江西省九江市都昌县2024届九年级下学期期中阶段性学情评估数学试卷(含解析)

2023－2024学年度下学期阶段性学情评估九年级数学一、单选题（本题共6小题，每小题3分，共18分）1.下列各数中，最小的数是（）A. B. C. D.【答案】B解析：解：根据负数小于正数，这里的为唯一的负数，所以它最小．故选：B．2.国家外汇管理局统计数据显示，截止2024年1月末，我国外汇储备规模32193亿美元，32193亿用科学记数法可表示为（）A. B. C. D.【答案】A解析：解：32193亿用科学记数法表示为．故选：A．3.计算的结果是（）A. B. C. D.【答案】C解析：解：；故选C．4.小琳过14周岁生日，父母为她预定的生日蛋糕如图所示，它的主视图应该是（）A. B. C. D.【答案】B解析：解：生日蛋糕可以看作是三个圆柱，从正面看，它的正视图应该是三个大小不一的矩形．从四个选项中看，只有B选项符合这个条件．故选B．5.若m，n是方程的两个实数根，则的值为（）A.2023 B. C.2024 D.2022【答案】D解析：m，n是方程的两个实数根，，，，故选：D．6.对于二次函数，下列说法错误的是（）A.对称轴为直线B.一定经过点C.当时，y随x增大而增大D.当，时，．【答案】C解析：解：A.，对称轴为直线，结论正确，故不符合题意；B.，当时，解得，，过定点，，结论正确，故不符合题意；C.由于不知道还是，无法判断当时，y随x增大而增大；结论错误，故符合题意；D.当时，，时，．故选：C．二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分）7.分解因式：x3﹣xy2=_____．【答案】x（x+y）（x-y）解析：解：x3-xy2=x（x2-y2）=x（x+y）（x-y），故答案为：x(x+y)(x-y)．8.我国古代数学名著（孙子算经）有估算方法：“方五，邪（通“斜”）七．见方求邪，七之，五而一．”译文为：如果正方形的边长为五，则它的对角线长为七．已知正方形的边长，求对角线长，则先将边长乘以七再除以五．若正方形的边长为1，由勾股定理得对角线长为，依据《孙子算经》的方法，则它的对角线的长是________________．【答案】解析：解：根据题意可得：正方形边长为1的对角线长故答案为.9.如图，已知，，垂足为点E，，则的度数为________．【答案】##125度解析：解：∵，∴，又，∴，∵，∴，故答案为：．10.为迎接2024年体育中考，甲、乙两位同学参加男生1000米跑训练，体育老师根据训练成绩算出他们的成绩的方差分别为，，则________（填“甲”或“乙”）的成绩较稳定．【答案】甲解析：解：，方差小的为甲，成绩比较稳定的是甲．故答案为：甲．11.已知为正整数，当不等式与都成立时，的值为______．【答案】解析：解：联立不等式得，，解得，∵为正整数，∴，故答案为：．12.在平面直角坐标系中，A、B、C三点的坐标分别为，，，点P在x轴上，点D在直线上，若，于点P，则点P的坐标为________．【答案】，，解析：解：，B两点的坐标分别为，，轴,点D在直线上，，，，如图：（Ⅰ）当点D在处时，要使，即使，，即，解得：，，（Ⅱ）当点D在处时，，，的中点，，点P为以E为圆心，长为半径的圆与x轴的交点设，则，即，解得：，综上所述：点P的坐标为或或.故答案为：，，.三、解答题（本题共5小题，每小题6分，共30分）13.（1）计算：（2）解方程组：【答案】（1）（2）解析：（1）解：，（2）解：②①得：，将代入①得，解得：，则方程组的解为：．14.先化简，再求值：，再从的范围内选取一个你喜欢的a值代入求值．【答案】，当时，原式；解析：解：，∵要使分式有意义，∴，∴且，∵∴当时，原式．15.在“春节”期间，加开从赣州到南昌的豪华旅游列车，途中停靠站为泰和、吉安，现有互不认识的甲，乙两人从赣州上车．（1）求甲在吉安下车的概率．（2）用树形图或列表法求甲乙两人中至少有一人在吉安站下车的概率．【答案】（1）；（2）．解析：解：（1）∵在“春节”期间，加开从赣州到南昌的豪华旅游列车，途中停靠站为泰和、吉安，南昌，共三种等可能结果，其中甲在吉安下车的有一种等可能结果，∴甲在吉安下车的概率为：；（2）首先根据题意画出树状图，得：由树状图可知，共有9种等可能的结果，其中甲乙两人中至少有一人在吉安站下车的有5种情况，即（泰和，吉安），（吉安，泰和），（吉安，吉安），（吉安，南昌），（南昌，吉安），∴甲乙两人中至少有一人在吉安站下车的概率为：．16.如图，正方形的边长2，点E，F分别是、的中点，仅用无刻度的直尺分别按要求作图．（1）在图1的正方形中，以为边作一个三角形，使其面积为1；（2）在图2的正方形中，以为边作四边形，使其面积为1．【答案】（1）见解析（2）见解析【小问1解析】如图1所示，即为所求；【小问2解析】如图2所示，四边形即为所求（答案不唯一）．17.如图，反比例函数的图象与正比例函数的图象相交于、B两点，点C在第四象限，BC∥x轴．（1）求k的值；（2）以、为边作菱形，求D点坐标．【答案】（1）k=2；（2）D点坐标为(1+，2)．解析：（1）根据题意，点在正比例函数上，故将点代入正比例函数中，得a=2，故点A的坐标为(1,2)，点A又在反比例函数图像上，设反比例函数解析式为，将A(1,2)代入反比例函数解析中，得k=2．故k=2．（2）如图，A、B为反比例函数与正比例函数的交点，故可得，解得，，如图，已知点A坐标为(1,2)，故点B坐标为(－1，－2)，根据两点间距离公式可得AB=，根据已知条件中四边形ABCD为菱形，故AB=AD=，AD∥BC∥x轴，则点D坐标为(1+，2)．故点D坐标为(1+，2)．四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分）18.去年夏天，全国多地出现了极端高温天气，某商场抓住这一商机，先用3200元购进一批防紫外线太阳伞，很快就销售一空，商场又用8000元购进了第二批这种太阳伞，所购数量是第一批的2倍，但单价贵了4元，商店在销售这种太阳伞时，每把定价都是50元，每天可卖出20把．（1）求两次共购进这种太阳伞多少把；（2）商场为了加快资金的回笼速度，打算对第二批太阳伞进行降价销售，经市场调查，如果这种太阳伞每把降价1元，则每天可多售出2把，这种太阳伞降价多少元时，才能使商场每天的销售额最大？每天最大的销售额是多少元？【答案】（1）两次共购进这种太阳伞600把（2）太阳伞每把降价20元时，才能使商场每天的销售额最大，商场每天的最大销售额是1800元【小问1解析】解：设第一次购进x把这种太阳伞，则第二次购进把这种太阳伞．由题意得，，解得，经检验是原方程的解，则，答：两次共购进这种太阳伞600把；【小问2解析】设商场每天的销售额为y元，太阳伞每把降价x元．由题意得，化简得：，当时y有最大值，y最大值，答：太阳伞每把降价20元时，才能使商场每天的销售额最大，商场每天的最大销售额是1800元．19.近年来，我国很多地区持续出现雾霾天气．某社区为了调查本社区居民对雾霾天气主要成因的认识情况，随机对该社区部分居民进行了问卷调查，要求居民从五个主要成因中只选择其中的一项，被调查居民都按要求填写了问卷．社区对调查结果进行了整理，绘制了如下不完整的统计图表．被调查居民选择各选项人数统计表雾霾天气的主要成因频数（人数）A大气气压低，空气不流动mB地面灰尘大，空气湿度低40C汽车尾气排放nD工厂造成的污染120E其他60请根据图表中提供的信息解答下列问题：（1）填空：m=________，n=________，扇形统计图中C选项所占的百分比为________．（2）若该社区居民约有6000人，请估计其中会选择D选项的居民人数．（3）对于“雾霾”这个环境问题，请你用简短的语言发出倡议．【答案】（1）80；100；25%；（2）1800人；（3）见解析.解析：解：（1）根据题意，本次调查的总人数为（人），∴，，则扇形统计图中C选项所占的百分比为．故答案为：80；100；25%；（2）解：（人），答：会选择D选项的居民人数约为1800人（3）解：根据所抽取样本中持C、D两种观点的人数占总人数的比例较大，所以倡议今后的环境改善中严格控制工厂的污染排放，同时市民多乘坐公共汽车，减少私家车出行的次数．20.如图1是广场上健身的三联漫步机，当人踩在踏板上，握在扶手，像走路一样抬腿，就会带动踏板连杆绕轴旋转，漫步机踏板静止时其侧面示意图可以抽象为如图2，其中，，．（1）求点A到地面高度；（2）如图3，当踏板从点E旋转到点时，测得，求此时点距离地面的高度．（结果精确到）（参考数据：，，，）【答案】（1）点A到地面的高度约为；（2）点距离地面的高度约为．【小问1解析】解：（1）过点E作，垂足为点，如图，即，∵，，∴，∵在中，，，∴答：点A到地面的高度约为．【小问2解析】解：过点作于点H，过点作于点G．如图，由旋转的性质得∵在中，，，，，∴答：点距离地面的高度约为．五、（本大题共2小题，每小题9分，共18分）21.在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BE平分∠ABC，D是边AB上一点，以BD为直径的⊙O经过点E，且交BC于点F．（1）求证：AC是⊙O的切线；（2）若BF＝6，⊙O的半径为5，求CE的长．【答案】（1）详见解析；（2）4解析：（1）证明：连接OE．∵OE＝OB，∴∠OBE＝∠OEB．∵BE平分∠ABC，∴∠OBE＝∠EBC，∴∠EBC＝∠OEB，∴OE∥BC，∴∠OEA＝∠ACB．∵∠ACB＝90°，∴∠OEA＝90°∴AC是⊙O的切线；（2）解：连接OE、OF，过点O作OH⊥BF交BF于H，∵OH⊥BF，．∴四边形OECH为矩形，∴OH＝CE．∵，BF＝6，∴BH＝3．在Rt△BHO中，OB＝5，∴OH＝＝4，∴CE＝4．22.我们约定，在平面直角坐标系中两条抛物线有且只有一个交点时，我们称这两条抛物线“共点抛物线”，这个交点为“共点”．（1）判断抛物线与是“共点抛物线”吗？如果是，直接写出“共点”坐标；如果不是，请说明理由．（2）抛物线与是“共点抛物线”，且“共点”在x轴上，求抛物线的函数关系式．（3）抛物线：与：是“共点抛物线”，求m的值．【答案】（1）是，（2）（3）m的值为0或4【小问1解析】解：联立方程组，解得，∴抛物线与是“共点抛物线”，“共点”坐标【小问2解析】解：对于，当时，，解得或，∴抛物线与x轴交点为或，∵抛物线与是“共点抛物线”，且“共点”在x轴上，∴把代入，得，不符合题意，舍去；把代入，得，解得，∴；【小问3解析】解：联立方程组，∴，∵抛物线：与：是“共点抛物线”，∴方程有两个相等的实数根，∴，解得或4．六、（本题共12分）23如图1，正方形ABCD和正方形AEFG，连接DG，BE．（1）发现：当正方形AEFG绕点A旋转，如图2，①线段DG与BE之间的数量关系是；②直线DG与直线BE之间的位置关系是．（2）探究：如图3，若四边形ABCD与四边形AEFG都为矩形，且AD＝2AB，AG＝2AE，证明：直线DG⊥BE．（3）应用：在（2）情况下，连结GE（点E在AB上方），若GE∥AB，且AB＝，AE＝1，则线段DG是多少？（直接写出结论）【答案】（1）BE＝DG，BE⊥DG；（2）证明见解析；（3）解析：（1）①∵四边形ABCD和四边形AEFG是正方形，∴AE=AG，AB=AD，∠BAD=∠EAG=90°，∴∠BAE=∠DAG，在△ABE和△ADG中，，∴△ABE≌△ADG（SAS），∴BE=DG；②如图2，延长BE交AD于G，交DG于H，由①知，△ABE≌△ADG，∴∠ABE=∠ADG，∵∠AGB+∠ABE=90°，∴∠AGB+∠ADG=90°，∵∠AGB=∠DGH，∴∠DGH+∠ADG=90°，∴∠DHB=90°，∴BE⊥DG（2）∵四边形ABCD与四边形AEFG都为矩形，∴∠BAD=∠DAG，∴∠BAE=∠DAG，∵AD=2AB，AG=2AE，∴，∴△ABE∽△ADG，∴∠ABE=∠ADG，∵∠AGB+∠ABE=90°，∴∠AGB