【论数形结合思想的价值意义10000字（论文）】

论数形结合思想的价值意义目录TOC\o"1-3"\h\u35391引言 1277101.1研究背景 148381.2研究意义 1236571.3研究价值 2322242数学结合思想的起源与发展 2154042.1数与形的产生 28022.2古希腊时期的数形结合思想 3109752.3中国古代数学中的数形结合 4305202.4解析几何的创立 6233382.5近现代数学中的数形结合 6228623数形结合思想的价值体现 746433.1数形结合在概念定理中的优越性 7313153.2数形结合对微积分的重要作用 9268693.3数形结合为三大几何问题的解决提供了转机 9259483.4数形结合使圆锥曲线的研究有了新进展 11313944总结 129054参考文献 13摘要：数学思想方法是对数学知识的本质认识，是从具体的数学内容以及对数学的认识过程中所提炼的数学观点与方法，而数形结合思想是具有一般性的数学思想,也是数学中最常见和最基本的数学思想方法之一，在数学中具有重要的价值和意义.数形结合思想贯彻于整个数学知识体现中，通过“数”与“形”的紧密结合，将代数式的精确性与几何图形的直观性相结合，使代数问题和几何问题相互渗透、相互转化，为代数问题提供了几何直观，为几何问题提供了精确的证明，具有很高的研究价值.关键词：数学思想；数形结合；方法；价值1引言1.1研究背景数学是一门科学，其主要研究的是空间和数量的相关关系，同时也是一种反映社会和自然规律的语言.数学以抽象概括的形式逐渐形成科学语言，处于自然科学和人类生活中的基础地位，促进着社会的发展.学习数学，除了掌握最基本的数学知识以外，更应该掌握数学知识背后的本质，即数学思想.数学思想在培养能力、提升数学核心素养反面都发挥着重要的作用.数学思想方法是对数学知识的本质认识，是从具体的数学内容以及对数学的认识过程中所提炼的数学观点与方法，而数形结合思想是具有一般性的数学思想,也是数学中最常见和最基本的数学思想方法之一，在数学中具有重要的价值和意义.我国著名数学家华罗庚先生在《谈谈与蜂房结构有关的数学问题》中写到“数缺形时少直觉，形少数时难入微.数形结合百般好，隔裂分家万事非.”这短短的几句话，直接明了的道出了数形结合在数学思想中的重要性.1.2研究意义数形结合思想贯彻于整个数学知识体现中，它将看似独立的代数与几何结合到一起，为代数问题提供了几何直观，为几何问题提供了精确的证明，具有很高的研究价值.数形结合通过形象来揭示事物的本质，与逻辑思维相辅相成，使数学研究有目的、有方向，并与严格论证辩证统一、有机结合，促进了数学的不断完善与发展.数形结合思想方法是学习数学的一个基本方法，数和形两者相互渗透，不可分割.通过“数”与“形”的紧密结合，将代数式的精确性与几何图形的直观性相结合，使代数问题和几何问题相互渗透、相互转化，从而使抽象思维与形象思维完美融合.1.3研究价值通过数形结合，首先，我们对于几何图形性质的研究更加深入广泛了，同时，研究的对象也更为广泛，方法也更加一般化了.其次是为代数研究提供了几何直观.代数方法便于精确计算，几何图形直观形象，两者相结合，互相促进，从而加深了我们对数量关系与空间形式的认识.正如拉格朗日所说：“只要代数同几何分道扬镳，它们的进展就缓慢，它们的应用就狭窄，但是当这两门科学结合成伴侣时，它们就互相吸取新鲜的活力，从那以后，就以快速的步伐走向完善”.[1]数形结合思想的重要性显而易见，对于数形结合思想的研究自然也很多，但当下对于数形结合的研究主要集中于中学生运用数形结合解决数学问题的情况及教学策略等，然而，数形结合思想的价值并不局限于此.本文简单的介绍了数形结合的起源与发展，主要从数形结合在概念定理中所具有的优越性、在微积分这个数学分支中的重要性、在三大几何问题以及圆锥曲线的研究中发挥的重要作用四个方面来论述数形结合思想的价值意义.希望由此能够引起大家对数形结合思想的重视.2数学结合思想的起源与发展2.1数与形的产生人类在蒙昧时代就已经具有识别事物多寡的能力，从这种原始的“数觉”到抽象的“数”概念的形成，是一个缓慢的、渐进的过程.[2]在后来，人类根据生活经验察觉并发现，一棵树，一条鱼，一个太阳等在这一系列物体间，似乎存在着某些共同的属性，这样，“数”也就应运而生了.同时，我们可以清楚看出此时的“数”与具体的事物或“形”是相互联系在一起的、不可分割的.而这也是“数”与“形”相结合的最早的无意识表征[3].随着远古人类对数的理解的不断进步，他们为了更好的表达事物在“数”方面的数学，于是便产生了“记数”，如石子记数、绳结记数、刻痕记数等，都是人类早期的记数方式.数的概念产生之后，首先用来表示“数”的工具是“形”，在古代的各种各样的记数法中，都是以具体的图形来表示抽象的数（如图1），以及中国的算盘是一个历史最长的记数工具.而几何知识最初是从人们对形的直觉中萌发出来的，这与数的产生类似.那时候人们首先是从自然界中提取几何形式的，比如圆月，并且通过器皿制作、建筑设计以及绘画装饰加以再现.这一时期由于人类的认识能力有局限，对于“数”与“形”的概念还处于蒙昧的初级认知阶段，数和形的结合是无意识，结合的根本原因是人们无法对两者进行区分[4].图1用图形表示数2.2古希腊时期的数形结合思想几何学发展的繁荣时期是在古希腊时期，古巴比伦人和古埃及人从长期的生产生活实践中获得了大量的直观几何知识，传入了古希腊，在这一时期有两大著名的数学学派，他们是此时数学的代表，为几何学的进步与发展做出了巨大的贡献，其中之一的毕达哥拉斯学派信奉“万物皆数”，他们在算术的基础上，成功的为几何学的发展奠定了基础，真正的做到了将数与形相结合起来，为古希腊数学的发展起到了极大的促进作用.毕达哥拉斯学派的贡献之一是有意识地承认并强调数学上的东西如数和图形是思维的抽象，同实际事务或实际形象是截然不同的[5].毕达哥拉斯学派对数做了许多研究，比如“完全数”、“亲和数”、“形数”等等，其中，他们对“形数”的研究，强烈地反映了他们将数作为几何思维元素的精神，通过对形的观察来探究数之间的内在联系.例如，三角形数1,3,6,10图2三角形数正方形数1,4,9,16图3正方形数五边形数1,5,12,22图4五边形数用公式表示为：；；.毕达哥拉斯学派提出“万物皆数”，他们信奉“宇宙间的一切现象都能归结为整数或整数之比[6]”.他们之所以认为数是一切事物的本源，是因为他们试图将几何学建立在算术的基础之上.毕达哥拉斯相信任何量都可以表示成两个整数之比（即某个有理量），这是他们对“数”狭隘的认识，当毕氏学派的成员西帕苏斯发现了不可公度线段时，一切的几何基础倒塌.欧几里得是希腊论证几何学的集大成者，他的《几何原本》是运用公理化演绎的方式编著的，而《几何原本》的出现为几何学的发展奠定了基础，用几何的观点去研究代数的问题，一般认为，所有的代数问题都可以转换为几何问题，其实这也是毕达哥拉斯学派对无理数的存在持否定态度的表现.他们从几何的视角将数用线段进行了描述，其中，数与数之和可以看作是将某一线段进行延伸所得，同样的，对于两数之差的表示则是将一线段割去另一线段的长度而得，而属于数之间的乘积是可用以这两个数为边长的矩形的米那估计来替代的.[5]在“形”的相互关系的比较中，在一定程度上数的概念也得到了发展，而无理数的发现就是最为典型的例子.只是，在这一时期的古希腊人，他们是完全无法接受无理数的概念的，而所导致的结果就是把代数与几何看成是完完全全不相干的学科.[5]后来的人们一直被这种看法所影响，一直到笛卡尔时期坐标几何的产生，数与形的结合才得到了进一步的发展.2.3中国古代数学中的数形结合数形结合的历史源远流长，我国古代数学中，处处可以寻觅到它的印迹.早期作为历史最长计算工具的算筹和算盘，便可以看作是“数形结合”的雏形.我国流传至今的一部最早的数学著作《周髀算经》中就已记载：“数之法出于圆方，圆出于方，方出于矩，矩出于九九八十一.”在《九章算术》“商功”章节中所叙述的体积之术文，其实就已经孕育着几何代数化方法.我国伟大的数学家刘徽撰写的《九章算术注》中也主张“析理以词，解体用图”，意思是用言辞来分析与表达道理，用图形来建立几何直观帮助解决问题.在中国古代数学的发展中，数形结合的优势也体现地淋漓尽致，它不但促进了中国古代数学的发展，同时也为现代数学的发展提供了参考，对数学的发展作出了巨大贡献.而在古代的数学研究中，最能体现数形结合的范例之一可属刘徽和杨辉对“三角形面积公式”的推导.在《九章算术》一书中，记录有刘徽对三角形面积公式的推导方法，其中有这样一段对于三角面积公式的推导过程的描述：“半广以乘正从.半广知，以盈补虚为直田也.亦可半正从以乘广.”其实，刘徽的这种推导方式所得到的结论与我们现在所运用的三角形面积公式的表述是完全一致的，而在当时对于三角形面积公式这一结论的得出，得益于中国古代数学家将数与形相结合以解决数学问题的思考，它也是数形结合思想在我们古代运用最直接的反映.[3]具体分析如下（如图5所示）.图5刘徽对三角形面积公式的推导后来，杨辉进一步研究了刘徽的三角面积公式的推导方法，其研究成果记录在《田亩比类乘除捷法》一书中.根据书中记载，杨辉将他自己的推导方法总结为：“广步可以折半者，用半广以乘正从，从补可以折半者，用半从步乘广.广从皆不可折半者，用步从相乘折半.”[3]而这一结论与我们现在所运用的三角形面积公式完全一致，用公式可以将杨辉的结论表述为以下三种情况：；；.刘徽和杨辉对三角形面积公式的推导过程是我国古代数学中数与形完美结合的典范，其具体做法是通过“以盈补虚”的方式将三角形构造和转化成为一个矩形，从而得出三角面积公式，而这无疑是数形结合思想的体现.2.4解析几何的创立17世纪以后，随着社会生产的进一步发展和需要，圆锥曲线的研究也应运而生，而就是在这样的背景下，解析几何应人们的种种需要产生了.解析几何的发明要归功于法国的两位著名数学家笛卡尔与费马，他们对解析几何的创立有着极为重要的作用，他们对解析几何的研究是数与形相结合的直观体现，是数与形相结合的典型的代表性成果.笛卡尔和费马打破了古希腊人对代数与结合认识上的狭隘性，他们将数与形相结合统一了起来.依据笛卡尔的《几何》可以知道，他创立解析几何的要旨是把几何学的问题归结为代数形式的问题，简单的说就是从运动轨迹（形）出发寻找它所满足的方程（数），而费马则相反，他是从方程（数）出发研究曲线（形），他指出“每当在最后的方程中出现了两个未知量，我们就得到一个轨迹，其中一个未知量的端点描绘出一条直线或曲线.这条直线简单且唯一，曲线的种类无限的多——圆、抛物线、双曲线、椭圆等等”[7]，对比两人的思维路径，他们的研究正是解析几何基本原理的两个相反方面.即把几何问题转化用代数方法，然后用代数方法研究图形的几何性质[8].“随着解析几何的创立，……，不仅使过去的几何问题有了一个一般的解法和一个有力的工具——代数的工具，而且还扩大了几何的领域.另一方面又揭露了，代数与分析中的许多事实可以用几何来表现，例如函数关系就可以用图形来表示.反过来，几何上的一些考虑又可以帮助解决代数与分析的问题”[9].2.5近现代数学中的数形结合从解析几何创立以后，数与形之间就不再有那么明显的界限了.对于18世纪后的数学，也许我们只能牵强的把“数”理解成是包括数论、分析学及代数方程等侧重“数”的代数学，而“形”就是包含了解析几何、微分几何、数论几何、欧几里得几何等侧重于“形”的几何学.但解析解却并不只是单纯地“形”进行研究，因而解析几何从诞生开始便不能算是完全意义上的几何学.在此后，代数与几何几乎是紧密联系、捆绑式发展，而数与形在局部相关领域联系也更加紧密，“数”提供了研究的工具、思路和方法，更新看待问题的视角，而“形”提供研究的对象和辅助思考的工具，数形结合思想也彻底的、完全的渗透到数学的发展当中，并被当作一种研究问题的思想方法提炼出来.在近现代数形结合思想的推动下，“数”的运用使得研究向更加深入、抽象的方向发展，不过在另外一些领域，比如代数学内部研究的对象与“形”的联系却越来越远.由于整个数学领域内越来越多的数学分支与日益兴起的综合交叉学科，现象已经很难准确的诠释“数”与“形”的具体含义，同时，数学家们所关注的“结合”、“联系”也不再仅只是“数”与“形”这些具体的数学对象，在他们看来，关注不同的数学方法与数学思想之间的相互融合更具有实际意义.由于现代数学工具大部分兼具“数”和“形”双重特征，“数形结合”已经作为一种基本数学思想被完全地、彻底地熔融到数学的发展中.[10]3数形结合思想的价值体现数形结合思想是中学数学中常见的、具有一般性的数学思想之一，它在数学学习中具有重要的价值.数学主要研究的两类对象就是数与形，数代表的是学习知识的抽象特征，而形代表的这是则是数学知识的直观形象特征.在研究和解决数学问题时，数形结合将抽象的解析式、代数式的本质特征表现出来，借助直观进行几何化、形象化.此外，数形结合是联系数与形的纽带，通过数与形的相互转化，可化抽象为直观，化难为易，很好的解决数学问题.因此，掌握数形结合思想是很有必要的.3.1数形结合在概念定理中的优越性在数形结合思想的指导下，一个几何对象可以被代数所完全刻画，几何概念可以表示成代数的形式，几何目标也可以通过代数方法来达到，而几何图像也可以间接从代数的角度来体现；反过来看，数形结合思想使代数语言得到了几何解释，从而使代数语言有了直观、形象的意义.比如毕达哥拉斯学派对完全平方公式的证明，具体的证明过程如下（如图6所示）：图6完全平方公式的证明在以为边长的正方形中，被切割成四个四边形，其中包含有两个分别以，为边长的小正方形，根据图像关系可以知道，大正方形的面积是被四个四边形所填充，也就是以为边的大正方形的面积等于其他四个四边形面积的和，即，整理就得到完全平方式：图6完全平方公式的证明又如我国古代科学家赵爽对勾股定理的证明：下图的正方形是由四个完全相同的直角三角形拼成，其中，直角三角形的两直角边分别为、，斜边为.那么，这个大正方形的边长为，中间小正方形的边长为.四个三角形的面积之和，大正方形的面积，小正方形的面积.显然，四个三角形的面积之和=大正方形的面积-小正方形的面积，即，所以，所以，即，勾股定理成立.图7赵爽弦图图82002年世界数学家大会会徽赵爽利用他所绘制的图案，非常巧妙的运用数形结合逻辑性严密的证明了勾股定理，对我国的数学发展做出了重大贡献.值得一提的是，2002年，在我国北京举办的世界数学家大会上所使用的会徽就是“勾股弦图”.（如图8所示）这显然也是中国古代数学史上的一大骄傲.此外，对于数形结合思想，在向量运算中也得到了了充分的体现.对于一些几何定理，我们可以通过构造向量来证明，或者简化证明过程.例如，在三角形中构造向量，可以运用数量积的定义和向量的运算法则证明三角形的余弦定理，也可以利用向量积模的定义证明三角形的正弦定理.上述例子说明，从古至今，数形结合相互间的联系就很紧密.用代数方法解决几何问题，用几何方法处理代数问题，充分体现出了数形结合思想对于理解数学概念、证明数学定理的优越性.3.2数形结合对微积分的重要作用3.2.1微积分创立的准备工作在恩格斯的《自然辩证法》一书中，微积分的创立被看成是17世纪人类理性精神的最高胜利，但是它的产生离不开解析几何所给予的贡献.在17世纪上半叶时期，数学家们已经积累了大量微积分的知识和方法，如德国天文学家、数学家开普勒发现了如何求旋转体体积；意大利数学家卡瓦列里建立了不可分量原理，后称“卡瓦列里原理”；法国数学家笛卡尔在《几何学》中提出了“圆法”；费马提出了求极大值与极小值的代数的方法；巴罗给出了求曲线切线的方法——“微分三角法”，也叫“特征三角法”以及沃利斯的“无穷算法”等，这些努力都为微积分的产生起到了积极的促进作用，而解析几何的出现则为微积分的创立奠定了基础.3.2.2解析几何在微积分中的作用17世纪笛卡尔创立的解析几何，建立了坐标系中点与数的一一对应，这为利用数形结合思想去研究微积分打下了基础.[11]事实上，微积分学中的很多问题就是运用的数形化归，这是形象思维的常见形式，其主要体现在两方面：一是将代数问题几何化，将问题的本质形象化，即根据数量特征，构造出相应的几何图形；二是将几何问题代数化，也就是将图像信息转化为代数信息.在微积分中，许多概念定理都离不开数形结合.如：函数在区间上连续表示它的图像在这个区间上是一个连贯的曲线；定积分表示曲边梯形的面积代数和.而解析几何是代数与几何相结合的产物，它将变量引进了数学，使运动与变化的定量表述成为可能，从而为微积分的创立搭起了舞台，可以说，正是有了解析几何，才推动了微积分的发展.3.3数形结合为三大几何问题的解决提供了转机古希腊是几何学的故乡，而古希腊时期的三大几何难题，是延续两千多年才得以解决的世界性难题.3.3.1三大几何问题古希腊著名的三大几何问题分别是：（1）化圆为方，即求作一个正方形，使其与给定的圆的面积相等；（2）倍立方体，即求作一个立方体，使这个立方体的体积等于已知正方体的两倍；（3）三等分角，即将任意给定的一个角三等分.三大几何问题的起源涉及一些古老的传说，例如关于化圆为方问题，安娜萨格拉斯是古希腊著名的学者，在当时，由于当时的宗教认为太阳是神灵，而他却认为太阳是一块炽热的石头，所以被蒙受冤狱之苦，在被囚禁的日子里，阳光每天穿过牢房那狭小的方形窗户进入室内.一天，他在凝视圆圆的太阳赏赐给他的方形光亮时，突发奇想：能不能做一个正方形，使它的面积与一个已知圆的面积恰好相等呢？于是，一道世界名题——化圆为方问题诞生了.[12]关于倍立方体问题有两个神话故事，一个是埃拉托塞尼曾记载一位古希腊诗人讲述的故事，说神话中的米诺斯王嫌别人为他建造的坟墓太小，命令将其扩大一倍；另一个是说在埃拉托塞尼的记述中，瘟疫袭击提洛岛，一个先知者说已经得到神的谕示，必须将立方体的祭坛的体积加倍，瘟疫方可停息.[13]这类问题引起了古希腊许多数学家的注意，激发了整个古希腊许多数学家的研究兴趣.这三大几何问题的难处在于古希腊人限制了作图工具，古希腊人要求几何作图只能使用不带刻度的直尺和圆规（称为尺规作图法），致使这三大几何问题看似简单，而实际操作起来却很难，令数学家们百思不得其解.3.3.2三大几何问题的解决这三个几何作图问题看起来不复杂，但实际上却困扰了数学家们一千多年，一代代数学家贡献力无限时间与精力，都没有找到正确的方法.许多古希腊学者都为解决这三个问题作了大量的工作，如今看来，尽管他们最终没能解决这三大几何问题，但他们在尝试解决这三个问题过程中的探讨引出了许多重要的发现，这些发现对整个希腊数学产生了巨大的影响.有的人在解决问题的过程中很灵活，巧妙地添加了一些条件，如阿基米德在直尺上标出两个点，解决了三等分角的问题；柏拉图用两个三角形板来解决了倍立方体问题一些数学家在此基础上探索了一些新的数学问题和理论.例如，柏拉图的学生梅内克缪斯为了解决倍立方体问题而发现了圆锥曲线；希腊数学家在求解三等分任意角的过程中，发展了高等几何，包括希皮亚斯的割圆曲线、尼科梅德斯的蚌线、阿基米德的螺线等.一直到1637年，法国数学家笛卡尔创立了解析几何，利用代数方法来研究几何问题，才为解决这三大几何难题的解决提供了新的转机.其中，在1637年，笛卡尔首先提出立方倍积问题不可能用尺规作图得出.解析几何诞生后，将代数方程与几何曲线紧密的结合在了一起，促使人们对尺规作图可能性问题有了更加深入的认识，从而得出结论：一个几何量能否用直尺、圆规作出的问题，等价于它能否由已知量经过有限次加、减、乘、除、开方运算求得.三大几何作图问题的真正解决是在解析几何创立之后的19世纪.1837年，法国数学家旺泽尔进过努力，在代数方程论的基础上，证明了倍立方体和三等分角问题只用尺规作图是不可能的.1882年，德国数学家林德曼证明了数的超越性，从而也证明了尺规作图化圆为方的不可能性.至此，古希腊三大几何问题才彻底得以解决.事实上，三大几何问题的解决过程中存在着解析几何的影子，可见，解析几何在三大作图问题中的作用是不可替代的.3.4数形结合使圆锥曲线的研究有了新进展关于圆锥曲线的起源，古希腊几何学家梅内克缪斯认为圆锥曲线是为了解决三大几何问题中的“倍立方体”问题而提出的.圆锥曲线的出现引起了许多古希腊数学家的兴趣，他们都对圆锥曲线做了深入研究，其中包括欧几里得和阿基米德.但对圆锥曲线研究的集大成者，则是在阿基米德之后的古希腊几何学家阿波罗尼奥斯.阿波罗尼奥斯晚年，在自己研究成果的基础上，总结了前人在圆锥曲线的研究成就，撰成了《圆锥曲线论》.《圆锥曲线论》是圆锥曲线的经典著作，它代表了古希腊几何的最高水平，但这本书晦涩难懂，阻碍了希腊数学的发展.自此以后很长时间，圆锥曲线的研究不再像古希腊时期那样辉煌，希腊几何也再没有实质性的进步.17世纪初期，在研究古希腊“三线轨迹”和“四线轨迹”的基础上，费马和笛卡尔创立了解析几何，圆锥曲线的研究从此进入了一个崭新的时期.[14]在这一时期，数学家们从代数的视角，运用解析的方法，研究圆锥曲线的定义、方程和各种性质，同时出现了大量圆锥曲线的著作，有些还成为了当时的经典教材，为我们提供了丰富的宝库.在这些著作中，呈现出了各种各样的椭圆定义方式，而椭圆方程的推导也是精彩纷呈.其中，圆锥曲线的解析方程就是在1655年得到的，英国数学家、物理学家沃利斯所撰写的《论圆锥曲线》一书中为了解释阿波罗尼奥斯的结论，他将几何条件转化为代数条件，由此第一次得到了圆锥曲线的解析方程.显然，解析几何的引入，运用数形结合思想，巧妙的将晦涩难懂的圆锥曲线问题转化得易懂，同时，也促使圆锥曲线的研究有了新进展.19世纪以来，解析几何受到分析学和各种科学的影响，内容发展得非常丰富，以圆锥曲线来说，不仅在理论上达到了极高峰，实际中也得到了充分的运用.[14]4总结数形结合思想简单的说就是把数学中的“数”与数学中的“形”结合起来，用于解决数学问题的一种数学思想，其实质就是将抽象的数学语言和直观的图像相结合，通过数与形的相互转化，将复杂、抽象的内容转化成直观、形象的内容.数形结合思想作为中学数学中最基本、最常见的数学思想，在数学教学中有着十分重要的作用.首先，在数学概念定理的教学中，数形结合有着优越性，而数学概念定理的学习是学生认识数学的基础，也是学生学习新知识的关键.有时候在数学概念的教学中，如果穿插了概念定理的几何意义，那么学生对于概念定理的理解就会更加深刻，对于概念定理的记忆也会更加牢固.因此，教师在