2025届浙江省绍兴越城区五校联考九年级数学第一学期期末质量跟踪监视模拟试题含解析

2025届浙江省绍兴越城区五校联考九年级数学第一学期期末质量跟踪监视模拟试题请考生注意：1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。一、选择题（每题4分，共48分）1．下列各式正确的是（）A． B．C． D．2．下列四张印有汽车品牌标志图案的卡片中，是中心对称图形的卡片是（）A． B． C． D．3．下列方程中，是一元二次方程的是（）A． B．C． D．4．如图，立体图形的俯视图是()A． B． C． D．5．如图，BC是⊙O的直径，点A、D在⊙O上，若∠ADC＝48°，则∠ACB等于（）度．A．42 B．48 C．46 D．506．如图，Rt△ABC中，∠A=90°，AD⊥BC于点D，若BD：CD=3：2，则tanB=（）A．23 B．32 C．67．函数在同一直角坐标系内的图象大致是（）A． B． C． D．8．如图所示，抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x=1，与y轴的一个交点坐标为(0，3)，其部分图象如图所示，下列5个结论中，其中正确的是（）①abc＞0；②4a+c＞0；③方程ax²+bx+c=3两个根是=0，=2；④方程ax²+bx+c=0有一个实数根大于2；⑤当x＜0，y随x增大而增大A．4 B．3 C．2 D．19．一条排水管的截面如图所示，已知排水管的半径，水面宽，则截面圆心到水面的距离是()A． B． C． D．10．如图，把绕点逆时针旋转，得到，点恰好落在边上的点处，连接，则的度数为（）A． B． C． D．11．抛物线经过平移得到抛物线,平移过程正确的是（）A．先向下平移个单位,再向左平移个单位B．先向上平移个单位,再向右平移个单位C．先向下平移个单位,再向右平移个单位D．先向上平移个单位,再向左平移个单位.12．一元二次方程的两个根为，则的值是（）A．10 B．9 C．8 D．7二、填空题（每题4分，共24分）13．如图，在等边三角形ABC中，AC＝9，点O在AC上，且AO＝3，点P是AB上的一动点，连接OP，将线段OP绕点O逆时针旋转60°得到线段OD，要使点D恰好落在BC上，则AP的长是________．14．如图，点A在双曲线y＝上，点B在双曲线y＝（k≠0）上，AB∥x轴，分别过点A，B向x轴作垂线，垂足分别为D，C，若矩形ABCD的面积是9，则k的值为_____．15．某服装店搞促销活动，将一种原价为56元的衬衣第一次降价后，销售量仍然不好，又进行第二次降价，两次降价的百分率相同，现售价为31.5元，设降价的百分率为x，则列出方程是______________．16．经过某十字路口的汽车，它可能直行，也可能向左转或向右转，假设这三种可能性大小相同，那么两辆汽车经过这个十字路口，一辆向左转，一辆向右转的概率是_____．17．如图，四边形，都是平行四边形，点是内的一点，点，，，分别是，上，，的一点，，，若阴影部分的面积为5，则的面积为__________．18．河堤横截面如图所示，堤高为4米，迎水坡的坡比为1:（坡比=），那么的长度为____________米．三、解答题（共78分）19．（8分）如图，在平面直角坐标系xOy中，曲线经过点A．（1）求曲线的表达式；（2）直线y=ax+3(a≠0)与曲线围成的封闭区域为图象G．①当时，直接写出图象G上的整数点个数是；（注：横，纵坐标均为整数的点称为整点，图象G包含边界．）②当图象G内只有3个整数点时，直接写出a的取值范围．20．（8分）因粤港澳大湾区和中国特色社会主义先行示范区的双重利好，深圳已成为国内外游客最喜欢的旅游目的地城市之一．深圳著名旅游“网红打卡地”东部华侨城景区在2018年春节长假期间，共接待游客达20万人次，预计在2020年春节长假期间，将接待游客达28.8万人次．（1）求东部华侨城景区2018至2020年春节长假期间接待游客人次的年平均增长率；（2）东部华侨城景区一奶茶店销售一款奶茶，每杯成本价为6元，根据销售经验，在旅游旺季，若每杯定价25元，则平均每天可销售300杯，若每杯价格降低1元，则平均每天可多销售30杯．2020年春节期间，店家决定进行降价促销活动，则当每杯售价定为多少元时，既能让顾客获得最大优惠，又可让店家在此款奶茶实现平均每天6300元的利润额？21．（8分）如图，矩形中，点为边上一点，过点作的垂线交于点.（1）求证：；（2）若，求的长.22．（10分）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2+x+3与x轴交于A、B两点（点A在点B的右侧），与y轴交于点C，过点C作x轴的平行线交抛物线于点P．连接AC．（1）求点P的坐标及直线AC的解析式；（2）如图2，过点P作x轴的垂线，垂足为E，将线段OE绕点O逆时针旋转得到OF，旋转角为α（0°＜α＜90°），连接FA、FC．求AF+CF的最小值；（3）如图3，点M为线段OA上一点，以OM为边在第一象限内作正方形OMNG，当正方形OMNG的顶点N恰好落在线段AC上时，将正方形OMNG沿x轴向右平移，记平移中的正方形OMNG为正方形O′MNG，当点M与点A重合时停止平移．设平移的距离为t，正方形O′MNG的边MN与AC交于点R，连接O′P、O′R、PR，是否存在t的值，使△O′PR为直角三角形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．23．（10分）如图，在边长为1的正方形组成的网格中，△AOB的顶点均在格点上，其中点A（5，4），B（1，3），将△AOB绕点O逆时针旋转90°后得到△A1OB1．（1）画出△A1OB1；（2）在旋转过程中点B所经过的路径长为______；（3）求在旋转过程中线段AB、BO扫过的图形的面积之和．24．（10分）在平面直角坐标系中，直线y=x+3与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线y=a+bx+c(a<0)经过点A，B，(1)求a、b满足的关系式及c的值，(2)当x<0时，若y=a+bx+c(a<0)的函数值随x的增大而增大，求a的取值范围，(3)如图，当a=−1时，在抛物线上是否存在点P，使△PAB的面积为?若存在，请求出符合条件的所有点P的坐标；若不存在，请说明理由，25．（12分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，以斜边AB上一点O为圆心，OB为半径作⊙O，交AC于点E，交AB于点D，且∠BEC=∠BDE．（1）求证：AC是⊙O的切线；（2）连接OC交BE于点F，若，求的值．26．如图，在平面直角坐标系中，点从点运动到点停止，连接，以长为直径作.（1）若，求的半径；（2）当与相切时，求的面积；（3）连接，在整个运动过程中，的面积是否为定值，如果是，请直接写出面积的定值，如果不是，请说明理由.

参考答案一、选择题（每题4分，共48分）1、B【分析】根据二次根式的性质，同类二次根式的定义，以及二次根式的除法，分别进行判断，即可得到答案.【详解】解：A、无法计算，故A错误；B、，故B正确；C、，故C错误；D、，故D错误；故选：B.【点睛】本题考查了二次根式的性质，同类二次根式的定义，解题的关键是熟练掌握二次根式的性质进行解题.2、C【解析】试题分析：由中心对称图形的概念可知，这四个图形中只有第三个是中心对称图形，故答案选C．考点：中心对称图形的概念．3、C【分析】根据一元二次方程的定义求解，一元二次方程必须满足两个条件：①未知数的最高次数是2；②二次项系数不为1．由这两个条件得到相应的关系式，再求解即可．【详解】A、是分式方程，故A不符合题意；

B、是二元二次方程，故B不符合题意；

C、是一元二次方程，故C符合题意；

D、是二元二次方程，故D不符合题意；

故选：C．【点睛】本题利用了一元二次方程的概念．只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是(且a≠1)．特别要注意a≠1的条件，这是在做题过程中容易忽视的知识点．4、C【解析】找到从上面看所得到的图形即可．【详解】A、是该几何体的主视图；B、不是该几何体的三视图；C、是该几何体的俯视图；D、是该几何体的左视图．故选C．【点睛】考查了三视图的知识，掌握所看的位置，注意所有的看到的棱都应表现在视图中．5、A【分析】连接AB，由圆周角定理得出∠BAC=90°，∠B=∠ADC=48°，再由直角三角形的性质即可得出答案．【详解】解：连接AB，如图所示：∵BC是⊙O的直径，∴∠BAC=90°，∵∠B=∠ADC=48°，∴∠ACB=90°-∠B=42°；故选：A．【点睛】本题考查了圆周角定理以及直角三角形的性质；熟练掌握圆周角定理是解题的关键．6、D【分析】首先证明△ABD∽△ACD，然后根据BD：CD=3：2，设BD=3x，CD=2x，利用对应边成比例表示出AD的值，继而可得出tanB的值．【详解】在Rt△ABC中，∵AD⊥BC于点D，∴∠ADB=∠CDA．∵∠B+∠BAD=90°，∠BAD+DAC=90°，∴∠B=∠DAC．∴△ABD∽△CAD．∴DB：AD=AD：DC．∵BD：CD=3：2，∴设BD=3x，CD=2x．∴AD=∴tanB=故选D．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质及锐角三角函数的定义，难度一般，解答本题的关键是根据垂直证明三角形的相似，根据对应边成比例求边长．7、C【分析】根据a、b的符号，针对二次函数、一次函数的图象位置，开口方向，分类讨论，逐一排除．【详解】当a＞0时，二次函数的图象开口向上，一次函数的图象经过一、三或一、二、三或一、三、四象限，故A、D不正确；由B、C中二次函数的图象可知，对称轴x=-＞0，且a＞0，则b＜0，但B中，一次函数a＞0，b＞0，排除B．故选C．8、B【分析】根据二次函数图象的开口方向、对称轴位置、与x轴的交点坐标等知识，逐个判断即可．【详解】抛物线开口向下，a＜0，对称轴为直线x＝1＞0，a、b异号，因此b＞0，与y轴交点为（0，3），因此c＝3＞0，于是abc＜0，故结论①是不正确的；由对称轴为直线x＝−＝1得2a＋b＝0，当x＝−1时，y＝a−b＋c＜0，所以a＋2a＋c＜0，即3a＋c＜0，又a＜0，4a＋c＜0，故结论②不正确；当y＝3时，x1＝0，即过（0，3），抛物线的对称轴为直线x＝1，由对称性可得，抛物线过（2，3），因此方程ax2＋bx＋c＝3的有两个根是x1＝0，x2＝2；故③正确；抛物线与x轴的一个交点（x1，0），且−1＜x1＜0，由对称轴为直线x＝1，可得另一个交点（x2，0），2＜x2＜3，因此④是正确的；根据图象可得当x＜0时，y随x增大而增大，因此⑤是正确的；正确的结论有3个，故选：B．【点睛】考查二次函数的图象和性质，掌握a、b、c的值决定抛物线的位置以及二次函数与一元二次方程的关系，是正确判断的前提．9、B【解析】根据垂径定理求出，根据勾股定理求出即可．【详解】解：，过圆心点，，在中，由勾股定理得：，故选：．【点睛】本题考查了勾股定理和垂径定理的应用；由垂径定理求出是解决问题的关键．10、D【分析】由旋转的性质可得AB'=AB，∠BAB'=50°，由等腰三角形的性质可得∠AB'B=∠ABB'=65°．【详解】解：∵Rt△ABC绕点A逆时针旋转50°得到Rt△AB′C′，

∴AB'=AB，∠BAB'=50°，∴，故选：D．【点睛】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，掌握旋转的性质是本题的关键．11、D【分析】先利用顶点式得到抛物线的顶点坐标为，抛物线的顶点坐标为，然后利用点平移的规律确定抛物线的平移情况．【详解】解：抛物线的顶点坐标为，抛物线的顶点坐标为，而点先向上平移2个单位，再向左平移3个单位后可得点，抛物线先向上平移2个单位，再向左平移3个单位后可得抛物线．故选：．【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．12、D【分析】利用方程根的定义可求得，再利用根与系数的关系即可求解．【详解】为一元二次方程的根，，．根据题意得，，．故选：D．【点睛】本题主要考查了一元二次方程的解，根与系数的关系以及求代数式的值，熟练掌握根与系数的关系，是解题的关键．二、填空题（每题4分，共24分）13、6【解析】由题意得，∵∠A+∠APO=∠POD+∠COD，∠A=∠POD=60°，∴∠APO=∠COD，在△AOP与△CDO中，，∴△AOP≌△CDO（AAS），∴AP=CO=AC﹣AO=9﹣3=6.故答案为6.14、1．【分析】过点A作AE⊥y轴于点E，首先得出矩形EODA的面积为：4，利用矩形ABCD的面积是9，则矩形EOCB的面积为：4+9=1，再利用xy=k求出即可．【详解】过点A作AE⊥y轴于点E，∵点A在双曲线y＝上，∴矩形EODA的面积为：4，∵矩形ABCD的面积是9，∴矩形EOCB的面积为：4+9＝1，则k的值为：xy＝k＝1．故答案为1．【点睛】此题主要考查了反比例函数关系k的几何意义，得出矩形EOCB的面积是解题关键．15、=31.1【分析】根据题意，第一次降价后的售价为，第二次降价后的售价为，据此列方程得解．【详解】根据题意，得：=31.1故答案为：=31.1．【点睛】本题考查一元二次方程的应用，关键是理解第二次降价是以第一次降价后的售价为单位“1”的．16、【分析】列举出所有情况，让一辆向左转，一辆向右转的情况数除以总情况数即为所求的可能性．【详解】一辆向左转，一辆向右转的情况有两种，则概率是．【点睛】本题考查了列表法与树状图法，用到的知识点为：可能性=所求情况数与总情况数之比．17、90【分析】根据平行四边形的性质得到AB∥CD，AB=CD，EF∥HG，EF=HG，根据平行线分线段成比例定理和相似三角形的性质即可得到结论．【详解】∵四边形都是平行四边形，∴，，∴，∴，．又∵，∴，∴，，，．易知，∴【点睛】此题考查平行四边形的性质，平行线分线段成比例定理，三角形的面积，正确的识别图形是解题的关键．18、8【分析】在Rt△ABC中，根据坡面AB的坡比以及BC的值，求出AC的值，再通过解直角三角形即可求出斜面AB的长．【详解】∵Rt△ABC中，BC=6米，迎水坡AB的坡比为1：，∴BC：AC=1：，∴AC=•BC=4（米），∴（米）【点睛】本题考查了解直角三角形的应用----坡度坡角问题，熟练运用勾股定理是解答本题的关键．三、解答题（共78分）19、（1）y=；（2）①3；②-1≤a-【分析】（1）由题意代入A点坐标，求出曲线的表达式即可；（2）①当时，根据图像直接写出图象G上的整数点个数即可;②当图象G内只有3个整数点时，根据图像直接写出a的取值范围．【详解】解：（1）∵A（1,1），∴k=1，∴．（2）①观察图形时，可知个数为3；②观察图像得到．【点睛】本题考查反比例函数图像相关性质，熟练掌握反比例函数图像相关性质是解题关键.20、（1）22%；（2）22元．【分析】（1）设年平均增长率为x，根据东部华侨城景区在238年春节长假期间，共接待游客达22万人次，预计在2222年春节长假期间，将接待游客达1．8万人次．列出方程求解即可；（2）设当每杯售价定为y元时，店家在此款奶茶实现平均每天6322元的利润额，由题意得关于y的方程，解方程并对方程的解作出取舍即可．【详解】解：（1）设年平均增长率为x，由题意得：22(1+x)2＝1．8，解得：x1＝2．2＝22%，x2＝﹣2.2（舍）．答：年平均增长率为22%；（2）设当每杯售价定为y元时，店家在此款奶茶实现平均每天6322元的利润额，由题意得：(y﹣6)[322+32(25﹣y)]＝6322，整理得：y2﹣41y+422＝2，解得：y1＝22，y2＝3．∵让顾客获得最大优惠，∴y＝22．答：当每杯售价定为22元时，既能让顾客获得最大优惠，又可让店家在此款奶茶实现平均每天6322元的利润额．

【点睛】本题考查了一元二次方程在实际问题中的应用，理清题中的数量关系并正确列出方程是解题的关键．21、（1）证明见解析；（2）【分析】（1）根据同角的余角相等推出，结合即可判定相似；（2）根据条件可得CD=2，再利用相似三角形对应边成比例，建立方程即可求出DE.【详解】解：（1），又（2），【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握“一线三垂直”模型的证明方法是解题的关键.22、（1）P（2，3），yAC＝﹣x+3；（2）；（3）存在，t的值为﹣3或，理由见解析【分析】（1）由抛物线y＝x2+x+3可求出点C，P，A的坐标，再用待定系数法，可求出直线AC的解析式；（2）在OC上取点H（0，），连接HF，AH，求出AH的长度，证△HOF∽△FOC，推出HF＝CF，由AF+CF＝AF+HF≥AH，即可求解；（3）先求出正方形的边长，通过△ARM∽△ACO将相关线段用含t的代数式表示出来，再分三种情况进行讨论：当∠O'RP＝90°时，当∠PO'R＝90°时，当∠O'PR＝90°时，分别构造相似三角形，即可求出t的值，其中第三种情况不存在，舍去．【详解】（1）在抛物线y＝x2+x+3中，当x＝0时，y＝3，∴C（0，3），当y＝3时，x1＝0，x2＝2，∴P（2，3），当y＝0时，则x2+x+3=0，解得：x1＝﹣4，x2＝6，B（﹣4，0），A（6，0），设直线AC的解析式为y＝kx+3，将A（6，0）代入，得，k＝﹣，∴y＝﹣x+3，∴点P坐标为P（2，3），直线AC的解析式为y＝﹣x+3；（2）在OC上取点H（0，），连接HF，AH，则OH＝，AH＝，∵，，且∠HOF＝∠FOC，∴△HOF∽△FOC，∴，∴HF＝CF，∴AF+CF＝AF+HF≥AH＝，∴AF+CF的最小值为；（3）∵正方形OMNG的顶点N恰好落在线段AC上，∴GN＝MN，∴设N（a，a），将点N代入直线AC解析式，得，a＝﹣a+3，∴a＝2，∴正方形OMNG的边长是2，∵平移的距离为t，∴平移后OM的长为t+2，∴AM＝6﹣（t+2）＝4﹣t，∵RM∥OC，∴△ARM∽△ACO，∴，即，∴RM＝2﹣t，如图3﹣1，当∠O'RP＝90°时，延长RN交CP的延长线于Q，∵∠PRQ+∠O'RM＝90°，∠RO'M+∠O'RM＝90°，∴∠PRQ＝∠RO'M，又∵∠Q＝∠O'MR＝90°，∴△PQR∽△RMO'，∴，∵PQ＝2+t-2=t，QR＝3﹣RM＝1+t，∴，解得，t1＝﹣3﹣（舍去），t2＝﹣3；如图3﹣2，当∠PO'R＝90°时，∵∠PO'E+∠RO'M＝90°，∠PO'E+∠EPO'＝90°，∴∠RO'M＝∠EPO'，又∵∠PEO'＝∠O'MR＝90°，∴△PEO'∽△O'MR，∴，即，解得，t＝；如图3﹣3，当∠O'PR＝90°时，延长O’G交CP于K，延长MN交CP的延长线于点T，∵∠KPO'+∠TPR＝90°，∠KO'P+∠KPO'＝90°，∴∠KO'P＝∠TPR，又∵∠O'KP＝∠T＝90°，∴△KO'P∽△TPR，∴，即，整理，得t2-t+3＝0，∵△＝b2﹣4ac＝﹣＜0，∴此方程无解，故不存在∠O'PR＝90°的情况；综上所述，△O′PR为直角三角形时，t的值为﹣3或．【点睛】本题主要考查二次函数的图象和相似三角形的综合，添加合适的辅助线，构造相似三角形，是解题的关键.23、（1）画图见解析；（2）；（3）.【解析】试题分析：（1）根据网格结构找出点A、B绕点O逆时针旋转90°后的对应点A1、B1的位置，然后顺次连接即可；（2）利用勾股定理列式求OB，再利用弧长公式计算即可得解；（3）利用勾股定理列式求出OA，再根据AB所扫过的面积=S扇形A1OA+S△A1B1O-S扇形B1OB-S△AOB=S扇形A1OA-S扇形B1OB求解，再求出BO扫过的面积=S扇形B1OB，然后计算即可得解．试题解析：（1）△A1OB1如图所示；（2）由勾股定理得，BO=，所以，点B所经过的路径长=（3）由勾股定理得，OA=，∵AB所扫过的面积=S扇形A1OA+S△A1B1O-S扇形B1OB-S△AOB=S扇形A1OA-S扇形B1OBBO扫过的面积=S扇形B1OB，∴线段AB、BO扫过的图形的面积之和=S扇形A1OA-S扇形B1OB+S扇形B1OB，=S扇形A1OA，=考点：1.作图-旋转变换；2.勾股定理；3.弧长的计算；4.扇形面积的计算．24、（1）b=3a+1；c=3；（2）；（3）点P的坐标为：（，）或（，）或（，）或（，）.【分析】（1）求出点A、B的坐标，即可求解；（2）当x＜0时，若y=ax2+bx+c（a＜0）的函数值随x的增大而增大，则函数对称轴，而b=3a+1，即：，即可求解；（3）过点P作直线l∥AB，作PQ∥y轴交BA于点Q，作PH⊥AB于点H，由S△PAB=，则=1，即可求解．【详解】解：（1）y=x+3，令x=0，则y=3，令y=0，则x=，故点A、B的坐标分别为（-3，0）、（0，3），则c=3，则函数表达式为：y=ax2+bx+3，将点A坐标代入上式并整理得：b=3a+1；（2）当x＜0时，若y=ax2+bx+c（a＜0）的函数值随x的增大而增大，则函数对称轴，∵，∴，解得：，∴a的取值范围为：；（3）当a=时，b=3a+1=二次函数表达式为：，过点P作直线l∥AB，作PQ∥y轴交BA于点Q，作PH⊥AB于点H，∵OA=OB，∴∠BAO=∠PQH=45°，S△PAB=×AB×PH=××PQ×=，则PQ==1，在直线AB下方作直线m，使直线m和l与直线AB等距离，则直线m与抛物线两个交点，分别与点AB组成的三角形的面积也为，∴，设点P（x，-x2-2x+3），则点Q（x，x+3），即：-x2-2x+3-x-3=±1，解得：或；∴点P的坐标为：（，）或（，）或（，）或（，）.【点睛】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．25、（1）证明见解析；（2）【解析】试题分析：（1）连接OE，证得OE⊥AC即可确定AC是切线；

（2）根据OE∥BC，分别得到△AOE∽△AC