高中数学新人教A版选修数学：第二章《圆锥曲线与方程》 同步练习一

第二章圆锥曲线与方程单元测试

A组题(共100分)

选择题：本大题共5题，每小题7分，共35分。在每小题给出的四个选项中，只有一项

是符合题目要求的。

1.已知坐标满足方程F(x,y)=0的点都在曲线C上，那么()

(A)曲线C上的点的坐标都适合方程F(x,y)=0

(B)凡坐标不适合F(x,y)=0的点都不在C上

(C)在曲线C上的点的坐标不一定都适合F(x,y)=0

(D)不在曲线C上的点的坐标有些适合F(x,y)=0,有些不合适F(x,y)=0

2.到两坐标轴的距离相等的点的轨迹方程是()

(A)x-y=0(B)x+y=0(C)x：=|y(D)y=|x

3.己知椭圆方程为卷+9=1,焦点在x轴上，则其焦距等于()

orri

(A)2y]8-m2(B)242啦-m|(C)2Mmz-8(D)2,m|-2啦

4.已知椭圆二+二=1上的一点M到焦点Fi的距离为2,N是MFi的中点，。为原点，则

259

|ON|等于()

3

(A)2(B)4(C)8(D)-

2

X2y2

5.dllF是椭圆r+J=1(a>b>0)的左焦点,P是椭圆上的一点,PF轴,OP〃AB(O为原点),

a2b2。

则该椭圆的离心率是

、V2V2

(A)—(B)

24

V3

(D)V

二.填空题：本大题共4小题，每小题6分，共24分。

6.椭圆5x2+ky2=5的一个焦点是(0,2),那么k=

7.椭圆的焦点在y轴匕一个焦点到长轴的两端点的距离之比是1：4,短轴长为8,则椭圆的

标准方程是.

X2y2

8.已知点(0,1)在椭圆二+片=1内，则m的取值范围是:

9.椭圆，；—+£=1的准线平行于x轴,则m的取值范围是

三.解答题：本大题共3小题，共41分，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

x

10.直线x-y-m=0与椭圆§+y2=1有且仅有一个公共点，求m的值.

11.已知椭圆的两条对称轴是坐标轴，O是坐标原点，F是,个焦点，A是一个顶点，若椭圆

的长轴长为6,且cos/OFA=|,求椭圆的方程.

12.若一个动点P(x,y)到两个定点A(-l,0)、B(l,0)的距离之和为定值m(m>0),分别根据m

的值，求点P的轨迹方程.

(l)m=4；(2)m=2；(3)m=l.

B组题(共100分)

四.选择题：本大题共5题，每小题7分，共35分。在每小题给出的四个选项中，只有一项

是符合题目要求的。

13.命题A：两曲线F(x,y)=0和G(x,y)=0相交于点P(xo,yo),命题B：曲线F(x,y)+入g(x,y)=0(人为

常数)过点则命题是命题的)

P(x0,y0).AB

(A)充分不必要条件(B)必要不充分条件

(C)充要条件(D)既不充分也不必要条件

14.到两定点A(0,0),B(3,4)距离之和为5的点的轨迹方程是()

(A)3x-4y=0,且x>0(B)4x-3y=0,且0WyW4

(C)4y-3x=0,且0WxW3(D)3y-4x=0,且y>0

15.椭圆2+£=1的焦距为2,则m的值等于

()

(A)5或3(B)8(C)5(D)16

X2

16.已知Fi、F2为椭圆/+方=l(a>b>0)的两个焦点，过F2作椭圆的弦AB,若aAFiB的周

长为16,椭圆的离心率e=乎，则椭圆的方程为

()

/y2x2y2X2/x2y2

记+上

(A)-+?=l(B)-+y=1(C)=1(D)R+Z=I

X2y21

若椭圆之+*=1的离心率为］则m的值等于()

17.1O

1244128,,124128

(A)18fiK—(B)18或(C)16或丁(D)16或丁

五.填空题：本大题共4小题，每小题6分，共24分。

X2/

18.方程元F+77-7=1表示椭圆，则k的取值范围是__________.

K.LO•!\

X2V25

19.椭圆元+々=工上有一点P到一条准线的距离是5,%、F2是椭圆的两个焦点，则△PF1F2

的面积等于.

X2/

20.已知P是椭圆天+々=1上一点，以点P以及焦点％、F2为顶点的三角形的面积等于8,

则点P的横坐标是。

21.已知中心在原点，焦点在X轴上的椭圆左顶点为A,上顶点为B,左焦点上到直线AB的

距离为~|OB|,则椭圆的离心率等于.

六.解答题：本大题共3小题，共41分，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

22.已知aABC的两个顶点A、B的坐标分别是(-5,0)、(5,0),边AC、BC所在直线的斜率之

积为一/求顶点C的轨迹方程.

23.在直角坐标系xOy中，已知圆心在第二象限、半径为2起的圆C与直线y=x相切于坐标

原点。，椭圆£+亡=1与圆C的一个交点到椭圆两焦点的距离之和为10。

a29

(1)求圆C的方程；

(2)试探究圆C上是否存在异于原点的点Q,使Q到椭圆的右焦点F的距离等于线段OF

的长，若存在求出Q的坐标；若不存在，请说明理由。

24.已知椭圆二+21=1下为该椭圆上一点.

2516

⑴若P到左焦点的距离为3,求到右准线的距离；

(2)如果Fi为左焦点,F2为右焦点，并且|「用_/引=1,求的值.

C组题(共50分)

七.选择或填空题：本大题共2题，每题5分。

25.若实数x,y满足二+：/=x,则x?+y2有()

4

(A)最小值-』，无最大值

(B)最小值---，最大值16

33

(C)最小值0,无最大值(D)最小值0,最大值16

26.已知。e(o,y),方程x2sin0+y2cos0=l表示焦点在y轴上的椭圆，则。的取值范围

是.

八.解答题：本大题共2小题，每题20分，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

27.已知椭圆=+4=1(a>b>0)的离心率6=—,过

a2b23

(0,-b)和8(a,0)的直线与原点的距离为

(1)求椭圆的方程

(2)已知定点E(-l,0),若直线y=kx+2(kWO)与椭圆交于C。两点问：是否

存在k的值，使以CD为直径的圆过E点?请说明理由

28.已知直线/:6x-5y—28=0交椭圆与+==1(。>6>0)于乂，1\1两点产(0,b)是椭圆的一

个顶点，且b为整数，而AMBN的重心恰为椭圆的右焦点F2.

⑴求此椭圆的方程；

(2)设此椭圆的左焦点为匕问在椭圆上是否存在一点P,使得/心尸鸟=60°?并证明你的结

参考答案

A组

一、1.C2.C3.A4.B5.A

二、6.1

x2y2=2

7.答：77+TT=1.由4a+c4解得a=5,又椭圆焦点在y轴上，...椭圆方程为

IDZD

b=4

8.答：［l,5)U(5,+8).

9.答：m>l.•.•椭圆的准线平行于x轴，...椭圆的焦点在y轴上，2m>J3相+1>0,

解得m>l.

三、10.解：将直线方程代入椭圆方程，消去x得到10y2+2my+m2-9=0,

令△=(),解得m=±®.

2c

11.解：依题意cosNOFA=又2a=6,...0=3,c=2,b2=5.

当焦点在x轴上时，椭圆方程为卷+£=1；

当焦点在y轴上时，椭圆方程为!+7=1.

12.解：设P(x,y),依题意PA+PB=m,

即J(x+1)2+y2+J(x-1)2+y2=m.

(1)当m=4时，由

J(x+1)2+y2+J(l)2+y2=4

化简得点p的轨迹方程是：

22

-X----+1---)-'---11.

43

(2)当m=2时，由

J(x+])2+y2+J(l)2+y2=2

化简得点P的轨迹方程是：

y=0,lWxWl)

(3)m=l时，

22

7(X+I)+/+7U-D+/=i

无解，...点p的轨迹不存在.

B组

13.A14.B15.A16.D17.B

24M>0

18.答：(-16,4)U(4,24).由，16+fc>0=kC(-16,4)U(4,24).

24山16+1

19.答3币.Ve=|,|PF1|=je=2,|PF2|=8,下冏=8,；.PFi边上的高h=M-1=3币,

.♦.△PF1F2面积等于]|PFi|•h=3币.

20.答：x=±-\f5.设P(x,y),由2•8•|y|=8,得|y|=4,：.x—±~\]s.

21.答：e=T.*/Fj(—c,0)到直线AB：bx-ay+ab=O的距离为一.----b,e=二,

2>Ja2+b27°

1

.".8e2-14e+5=O,解得e=\

22.分析因为直线AC、BC的斜率存在，所以可分别用点C、A的坐标和点C、B的坐标，表

1

示直线AC、BC的斜率，再根据条件：斜率之积为一彳，即可得到动点C的轨迹方程.

解设C(x,y),则

kAC=-^,kB=-^

C(xW±5)

x+5x-5

1_

由^AC^BC

2'x+5x-52

所以动点C的轨迹方程为

£

=1(xW±5)

252

23.解：(1)BlC：(x+2y+(y-2y=8；

22

(2)由条件可知a=5,椭圆工+2=1,，F(4,0),若存在，则F在OQ的中垂线上，又

259

0、Q在圆C上，所以0、Q关于直线CF对称；

口=3

直线CF的方程为y—即x+3y-4=0,设Q(x,y),则<'>

3,+越-4=0

122

4

x=­

解得北

所以存在，Q的坐标为,，5)。

24.解:(1)由方程知,。=5,b=4,则c=3,e=2.

5

•••P到左焦点的距离为3,则P到左准线的距离为4=四=5,

e

又两准线间距离为网工型,•”到右准线的距离为四-5=史.

c333

(2)由椭圆定义得归耳|+|尸产2|=2。=10..@

又|「司-忸周=1…②,

由①,②联立可解得归用=”,归初=?;在AF,PF2

中,怩周=2'=6,

|尸彳|+|尸引卜任「『29

,,cosZF,PF

22|尸尸』尸尸』-99

•••为锐角，sinN耳PF?=凶

..16735

,•tanZ/rFD\PCF]=———

C组

25.选D.

TTTT

一一=1,•椭圆焦点在y轴上，...

26.答：ee(w，万)・椭圆方程化为

sin0con3

11

---->----->0

conOsin0

cos。<sin6,又0e(0,y-),.*.0€(,■y).

27.解：（1）直线AB方程为:bx-ay-ab=O

[c_V6

-=-----9

依题意f3la—M,

解得

abV3b=\

x•,

二椭圆方程为一+y2=i

3

（2）假若存在这样的A值,由《，，得(1+3/)/+12日+9=

x2+3y2-3=0

△=(12幻2-36(1+3火2)〉0①

12k

设。（西，X）。瓮2，为），贝心②

9

而为,为=(近1+2)(5+2)=&2

X1X2+2k(x[+X2)+4

要使以CD为直径的圆过点E（-1,0）,当且仅当CE1.DE时，则」一•=-l,即

Xj+1

%>2+(X1+1)(马+1)=0

(火2+1