋2)2＋(y－1)2＝4 B．(x＋2)2＋(y＋1)2＝4C．(x－2)2＋(y＋1)2＝16 D．(x－2)2＋(y－1)2＝16[解析]

圆心为(2，－1)，半径为4的圆的方程为(x－2)2＋(y＋1)2＝16.C3．经过点A(－4，－5)，B(6，－1)，且以线段AB为直径的圆的标准方程为__________________________.(x－1)2＋(y＋3)2＝294．若圆(x＋1)2