材料力学课件：圆杆扭转

第四章扭转2２、等直圆杆的扭转变形、刚度设计准则第三章扭转

1、扭转内力、等直圆杆的扭转切应力及强度设计准则４、非圆截面杆的扭转问题３、传动轴的强度及刚度计算及扭转超静定问题3扭转：外力的合力为一力偶，且力偶的作用面与直杆的轴线垂直，杆发生的变形称为扭转变形。一、概念§3－1概述ＯＡＢj

ＯＡＢmm4切应变：直角的改变量----

。扭转角：任意两截面绕轴线转动而发生的相对角位移φ。j

ＯＡＢmm5二、工程实例6２、截面法求扭矩“T”§3－2扭矩及扭矩图１、扭矩：扭转变形杆的内力称为扭矩，用“T”表示。xT

mＯＡＢmm74、扭矩力图

T＝T（ｘ）的图象表示mT

Ｘ扭矩图3、扭矩的正负规定:

M

n的转向与截面外法线之间满足右手螺旋定则为正。反之为负。xT

m8m=k

xxoL例1，图示杆长为L，受均布力偶矩m=kx作用，试画出杆的扭矩图。解：在X点设置截面如图，以x点左侧部分为对象,x点的内力T(x)为：Tx9TＸ例2.功率为150kW，转速为15.4转/秒的电动机转子轴如图，试画出轴的扭矩图。解：根据传递功率与力矩的关系求扭矩M10MMABCMMABCTABTBC11扭矩图的简便计算∶1，自左到右的方向进行；T21T2，遇到图示外力偶矩，内力扭矩T

的增量为正；3，遇到图示外力偶矩，内力扭矩T

的增量为负；4，扭矩图上的突变值等于外力偶矩。12※轴传递的功率与力矩间的关系:

N---功率;n---转速;M---力偶矩.13§3－3纯剪切一、薄壁圆筒的扭转切应力二、切应力互等定理三、剪切弹性定律四、材料弹性常数E、G、之间的关系五、纯剪切应力状态的应变能14一、薄壁圆筒的扭转切应力1:薄壁圆筒的扭转实验

152:推论

:纵向线变形后仍为平行.:轴向无伸缩.

:横截面变形后仍为平面.1:薄壁圆筒的扭转实验

163、切应力公式：1718ttt在两个相互垂直的面上，切应力必成对出现，大小相等，方向同时指向或背离垂直的面的棱线二、切应力互等定理：ttttt119三、剪切弹性定律：G——材料的剪切弹性模量20tt四、纯剪切应力状态t纯剪切应力状态——单元体的个各正交面上，都只有切应力。21五、材料弹性常数E、G、之间的关系aac450AOBCB1B2a

a||B322gttd

xd

zd

y六、剪切应变能t23§3－4等直圆杆在扭转时的应力24ABCD一、实验观察1、变形几何关系1:横截面变形后仍为平面.3:纵向线变形后仍为平行.2:轴向无伸缩.

二、横截面上的应力MeMe251、变形几何关系2、物理关系三、横截面上的应力※切应力

与半径成正比rMT

OOd

xs1s2djgRgr263、静力学关系T27IP为极惯性矩，量刚为m4

4、最大切应力WP为抗扭模量，量刚为m3

28OTOTtrtrOT思考:空心圆截面切应力怎样分布?29四、扭转强度计算：

、设计截面尺寸：

、设计载荷：强度设计准则：

、校核强度：其中[]称为许用切应力。依此强度准则可进行三种强度计算：30例3.功率为150kW，转速为15.4转/秒的电动机转子轴如图，许用切应力[]=30MPa,试校核其强度解：①、求扭矩及扭矩图1=702=753=135MMABCTＸM31计算并校核切应力强度故，此轴满足强度要求。1=702=753=135MMABCTＸM32例4。长为L=2m的圆杆受均布力偶m=20N-m/m的作用，若杆的内外径之比为

=0.8，G=80GPa，许用切应力[]=30MPa，试设计杆外径；若改用实心杆，其直径应为多少？实心杆与空心杆的用料比是多少？解：、M

n图2m②、40NmxT33

、由扭转强度条件求D34

用料比：

改用实心杆直径应为：35§4－5圆杆扭转变形、刚度计算一、相对扭转角：横截面B相对于A的扭转角为：GIP为抗扭刚度rMT

OOd

xs1s2djgRgr36三、扭转刚度条件：二、单位长度扭转角：其中[]称为许用单位长度扭转角。37

、设计截面尺寸：

、设计载荷：

、校核刚度：可进行如下三种刚度计算：38例6。长为L=2m的圆杆受均布力偶m=20Nm/m的作用，如图，若杆的内外径之比为

=0.8，G=80GPa，许用切应力[]=30MPa，试设计杆的外径；若[]=2º/m，试校核此杆的刚度，并求右端面转角。解：、由强度计算知∶

、校核扭转刚度2m40NmxTD=22.6mm。39

右端面转角为：

、校核扭转刚度40例7。某传动轴设计要求转速n=500r/min，输入功率N1=500马力，输出功率分别N2=200马力及N3=300马力，已知：G=80GPa，[]=70MPa，[]=1º/m，解：

图示状态下,

扭矩如图TＸ-7.024KNm-4.21KNm试确定：（1）AB段直径d1和BC段直径d2。（2）若全轴选同一直径，应为多少？（3）主动论与从动论如何安排合理？41由强度条件得：42由刚度条件得：43

、轴上的绝对值最大的扭矩越小越合理，所以，1轮和2轮应该换位。换位后,轴的扭矩如图,此时,轴的最大直径才为75mm.ABN

1N

2N

3CTＸ2.814KNm-4.21KNm44例8。图示阶梯轴,转速n=200r/min，B轮输入功率N3=30KW,A轮与D轮输出功率分别N1=13KW和N2=17KW，已知：G=80GPa，[]=60MPa，[]=2º/m，试校核此轴的强度和刚度.解：扭矩如图。强度校核:AC段强度若够，CD段一定够;

BD段强度ABCM

1M

2M

31mD0.5m0.3mf1=4cmf2=7cmTＸ-1432Nm-620.7Nm45ABCM

1M

2M

31mD0.5m0.3mf1=4cmf2=7cmTＸ-1432Nm-620.7Nm强度校核:

AC段强度若够，CD段一定够;BD段强度46刚度校核：整个轴都安全。47解决扭转超静定问题的方法步骤：四、扭转超静定问题

、独立平衡方程，设定扭矩方向，画好受力图；

、几何(变形协调)方程，设定变形方向，画好变形放大图；

、补充方程：由几何方程和物理方程得；

、物理方程——弹性定律：

、解由平衡方程和补充方程组成的方程组：扭矩方向，与变形方向要逻辑一致48例1。长为L=2m的圆杆受均布力偶m=20Nm/m的作用，如图，若杆的内外径之比为

=0.8，外径D=0.0226m，G=80GPa，试求固端反力偶。解：、杆的受力图如图（b），这是一次超静定问题。平衡方程为：

、几何方程

——变形协调方程

补充方程：图bm=20Nm/m2mx49

补充方程：

由平衡方程和补充方程得：图b另:此题可由对称性直接求的结果.50例2。长为L的圆杆受力偶T的作用，弹性模量为G，试求固端反力偶。解：、杆的受