江苏省常州市溧阳市2023-2024学年八年级下学期期中数学试题【含答案解析】

溧阳市2023～2024学年度第八年级第二学期期中考试数学试题一、选择题：（本大题共有8小题，每小题2分，共16分，在每小题所给的四个选项中，只有一项是正确的）1.下列新能源汽车标志中，是中心对称图形的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据中心对称的定义：将图形绕一点旋转与原图形完全重合的图形叫中心对称图形，直接判断即可得到答案；【详解】解：由题意可得，A选项不是中心对称图形，不符合题意；B选项不是中心对称图形，不符合题意；C选项是中心对称图形，符合题意；D选项不是中心对称图形，不符合题意；故选C；【点睛】本题考查中心对称的定义：将图形绕一点旋转与原图形完全重合的图形叫中心对称图形．2.为了调查我市某校学生的视力情况，在全校的2000名学生中随机抽取了300名学生，下列说法正确的是（）A.此次调查属于全面调查 B.样本容量是300C.2000名学生是总体 D.被抽取的每一名学生称为个体【答案】B【解析】【分析】根据全面调查与抽样调查，总体、个体、样本、样本容量的意义逐一判断即可解答．【详解】解：A、此次调查属于抽样调查，故此选项不合题意；B、样本容量是300，故此选项符合题意；C、2000名学生的视力情况是总体，故此选项不合题意；D、被抽取的每一名学生的视力情况称为个体，故此选项不合题意．故选：B．【点睛】本题考查了全面调查与抽样调查，总体、个体、样本、样本容量，掌握这些数学概念是解题的关键．3.代数式、、、中，分式有（）A.1个 B.2个 C.3个 D.4个【答案】B【解析】【分析】本题考查了分式的定义，正确理解分式的定义是解答本题的关键，“一般地，如果A，B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式”，根据分式的定义即可判断答案．【详解】解：代数式、、、中，分式有，，共2个，故选：B．4.一只不透明的袋子中装有3个红球、2个蓝球，每个球除颜色外都相同，从中任意摸出3个球，下列事件不是随机事件的是（）A.有1个红球2个蓝球 B.有2个红球1个蓝球C.有3个红球 D.有3个蓝球【答案】D【解析】【分析】本题考查了随机事件，解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件；不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件；不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．据此逐项判断即可．【详解】解：A．从中任意摸出3个球，可能有1个红球，2个蓝球，故此选项是随机事件，不符合题意；B．从中任意摸出3个球，可能有2个红球1个蓝球，故此选项是随机事件，不符合题意；C．从中任意摸出3个球，可能有3个红球，故此选项是随机事件，故此选项是随机事件，不符合题意；D．从中任意摸出3个球，不可能有3个蓝球，故此选项不是随机事件，符合题意，故选：D．5.在平行四边形中，平分，若，，则长是（）A.1 B.2 C.3 D.5【答案】B【解析】【分析】本题考查平行四边形的性质，平行线的性质，等腰三角形的判定等，根据四边形是平行四边形可得，，根据平行线的性质可得，结合角平分线的定义可得，进而证明，则．【详解】解：四边形是平行四边形，，，，平分，，，，，故选B．6.下列各式中，正确的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】本题考查分式的基本性质，根据分式的基本性质逐项判断，注意乘除一个数或代数式的时候要保证不为0.【详解】A.故该选项不正确，不符合题意；B.故该选项不正确，不符合题意；C.故该选项不正确，不符合题意；D.，故该选项正确，符合题意；故选：D．7.依据所标数据（度数为所在角的度数，数字为所在边的长度），下列平行四边形不一定是菱形的是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】根据菱形的判定方法、勾股定理逆定理、等腰三角形判定方法求解．【详解】A.由已知条件不能得证为菱形，本选项符合题意；B.根据勾股逆定理，，所以对角线互相垂直，故四边形为菱形，本选项不符合题意；C.邻边相等，为菱形，本选项不符合题意；D.由等角对对边知一组邻边相等，为菱形，本选项不符合题意；故选：A【点睛】本题考查菱形的判定，勾股定理逆定理，等腰三角形判定方法，熟练掌握菱形的判定方法是解题的关键．8.如图，正方形的对角线相交于点O，点E在上，且，点F是上的一个动点，连接，取的中点P，连接、，若，则的值是（）A. B.2 C.3 D.无法确定【答案】B【解析】【分析】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，直角三角形斜边上的中线的性质，如图所示，连接，由点P是的中点，得到，进而得到，据此推出，得到，证明，则．【详解】解：如图所示，连接，∵四边形是正方形，∴，∵点P是的中点，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴，故选：B．二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分，不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）9.若分式有意义，则的取值范围是__________．【答案】【解析】【分析】本题主要考查了分式有意义条件，解题的关键是熟练掌握分式的分母不等于0．【详解】解：∵分式有意义，∴，解得：，故答案为：．10.若分式的值为零，则x的值为_____．【答案】-2【解析】【分析】根据分式的值为零的条件可以求出x的值．【详解】解：由分式的值为零的条件得|x|﹣2＝0，x﹣2≠0，由|x|﹣2＝0，解得x＝2或x＝﹣2，由x﹣2≠0，得x≠2，综上所述，得x＝﹣2，故答案为：﹣2．【点睛】若分式的值为零，需同时具备两个条件：（1）分子为0；（2）分母不为0，这两个条件缺一不可．11.计算：________．【答案】【解析】【分析】本题主要考查了异分母分式减法计算，先通分，然后计算减法即可．【详解】解：，故答案为：．12.在平行四边形中，，则_______．【答案】【解析】【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，熟知平行四边形邻角互补和对角相等是解题的关键．根据平行四边形邻角互补和对角相等得到，，再根据已知条件求出的度数即可得到答案．【详解】解：∵四边形是平行四边形，∴，∵，即，∴∴，∴，故答案为：．13.从八年级（3）班随机抽取一名学生参加座谈会，有下列事件：①抽到班长；②抽到第一排的同学；③抽到一名男生．其中，发生可能性最大的事件为________．（填序号）【答案】③【解析】【分析】分别求出3个事件的可能性即可求解．【详解】解：设八年级（3）班共有人，坐在第一排的同学有人，男生有人，根据题意可知．则：①抽到班长的可能性为；②抽到第一排的同学的可能性为；③抽到一名男生的可能性为，，发生可能性最大的事件为③抽到一名男生的可能性．故答案为：③．【点睛】本题考查了比较可能性大小，用到的知识点为：可能性等于所求情况数与总情况数之比．14.一个样本的50个数据分别落在5个组内，第1、2、3、4组数据的个数分别是2、8、15、5，则第5组数据的频率为__________．【答案】【解析】【分析】总数减去其它四组的数据就是第5组的频数，用频数除以数据总数就是频率．【详解】解：根据题意可得：第1、2、3、4组数据的个数分别是2、8、15、5，共，样本总数为50，故第5小组的频数是，频率是．故答案为：．【点睛】本题考查频率、频数的关系．熟练掌握频率等于频数除以总数，是解题的关键．15.如图，在四边形中，E、F分别是、的中点，G、H分别是、的中点，依次连接E、G、F、H得到四边形为________形．【答案】平行四边【解析】【分析】本题主要考查了三角形中位线定理，平行四边形的判定，根据三角形中位线定理推出且，则可证明四边形为平行四边形．【详解】解：、分别是、的中点，、分别是、的中点，，且，且，四边形为平行四边形，故答案为：平行四边．16.如图，在平面直角坐标系中，矩形的边在x轴上，点，点，将矩形绕点A逆时针旋转，每次旋转，当第2026次旋转结束时，点C对应的坐标是______．【答案】【解析】【分析】本题主要考查旋转的知识，点坐标规律问题，熟练根据旋转的知识确定旋转后的位置是解题的关键．根据矩形的性质作出旋转后的图形，找到C点的坐标规律即可．【详解】解：将矩形绕点A逆时针旋转，如图可知：，，，，…，则：每旋转4次则回到原位置，∵，即：第2026次旋转结束时，完成了506次循环，又旋转了2次，∴当第2026次旋转结束时，点C对应的坐标是．故答案为：．17.如图是电力部门维修时常用的伸缩围栏杆，中间有多个菱形或半菱形组合而成．已知每一个菱形的边长为，当工作人员把围栏杆拉成的菱形有一个内角为时，则该伸缩围栏杆被拉成的总长为_______（支撑杆宽度不需计算）．【答案】或【解析】【分析】本题综合考查了菱形的性质及解直角三角形的知识；分情况探讨对角线为连接60°的内角和120°的内角两种情况，利用直角三角形的特殊三角函数值进行解答．【详解】解：当时，如图，∵四边形是菱形，∴，∴是等边三角形，∵∴∴，∴该伸缩围栏杆被拉成的总长为；当时，如图，∵四边形是菱形，∴，∴是等腰三角形，∵∴，∴由勾股定理得，∴，∴该伸缩围栏杆被拉成的总长为；故答案为：或．18.如图，平面直角坐标系中，直线分别与y轴、x轴交于C、D两点，点，点，点P是直线上一点，以点A、P、B作平行四边形，则的最小值为______．【答案】【解析】【分析】本题考查勾股定理，一次函数上点的坐标特点，平行四边形的性质，作辅助线构造直角三角形是解题关键．设与交于点E，过P点作于点F，可以得到点的坐标为，设点P的坐标为，则点F坐标为，根据勾股定理得到，然后根据完全平方公式的应用进行解题即可．【详解】解：∵设与交于点E，过P点作于点F，∵是平行四边形，∴，，∵点，点，∴点的坐标为，设点P的坐标为，则点F坐标为，∴，，∴，∵，∴最小为，即．故答案为：．三、解答题（本大题共8小题，共64分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤）19.计算：（1）；（2）；（3）；（4）．【答案】（1）（2）（3）（4）【解析】【分析】本题主要考查了分式的乘除法计算，异分母分式减法计算，分式的混合计算：（1）根据分式乘法计算法则求解即可；（2）根据分式除法计算法则求解即可；（3）先通分，然后约分化简即可；（4）先把两个小括号内的式子通分，然后根据分式乘法计算法则求解即可．小问1详解】解：；【小问2详解】解：；【小问3详解】解：；【小问4详解】解：．20.先化简，再求值：，其中．【答案】；【解析】【分析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再把a的值代入计算即可．【详解】解：；当时，原式．【点睛】本题主要考查了分式的化简求值，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则．21.王老师将1个黑球和若干个白球放入一个不透明的口袋并搅匀，让若干学生进行摸球实验，每次摸出一个球（有放回），下表是活动进行中的一组统计数据．摸球的次数n1001502005008001000摸到黑球的次数m233160130203251摸到黑球频率0.230.210.300.260.253____（1）补全上表中的有关数据，根据上表数据估计从袋中摸出一个球是黑球的概率是（精确到0.1），并说明理由．（2）估算袋中白球的个数．【答案】（1）0.25，理由见解析（2）袋中白球的个数可能是3个【解析】【分析】（1）用大量重复试验中事件发生的频率稳定到某个常数来表示该事件发生的概率即可；（2）列用概率公式列出方程求解即可．小问1详解】解：251÷1000=0.251；∵大量重复试验事件发生的频率逐渐稳定到0.25附近，∴估计从袋中摸出一个球是黑球的概率是0.25；故答案为：0.25；【小问2详解】解：设袋中白球为x个，=0.25，x=3．经检验，x=3是原方程的解，且符合题意，答：估计袋中有3个白球，【点睛】此题考查了利用频率估计概率，在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近．22.某校为了了解八年级女生的体能情况，随机抽查了部分女生，测试她们1分钟仰卧起坐的次数，并绘制成如图所示的不完整的统计表（每个分组包括左端点，不包括右端点）和频数分布直方图．请你根据图中提供的信息，解以下问题：（1）把统计表补充完整；仰卧起坐次数的范围（单位：次）15～2020～2525～3030～35频数31012

频率

（2）补全频数分布直方图；（3）若该校八年级有女生360人，体育达标要求规定:初中阶段女生一分钟仰卧起坐的次数达20个以上为合格，请问该校八年级女生合格的人数为多少人?【答案】（1）5，（2）补全频数分布直方图见解析（3）该校八年级女生合格的人数为324人【解析】【分析】本题考查读频数分布直方图和从统计图获取信息能力，正确从统计图获取有用的信息是解答本题的关键．（1）用15～20次的人数除以相应频率即可求得总人数，然后再求出30～35次的人数和25～30次的频率，即可完成统计表；（2）根据（1）即可补全统计图．（3）用360乘以1分钟仰卧起坐的次数达20个以上的频率即可得解。【小问1详解】解：抽查女生人数：（人），∴仰卧起坐次数的范围为25～30的频率为，仰卧起坐次数的范围为30～35的频率为，∴补全表格如下：仰卧起坐次数的范围（单位：次）15～2020～2525～3030～35频数310125频率故答案为：5，；【小问2详解】解：补全统计图如下，【小问3详解】解：八年级女生合格的人数为（人）．23.如图，在平面直角坐标系中，每个小方格都是边长为的正方形，点的坐标是．（1）①将绕点按逆时针方向旋转，在图（）画出旋转后的图形；②我们发现点、关于某点中心对称，对称中心的坐标是______；（2）①将向上平移个单位长度，在图（）中画出平移后的图形；②将绕点旋转，在图（）中画出旋转后的图形；③我们发现点、关于某点中心对称，对称中心的坐标是______．【答案】（1）①见解析；②；（2）①见解析；②见解析；③．【解析】【分析】（1）①将点，分别绕点按逆时针方向旋转，找到对应点即可；②根据坐标系写出点，的坐标，求出两点横坐标、纵坐标的平均值即可．（）①将的三个顶点分别向上平移个单位长度，找到对应点即可；②将点，分别绕点按逆时针方向旋转，找到对应点即可；③根据坐标系写出点，的坐标，求出两点横坐标、纵坐标的平均值即可．【小问1详解】解：①如图，即为所求．②由图可知点，，因此对称中心的坐标是，即，故答案为：；【小问2详解】解：①如图，即为所求．②如图，即为所求．由图可知点，，因此对称中心的坐标是，即，故答案为：．【点睛】本题考查平面直角坐标系内图形的平移、旋转，中心对称等知识点，解题的关键是根据平移、旋转方式找出对应点的位置．24.如图，在平行四边形中，，交于点F，交延长线于点E，．（1）求证：；（2）若，，求的周长．【答案】（1）见解析（2）7【解析】【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，等腰三角形的性质与判定，勾股定理：（1）由平行四边形的性质推出，由三线合一定理得到，由此即可证明；（2）根据等角对等边得到，由勾股定理得到，据此根据三角形周长公式求解即可．【小问1详解】证明：∵四边形是平行四边形，∴，∴，∵，∴，∴；【小问2详解】解：∵，∴，在中，由勾股定理得，∴的周长．25.如图，矩形中，点是边上的动点，连接、，以、为边向上作平行四边形，（1）填空：______（填“，，”）；（2）当点运动到什么位置时，平行四边形是菱形，为什么？（3）若要使得平行四边形为正方形，则与之间应该满足什么样的数量关系？请直接写出与之间的数量关系．【答案】（1）（2）当