4.4积分计算(部编)课件

4.4积分计算4.4.1换元积分法4.4.2分部积分法4.4.1换元积分法

1．不定积分的换元法

将复合函数的微分法反过来用于积分，得到一种有效的积分方法，称为换元积分法．通常把换元积分法分成两类：第一换元积分法和第二换元积分法.(1)第一类换元积分法(凑微分法)定理4.4

若，且是可导函数，则有用上式求不定积分的方法称为第一类换元积分法或凑微分法．用凑微分法求函数不定积分的思路可用下式表示：凑微分基本公式变量替换变量回代例4.1

求解

凑微分法的关键是将被积函数中的哪一部分凑成这是一种技巧，需要掌握一些凑微分的形式，归纳如下：（1）线性函数：（）．（2）幂函数：（3）指数函数：（4）三角函数：（5）其他函数：

例4.2

求解

例4.3

求解

例4.4

求．解

．例4.5

求解

类似可得

例4.6

求解

．因为所以上述不定积分又可以表示为同理可得例4.7

求解

例4.8

求解

例4.9

求解

(2)第二类换元积分法定理4.5(第二类换元积分法)，如果，则有单调可导，且函数应用第二类换元积分法求不定积分的思路为：连续，设函数例4.10

求解，则,于是

．令一般的，积分中出现根式(为正整数)，这种换元称为根式置换，目的是使积分有理化．积分计算完成后，还要换回到原来的变量，这叫回代．，则可作代换例4.11

求解

，于是令图4．9为把还原成的函数，可以根据作一辅助直角三角形，如图4．9所示，于是例4.12

求解

令．由作辅助三角形，如图4．10所示，得，因此图4．10如果积分中出现的根式内含有二次多项式，直接置换无法有理化，但用三角函数可以奏效，这种代换称为三角代换．三角代换有三种形式：(1)含根式时，可作代换(2)含根式时，可作代换(3)含根式时，可作代换从上面的例子看出，第二类换元积分法主要解决根式有理化问题．积分中出现根式，当用直接积分法和凑微分法无法解决时，就要考虑实施第二类换元积分法．当根号内为一次式时，用根式置换；当根号内为二次式时，用三角代换．2．定积分的换元法

定理4.6（1）在区间[

，

]上单调且有连续导数的值在上变化，（2）当在区间[

，

]上变化时，则有上连续，在区间若函数满足下列条件：函数且【注意】换元必换限．原上限对新上限，原下限对新下限．例4.13

求半径为的圆的面积．解

令

，则

当时，；当时，圆的面积可以表示为根据定积分的几何意义，如图4．11，由图形的对称性，所以所以，圆的面积为例4.14

设函数在区间上连续,则（2）当为奇函数时，为偶函数时，（1）当证由定积分的区间可加性，有令，则有为偶函数，（1）因为所以代入上式得即例4.15

求解的奇函数也不是的偶函数，的偶函数，但是是是的奇函数，于是有所给积分区间为对称区间，而被积函数既不是4.4.2分部积分法1．不定积分的分部积分法移项得根据乘积的微分公式对等式两边求不定积分，得具有连续导数，

设函数上式称为不定积分的分部积分公式．利用上式求不定积分的方法称为分部积分法．分部积分公式和换元积分公式一样，也提供了积分转化的机会．这个公式说明，如果计算积分较困难，而积分容易计算，则可以利用分部积分法计算．应用分部积分法求不定积分的思路为：例4.16

求解函数，这个过程可通过凑微分来实现．例4.17

求解

运用分部积分法，首先要公式化，以便显示例4.18

求解

其中对再用一次分部积分公式，得【注意】有些不定积分需要多次使用分部积分法才能得到结果．例4.19

求解

．例4.20

求解

例4.21

求解

移项，得

于是

2．定积分的分部积分法设函数在区间上有连续导数，则有上式称为定积分的分部积分公式．例4.22

计算解

．例4.23

计算解

．例4.24

计算解令则当时，于是；当时，被积函数中有无理式，通常要先用换元法使被积函数有理化．4.4.3小结重点:不定积分与定积分的