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文档简介

2022-2023学年高三上数学期末模拟试卷注意事项1.考试结束后,请将本试卷和答题卡一并交回.2.答题前,请务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置.3.请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符.4.作答选择题,必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑;如需改动,请用橡皮擦干净后,再选涂其他答案.作答非选择题,必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答,在其他位置作答一律无效.5.如需作图,须用2B铅笔绘、写清楚,线条、符号等须加黑、加粗.一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.已知(为虚数单位,为的共轭复数),则复数在复平面内对应的点在().A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限2.以下三个命题:①在匀速传递的产品生产流水线上,质检员每10分钟从中抽取一件产品进行某项指标检测,这样的抽样是分层抽样;②若两个变量的线性相关性越强,则相关系数的绝对值越接近于1;③对分类变量与的随机变量的观测值来说,越小,判断“与有关系”的把握越大;其中真命题的个数为()A.3 B.2 C.1 D.03.已知关于的方程在区间上有两个根,,且,则实数的取值范围是()A. B. C. D.4.直线与圆的位置关系是()A.相交 B.相切 C.相离 D.相交或相切5.设函数,若函数有三个零点,则()A.12 B.11 C.6 D.36.设为等差数列的前项和,若,则A. B.C. D.7.给出下列三个命题:①“”的否定;②在中,“”是“”的充要条件;③将函数的图象向左平移个单位长度,得到函数的图象.其中假命题的个数是()A.0 B.1 C.2 D.38.已知向量,且,则等于()A.4 B.3 C.2 D.19.已知定义在R上的偶函数满足,当时,,函数(),则函数与函数的图象的所有交点的横坐标之和为()A.2 B.4 C.5 D.610.平行四边形中,已知,,点、分别满足,,且,则向量在上的投影为()A.2 B. C. D.11.一个几何体的三视图如图所示,其中正视图是一个正三角形,则这个几何体的体积为()A. B. C. D.12.已知是定义是上的奇函数,满足,当时,,则函数在区间上的零点个数是()A.3 B.5 C.7 D.9二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.若且时,不等式恒成立,则实数a的取值范围为________.14.已知等比数列满足公比,为其前项和,,,构成等差数列,则_______.15.平行四边形中,,为边上一点(不与重合),将平行四边形沿折起,使五点均在一个球面上,当四棱锥体积最大时,球的表面积为________.16.将底面直径为4,高为的圆锥形石块打磨成一个圆柱,则该圆柱的侧面积的最大值为__________.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)已知三棱柱中,,是的中点,,.(1)求证:;(2)若侧面为正方形,求直线与平面所成角的正弦值.18.(12分)在平面直角坐标系中,已知椭圆:()的左、右焦点分别为、,且点、与椭圆的上顶点构成边长为2的等边三角形.(1)求椭圆的方程;(2)已知直线与椭圆相切于点,且分别与直线和直线相交于点、.试判断是否为定值,并说明理由.19.(12分)如图1,与是处在同-个平面内的两个全等的直角三角形,,,连接是边上一点,过作,交于点,沿将向上翻折,得到如图2所示的六面体(1)求证:(2)设若平面底面,若平面与平面所成角的余弦值为,求的值;(3)若平面底面,求六面体的体积的最大值.20.(12分)已知函数.(1)若函数,求的极值;(2)证明:.(参考数据:)21.(12分)某地在每周六的晚上8点到10点半举行灯光展,灯光展涉及到10000盏灯,每盏灯在某一时刻亮灯的概率均为,并且是否亮灯彼此相互独立.现统计了其中100盏灯在一场灯光展中亮灯的时长(单位:),得到下面的频数表:亮灯时长/频数1020402010以样本中100盏灯的平均亮灯时长作为一盏灯的亮灯时长.(1)试估计的值;(2)设表示这10000盏灯在某一时刻亮灯的数目.①求的数学期望和方差;②若随机变量满足,则认为.假设当时,灯光展处于最佳灯光亮度.试由此估计,在一场灯光展中,处于最佳灯光亮度的时长(结果保留为整数).附:①某盏灯在某一时刻亮灯的概率等于亮灯时长与灯光展总时长的商;②若,则,,.22.(10分)△ABC的内角的对边分别为,已知△ABC的面积为(1)求;(2)若求△ABC的周长.

参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1、D【解析】

设,由,得,利用复数相等建立方程组即可.【详解】设,则,所以,解得,故,复数在复平面内对应的点为,在第四象限.故选:D.【点睛】本题考查复数的几何意义,涉及到共轭复数的定义、复数的模等知识,考查学生的基本计算能力,是一道容易题.2、C【解析】

根据抽样方式的特征,可判断①;根据相关系数的性质,可判断②;根据独立性检验的方法和步骤,可判断③.【详解】①根据抽样是间隔相同,且样本间无明显差异,故①应是系统抽样,即①为假命题;②两个随机变量相关性越强,则相关系数的绝对值越接近于1;两个随机变量相关性越弱,则相关系数的绝对值越接近于0;故②为真命题;③对分类变量与的随机变量的观测值来说,越小,“与有关系”的把握程度越小,故③为假命题.故选:.【点睛】本题以命题的真假判断为载体考查了抽样方法、相关系数、独立性检验等知识点,属于基础题.3、C【解析】

先利用三角恒等变换将题中的方程化简,构造新的函数,将方程的解的问题转化为函数图象的交点问题,画出函数图象,再结合,解得的取值范围.【详解】由题化简得,,作出的图象,又由易知.故选:C.【点睛】本题考查了三角恒等变换,方程的根的问题,利用数形结合法,求得范围.属于中档题.4、D【解析】

由几何法求出圆心到直线的距离,再与半径作比较,由此可得出结论.【详解】解:由题意,圆的圆心为,半径,∵圆心到直线的距离为,,,故选:D.【点睛】本题主要考查直线与圆的位置关系,属于基础题.5、B【解析】

画出函数的图象,利用函数的图象判断函数的零点个数,然后转化求解,即可得出结果.【详解】作出函数的图象如图所示,令,由图可得关于的方程的解有两个或三个(时有三个,时有两个),所以关于的方程只能有一个根(若有两个根,则关于的方程有四个或五个根),由,可得的值分别为,则故选B.【点睛】本题考查数形结合以及函数与方程的应用,考查转化思想以及计算能力,属于常考题型.6、C【解析】

根据等差数列的性质可得,即,所以,故选C.7、C【解析】

结合不等式、三角函数的性质,对三个命题逐个分析并判断其真假,即可选出答案.【详解】对于命题①,因为,所以“”是真命题,故其否定是假命题,即①是假命题;对于命题②,充分性:中,若,则,由余弦函数的单调性可知,,即,即可得到,即充分性成立;必要性:中,,若,结合余弦函数的单调性可知,,即,可得到,即必要性成立.故命题②正确;对于命题③,将函数的图象向左平移个单位长度,可得到的图象,即命题③是假命题.故假命题有①③.故选:C【点睛】本题考查了命题真假的判断,考查了余弦函数单调性的应用,考查了三角函数图象的平移变换,考查了学生的逻辑推理能力,属于基础题.8、D【解析】

由已知结合向量垂直的坐标表示即可求解.【详解】因为,且,,则.故选:.【点睛】本题主要考查了向量垂直的坐标表示,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平,属于基础题.9、B【解析】

由函数的性质可得:的图像关于直线对称且关于轴对称,函数()的图像也关于对称,由函数图像的作法可知两个图像有四个交点,且两两关于直线对称,则与的图像所有交点的横坐标之和为4得解.【详解】由偶函数满足,可得的图像关于直线对称且关于轴对称,函数()的图像也关于对称,函数的图像与函数()的图像的位置关系如图所示,可知两个图像有四个交点,且两两关于直线对称,则与的图像所有交点的横坐标之和为4.故选:B【点睛】本题主要考查了函数的性质,考查了数形结合的思想,掌握函数的性质是解题的关键,属于中档题.10、C【解析】

将用向量和表示,代入可求出,再利用投影公式可得答案.【详解】解:,得,则向量在上的投影为.故选:C.【点睛】本题考查向量的几何意义,考查向量的线性运算,将用向量和表示是关键,是基础题.11、C【解析】

由已知中的三视图,可知该几何体是一个以俯视图为底面的三棱锥,求出底面面积,代入锥体体积公式,可得答案.【详解】由已知中的三视图,可知该几何体是一个以俯视图为底面的三棱锥,其底面面积,高,故体积,故选:.【点睛】本题考查的知识点是由三视图求几何体的体积,解决本题的关键是得到该几何体的形状.12、D【解析】

根据是定义是上的奇函数,满足,可得函数的周期为3,再由奇函数的性质结合已知可得,利用周期性可得函数在区间上的零点个数.【详解】∵是定义是上的奇函数,满足,,可得,

函数的周期为3,

∵当时,,

令,则,解得或1,

又∵函数是定义域为的奇函数,

∴在区间上,有.

由,取,得,得,

∴.

又∵函数是周期为3的周期函数,

∴方程=0在区间上的解有共9个,

故选D.【点睛】本题考查根的存在性及根的个数判断,考查抽象函数周期性的应用,考查逻辑思维能力与推理论证能力,属于中档题.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13、【解析】

将不等式两边同时平方进行变形,然后得到对应不等式组,对的取值进行分类,将问题转化为二次函数在区间上恒正、恒负时求参数范围,列出对应不等式组,即可求解出的取值范围.【详解】因为,所以,所以,所以,所以或,当时,对且不成立,当时,取,显然不满足,所以,所以,解得;当时,取,显然不满足,所以,所以,解得,综上可得的取值范围是:.故答案为:.【点睛】本题考查根据不等式恒成立求解参数范围,难度较难.根据不等式恒成立求解参数范围的两种常用方法:(1)分类讨论法:分析参数的临界值,对参数分类讨论;(2)参变分离法:将参数单独分离出来,再以函数的最值与参数的大小关系求解出参数范围.14、0【解析】

利用等差中项以及等比数列的前项和公式即可求解.【详解】由,,是等差数列可知因为,所以,故答案为:0【点睛】本题考查了等差中项的应用、等比数列的前项和公式,需熟记公式,属于基础题.15、【解析】

依题意可得、、、四点共圆,即可得到,从而得到三角形为正三角形,利用余弦定理可得,且,要使四棱锥体积最大,当且仅当面面时体积取得最大值,利用正弦定理求出的外接圆的半径,再又可证面,则外接球的半径,即可求出球的表面积;【详解】解:依题意可得、、、四点共圆,所以因为,所以,,所以三角形为正三角形,则,,利用余弦定理得即,解得,则所以,当面面时,取得最大,所以的外接圆的半径,又面面,,且面面,面所以面,所以外接球的半径所以故答案为:【点睛】本题考查多面体的外接球的相关计算,正弦定理、余弦定理的应用,属于中档题.16、【解析】

由题意欲使圆柱侧面积最大,需使圆柱内接于圆锥.设圆柱的高为h,底面半径为r,则,将侧面积表示成关于的函数,再利用一元二次函数的性质求最值.【详解】欲使圆柱侧面积最大,需使圆柱内接于圆锥.设圆柱的高为h,底面半径为r,则,所以.∴,当时,的最大值为.故答案为:.【点睛】本题考查圆柱的侧面积的最值,考查函数与方程思想、转化与化归思想、,考查空间想象能力和运算求解能力,求解时注意将问题转化为函数的最值问题.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1)证明见解析(2)【解析】

(1)取的中点,连接,,证明平面得出,再得出;(2)建立空间坐标系,求出平面的法向量,计算,即可得出答案.【详解】(1)证明:取的中点,连接,,,,,,,故,又,,平面,平面,,,分别是,的中点,,.(2)解:四边形是正方形,,又,,平面,平面,在平面内作直线的垂线,以为原点,以,,为所在直线为坐标轴建立空间直角坐标系,则,0,,,1,,,2,,,0,,,1,,,2,,,1,,设平面的法向量为,,,则,即,令可得:,,,,.直线与平面所成角的正弦值为,.【点睛】本题主要考查了线面垂直的判定与性质,考查空间向量与空间角的计算,属于中档题.18、(1)(2)为定值.【解析】

(1)根据题意,得出,从而得出椭圆的标准方程.(2)根据题意设直线方程:,因为直线与椭圆相切,这有一个交点,联立直线与椭圆方程得,则,解得①把和代入,得和,,的表达式,比即可得出为定值.【详解】解:(1)依题意,,,.所以椭圆的标准方程为.(2)为定值.①因为直线分别与直线和直线相交,所以,直线一定存在斜率.②设直线:,由得,由,得.①把代入,得,把代入,得,又因为,所以,,②由①式,得,③把③式代入②式,得,,即为定值.【点睛】本题考查椭圆的定义、方程、和性质,主要考查椭圆方程的运用,考查椭圆的定值问题,考查计算能力和转化思想,是中档题.19、(1)证明见解析(2)(3)【解析】

根据折叠图形,,由线面垂直的判定定理可得平面,再根据平面,得到.(2)根据,以为坐标原点,为轴建立空间直角坐标系,根据,可知,,表示相应点的坐标,分别求得平面与平面的法向量,代入求解.设所求几何体的体积为,设为高,则,表示梯形BEFD和ABD的面积由,再利用导数求最值.【详解】(1)证明:不妨设与的交点为与的交点为由题知,,则有又,则有由折叠可知所以可证由平面平面,则有平面又因为平面,所以....(2)解:依题意,有平面平面,又平面,则有平面,,又由题意知,如图所示:以为坐标原点,为轴建立如图所示的空间直角坐标系由题意知由可知,则则有,,设平面与平面的法向量分别为则有则所以因为,解得设所求几何体的体积为,设,则,当时,,当时,在是增函数,在上是减函数当时,有最大值,即六面体的体积的最大值是【点睛】本题主要考查线线垂直,线面垂直,面面垂直的转化,二面角的向量求法和空间几何体的体积,还考查了转化化归的思想和运算求解的能力,属于难题.20、(1)见解析;(1)见证明【解析】

(1)求出函数的导数,解关于导函数的不等式,求出函数的单调区间,从而求出函数的极值即可;(1)问题转化为证ex﹣x1﹣xlnx﹣1>0,根据xlnx≤x(x﹣1),问题转化为只需证明当x>0时,ex﹣1x1+x﹣1>0恒成立,令k(x)=ex﹣1x1+x﹣1,(x≥0),根据函数的单调性证明即可.【详解】(1),,当,,当,,在上递增,在上递减,在取得极大值,极大值为,无极大值.(1)要证f(x)+1<ex﹣x1.即证ex﹣x1﹣xlnx﹣1>0,先证明lnx≤x﹣1,取h(x)=lnx﹣x+1,则h′(x)=,易知h(x)在(0,1)递增,在(1,+∞)递减,故h(x)≤h(1)=0,即lnx≤x﹣1,当且仅当x=1时取“=”,故xlnx≤x(x﹣1),ex﹣x1﹣xlnx≥ex﹣1x1+x﹣1,故只需证明当x>0时,ex﹣1x1+x﹣1>0恒成立,令k(x)=ex﹣1x1+x﹣1,(x≥0),则k′(x)=ex﹣4x+1,令F(x)=k′(x),则F′(x)=ex﹣4,令F′(x)=0,解得:x=1ln1,∵F′(x)递增,故x∈(0,1ln1]时,F′(x)≤0,F(x)递减,即k′(x)递减,x∈(1ln1,+∞)时,F′(x)>0,F(x)递增,即k′(x)递增,且k′(1ln1)=5﹣8ln1<0,k′(0)=1>0,k′(1)=e1﹣8+1>0,由零点存在定理,可知∃x1∈(0,1ln1),∃x1∈(1ln1,1),使得k′(x1)=k′(x1)=0,故0<x<x1或x>x1时,k′(x)>0,k(x)递增,当x1<x<x1时,k′(x)<0,k(x)递减,故k(x)的最小值是k(0)=0或k(x1),由k′(x1)=0,得=4x1﹣1,k(x1)=﹣1+x1﹣1=﹣(x1﹣1)(1x1﹣1),∵x1∈(1ln1,1),∴k(x1)>0,故x>0时,k(x)>0,原不等式成立.【点睛】本题考查了函数的单调性,极值

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