高中数学-函数的平均变化率教学设计学情分析教材分析课后反思

课堂设计一一2函数的平均变化率

一、学习目标：

（-）知识方面：

1.了解平面上过两点的直线的斜率公式及其几何意义；

2.掌握函数平均变化率的概念与函数单调性之间的关系，体会其几

何意义；

3.A用函数的平均变化率证明函数的单调性,并刻画函数值的变化

规律.

（-）素养与能力方面

数学抽象与逻辑推理，数学运算及数形结合

二、教学重点、难点

教学重点：1.函数平均变化率的概念和几何意义；

2.利用函数的平均变化率研究函数的单调性以及求最值.

教学难点：函数平均变化率的几何意义及其与函数单调性之间关系.

三、教学方法

合作探究与启发诱导式教学

四、教学工具

多媒体课堂、PPT课件和几何画板

五、教学过程设计

教学

教学内容师生互动设计意图

环节

提问1：你期望三年数学成绩y与时通过学习中的

间，的关系是哪一种趋势？具体问题进行导入

然后过渡到函数的

课件展示两个问题：（1）高中三年提问2：你期望三年数学课程难度y

平均变化率上，引

情景数学成绩y与时间f的关系；（2）高与时间f的关系是哪一种趋势？

入课题.

导入中三年数学课程难度y与时间f的

提问3：为什么？

关系，让学生选择图象.

学生回答，老师引导，进入课题

1

师：板书斜率公式，问为什么玉工电？

1,直线的斜率公式；幻灯片展示为=工2时，直线在坐标系中

2.斜率的几何意义.培养学生观察、总

探究情况；展示同意坐标系中四条不同直线，结问题的能力.

让学生探索斜率符号与大小关系.

生：小组讨论，形成结论，展示结果.

师：补充强调

1.函数平均变化率的概念；

提问：斜率是描述了经过这两点的培养学生观

2.平均变化率的几何意义；

直线的一个性质，对于经过这两点的任察、总结问题的能

3.函数平均变化率与函数单调性

意一个函数/'(X)而言，”的意义是什力.让学生学会合

间的关系.

探究Ax作探究.鼓励学生

么？大胆发言，并及时

给予表扬，肯定学

先独立思考后小组讨论.

生的回答，提升学

学生回答.生的自信心.

教师总结，给出函数平均变化率的通过定义解

概念：读，加深学生对概

念的理解.

1.函数的定义域上的某个区间，仍

然作为前置条件；

2.x1,x取值的任意性，从而

概念2

形成

(%,/(%))，&，/&))是动点；

3.XW电，从而点

(X]J(X1)),(x2,/(x2))不重合.

2

归纳单调函数图象上任意两点间直

师：分别给出单调递增函数的图象，培养学生观察、

线斜率特征；从函数平均变化率的

函数让学生观察、思考图象上任意两点间直归纳和逻辑推理能

角度如何表达？

的平线斜率特征？力。

均变

生：思考，回答。

化率

与单师：几何画板展示动图，明确规律，

调性进一步强调直线斜率的几何意义。

之间

生：观察动图，形成知识。

的关

系师：概括函数平均变化率与单调性

之间的逻辑关系.

题型一、用平均变化率判断函数的

师生共同分析解题思路充分体现学生

单调性

主体，教师主导的

师：板演解题过程。

例1判断函数丁=米+。(％工0)的课堂模式，培养学

强调：生规范答题习惯，

单调性.

提高运算求解能

①一次函数解析式中一次项系数

力.

上的几何意义；

②一次函数的单调性.

1.强调步骤

生：总结解题步骤，

2.提升学生探

师：补充完善。

典例究概括问题的能

探究力.

学以致用：

求证：函数在学生板演，老师点评.

X

(fO,0)和(O,4W)上都是减函数.

师：分析解题思路；进一步强化模

题型二、用平均变化率证明函数的

式化代数证明，提

单调性生：完成证明过程；

高学生的运算能

例2证明:函数/(X)=X2+2X在师：展示学生解题过程，强调不同力，培养学生的数

题型的不同解题方法，引出二次函数单学直观能力。

(-8,T］上是减函数，在［-1,+8)调性，最值的方法——数形结合.

上是增函数，并求这个函数的最值.生：总结二次函数

=ax1+〃x+c(aw0)单调区间，

最值.

3

1.函数/(x)=5x+l在区间当堂检测，及

时诊断.

生：定时完成.

[-2,7]上单调递________,其最大

师：展示答案，点评3.

值是_______,最小值是______.

2.函数/(幻=-/+2%的单调递增

区间是______________，单调递减

区间是______________,最大值

是__________.

3.向右图所示的球形容器中

当堂匀速注入某种液体，请在平面直角

检测坐标系中，画出容器中液面的高度

y随时间t的函数y=/(f)图象.

HI17f

请总结一下你这节课的收获

师：以上就是我们这节课的内容，不只是对课堂

下面，我们回顾总结一下本节课的收获.内容的简单回顾，

还是对所用数学思

生：总结.

课堂想方法，素养与能

小结师：最后加以概括.力的总结。强调本

节课的重点内容，

注重知识体系的形

成，培养学生回顾

反思的良好习惯。

4

学情分析

本节课之前，学生已经学习了函数的概念及其表示方法、函数单

调性的定义，对函数有了一定认识，但对于变量间的依存关系和变化

趋势认识还不够深入，本节课就是在函数单调性定义基础上引入函数

的平均变化率进一步发展学生的思维能力，认识函数值随自变量的变

化快慢。

学生有函数的概念作基础，可以轻松识别函数关系，结合学习活

动中实际问题引入课题，对于学生认识平均变化率还是比较容易的。

学生在初中已经学过正比例函数、反比例函数、一次函数、二次函数

等，在例题的选择上以学生熟知的函数为载体，更容易让学生接受新

学习内容，同时体会到数学逻辑的严谨。

效果分析

考虑到《函数的平均变化率》这节课内容的难易程度，以及学生

5

自身的知识水平，此节课我采用了导引体验和启发示范式的教学模式,

让学生在感悟中体会知识的来源，在训练中养成严谨的逻辑推理能力,

师生互动、讲练结合，课堂气氛活跃，充分体现了以学生为主体以教

师为主导的课堂理念，事实证明，这是一节很成功的课堂。

通过学生合作探究培养学生的思维能力，真正实现了让学生完全

主导课堂。本节课合作探究的环节，老师先跟学生共同完成例1的证

明，演示利用函数平均变化率证明单调性的解题过程，通过比较定义

法证明，体会其在证明函数单调性时的简洁性，然后让学生完成变式

训练的证明，让学生总结解题步骤，养成严谨的证明习惯，明确学习

重点。

通过探究三中两个例题的讲解，让学生对函数单调性的证明有了

很明确的思路，通过例题2的讲解，让学生进一步体会研究函数单调

性对求最值和值域的意义。

最后的课堂小结，学生总结的也很到位，知识目标学生清楚明白，

但对数学素养还需要老师的提示让学生逐步去感悟体会。应该说本节

课的教学效果达到了预期效果。

教材分析

本节课在教材给出了函数单调性的定义并用定义证明函数单调

性之后引入函数的平均变化率，对函数单调性一次深化提高。教材引

入平均变化率有三个目的：以时为了借助平均变化率来理解和证明函

数的单调性，二是为后面比较函数值变化的快慢引入一个得力工具，

三是为将来学习导数奠定基础。

6

教材首先给出了直线斜率的公式，其目的是为进一步引入函数平

均变化率做铺垫，这并不是本节课的重点内容，让学生记住公式，并

注意直线斜率存在的条件，知道其几何意义即可，无需在此进行过多

训练。

教材中斜率公式后的“尝试与发现”这一环节的设计是非常好的,

有利于学生直观认识函数的单调性与图象上任意两点间直线斜率之

间的关系，这是学生本节课学习的一个关键，为后面利用平均变化率

证明单调性做好铺垫，起着承上启下的作用，也可以据此培养学生的

直观想象能力。

函数的平均变化率与斜率公式形式相同，但描述的对象不同，任

何函数都有平均变化率，但只有直线才有斜率，二者之间是从属关系,

不能简单认为它们是一个公式的两种不同叫法。教材给出平均变化率

的概念后，设计了例题3和例题4,以此来强化证明函数平均变化率

证明函数单调性的程序化证明，再结合向两个不同形状的容器匀速注

水，据此研究水面上升高度y与时间f的函数图象，以此让学生感悟

平均变化率的几何意义，这对学生进一步认识平均变化率是大有裨益

的，课本上给出的两个拓展阅读是非常好的，有利于增加学生数学与

物理间的学科综合能力很有帮助，实际教学中，还是建议让学有余力

的学生认真体会一下。

教材最后给出的例5是以二次函数为载体，证明函数的单调性并

求最值，其目的有三，一是进一步巩固平均变化率在证明函数单调性

中代数证明过程，培养学生的运算能力，二是让学生体会研究函数单

7

调性在求函数最值、值域中的应用价值，三是为进一步归纳二次函数

的单调性提供实例。应该跟学生说明平均变化率仅仅是证明函数单调

性的方法之一，对于具体函数，尤其是基本初等函数我们还可以通过

画函数图象确定其单调性，找出最值点求最值，并非唯一方法，以此

提高学生数形结合的意识。

函数的平均变化率课堂测评

2.函数/(x)=5x+l在区间［-2,7］上单调递,其最大值

是，

最小值是.

2.函数/(*)=-炉+2%的单调递增区间是,单调递减

区间是，最大值是.

4.向右图所示的球形容器中匀速注入某种液体，请在平面直角坐

标系中，

画出容器中液面的高度y随时间f的函数)，=/(/)图象.n

5.(备用)判断函数/(x)=4的单调性，并证明.

8

参考答案：

1.增,36,-9;

4.函数/（》）=«在［0,+8）上单调递增.

证明：函数的定义域为［0,+8）,

当丫+rEhl-△，-/（*2）-/（工1）__1

Arx2-x1x2-x,5ZX1

所以当孙马€［0,m）时，JL〉0,即包＞0，

，玉+aM

所以函数/3=«在［0,+8）上单调递增.

9

课后反思

本节课在教学设计上，基于函数概念和单调性的定义，引入函数

的平均变化率，力求培养学生数学抽象和逻辑推理能力，养成严谨的

代数证明，调动一切积极因素，激发学生的学习兴趣，让学生体会利

用函数的平均变化率证明函数单调性的简洁性.

本节课以学生最关心的两个问题“三年的数学成绩y与时间t的

关系”和“三年中数学课程的难度y与时间t