高中数学必修二第六章第2节《平面向量的运算》解答题 (一)(含答案解析)

必修二第六章第2节《平面向量的运算》解答题(1)

一、解答题(本大题共30小题，共360.0分)

1.在平行四边形中A8CD,已知4B=6,4。=10,点E,F分别为边8c和边CZ)上动点,

图1图2

(1)如图1,若平行四边形ABC。为矩形，且E,F分别为BC和C。上中点，求而•前;

(2)如图2,若NDAB1市=2钳，且2或=3正，求而.赤.

2.已知向量五=(cosa,sina),b=(cos夕,sin/?)»c=(2,0).

(1)求向量9+的长度的最大值；

(2)设。=g,且苍1@+办求cos.的值.

3.已知实数0W8W7T,a=(cos6),sin6),j=(0,1),若向量方满足位+石)j=0，且心石=0.

(1)若|苍一=2.求石；

(2)若/(%)=4+%位一孙在畛,+8)上为增函数，求实数。的取值范围.

4.如图所示，在因ABCD中，AB=a,AD=b,BM=^BC,AN=^AB.

DC

(i)试用向量五花来表示而，而7；

(2)AM交DN于0点、,求40：0M的值.

5.已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且其面积为S.

①焉=岛，②I的2=”而③苧S=V也

(1)请从以上三个条件中任选2个，并求角8；

(2)在⑴的基础上，点。在A3边上，若sin4a4D=V5sin乙4CD,求sin4CDB.

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.

6.在锐角A4BC中，角A、B、C的对边分别是a、b、c,m=(2cosC,acosB+bcosA),n=(c,-1),

且访1n.

(1)求角C；

(2)若边长c=百，①求4WC面积的最大值；

②现有长度为4,5,6的三根细铁丝，问：哪根能够围成满足题目条件的三角形(不计损耗)？

7.已知元=(cosa,sina),b=(cos0,sin0)，其中0<aV£V

(1)求向量1+石与五-石所成的夹角；

(2)若ka+E与五-k方的模相等，求的值(卜为非零的常数)•

8.已知向量沆=(2sin仇sin。+cos。),n=(cos0,-2—m),函数/(8)=量•元的最小值为

g(m)(mE/?),

(1)当m=l时，求g(m)的值;

(2)求g(m)；

(3)已知函数/l(x)为定义在R上的增函数，且对任意的不,％2都满足九(%1+%2)=九Q1)+八(久2)・问:

是否存在这样的实数〃Z,使不等式五(/(。))一.si.nt二7+cos(/7+以3+2m)>0对所有。6[0谭4]恒成

立，若存在，求出〃?的取值范围；若不存在，说明理由.

9.已知向量五=(cosx,sinx),b=(3,-V3)>xG[0,TT].

(1)若五〃方,求x的值；

(2)记/(x)=。石，求f(x)的最大值和最小值以及对应的x的值.

10.已知向量值=(sin9,1),K=(l,cos0),<0<p

(I)若苍，3,求仇

(n)求区+3的最大值.

11.已知点M(-2,0),N(2,0),动点尸满足条件|PM|-|PN|=2&.记动点P的轨迹为W.

(I)求W的方程;

(口)若4,8是W上的不同两点，O是坐标原点，求福.而的最小值.

12.已知函数/'(x)=sinx—V^cosx+2,记函数/(x)的最小正周期为/?,向量五=(2,cosa),B=

l,tan(a+§)),0<a<弓，且五•石=g

(1)求/(x)在区间停印上的最值;

(2)求28SJin2(a+0)的值.

cosa-sina

13.如图，在四边形ABC。中，BC//AD,AQB,AD=3,ZMBC为等边三角形，E是CO的中点.设

AB=a,AD=b-

(1)用落石表示前，AE,

(2)求荏与而夹角的余弦值.

14.如图，在△力BC中，AC=10,BC=8,且段=空=：,尸为边

DAEB2

OE上的中点，DF-C7=40-

⑴求sin/ACB的值；

(2)求丽•丽的值.

15.设P,Q分别是梯形ABCD的对角线AC与8。的中点

(1)试用向量证明：PQ//AD；

(2)若4B=3CD,求PQ：A8的值.

16.在44BC中，内角A、B、C所对的边分别为a、b、c,已知向量沅=(cosB,cosC),元=(c,b-2a)

.且沅1n.

(1)求角。的大小；

(2)若点。为边AB上一点，且满足而=前，|CD|=V7，c=2b，求。48c的面积.

17.已知:向量a=(2m,m)，b=(sin。4-cosO,2sin0cos0)-

(1)当m=l,时，求值及：与2夹角的余弦值；

(2)7『给定sin。+cos0G[—V2,V2],TH0,函数y(。)=a•b+sin。+cos.的最小值为g(m)，

求g(m)的表达式。

18.已知a=(2,1)，OB=(3,-2).OC=(6-m,-3-m).

(1)若点A,B,C共线，求实数机的值；

(2)若AABC为直角三角形，求实数优的值.

19.如图所示，在△48。中，OC=^OA,OD=^；OB,A£»与BC相交于M设五？=示OB=b

42

(1)试用优方表示两

(2)过M作直线EF,分别交线段AC,BD于点E,F.记笳=4作OF=ub，求证：,为定值.

*Ap.

20.在平面直角坐标系中，。为坐标原点，点A,B,C满足元=[函+|诂.

(1)求证：A,B,C三点共线，并求黑的值；

(2)已知4(1,cos久)，B(1+cosx,cosx),x6[―^,0],若函数f(x)=•沆:-(2m+三)|四|的

33

最大值为3,求实数，”的值.

21.已知乙b>\a]=\b]=1.S.\a+kb\=V3\a-kb\，其中k>0.

(1)若五与方的夹角为60。，求/的值；

(2)记/(%)=方不,当k取任意正数时，f(k)2t2-加对任意的tw[1,2]恒成立,求出实数〃?

的取值范围.

22.△4BC是边长为3的等边三角形，BE=2ABA，BF=ABC<2<1),连结EF交AC于点D.

(1)当4=|时，设瓦？=为，FC=K,用向量五万表示前；

(2)当;I为何值时，荏.甫取得最大值，并求出最大值.

23.如图，设Ox,Oy是平面内相交成60。角的两条数轴，可，石分别是x轴，y轴正方向同向的单位向

量，若向量而=x?；+y可，则把有序数对(x,y)叫做向量而在坐标系xOy中的坐标，假设前

3百+2祕.

(1)计算I前I的大小；

(2)是否存在实数〃，使得而与向量石=(l,n)垂直，若存在求出”的值，若不存在请说明理由.

24.已知向量五=(sinwx+cosa)x,sina)x),向量至=(sinaix-cosa)x,2VScoswx)，设函数f(x)=3-

b+l(xeR)的图象关于直线X=&寸称，其中常数3e(0,2).

(1)若xe[0(],求/(X)的值域；

(2)在(2)前提下求函数f(x)对称轴方程及单调区间.

25.已知向量五=(2sinx,cosx),b=(V3cosx,2cosx)<定义函数/'(x)=五.E-L

(1)求函数的最小正周期.

(2)求函数f(x)的单调递减区间.

(3)求函数f(x)在区间卜，1上的最值，并求出取得最值时x的值.

26.已知向量三=(sinx,cosx),b=(V3,l)，/(x)=a-K.

(I)求/(久)的最小正周期及单调递减区间;

(11)若/3)=|,ae6,7T),求cosa的值.

27.如图，已知ABJ.BC,AB=V3BC=y/3a，ae[1,3],圆4是以A为圆心、半径为2的圆，圆B

是以8为圆心、半径为1的圆，设点E、F分别为圆A、圆B上的动点，荏〃乔(且胡与用同

向)，设ZB4E=0(0C[0,兀]).

(I)当。=V3.且。=制，求荏•而的值；

(II)用°,。表示出荏.蒲，并给出一组a,。的值，使得下•谓最小.

28.已知平面向量五,方满足：|五|=2,|3|=1.

(1)若(往+2万)-(三一石)=1，求百小的值：

(2)设向量为石的夹角为。.若存在t6R,使得|W+t/=l，求cos。的取值范围.

29.在ZL4BC中，设角A,B,C的对边分别为〃，h,c,且满足三=2誓.

c-bsinzl

(1)求角B的大小；

(2)设记=(遍cos：,—sin?),n=(cos|,cos,求万•元的取值范围.

30.已知落33是同一平面内的三个向量，其中己=(1,6).

(1)若|十=4,Sx//ct,求e的坐标;

(2)若|方|=1，且+求五与E的夹角氏

【答案与解析】

1.答案：解：(1)由题意可知不妨设荏，而为基底，

--»-->--»-->1--»

•・・AE=AB+BE=AB-V-AD,

2

>»>一一T---»>11.»

8F=84+40+。尸=-48+40+—48=—一48+4。，

22

AE-=(AB+|^D)•(-萍+硝=-鸿,+观2=32

(2)•••DF=2FC，2露=3配，

・••AE=AB+BE=AB+豺。，

--,--,--»--,2--»

4F=AD+DF=4。+-4B,

3

—»―»(―»3―A/―，2―>\

・•・AE-AF=(48+-ADj•\^AD+gAB)

2--*2?--»27--，--»

=-AB-Y-AD+4。♦AB=24+60+42=126.

355

解析：本题主要考查了平面向量数量积的性质及其运算，向量的加减法，平面向量的基本定理，属

于中档题.

(1)由题意可知不妨设近，而为基底，由向量的加减的几何意义的数量积即可求出.

(2)根据向量的加减的几何意义和向量的数量积即可求出.

2.答案：解：(1)由题意,向量方=(cos0,sinS)，c=(2,0),

可得方+c=(cosp+2,sin0)，则+c|23=(cos£+2)2+sin2s=5+4cos£.

因为一1WCOS/?W1,所以1w|万+3/<9，即1W|至+F|W3.

即当cos/?=1时，|B+H|的最大值为3.

(2)由a=g,则方=G，当)，又由另=(cos。,sinS)，c=(2,0),

得五•(b+c)=(py)•(cosj5+2,sin。)=1cos/?+ysin/?+1=sin(/?+0+1,

因为苍JL(E+?)，所以方—(G+2)=0，即sin(B+,)=—1,

解得0+之=2卜兀-今卜62可得0=2/^-票，k£Z,所以cosB=—q.

解析：本题考查平面向量和三角函数的综合，解决问题的关键是熟练掌握先关的结论.

(1)由已知可得石+/坐标，可得|3+不|，由三角函数最值可得答案；

(2)由(1)可得向量坐标，由垂直可得数量积为0,由等式和三角函数可得sin(0+0=-l,可得cos0

的值.

f

3.答案：解：(1)设]=(x°,yo),则]+b=(%o+cos0fyo+sin0)•・•方•b=0，

2,2

由忖—=2得(Q—b)=4，得M—2a.b+产=4，得1—0+1=4,

得卜=V3,

v伍+b)•/=0，y0+sin。=0,・•・y0=-sin。，

va-6=0»・,•&cos。+y()sine=0,x="g

0cos。

|hI2=%o+yo=3=>；)2+(-sin6)2=3tan。=±V3,

v9E[0,n],・•・8=p或8=y,

.•・当。=g时，%o=I，y=一»叵,

320

当"争时，工。=/尢=_乎

所以;=(|,—等)或\(一|,一等).

(2)/(x)=\b+x(a-b)\=|xa+(l-x)K|=Jx2a2+(1-x)2b+2x(l-x)a-b

Jx2+(1-x)2|KI2=J(1+b2)x2-2\b\2x+\b\2'

-2问21一

：fO）在L，+8）上为增函数，所以对称轴一/|-|2\-2'即|B|W1，

2卜+科)

设b=(x0,y0)»则a+b=(Xo+cos0,y0+sin。)，

又•••(a+b)•/=0，且征.b=0'?o=一sin。，x0=

\/cost/

|I2=Xn4-yn=（sin°）2+sin20<1»BPsin2©<cos20,cos20>

'IuJu、COS02

••cosee¥，i]u,1,一科・•.ee[o用u片斗

解析：本题主要考查了向量的数量积的运算公式的应用，以及函数的恒成立问题的求解，合理运算、

化简，转化为与二次函数相关的图象与性质的应用是解答的关键，着重考查了转化思想，换元思想，

以及分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.

（1）设7=（Q,尢>根据向量的数量积的运算，求得|q=vs,由伍+3.7=0,鼠z=o进而得

到处和Xo，即可得到向量了的坐标：

(2)根据向量的模的运算，求得/(x),又由函数/(x)=E+x@—孙在L,+8)上为增函数，得到

\b\<b故可得到cos?。2%即可求解J得取值范围；

4.答案：解：(1)：AN="B,

■■.AN=-AB=-a,

44

.-.DN^AN-AD=-AB-AD=-a-b；

44

2

•:BM=-BC,

3

------>2------»2------»2-

••・BM=-BC=-AD=-h,

333

-.AM=AB+'BM=AB+-AD=a+-b；

33

(2)D,O,N三点共线，

则而，而共线，存在实数九使而=/1而=/1一丁，

]

••AO=ADDO=b-XCL-Ab

4

同理，A,。，M三点共线，存在“，刀=〃祠=〃五+|〃B,

,(%="，

［一=|〃

解得入=%,〃=V,

.：AO=^AM,OM=^AM,

•••AO：OM=3：11.

解析：本题考查用基底表示向量以及平面向量基本定理的应用，属于中档题.

(1)根据条件便可得到前=；心丽=|石，由向量加法、减法的几何意义即可得到丽=丽-而=

-a-b,AM=a+-b；

43

(2)由。，O,N三点共线，便有前=2而方—4万，从而有同=：；1日+(1—4)3,同理可得

—,2T(〃=4Q

4

AO=na+^b,这便可得到《2,可解出〃=捺，这样便能得出A。：0M.

3［一=|〃14

5.答案：解：对于条件①，

由正弦定理得出=厘，

cosAcosB

则tanA=tanB,可得4=B.

对于条件②，

由|石？|2=g5•明，可得|g5|2-GT瓦？=0，

即行■(CA+AB)=CA-CB0^则。=p

对于条件③，易得春bcsin4="『，

即4x东sin4x：=—a-,

2V322bc

即专sin4=cosA,得lan/=V5,故人=最

若选①②：

(1)易得△4BC是以角C为直角的等腰直角三角形,

所以

(2)由sin/CAD=遮sin/ACD，可得CD=bAD,

不妨设4D=1,贝iJCD=g，

设AC=x,由余弦定理可得立=给口二，

22X

得％=号理，所以BC=AC=四便，

22

所以新“。8=受”

6

若选②③：

(1)易得△ABC是以角C为直角的直角三角形，

又A=g,所以B=±

JO

(2)由sin/CAD=V3sin^ACD，可得CD=V3AD，

不妨设4。=1,贝UCD=百，

设AC=x,由余弦定理可得cosE=3二，

32x

得％=2,

故由勾股定理的逆定理可得CD1AD,所以sin4CDB=1.

若选①③，

(1)则易知△A8C为正三角形，可得8=半

(2)因为△A8C为正三角形，所以4=今

又sinz_C4D=V^sin乙4CD，

所以sin乙4CD=所以乙4CD=g

2o

所以CD1AB,所以sin/CDB=l.

解析：本题考查正余弦定理，三角形面积公式，考查数学运算的核心素养，属于中档题.

选①②：(1)易得△ABC是以角。为直角的等腰直角三角形，故可得解以

⑵由余弦定理求得AC的值，再由正弦定理可得siMCDB.

选②③：(1)易得△48C是以角C为直角的等腰直角三角形，故可得解B；

(2)由余弦定理求得AC的值，再由勾股定理可得CO,/D,故得sinzCOB.

选①③：(1)易知△ABC为正三角形，故得角&

(2)求得乙4co=故可得CD1AB,故得sinz_CDB.

6.答案：解：(1)v?n1n,A2ccosC—(acosB+bcosA)=0,

由正弦定理得2sinCcosC—(sini4cos8+cosAsinB)=0,

即2sinCeosC—sin(4+B)=0,

・•・2sinCcosC—sinC=0,

在44BC中，()<C<7T»-**sinC¥：0,ACOSC=j,

,「CJO.TT),.二。=£；

(2)①由(1)知C=%c=W，

由余弦定理得c?=必+/_2abeosC,得3=a2+b2-ab,

由3=a24-h2-ab>2ab-ab,BPah<3,当且仅当a=b=遥等号成立,

又SMBC4?X3=W，即△面积最大值为

abcV3c

②由正弦定理得赤=/而=菽=逅=2,即。=2smA,b=2sin8,

2

所以△ABC的周长为Q+b+c=2sin4+2sinB+V3

=2sinA+2sin(-^-A)+

3

=2sin4+2[-^coSi4+；sinA]+V3

=3sinA+V3cos/[+V3

=2\/3sin(-4+；)+，

6

0<.4<

由△ABC为锐角三角形，所以1”2»，得:<小<：，

°vf—乂v可

所呜<A+h与，所以shMA+le(察”，

所以周长e(3+V3,3V3],

由5e(3+V3,3V3]„

所以只能长度为5的铁丝能满足条件.

解析：本题考查了正弦定理、余弦定理、三角形面积公式、三角函数性质、三角恒等变换和基本不

等式，是中档题.

(1)由沆_L元，得2ccosC—(acosB+bcosA)=0,由正弦定理得2sinCcosC—(sin4cosB+

cosAsinB)=0,化简得cosC=可得角C；

(2)①由余弦定理得3^a2+b2-ab,利用基本不等式得出ah的最大值可得Z4BC面积的最大值；

②由正弦定理得a=2sin4b=2sinB,所以△力BC的周长为a+b+c=2sin4+2sinB+国，由三

角恒等变换和三角函数性质可得周长的取值范围，可得结论.

7.答案：解:(1)由已知得同=|b|=1,

则①+b')(a-b-)=a2-b2=0'

因此五+3)1(a-K)，

因此，向量为+3与五一方所成的夹角为90。；

(2)|fca>+了|=^(kcutia+co«;i)2+(A:siiia+sin3)2>

|a-fcib|=7(cosa—/ccosj?)2+(sina—/csin

J(kcosa+cos0)2+(ksina+sin0)2

=^(cosa—kcos/?)2+(sina—fcsiny?)2,

整理得：cos(a-.)=0,

■■0<a<p<ir,

—7TVa—SV0,

因此：a_0=即：1=

解析：本题考查同角三角函数的基本关系，两角和与差的三角函数公式，向量的模，向量的夹角，

向量的数量积，平面向量的坐标运算，考查运算化简的能力，属于中档题.

⑴由题意，回=同=1,位+石)@一方)=£一片=0,可得五+1)10一石)，即可得解；

(2)由ka+京与『-k方的模相等，利用模的坐标计算公式计算化简得cos(a-夕)=0,再由0<a<

<71,可得结论.

8.答案：解：(1)・・"(。)=记・元

=2sin0cos0—(2+m)Qsin9+cos。)，

令t=sind+cosO=V2sin(0+》，te［-V2,V2］,

•••2sindcos6=t2—1,

2

当m=1时，g(m)=(t-3t-l)min,

y=t2-3t-1对称轴为％=|>V2,在［一或，/］上单调递减,

t=或时，«2-3t-1)疝„=1-3或，

g(?n)=1—3V2.

(2)令F(t)=t2-(m+2)t—l,tG［-V2.V2］，

对称轴为£=与+1,

①当1+1W一或，即mW—2或—2时，

F(t)在［-夜,a］上单调递增，

•••F(t)min=尸(一&)=(m+2)V2+1;

②当一/<£+l<或，即一2或-2<m<2近一2时，

F(t)在［―1］上单调递减，在［—三+L@上单调递增，

mm2+4m+8

-F(t)min=F(5+1)=-------------------；

③当三+12方，即m22尤一2时，

F(t)在［-e,企］上单调递减，

•••?⑷加”=?(或)=1-(加+2)V2.

((rn+2)V2+1,?n<—2>/2-2

...g(m)='空詈”,_2a-2cm<2a-2.

ll-(m+2)V2,m>272-2

(3)/i(%i+x2)=九Qi)+62)，

可令Xi=x2=0,可得h(0)=0,

由.—x,x2——x,可得/i(x)+/i(—x)-0.

可得函数/i(x)为R上的奇函数，

•••使不等式九(/(。))-+M3+2m)>。对所有。e［0,3恒成立，

sine/+cost//

・•・只需使不等式

4

h(2sin9cos0-(2+m)(sin0+cosO)—cos0^

+九(3+2m)>0对所有。G[0,自恒成立，

4

・•・h(2sin0cosd-(2++cos0)—Cos3^

>-h(3+2m)=h(—3—2m),

••・函数九(%)为定义在R上的增函数，

4

・••2sin0cos0-(2+m)(sm0+cos®)———---------

Sina+COSa

>—3—2771,

2

令t=sin9+cosd9••2sin0cos0=t—1,

•He呜，

t=V2sin(0+6[1,V2],

•••原问题等价于t?—1—(m+2)t—^+3+2m>0对te[1,夜]恒成立，

•••(2-t)m>2t-t24-i-2对te[1,恒成立,

,**2—£>0,

・•・m>---------------=七+：'

2-t

设。（t）=t+：,任取ti」2E［1,回，且£1<今，

22

・•♦8(G)-9(£2)=+__f2__

rir2

2(t2T1)=七2-2)

=G一切+

£"2

1<t!<t2<V2,

•••Q1-t2)<0,t1-t2>0,tx-t2-2<0,

<p(ti)-8(切>°，即租G)><p(t2)>

<p（c）=£+：在［1,四］上为减函数，

（或由对勾函数的图象和性质直接可得减函数）

0（t）max—8（1）=3,

m>3时，不等式八（/（。））一Kme：c°se）+以3+2m）>。对所有。G恒成立.

解析：本题综合考查了三角函数综合，函数奇偶性和单调性的应用，二次函数最值，向量数量积的

坐标表示，考查恒成立问题，属于难题.

(1)把m=l,代入相应的向量坐标表示式，然后，利用向量数量积的坐标表示，化简函数解析式即

可；

(2)转化成二次函数问题，对对称轴与区间[-式,企]的位置关系进行讨论；

(3)利用函数八(x)为R上的奇函数，得到/i[2s)8cos。-(2+m)(sin0+cos。)-~-]>h(-3-

sintz+cosc/

2m),然后，再根据函数的单调性，转化成2sin8cos0-(2+m)(sin6+cosd)~~->-3-2m,

sintz+costz

2

最后，利用换元法令t=sine+cose,转化成7n>t(2-二(2-t)=t+|,求解函数"(t)=t+：在[1,a]

的最大值为3,从而解决问题.

9.答案:解：(1)因为，=(cos%,sin%),b=(3,-V3),a//b，

所以一gcosx=3sinx.

若cos%=0,

则sin%=0,与siM%+cos2%=1矛盾，

故cosxW0.

于是tanx=——

3

又％c[0,7r],所以X=

o

(2)/(%)=a-b=(cosx,sinx)•(3,—V3)

=3cosx—V3sinx

=2V3cos(x+-).

6

因为％6[0,n],

所以x+旌冷冬,

从而一1<COS（X4-^）<y.

于是，当*+・=*，即x=0时，/(久)取到最大值3；

当X+(=兀,即x=?时,/。)取到最小值-2Vl.

解析：本题考查向量共线、数量积的概念及运算、平面向量的坐标运算、同角三角函数的基本关系、

辅助角公式、三角函数的值域.

(1)利用向量共线的坐标运算法则，结合同角三角函数的基本关系求解；

(2)利用数量积的坐标运算、辅助角公式化简“X),再结合x的范围求解.

10.答案：解：(1)由题五1b,所以五•b=sinB+cos。=0,

从而tern。==一1,解得。-£；

(2)因为司+b=(sin0+1,1+cos0)>

所以伍+石)2=+I)2+(1+cosG)2=3+2&sin(0+》

因为所以一曰<。+9<?，

22444

从而。=£时，0+方)2=3+2或=(1+或)2为最大值，

所以I方+司的最大值是1+e.

解析：本题考查了平面向量的数量积与模长公式的应用问题，向量的垂直，也考查了三角函数的性

质，是中档题.

(1)利用向量垂直数量积为0求解即可.

(2)求得五+B=(sbiO+Ll+cos。)，结合三角函数的性质可得答案.

11.答案：解：(I)依题意，点P的轨迹是以M，N为焦点的双曲线的右支，

所求方程为：y—y=1(X>0)

(H)当直线AB的斜率不存在时，设直线AB的方程为x=%0,

此时2(如J亚一2),

B(x0,—>JXQ-2)(OA•OB=2,

当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为y=kx+b,

代入双曲线方程式一乃=1中，得：

22

(1—k2)%2—2kbx—Z?2-2=0

依题意可知方程1。有两个不相等的正数根，设4(%i，yi)，F(x2,y2),

4=4k2b2-4(1-/c2)•(-b2-2)>0

与+必=玄>0,

♦+2「

{X1X2=目>°

解得|k|>1又瓦？•OF=Xi%2+y，2

=xtx2+(/c%i+b)(kx2+b)

22

=(1+fc)%iX2+kb(X]+x2)+b

综上可知而•南的最小值为2.

解析：本题考查双曲线的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意公式的合理运用.

(I)依题意，点P的轨迹是以M,N为焦点的双曲线的右支，由此能求出其方程.

(11)当直线48的斜率不存在时，设直线A8的方程为x=尤0,此时4(沏，扃=I)，8(沏,一宿二^)，

OA-OB=2,当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为)/=依+6,代入双曲线方程9一?=1

中，得(1一k2)x2-2kbx-b2-2=0.依题意可知方程有两个不相等的正数根，由此入手能求出雨.

布的最小值.

12.答案：解：(1)根据题意，可得

/(%)=sinx—V3cosx+2=2(sinxcos^—cosxsin+2=2sin(x—三)+2.

•.■xG[y,y],.-.x-^e[p7T],Asin(x-^)e[0,1].

当时，f(x)的最小值是2；当“费时，/(x)的最大值是4.

(2)•••/(x)=2s讥(x+2的周期7=2”，0=27r.

由此可得万-b=2+cosa•tan(a+§)=2+cosatan(a+兀)=2+sina—|>解之得sina=

2Ms20-加成(Q+0)=2CO£Q一加n2g+2TT)=2852a-的3=26皿8—耐=2o

c(wa-sinacosa-sinacos(i-sinnccsa—sina

•,0<a<-,•cosa=\/l-sin2a=—

2cos%—«in2(a+/?),、4\/2

/.------------：------=2coesn=——

cosa—sina3

解析：本题将一个三角函数式化简，求函数在闭区间上的最值，并且在已知向量数量积的情况下，

求三角函数分式的值.着重考查了三角恒等变换公式、三角函数的图象与性质、同角三角函数的基

本关系与诱导公式等知识，属于中档题.

⑴根据辅助角公式化简，可得/(X)=2sin(x-=)+2.再由X£摩拳，利用正弦函数的图象与性质

加以计算，可得f(x)的最小值与最大值;

(2)根据三角函数周期公式得0=2兀，利用向量的数量积公式与正弦的诱导公式算出五7=2+

sina=解得sina=g从而得出cosa=2.再利用三角函数的诱导公式化简，可得原式

333

。40

=2coMc----•

13.答案：解：(1)由图可知彳？=而+睨=同+：而=丘+笆.

因为E是CD的中点,

所以荏=白冠+苑)=泊+笆+石)=7+1石.

(2)因为BC〃AD,ZkABC为等边三角形，BC=1,

所以NBAD=120。，AB=1,

所以五•b=|a||b|cos4BAD=1X3x(—=—|,

所以说•丽=G五+|3)-五=3五2+|五.3=1*1+：*(_|)=_%

I荏I=J(1a+|K)2=^a2+la-b+^b2=J；x1+1x(-j)+ix9=手.

设荏与用的夹角为。，

则cos”搭篇=金=-鲁，

2

所以在荏与荏夹角的余弦值为一等

解析：本题考查了向量的三角形法则、数量积的运算性质、向量的夹角公式，考查了推理能力和计

算能力，属于中档题.

(1)利用向量加法运算，直接计算前=南+反:而，荏=)而+而)即可.

(2)利用向量的数量积性质和模的计算公式可得荏•四=—5\AE\=JG方+|尤)2="，再利用

向量夹角公式，即可计算荏与荏夹角的余弦值.

14.答案：解：(1)；屁=|直+3同=1万+3而，

_,1____________

■.DE-CA=(^CA+3函CA

=式。4+CB-CA)=40,

：.CB-CA=20)解得：COSN4cB=就最।

0<4ACB<n,sin^ACB=Vl-cos2/.ACB=—;

4

(2)•••BP=-BA+-ED=-CA--CB,

kJ3226

CP=-CA+-DE=-CB+-CA,

3262

__»>1,5»11_>

**•CP,BP=,CA——■CB^(—CB+—Ci4)

2662

1—>25—>21―>―>

=-CA-—CB--CA-CB

4363

CL802085

=25-------------=—.

939

解析：本题考查了向量的线性运算，考查三角函数问题，属于中档题.

(1)根据向量的线性运算求出cos乙4c8的值，从而求出sin乙4cB的值即可；

(2)求出前，而，求出而•前的值即可.

15.答案：解：

(1)・・・。为8。中点，；.而+方=2衣，

又尸为4c中点，・・・1？=2前；

2PQ=2CQ-2CP=(iCBCD)-CA=CB+CDAC=AB+CD^

又向量而与几共线，

设向量而=羌而，

则2PQ=(1+2)48,

.••花=手/①,

又梯形4BCD中।6|4|日)|,4H-1,

PQ//AB'即PQ//AB；

(2)r向量几与而反向，且|4B|=3\CD\-

所以n=13c3，即，=一《代入①式，

得前=ti易=工几，

"23

•••PQ：AB=：.

解析：本题考查平面向量在几何方面的应用，考查平面向量的线性运算以及共线定理，属于中档题.

(1)用向量表示CQ,CP，得出向量PQ与4B、CD的关系，再根据向量CD与共线，得出向量4B与PQ

共线即可；

(2)根据向量4B与CD反向，且=3|CD|得出向量PQ与4B的数量关系，即得尸。：A3的值.

16.答案：(1)由题可知：m-n=O

则ccosB+(2cos2g_1)(b-2a)=0

即ccosB+cosC(b—2d)=0

则sinCcosB+cosC(sinB-2sinA)=0

化简可得:sin(B+C)=2sinylcosC

所以sinA=2sin4cosC,又sin/H0

所以cost?=又CG(0,7T)

所以C=g；

(2)而=而，可知点。是48的中点

所以而+［下，

—>21―,21—>21—>—>

CD=-CA4--CB+-CA-CB

442

因为|而|=近,C=7

则7=-b2+-a2-V-abcosC

442

即/?2+a?+血=28①

由c?=a?+/)2-2abeosC,又c=2百

所以化简可得

匕2+a?—ab=12②

①-②可得：ab=8

所以S/L48c=gabsinC=2V3

解析：本题重在考查正弦定理与余弦定理的应用，，还考查了向量在三角形中的应用，属中档题.

(1)根据向量垂直用坐标表示，结合正弦定理，把边化角，可得结果.

(2)将而用表示，并算得而之，然后利用余弦定理，结合(1)的结论以及三角形面积公式，

可得结果.

17.答案:解：(1)当m=l,6杉时,a=(2,1)，b=(1,0)

a—b=(1,1)，•••\a-b\=V2

TTL

t-a-b22V5

cos<a,b>=-------=——=——

\a\-\b\遮5

(2)/(0)=a-K+sin04-cos0

=27n(sin。+cos。)+2msin0cos0+sin。4-cos0

令sin。+cos0=t,则2sin8-cos0=t2—1,te[—VXV2]

设九(t)=2mt+mt2—m+t=mt2+(2m+l)t—m,tG[—yj2,V2]

①当?n=0时,/l(t)=t，/l(t)min=h(—夜)=一夜

②当m<0时，函数九(t)的对称轴为t=一(1+亲)(或£=一驾3

当一(1+用>0(或一样詈>0),即0>m>一决寸，

%(t)min=h(-V2)=(1-2V2)m-V2

当一(1+£)《。(或一嘿《。)，即加《一泄，

h(t)min=h(V2)=(2&+l)m+A/2

(1—2y/2)m—V2,——<m<0

]

{(1+2+V2,TH4-2

解析：本题考查了向量的模、向量的夹角、向量的数量积，考查了学生的运算能力

(1)由向量的模、向量的夹角公式可得12-3|及五与方夹角的余弦值；

(2)由/(。)=a-K+sin0+cos6=2m(sin0+cos。)+2msin0cos8+sin®+cos。，令sin。+

cos。=t,结合换元法及二次函数的图象性质可得到g(m)的表达式

18.答案：解.而=而一市=(1,—3)，JC=0C-M=(4-m,-4-m)-BC=0C-OB=(_3-

m,-1—m),

(1”.•点A,B,C共线，.-.AB//AC，

・•・—3(4—m)=1­(—4—m),

解得m=2；

(2)①若乙4为直角则而1AC，

4—m+3(44-m)=0,

解得m=-8；

②若NB为直角则荏1BC,

・•・3—6+3(1+m)=0,

解得TH=-3；

③若〃为直角则前1前,

・•・(4—m)(3—m)+(4+m)(l4-m)=0,

方程无解.

综上，当m=-8或m=-3时，AABC为直角三角形.

解析：本题考查平面向量共线的充要条件，向量垂直的判断与证明，向量的数量积，平