第24讲 抛物线的简单几何性质6种常见考法归类原卷版-新高二数学暑假自学课讲义

第24讲抛物线的简单几何性质6种常见考法归类1.了解抛物线的几何图形及简单几何性质．2.通过抛物线方程的学习，进一步体会数形结合的思想，了解抛物线的简单应用.知识点1抛物线的简单几何性质类型y2＝2px(p>0)y2＝－2px(p>0)x2＝2py(p>0)x2＝－2py(p>0)图象性质焦点Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)，0))Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(p,2)，0))Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(p,2)))Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，－\f(p,2)))准线x＝－eq\f(p,2)x＝eq\f(p,2)y＝－eq\f(p,2)y＝eq\f(p,2)范围x≥0，y∈Rx≤0，y∈Rx∈R，y≥0x∈R，y≤0对称轴x轴y轴顶点O(0,0)离心率e＝1开口方向向右向左向上向下注：1.范围当x>0时，抛物线y2＝2px(p＞0)在y轴的右侧，开口向右，这条抛物线上的任意一点M的坐标(x，y)的横坐标满足不等式x≥0；当x的值增大时，|y|的值也增大，这说明抛物线向右上方和右下方无限延伸．抛物线是无界曲线．2．对称性观察图象，不难发现，抛物线y2＝2px(p＞0)关于x轴对称，我们把抛物线的对称轴叫做抛物线的轴．抛物线只有一条对称轴.3．顶点抛物线和它的轴的交点叫做抛物线的顶点．抛物线的顶点坐标是坐标原点(0,0)．4．离心率抛物线上的点M到焦点的距离和它到准线的距离的比，叫做抛物线的离心率．用e表示，e＝1.5、只有焦点在坐标轴上，顶点是原点的抛物线的方程才是标准方程．6、影响抛物线开口大小的量是参数p，p值越大，抛物线的开口越大，反之，开口越小．7、抛物线的标准方程与对称性、焦点位置的关系y2＝ax一次项为x项，x轴为对称轴a>0时，焦点在x轴正半轴上，开口向右a<0时，焦点在x轴负半轴上，开口向左x2＝ay一次项为y项，y轴为对称轴a>0时，焦点在y轴正半轴上，开口向上a<0时，焦点在y轴负半轴上，开口向下8、抛物线的焦半径公式如下：（为焦准距）（1）焦点在轴正半轴，抛物线上任意一点，则；（2）焦点在轴负半轴，抛物线上任意一点，则；（3）焦点在轴正半轴，抛物线上任意一点，则；（4）焦点在轴负半轴，抛物线上任意一点，则.知识点2直线与抛物线的位置关系设直线l：y＝kx＋m，抛物线：y2＝2px(p>0)，将直线方程与抛物线方程联立整理成关于x的方程k2x2＋2(km－p)x＋m2＝0.(1)若k≠0，当Δ>0时，直线与抛物线相交，有两个交点；当Δ＝0时，直线与抛物线相切，有一个交点；当Δ<0时，直线与抛物线相离，没有公共点．(2)若k＝0，直线与抛物线有一个交点，此时直线平行于抛物线的对称轴或与对称轴重合．注：(1)直线与抛物线有一个公共点是直线与抛物线相切的必要不充分条件．(2)研究直线与抛物线的关系时要注意直线斜率不存在的情况．知识点3弦长问题过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点的直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，那么线段AB叫做焦点弦，如图：设AB是过抛物线y2＝2px(p>0)焦点F的弦，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝x1＋x2＋p.注：(1)x1·x2＝eq\f(p2,4).(2)y1·y2＝－p2.(3)|AB|＝x1＋x2＋p＝eq\f(2p,sin2α)(α是直线AB的倾斜角)．(4)eq\f(1,|AF|)＋eq\f(1,|BF|)＝eq\f(2,p)为定值(F是抛物线的焦点)．（5）求弦长问题的方法①一般弦长：|AB|＝eq\r(1＋k2)|x1－x2|，或|AB|＝eq\r(1＋\f(1,k2))|y1－y2|.②焦点弦长：设过焦点的弦的端点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝x1＋x2＋p.1、用待定系数法求抛物线方程的步骤注：求抛物线的方程时要注意抛物线的焦点位置，不同的焦点设出不同的方程．2、把握三个要点确定抛物线的简单几何性质(1)开口：由抛物线标准方程看图象开口，关键是看准一次项是x还是y，一次项的系数是正还是负．(2)关系：顶点位于焦点与准线中间，准线垂直于对称轴．(3)定值：焦点到准线的距离为p；过焦点垂直于对称轴的弦(又称为通径)长为2p；离心率恒等于1.3、利用抛物线的性质可以解决的问题(1)对称性：解决抛物线的内接三角形问题．(2)焦点、准线：解决与抛物线的定义有关的问题．(3)范围：解决与抛物线有关的最值问题．(4)焦点弦：解决焦点弦问题．4、抛物线焦点弦的相关结论(1)已知AB是过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点的弦，F为抛物线的焦点，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则：(1)y1y2＝－p2，x1x2＝eq\f(p2,4)；(2)|AB|＝x1＋x2＋p＝eq\f(2p,sin2θ)(θ为直线AB的倾斜角)；(3)S△ABO＝eq\f(p2,2sinθ)(θ为直线AB的倾斜角)；(4)eq\f(1,|AF|)＋eq\f(1,|BF|)＝eq\f(2,p)；(5)以AB为直径的圆与抛物线的准线相切．(2)当直线经过抛物线的焦点，且与抛物线的对称轴垂直时，直线被抛物线截得的线段称为抛物线的通径，显然通径长等于2p.5、直线与抛物线的位置关系的应用将直线方程与抛物线方程联立，转化为一元二次方程，可通过直线与抛物线的位置关系转化为对判别式Δ或者对向量数量积的限制条件，利用限制条件建立不等式或等式，利用根与系数的关系运算求解．考点一：抛物线方程及其几何性质（一）求抛物线的标准方程例1．（2023·广东广州·统考三模）直线经过点且与抛物线交于两点．若，求抛物线的方程；变式1．（2023秋·云南大理·高二统考期末）在平面直角坐标系中，已知抛物线：经过点，直线：与抛物线C交于M，N两点，求抛物线C的方程；变式2．（2023·河南·襄城高中校联考三模）已知抛物线的顶点在坐标原点，焦点在轴的正半轴上，圆经过抛物线的焦点，求的方程.（二）抛物线的几何性质的应用例2．（2024秋·四川成都·高三成都七中校考阶段练习）直线与抛物线交于、两点，若，其中为坐标原点，则的准线方程为（）A． B． C． D．变式1．（2023·天津滨海新·天津市滨海新区塘沽第一中学校考三模）点F是抛物线的焦点，A为双曲线C：的左顶点，直线AF平行于双曲线C的一条渐近线，则实数b的值为（

）A．2 B．4 C．8 D．16变式2．（2023春·上海宝山·高三上海交大附中校考阶段练习）已知抛物线上一点到其焦点的距离为5，双曲线的左顶点为A，若双曲线的一条渐近线与直线AM平行，则实数a的值为（

）A． B． C． D．变式3．（2023秋·江苏盐城·高二盐城市伍佑中学校考期末）已知为抛物线的焦点，过且斜率为1的直线交于，两点，若，则（

）A．1 B．2 C．3 D．4变式4．（陕西省汉中市2022-2023学年高二下学期期末文科数学试题）过圆锥曲线的焦点且与焦点所在的对称轴垂直的弦被称为该圆锥曲线的通径，清代数学家明安图在《割圆密率捷法》中，也称圆的直径为通径.已知圆的一条通径与抛物线的通径恰好构成一个正方形的一组邻边，则（

）A． B．1 C．2 D．4考点二：焦点弦问题例3．（2023春·安徽·高二统考期末）已知抛物线的焦点为，过的动直线与抛物线交于两点，满足的直线有且仅有一条，则．变式1．【多选】（2023春·广东江门·高二统考期末）已知抛物线的焦点为F，过焦点F的直线l交抛物线于A，B两点（其中点A在x轴上方），则（

）A．B．弦AB的长度最小值为lC．以AF为直径的圆与y轴相切D．以AB为直径的圆与抛物线的准线相切变式2．【多选】（2023·全国·统考高考真题）设O为坐标原点，直线过抛物线的焦点，且与C交于M，N两点，l为C的准线，则（

）．A． B．C．以MN为直径的圆与l相切 D．为等腰三角形变式3．【多选】（2023·海南海口·海南华侨中学校考模拟预测）设为抛物线：（）的焦点，为坐标原点，为上一点，且，则（

）A．B．C．直线的斜率为D．的面积为变式4．【多选】（2023春·浙江杭州·高二学军中学校考阶段练习）圆锥曲线的弦与过弦端点的两条切线所围成的三角形叫做“阿基米德三角形”.如图是抛物线的阿基米德三角形，弦AB经过焦点F，又BC，AD均垂直于准线l，且C，D为垂足，则下列说法正确的有（

）A．以AB为直径的圆必与准线l相切于M点B．为定值4C．为定值D．有最小值变式5．【多选】（2023春·广东茂名·高二统考期末）已知抛物线的焦点为，准线为为抛物线上任意一点，点为在上的射影，线段交轴于点为线段的中点，则（

）A．B．直线与抛物线相切C．点的轨迹方程为D．可以是直角变式6．（2023春·广西河池·高二校联考阶段练习）抛物线的焦点为，过焦点的直线与抛物线相交于两点，则下列说法一定正确的是（

）A．的最小值为2B．线段为直径的圆与直线轴相切C．为定值D．若，则考点三：直线与抛物线的位置关系直线与抛物线位置关系的应用例4．（2024·四川成都·石室中学校考模拟预测）已知命题p：，命题q：直线与抛物线有两个公共点，则p是q的（  ）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件变式1．（2023春·四川资阳·高二统考期末）已知点A，B在抛物线上，为坐标原点，为等边三角形，则的面积为（

）A． B． C． D．变式2．（2023春·上海奉贤·高二统考期末）已知抛物的焦点为F，准线为l，点P在C上，直线PF交y轴于点Q，若，则P到准线l的距离为.变式3．（2023秋·四川成都·高二成都七中校考期末）已知抛物线，过点作直线交于两点、，分别过、作的切线交于点.若，则（

）A． B． C．或 D．或变式4．（2023春·四川达州·高二统考期末）已知是抛物线上的点．当时，．(1)求E的标准方程；(2)F是E的焦点，直线AF与E的另一交点为B，，求的值．变式5．（2023春·上海黄浦·高二统考期末）在平面直角坐标系中，抛物线上一点的横坐标为4，且点到的距离为5，(1)求抛物线的方程；(2)若斜率为1的直线交抛物线于、两点（位于对称轴异侧），且，求直线的方程.变式6．（2023·陕西咸阳·武功县普集高级中学校考模拟预测）已知点是抛物线：的焦点，纵坐标为2的点在上，以为圆心、为半径的圆交轴于，，.(1)求抛物线的方程；(2)过作直线与抛物线交于，，求的值.变式7．（2023春·山西长治·高二统考期末）已知抛物线C：（）上一点（）与焦点的距离为2.(1)求p和m；(2)若在抛物线C上存在点A，B，使得，设的中点为D，且D到抛物线C的准线的距离为，求点D的坐标.（二）弦长问题例5．（2023春·四川·高二统考期末）已知直线与抛物线相交于、两点.(1)若直线过点，且倾斜角为，求的值；(2)若直线过点，且弦恰被平分，求所在直线的方程.变式1．【多选】（2023秋·高二单元测试）设F为抛物线C：的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交C于A，B两点，则（

）A． B．C． D．变式2．（2023·湖南长沙·周南中学校考二模）根据抛物线的光学性质，从抛物线的焦点发出的光，经抛物线反射后光线都平行于抛物线的轴，已知抛物线，若从点Q（3，2）发射平行于x轴的光射向抛物线的A点，经A点反射后交抛物线于B点，则.变式3．（2023春·广东汕尾·高二统考期末）已知抛物线过点（）．(1)求C的方程；(2)若斜率为的直线过C的焦点，且与C交于A，B两点，求线段的长度．变式4．（2023秋·高二单元测试）已知抛物线，点在抛物线上，且点到抛物线的焦点的距离为.(1)求；(2)设圆，点是圆上的动点，过点作圆的两条切线，分别交抛物线于两点，求的面积的最大值.变式5．（2023春·四川达州·高二统考期末）已知抛物线上任意一点M到焦点F的距离比M到y轴的距离大1．(1)求E的标准方程；(2)，，交E于A，C两点，交E于B，D两点．求四边形ABCD的面积的最小值．（三）中点弦问题例6．（2023春·重庆沙坪坝·高二重庆一中校考期中）已知抛物线，直线交该抛物线于两点．若线段的中点坐标为，则直线斜率为（

）A． B． C． D．变式1．（2023春·河南洛阳·高二统考期末）已知直线与抛物线交于A，B两点，若D为线段AB的中点，O为坐标原点，则直线OD的斜率为（

）A． B． C． D．变式2．（2023·北京大兴·校考三模）已知抛物线顶点在原点，焦点为，过作直线交抛物线于、两点，若线段的中点横坐标为2，则线段的长为变式3．（2023春·内蒙古呼伦贝尔·高二校考阶段练习）已知抛物线的焦点为是抛物线上的点，且．(1)求抛物线的方程；(2)已知直线交抛物线于两点，且的中点为，求直线的方程．变式4．【多选】（2023·福建福州·福建省福州第一中学校考二模）抛物线为定值焦点为，与直线相交于两点，为中点.过作轴的垂线，垂足为，过作的垂线，交轴于，则（

）A．B．的纵坐标是定值C．为定值D．存在唯一的使得考点四：抛物线中的参数范围及最值问题例7．（2023·四川·四川省金堂中学校校联考三模）若A，B是抛物线上不同的两点，线段AB的垂直平分线交x轴于点，则的最大值为．变式1．（2023春·陕西商洛·高二统考期末）过抛物线的焦点的直线与相交于，两点，则的最小值为（

）A．15 B．18 C．21 D．27变式2．（2023春·上海宝山·高二统考期末）在平面直角坐标系中，为坐标原点，直线，已知动点到点的距离等于点到直线的距离，设点的轨迹为.(1)过点且斜率为2的直线与曲线交于两个不同的点、，求线段的长；(2)求曲线上的点到直线的最短距离.变式3．（2023春·福建泉州·高二校联考期末）已知抛物线的焦点为，过的直线交于点，分别在点处作的两条切线，两条切线交于点，则的取值范围是（

）A． B． C． D．变式4．（2023春·四川宜宾·高二四川省宜宾市第四中学校校考期末）已知是抛物线的焦点，过点的直线交抛物线于、两点，且．(1)求抛物线的方程；(2)若为坐标原点，过点作轴的垂线交直线于点，过点作直线的垂线与抛物线的另一交点为，的中点为，求的取值范围．考点五：抛物线的定值、定点问题例8．（2023春·广东揭阳·高二统考期末）已知抛物线的焦点为，点在直线上运动，直线，经过点，且与分别相切于两点．(1)求的方程；(2)试问直线是否过定点？若是，求出该定点坐标；若不是，请说明理由．变式1．（2023春·陕西汉中·高二统考期末）在平面直角坐标系中，顶点在原点，以坐标轴为对称轴的抛物线经过点.(1)求的方程；(2)若关于轴对称，焦点为，过点且与轴不垂直的直线交于两点，直线交于另一点，直线交于另一点，求证：直线过定点.变式2．（2023·四川成都·三模）已知斜率为的直线与抛物线相交于两点．(1)求线段中点纵坐标的值；(2)已知点，直线分别与抛物线相交于两点（异于）．求证：直线恒过定点，并求出该定点的坐标．变式3．（2023春·福建福州·高二校联考期中）已知抛物线，过焦点且斜率为的直线交于，两点，且.(1)求的标准方程；(2)已知点是上一点，且点的纵坐标为，直线不经过点，且与交于，两点，若，证明：直线AB过定点.变式4．（2023春·四川资阳·高二统考期末）过点作抛物线在第一象限部分的切线，切点为A，F为的焦点，为坐标原点，的面积为1．(1)求的方程；(2)过点作两条互相垂直的直线和，交于C，D两点，交于P，Q两点，且M，N分别为线段CD和PQ的中点．直线MN是否恒过一个定点？若是，求出该定点坐标；若不是，说明理由．例9．（2023春·四川宜宾·高二宜宾市叙州区第一中学校校考期末）已知抛物线的焦点为为上一动点，为圆上一动点，的最小值为.(1)求的方程；(2)直线交于两点，交轴的正半轴于点，点与关于原点对称，且，求证为定值.变式1．（2023·河北衡水·模拟预测）已知点在抛物线上，过点的直线与相交于两点，直线分别与轴相交于点.(1)当弦的中点横坐标为3时，求的一般方程;(2)设为原点，若，求证:为定值.变式2．（2023·全国·高三对口高考）已知是抛物线上一点，经过点的直线l与抛物线C交于A，B两点（不同于点E），直线分别交直线于点M，N．(1)求抛物线方程及其焦点坐标；(2)已知O为原点，求证：为定值．变式3．（2023·上海黄浦·上海市大同中学校考三模）如图，已知椭圆：的离心率为，点为其左顶点．过A的直线交抛物线于B、C两点，C是AB的中点．

(1)求椭圆的方程；(2)求证：点C的横坐标是定值，并求出该定值；(3)若直线m过C点，其倾斜角和直线l的倾斜角互补，且交椭圆于M，N两点，求p的值，使得的面积最大．考点六：抛物线的实际应用例10．（2023秋·高二校考课时练习）某桥的桥洞呈抛物线形，桥下水面宽，当水面上涨时，水面宽变为，求此时桥洞顶部距水面的高度．变式1．（2023春·广东东莞·高二校联考阶段练习）一种卫星接收天线（如图1），其曲面与轴截面的交线可视为抛物线的一部分（如图2），已知该卫星接收天线的口径米，深度米，信号处理中心位于焦点处，以顶点为坐标原点，建立如图2所示的平面直角坐标系，则该抛物线的方程为（

）

A． B． C． D．变式2．【多选】（2023·福建漳州·统考模拟预测）上甘岭战役是抗美援朝中中国人民志愿军进行的最著名的山地防御战役.在这场战役中，我军使用了反斜面阵地防御战术.反斜面是山地攻防战斗中背向敌方、面向我方的一侧山坡.反斜面阵地的构建，是为了规避敌方重火力输出.某反斜面阵地如图所示，山脚，两点和敌方阵地点在同一条直线上，某炮弹的弹道是抛物线的一部分，其中在直线上，抛物线的顶点到直线的距离为100米，长为400米，，，建立适当的坐标系使得抛物线的方程为，则（

）

A． B．的准线方程为C．的焦点坐标为 D．弹道上的点到直线的距离的最大值为1．抛物线的焦点到直线的距离为，则（

）A．1 B．2 C． D．42．过抛物线C：y2＝4x的焦点F，且斜率为的直线交C于点M(M在x轴的上方)，l为C的准线，点N在l上且MN⊥l，则M到直线NF的距离为（

）A． B． C． D．3．如图，设抛物线的焦点为，不经过焦点的直线上有三个不同的点，，，其中点，在抛物线上，点在轴上，则与的面积之比是A． B． C． D．4．【多选】已知O为坐标原点，过抛物线焦点F的直线与C交于A，B两点，其中A在第一象限，点，若，则（

）A．直线的斜率为 B．C．D．5．已知直线与抛物线交于两点，且．(1)求；(2)设F为C的焦点，M，N为C上两点，，求面积的最小值．6．设抛物线的焦点为F，点，过F的直线交C于M，N两点．当直线MD垂直于x轴时，．(1)求C的方程；(2)设直线与C的另一个交点分别为A，B，记直线的倾斜角分别为．当取得最大值时，求直线AB的方程．一、单选题1．（2023春·湖北荆门·高二统考期末）过抛物线的焦点作斜率为直线与抛物线交于、两点，与抛物线的准线相交于点．若为的中点，则（

）A． B． C．2 D．2．（2023春·河南许昌·高二统考期末）已知斜率为的直线过抛物线C：的焦点F且与抛物线C相交于A，B两点，过A，B分别作该抛物线准线的垂线，垂足分别为，，若与的面积之比为3，则k的值为（

）A． B． C． D．3．（2023春·湖北咸宁·高二统考期末）已知是抛物线上三个动点，且的重心为抛物线的焦点，若，两点均在轴上方，则的斜率的最小值为（

）A．1 B． C． D．4．（2023春·浙江·高二校联考期末）过点作两条直线分别交抛物线于，两点，记直线，的斜率分为，，若，，则直线的方程为（

）A． B．C． D．5．（2023·四川绵阳·绵阳南山中学实验学校校考模拟预测）已知抛物线的焦点为，点为抛物线上一点，过点作抛物线的准线的垂线，垂足为，若，的面积为，则（

）A．2 B．8 C． D．46．（2023·陕西商洛·镇安中学校考模拟预测）已知抛物线的焦点为，过点的直线与抛物线及其准线分别交于两点，，则直线的斜率为（

）A． B． C． D．7．（2023春·江苏南通·高二海安高级中学校联考阶段练习）设抛物线的焦点为，准线为是与轴的交点，.过此抛物线上一点作直线的垂线，垂足记为点与相交于点，若，则点到轴的距离为（

）A． B． C． D．8．（2023秋·广西河池·高二统考期末）抛物线有如下光学性质：过焦点的光线经抛物线反射后得到的光线平行于抛物线的对称轴；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点.已知抛物线的焦点为，一条平行于轴的光线从点射出，经过抛物线上的点反射后，再经抛物线上的另一点射出，则的面积为（

）A．4 B． C． D．二、多选题9．（2023秋·高二单元测试）已知抛物线的焦点为，其准线与轴相交于点，经过点且斜率为的直线与抛物线相交于点，两点，则下列结论中正确的是（

）A．B．C．的取值范围是D．时，以为直径的圆经过点10．（2023春·河南·高二校联考期末）已知直线与抛物线交于A，B两点，与y轴交于点D，线段AB的中点为C，点P的坐标为，则（

）A．PA与抛物线相切 B．轴C． D．11．（2023春·湖南岳阳·高二统考期末）已知抛物线的焦点为，，为上两个相异的动点，分别在点，处作抛物线的切线，，与交于点，则（

）A．若直线过焦点，则点一定在抛物线的准线上B．若点在直线上，则直线过定点C．若直线过焦点，则面积的最小值为D．若，则面积的最大值为12．（2023春·河南平顶山·高二统考期末）已知抛物线的焦点为F，定点和动点A，B都在抛物线C上，且（其中O为坐标原点）的面积为4，则下列说法正确的是（

）A．B．抛物线的标准方程为C．设点R是线段AF的中点，则点R的轨迹方程为D．若，则弦AB的中点N的横坐标的最小值为3三、填空