2024年中考数学【高分·突破】压轴题培优专题精练压轴热点考点05一次函数与反比例的图像及其性质(压轴突破)(原卷版+解析)

压轴热点考点05一次函数与反比例的图像及其性质压轴突破——2024年【中考·冲刺】数学高频热点考点好题精编一、单选题1．一般地，在平面直角坐标系中，任何一个二元一次方程对应的图象都是一条直线．已知如图过第一象限上A点的直线是方程的图象，若点A的坐标恰为关于x，y的二元一次方程组的解，则a的值可能是（

）

A． B．0 C．1 D．22．双曲线：如图所示，小李设计了一个程序：对于数对表示输入两个正数，，可得双曲线：，直线：分别与双曲线，交于点A，（点与点A不重合），连接，，若，则下列说法不正确的是（

）

A．满足条件 B． C．点的坐标可能为 D．线段上横坐标为正整数的点最多有2个3．如图，直线交坐标轴于D，E两点，等边三角形的边在x轴上，且点B为线段的中点，若将沿y轴竖直向上平移，当点C落在直线上时，点C平移的距离为（

）

A． B． C． D．4．在地球引力作用下，大量气体聚集在地球周围，形成数千公里的大气层，大气层是地球生物赖以生存必不可少的条件，大气层由于重力作用形成了大气压．海拔高度不同，大气压强也不同，如图是大气压强随海拔高度变化的关系图象，观察图象可知，下列说法正确的是（

）A．大气压强与海拔高度成反比例函数关系B．随着海拔高度的增大，大气压强也随之增大C．海拔高度为时，大气压强约为D．海拔高度为时，大气压强为5．若直线和直线平行，其中点的坐标为，将直线向右平移个单位后为（

）A． B． C． D．6．美美在研究物体吸热与放热知识时，用相同的电加热器分别对质量为0.2kg的水和0.3kg的另一种液体进行加热，得到实验数据如图所示．下列说法错误的是（

）

A．加热前，水温度是10B．在相同时间内，另一种液体温差变化比水的温差变化大C．水在16min内吸收的热量为D．可以用一次函数表示另一种液体温度与时间之间的关系7．已知点，在函数的图象上，有下列命题：①此函数的图象是轴对称图形；②若，则；③连接AB，OA，OB，若，则．其中的真命题是（

）A．①② B．①③ C．②③ D．①②③8．如图，过原点O的直线l与双曲线交于A、C两点，将直线l绕点O顺时针旋转，与双曲线交于B、D两点，以下四种说法：①存在无数个平行四边形；②存在无数个矩形；③存在菱形；④不存在正方形；其中正确的个数是（

）

A．1 B．2 C．3 D．4二、填空题9．如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点坐标分别为，．把横、纵坐标均为偶数的点称为偶点．

（1）矩形（不包含边界）内的偶点的个数为；（2）若双曲线：将矩形（不包含边界）内的偶点平均分布在其两侧，则的整数值有个．10．如图，反比例函数的图象与的两边、分别交于点、，已知轴，点A在y轴上，点C在x轴上，F为的中点，则．

11．如图，在，点，点，双曲线L：（，）与边交于C、D两点，点D的纵坐标大于点C的纵坐标．

（1）当点D的坐标为时，；（2）若，则点C的坐标为；（3）连接，记的面积为S．若，则k的取值范围为．12．如图，菱形的顶点、在轴上，，点在边上且横坐标为8，点为边上一动点，轴上有一点．当点到所在直线的距离取得最大值时，点的坐标为．

13．我国著名数学家华罗庚说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休．”请你利用数形结合思想，解决下面问题：如图，在平面直角坐标中，将线段向上平移4个单位，若线段在运动过程中扫过的区域面积为S，则S与的关系式为．14．规定：两个函数，的图象关于y轴对称，则称这两个函数互为“Y函数”．例如：函数与的图象关于y轴对称，则这两个函数互为“Y函数”．若函数（k为常数）的“Y函数”图象与x轴只有一个交点，则其“Y函数”的解析式为．15．如图，在平面直角坐标系中，直线y=x+6与x轴，y轴分别交于点D，点E，点F为直线y=x+6上一点，横坐标为-4．把直线DE绕F点顺时针旋转，与x轴负半轴，y轴正半轴分别交于点A，点C，若S△ADF=S△FEC，则直线AC的解析式为．16．在平面直角坐标系中，将一点的横坐标与纵坐标互换后得到的点叫这一点的“互换点”，如图，反比例函数与的图象关于轴对称，点、在函数的图象上在的左侧，当是的“互换点”且时，函数的图象上存在点，使是以为直角边的直角三角形，则点的横坐标为．三、解答题17．学校数学兴趣小组开展综合实践活动鱼塘中的“增氧器”在何处？如图，测出正方形鱼塘的边长为，在边上的点处发现点正好被“增氧器”挡住，同样在边边上的点处发现点被挡往，量出、的长都是如图，他们以点为坐标原点，直线、分别为横轴和纵轴，建立平面直角坐标系，成功解决了问题．

(1)求直线的函数表达式；(2)求“增氧器”距边、的距离．18．已知关于的函数：为常数交轴负半轴于点，交轴正半轴于点．(1)求的取值范围；(2)为坐标原点，设的面积为，求直线的函数解析式．19．如图，一次函数与反比例函数，点在反比例函数图象上，点与点关于原点对称．

(1)求反比例函数关系式；(2)写出点Q的坐标，试说明无论k取何值，一次函数图象必过点Q；(3)当时，若与有交点，则的值可能是．（填序号）①，②，③，④，⑤．20．已知反比例函数的图象的一支如图所示，它经过点．

(1)求该函数的表达式，并补画函数图象的另一支；(2)若该反比例函数与一次函数的图象交于第一象限内一点，求代数式的值．下面是几位同掌解决问题（2）时的讨论：小平：把两个函数表达式联立求交点坐标，可是好像方程组不会解……小解：可以用图象法！小王：也可以把通分，结合函数表达式求解．请你结合上述讨论完成此题．压轴热点考点05一次函数与反比例的图像及其性质压轴突破——2024年【中考·冲刺】数学高频热点考点好题精编一、单选题1．一般地，在平面直角坐标系中，任何一个二元一次方程对应的图象都是一条直线．已知如图过第一象限上A点的直线是方程的图象，若点A的坐标恰为关于x，y的二元一次方程组的解，则a的值可能是（

）

A． B．0 C．1 D．2【答案】D【分析】根据点A的位置可知方程组中的值，解方程组求得，由，得出，即可得出，解得．【详解】解：∵点A在第一象限，∴，且，得，∴，∵，∴，∴，∴，故选：D．【点睛】本题考查了一次函数与二元一次方程组，一次函数的性质，熟知函数与方程组的关系是解题的关键．2．双曲线：如图所示，小李设计了一个程序：对于数对表示输入两个正数，，可得双曲线：，直线：分别与双曲线，交于点A，（点与点A不重合），连接，，若，则下列说法不正确的是（

）

A．满足条件 B． C．点的坐标可能为 D．线段上横坐标为正整数的点最多有2个【答案】B【分析】过点A作轴，过点B作轴，根据反比例函数的几何意义及三角形面积的关系得出，结合题意即可判断．【详解】解：过点A作轴，过点B作轴，如图所示：

∵，直线：，∴，解得：，，∴点，∵，∴即，解得：，即，且ab≠6，，且≠3，故B选项符合题意，∴线段上横坐标为正整数的点最多有2个，为4和5，故C、D不符合题意；将代入得，此时，故A选项不符合题意，故选B．【点睛】题目主要考查反比例函数的几何意义，理解题意，结合图象进行求解是解题关键．3．如图，直线交坐标轴于D，E两点，等边三角形的边在x轴上，且点B为线段的中点，若将沿y轴竖直向上平移，当点C落在直线上时，点C平移的距离为（

）

A． B． C． D．【答案】C【分析】过点C作于点M，延长交于点N，先根据题意求出的长，再求出的长即可求出答案．【详解】解：如图，过点C作于点M，延长交于点N，令，则，解得，∴点D的坐标为，∵点B为线段的中点，，是等边三角形，，又∵，∴，∴，将代入，得，即，∴，即点C平移的距离为．故选：C．

【点睛】本题考查一次函数图象上点的坐标特征、等边三角形的性质、坐标与图形变化﹣平移，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用等边三角形的性质和平移的性质解答．4．在地球引力作用下，大量气体聚集在地球周围，形成数千公里的大气层，大气层是地球生物赖以生存必不可少的条件，大气层由于重力作用形成了大气压．海拔高度不同，大气压强也不同，如图是大气压强随海拔高度变化的关系图象，观察图象可知，下列说法正确的是（

）A．大气压强与海拔高度成反比例函数关系B．随着海拔高度的增大，大气压强也随之增大C．海拔高度为时，大气压强约为D．海拔高度为时，大气压强为【答案】C【分析】根据反比例函数的定义即可判断A；根据图象的变化趋势即可判断B；根据表格数据即可判断C；根据图象趋势即可判断D．【详解】解：A、根据图象可知图象经过，，，，，，横坐标与纵坐标的积不相等，所以结论错误，故此选项不符合题意；B、根据图象可以看出，随着海拔高度的增大，大气压强也随之减小，所以结论错误，故此选项不符合题意；C、根据图象可以看出，当时，大气压强，所以结论正确，故此选项符合题意；D、根据图象可以看出，，，所以结论错误，故此选项不符合题意．故选：C．【点睛】本题考查反比例函数应用，现实生活中存在大量成反比例函数的两个变量，解答该类问题的关键是确定两个变量之间的函数关系，然后利用待定系数法求出它们的关系式．5．若直线和直线平行，其中点的坐标为，将直线向右平移个单位后为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据平行直线的解析式的值相等设直线的解析式为，把点的坐标代入求出的值，然后利用平移的规律求得即可．【详解】由题意设直线的解析式为，∵直线经过点，∴，解得，∴，将直线向右平移个单位后得到，即，故选：．【点睛】此题考查了两直线平行的问题，熟记平行直线的解析式的值相等是解题的关键．6．美美在研究物体吸热与放热知识时，用相同的电加热器分别对质量为0.2kg的水和0.3kg的另一种液体进行加热，得到实验数据如图所示．下列说法错误的是（

）

A．加热前，水温度是10B．在相同时间内，另一种液体温差变化比水的温差变化大C．水在16min内吸收的热量为D．可以用一次函数表示另一种液体温度与时间之间的关系【答案】C【分析】根据函数图象逐项判断即可．【详解】解：A、由图象可得，加热前，水温度是10，故A选项正确，不符合题意；B、由图象可得，另一种液体的图象的坡度明显比水的图象坡度要陡，所以在相同时间内，另一种液体温差变化比水的温差变化大，故B选项正确，不符合题意；C、由图象知，16min时，水的温度是，依据，故C选项错误，符合题意；D、设一种液体温度与时间之间的关系式为：，由图象可知，图象经过，，，解得：，另一种液体温度与时间的函数关系式为：，故D选项正确，不符合题意；故选：C．【点睛】本题主要考查了从函数的图象获取信息，求一次函数的解析式，解题的关键是读懂题意，能从函数图象中获取有用的信息．7．已知点，在函数的图象上，有下列命题：①此函数的图象是轴对称图形；②若，则；③连接AB，OA，OB，若，则．其中的真命题是（

）A．①② B．①③ C．②③ D．①②③【答案】D【分析】根据题意画出图形，逐项进行判断即可【详解】解：当，（第一象限）；当，（第二象限）画图象如图，

所以，①此函数的图象是轴对称图形；故①成立；②在第一象限内y随x增大而减小，故②成立；③∵，∴又点在函数的图象上，∴故③成立．故选：D【点睛】本题考查的是反比例函数的性质，熟知反比例函数的图象是双曲线；熟练掌握其性质是解答此题的关键．8．如图，过原点O的直线l与双曲线交于A、C两点，将直线l绕点O顺时针旋转，与双曲线交于B、D两点，以下四种说法：①存在无数个平行四边形；②存在无数个矩形；③存在菱形；④不存在正方形；其中正确的个数是（

）

A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】根据双曲线和直线的中心对称性质和平行四边形，矩形，菱形和正方形的判定，结合图形即可得到答案．【详解】∵双曲线和双曲线是关于原点O对称的中心对称图形，直线和直线是关于原点O的中心对称图形，∴∴四边形为平行四边形，故①正确，符合题意；∵如图双曲线在双曲线的内侧，∴以为圆心，为半径作圆，交双曲线于两点，∴，∵四边形为平行四边形，∴,∴，∴四边形为矩形，故②正确，符合题意；∵A，B两点都在第一象限，∴,∵四边形要想成为菱形和正方形，对角线都需要互相垂直即，∴四边形不可能是菱形和正方形，故③不正确，不符合题意，④正确，符合题意．故选：C

【点睛】本题考查了双曲线的性质，平行四边形的判定，矩形的判定，菱形的判定和正方形的的判定等知识点，熟练掌握其性质是解决此题的关键．二、填空题9．如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点坐标分别为，．把横、纵坐标均为偶数的点称为偶点．

（1）矩形（不包含边界）内的偶点的个数为；（2）若双曲线：将矩形（不包含边界）内的偶点平均分布在其两侧，则的整数值有个．【答案】63【分析】（1）先得出点，然后根据偶点的定义可得偶点的坐标分别为，，，，，，即可得到答案；（2）先计算出双曲线经过各偶点是的值，再根据偶点平均分布在其两侧，每侧各3个点，可得出的取值范围，从而得到答案．【详解】解：（1）四边形是矩形，，，，偶点的坐标分别为，，，，，，∴矩形（不包含边界）内的偶点的个数为6，故答案为：6；（2）双曲线经过点时，的值为4，双曲线经过点，时，的值为8，双曲线经过点时，的值为16，双曲线经过点时，的值为12，双曲线经过点时，的值为24，∵双曲线将矩形（不包含边界）内的偶点平均分布在其两侧，每侧各3个点，∴，∴的整数值为9，10，11，∴的整数值有3个，故答案为：3．【点睛】本题考查了反比例函数的图象及性质、矩形的性质、坐标与图形，熟练掌握反比例函数的图象与性质、矩形的性质是解题的关键．10．如图，反比例函数的图象与的两边、分别交于点、，已知轴，点A在y轴上，点C在x轴上，F为的中点，则．

【答案】10【分析】过点F作轴于点D，过点B作轴于点G，可得，再由轴，，可得，即，从而求得，再根据反比例函数解析式求得，即可求得结果．【详解】解：过点F作轴于点D，过点B作轴于点G，∵轴，轴，∴，又∵F为的中点，，∴，∵轴，，∴，∴，∴，∴，即，∴．

【点睛】本题考查三角形的中位线的性质、用待定系数法求反比例函数解析式，熟练掌握相关知识是解题的关键．11．如图，在，点，点，双曲线L：（，）与边交于C、D两点，点D的纵坐标大于点C的纵坐标．

（1）当点D的坐标为时，；（2）若，则点C的坐标为；（3）连接，记的面积为S．若，则k的取值范围为．【答案】【分析】（1）由题意可先求出直线的解析式，然后把点D坐标代入直线的解析式进行求解b，进而问题可求解；（2）联立反比例函数与直线的解析式进行求解即可；（3）设，由题意可先把的面积表示出来，然后问题可求解．【详解】解：设直线的解析式为，则有：，解得：，∴直线的解析式为，（1）把点代入得：，∴；（2）∵，∴，联立反比例函数与直线的解析式得：，解得：或，∵点D的纵坐标大于点C的纵坐标，∴；（3）设，由可得，∴，∵，∴，∴，∵，∴；故答案为；；．【点睛】本题主要考查反比例函数与一次函数的综合，熟练掌握反比例函数与一次函数的图象与性质是解题的关键．12．如图，菱形的顶点、在轴上，，点在边上且横坐标为8，点为边上一动点，轴上有一点．当点到所在直线的距离取得最大值时，点的坐标为．

【答案】【分析】依据直线过定点，则定点到直线的最大距离就是长，利用直线的解析式求出直线的解析式，则点坐标可求出来．【详解】解：如图，，，，，点在边上且横坐标为8，，，，直线过定点，时，点到所在直线的距离取得最大值．，，设解析式为，代入点坐标得，，即．此刻直线的值为：，设直线解析式为：，代入点坐标得：，，直线的解析式为：，令，则，解得．此刻点的坐标为：．故答案为：．

【点睛】本题考查了坐标与图形性质以及菱形的性质，本题的关键就是能看到点到直线的最大距离就是到定点的长．13．我国著名数学家华罗庚说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休．”请你利用数形结合思想，解决下面问题：如图，在平面直角坐标中，将线段向上平移4个单位，若线段在运动过程中扫过的区域面积为S，则S与的关系式为．【答案】【分析】根据题意做出图，通过图可得线段在运动过程中扫过的区域面积S即为四边形的面积，且，即可得到答案．【详解】解：如图所示：线段是线段向上平移4个单位长度得到的，∴线段的解析式为：，把，代入得：，，∴点A坐标为，点B坐标为，∴点L的坐标为，把，代入得：，，∴点K的坐标为，点J的坐标为，∴，，，由题意得：线段在运动过程中扫过的区域面积为S即为四边形的面积，由图可得：∴S与的关系式为．【点睛】本题考查了与一次函数有关的面积问题，正确表示出即可求出答案．14．规定：两个函数，的图象关于y轴对称，则称这两个函数互为“Y函数”．例如：函数与的图象关于y轴对称，则这两个函数互为“Y函数”．若函数（k为常数）的“Y函数”图象与x轴只有一个交点，则其“Y函数”的解析式为．【答案】或【分析】分两种情况，根据关于y轴对称的图形的对称点的坐标特点，即可求得．【详解】解：函数（k为常数）的“Y函数”图象与x轴只有一个交点，函数（k为常数）的图象与x轴也只有一个交点，当k=0时，函数解析为，它的“Y函数”解析式为，它们的图象与x轴只有一个交点，当时，此函数是二次函数，它们的图象与x轴都只有一个交点，它们的顶点分别在x轴上，，得，故k+1=0，解得k=-1，故原函数的解析式为，故它的“Y函数”解析式为，故答案为：或．【点睛】本题考查了新定义，二次函数图象与x轴的交点问题，坐标与图形变换-轴对称，求一次函数及二次函数的解析式，理解题意和采用分类讨论的思想是解决本题的关键．15．如图，在平面直角坐标系中，直线y=x+6与x轴，y轴分别交于点D，点E，点F为直线y=x+6上一点，横坐标为-4．把直线DE绕F点顺时针旋转，与x轴负半轴，y轴正半轴分别交于点A，点C，若S△ADF=S△FEC，则直线AC的解析式为．【答案】y=x+3【分析】由S△ADF=S△FEC，推出S△ADF+S四边形CODF=S△FEC+S四边形CODF，即S△AOC=S△EOD，设直线AC的解析式为y=kx+b，根据题意得出b2-9b+18=0，继续计算即可求解．【详解】解：令x=0，则y=6，令y=0，则x=-6，∴点D(-6，0)，点E(0，6)，∴OD=OE=6，∵点F为直线y=x+6上一点，横坐标为-4，∴y=-4+6=2，∴点F(-4，2)，∵S△ADF=S△FEC，∴S△ADF+S四边形CODF=S△FEC+S四边形CODF，∴S△AOC=S△EOD，设直线AC的解析式为y=kx+b，则点A(-，0)，点E(0，b)，∴OA=，OC=b，根据题意得：，，整理得：b2-9b+18=0，解得：b=6(舍去)或b=3，当b=3时，k=，∴直线AC的解析式为y=x+3，故答案为：y=x+3．【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、三角形的面积，解题的关键是利用三角形的面积公式结合S△ADF=S△FEC，找出关于b的一元二次方程．16．在平面直角坐标系中，将一点的横坐标与纵坐标互换后得到的点叫这一点的“互换点”，如图，反比例函数与的图象关于轴对称，点、在函数的图象上在的左侧，当是的“互换点”且时，函数的图象上存在点，使是以为直角边的直角三角形，则点的横坐标为．【答案】【分析】由反比例函数与的图象关于轴对称，得出，设，根据题意顶点，由，得到，解方程组求得、的坐标，作轴于，轴于，通过证得，即可求得到的坐标．【详解】解：反比例函数与的图象关于轴对称，，设，则，，，解得或负数舍去，，，作轴于，轴于，则，，设，则，，是以为直角边的直角三角形，，，，，，∽，，即，解得正数舍去，．故答案为：．【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数的性质，勾股定理的应用，相似三角形的判定和性质等知识的综合，关于轴对称的点的坐标特征，三角形相似的判断和性质，作出辅助线构建相似三角形是解题的关键．三、解答题17．学校数学兴趣小组开展综合实践活动鱼塘中的“增氧器”在何处？如图，测出正方形鱼塘的边长为，在边上的点处发现点正好被“增氧器”挡住，同样在边边上的点处发现点被挡往，量出、的长都是如图，他们以点为坐标原点，直线、分别为横轴和纵轴，建立平面直角坐标系，成功解决了问题．

(1)求直线的函数表达式；(2)求“增氧器”距边、的距离．【答案】(1)(2)“增氧器”距边、的距离分别为：，【分析】本题考查待定系数法求一次函数关系式，以及一次函数与二元一次方程组的关系．求的函数表达式可以用待定系数法．利用题中已建坐标系，可求得点的坐标，可求得距、的距离．【详解】（1）解：按题意建立平面直角坐标系，由的边长为，可得：，；由、的长都是，可得：，；设的函数表达式为：，并将、坐标代入得：；解得：；即：．（2）解：设的函数表达式为：，并将、坐标代入得：；解得：；即：．联立、两直线函数关系式得：；解得：．即“增氧器”距边、的距离分别为：，．18．已知关于的函数：为常数交轴负半轴于点，交轴正半轴于点．(1)求的取值范围；(2)为坐标原点，设的面积为，求直线的函数解析式．【答案】(1)(2)【分析】本题考查了求一次函数的性质，一次函数与坐标轴