高中数学习题2：生活中的优化问题举例

§3.4生活中的优化问题举例

知识梳理•

1.生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通

常称为,通过前面的学习，我们知道是求函数最大（小）

值的有力工具，运用,可以解决一些生活中的.

2.解决实际应用问题时，要把问题中所涉及的几个变量转化成函数关系，

这需通过分析、联想、抽象和转化完成.函数的最值要由极值和端点的函数值确

定，当定义域是开区间，而且其上有惟一的极值，则它就是函数的最值.

作业设计•]

一、选择题

（60—公

1.某箱子的容积与底面边长X的关系为，（x）=x]一5一J（0CK60）,则当

箱子的容积最大时，箱子底面边长为（）

A.30B.40C.50D.其他

2.已知某生产厂家的年利润y（单位：万元）与年产量x（单位：万件）的函数

关系式为y=—；V+81x—234,则使该生产厂家获取最大年利润的年产量为

O

（）

A.13万件B.11万件

C.9万件D.7万件

3.某工厂要围建一个面积为512平方米的矩形堆料场，一边可以利用原有

的墙壁，其他三边需要砌新的墙壁，当砌壁所用的材料最省时堆料场的长和宽分

别为（）

A.32米，16米B.30米，15米

C.40米，20米D.36米，18米

4.若底面为等边三角形的直棱柱的体积为V,则其表面积最小时，底面边

长为（）

A.际B.C.折？D.2际

5.要做一个圆锥形的漏斗，其母线长为20cm,要使其体积最大，则高为

()

10小

A."T-cmB.-r―cm

oO

20J3

C・-cmD.-r―cm

o0

6.某公司生产某种产品,固定成本为20000元，每生产一单位产品，成本

增加100元，已知总收益r与年产量x的关系是下=

1400x—^x0W_r^400

,则总利润最大时，年产量是()

〔80000x>400

A.100B.150C.200D.300

题号123456

答案

二、填空题

7.某公司租地建仓库，每月土地占用费必与仓库到车站的距离成反比，而

每月库存货物的运费的与到车站的距离成正比，如果在距离车站10千米处建仓

库，这两项费用B和理分别为2万元和8万元.那么，要使这两项费用之和最

小，仓库应建在离车站千米处.

8.如图所示，一窗户的上部是半圆，下部是矩形，如果窗户面积一定，窗

户周长最小时，x与力的比为________.

9.做一个无盖的圆柱形水桶，若需使其体积是27H，且用料最省，则圆柱

的底面半径为.

三、解答题

10.某地建一座桥，两端的桥墩已建好，这两墩相距7米，余下工程只需建

两端桥墩之间的桥面和桥墩.经测算，一个桥墩的工程费用为256万元，距离为

x米的相邻两墩之间的桥面工程费用为(2+,)x万元.假设桥墩等距离分布，

所有桥墩都视为点，且不考虑其它因素.记余下工程的费用为y万元.

(1)试写出y关于x的函数关系式；

(2)当加=640米时，需新建多少个桥墩才能使y最小？

11.某商品每件成本9元，售价30元，每星期卖出432件.如果降低价格,

销售量可以增加，且每星期多卖出的商品件数与商品单价的降低值x(单位：元,

0WxW30)的平方成正比，已知商品单价降低2元时，一星期多卖出24件.

(1)将一个星期的商品销售利润表示成x的函数；

(2)如何定价才能使一个星期的商品销售利润最大？

12.某单位用2160万元购得一块空地，计划在该块地上建造一栋至少10

层、每层2000平方米的楼房.经测算，如果将楼房建为x(x210)层，则

每平方米的平均建筑费用为560+48x(单位：元).为了使楼房每平方米的

平均综合费用最少，该楼房应建为多少层？(注：平均综合费用=平均建筑

眩H出邙蒂用

费用+平均购地费用，平均购地费用=日就温＞

13.已知某商品生产成本C与产量q的函数关系式为6^100+4?,价格p

与产量q的函数关系式为P=25—Jq,求产量q为何值时，利润/最大.

O

§3.4生活中的优化问题举例答案

知识梳理

1.优化问题导数导数优化问题

作业设计

3

1.B[V(x)=60x—=0,x=0或x=40.

X(0,40)40(40,60)

V(x)+0—

/极大值

可见当x=40时，Mx）达到最大值.]

2.C\_y'=—f+81,令=0,得x=9或x=—9（舍去）.当0<x<9时,

/>0；当*>9时，y'<0,故当x=9时，函数有极大值，也是最大值.]

3.A[要求材料最省就是要求新砌的墙壁总长度最短，

X

5x12

512512

如图所示，设场地宽为X米，则长为一米，因此新墙壁总长度£=2*+—

XX

（x>0），

令£'=0,得x=±16.•「x>。，...x=16.

512

当x=16时，£极小值=曰访=64,此时堆料场的长为n=32（米）.]

4.C[设底面边长为4直三棱柱高为力.

体积，=乎才力，所以力=/今，

士V3,,4K2,4A/3K

表面积5=2•-^—a+3a•-^=%a+~^—，

473a22a

S'4yP,由£=0,得。=汨2

经验证，当且=洞寸，表面积最小.]

5.D[设高为xcm,则底面半径为92。2—>cm,

JT

体积V=—x*(20-V)(0<^<20),

o

V=-^-(400—37),由V=0,得x=笠2或x=一笠但(舍去).当xC

OOO

0,驾3时，V>0,当xe怜叵，20)时，V<0,所以当彳=空尖时，K

取最大值.]

6.D[由题意，总成本为c=20000+100x,

所以总利润为p=r—c

Cy

I300^--200000WxW400

160OOO-lOOxx〉400

'300—x0WxW400

p'={，

[-100x>400

p'=0,当0WxW400时，得x=300；

当x>400时，p'<0恒成立，

易知当x=300时，总利润最大.]

7.5

解析依题意可设每月土地占用费y=2每月库存货物的运费%=左X，其

X

中X是仓库到车站的距离.

于是由2=条得左=20；由8=104，得在=5.

105

204x204

因此两项费用之和为y=一+三，/

x5x5

204

令/=一一7+鼻=0得x=5(x=-5舍去)，经验证，此点即为最小值点.

X0

故当仓库建在离车站5千米处时，两项费用之和最小.

8.1：1

_nS冗一

解析设窗户面积为S,周长为。则5=丁/n+20x,=-_—,所以窗

乙h乙XVx

户周长

兀s,兀s

£=兀x+2x+2力=?才+2才+一,L=—+2——

2x2x

由£'=0,得x=\J^，x《0，时，

'<0,

+8时，L'>0,

所以当x=寸，上取最小值,

…力25-n/2sJIJI+4兀

此时：TFT~474

9.3

97JI27

解析设半径为r,则高力=k=r.

nrr

2754JT

工水桶的全面积S（r）=n/+2兀r•7=兀/+、一

54兀

S'（r）=2兀r----,令S'（r）=0,得T=3.

・••当T=3时，S（「）最小.

io.解（1）设需新建〃个桥墩，则（〃+1）才=勿,

即〃=--1(0<Xzzz),

x

所以y=f(x)=256〃+(〃+1)(2+5)x

=256^—1)+：(2+亚)x

256m,(-,/.

=-1+周x+2m—256(0<Xzz?).

/、।/一，/、256/,11

(2)由(1)知，f(x)=---/+亍批―5

=券(尚-5出・

3

令F(x)=0,得叼=512,所以x=64.

当0＜矛＜64时，f（x）＜0,当x）在区间（0,64）内为减函数;

当64〈冢640时，f(x)>0,f(x)在区间(64,640)内为增函数，所以/'(x)在

,,„,..,,,mb4(J

x=64处取得取小值，此时77=1—1=9.

x64

故需新建9个桥墩才能使y最小.

11.解(1)设商品降低x元时，多卖出的商品件数为4V,若记商品在一个

星期的销售利润为f(x),则依题意有

f{x)—(30—x—9),(432+加)

=(21—x)•(432+Ax),

又由已知条件24=A・2?,于是有A=6,

所以/'(以=-6f+126上一432*+9072,x£[0,30].

(2)根据(1),有f(%)=-18^+252^-432

——18(x—2)(x—12).

当X变化时，Hx)与f'(X)的变化情况如下表：

X[0,2)2(2,12)12(12,30]

f(X)—0+0—

极小值极大