2024年高中数学同步高分突破讲义(人教A版2019)2.2直线的位置关系-(选择性必修第一册)(学生版+解析)

直线的位置关系1两直线的位置关系直线方程位置关系直线方程位置关系llll重合k1=A相交kA平行k1=A垂直kAPS对于两条不重合的直线l1,l则有l1//l有l1⊥l2⇔k1⋅k2线段的中点坐标公式若点P1,P2的坐标分别是(x3常见的直线系方程平行于直线Ax+By+C=0的直线系方程Ax+By+C垂直于于直线Ax+By+C=0的直线系方程Bx−Ay+C过两条已知直线l1:AA1(λ∈R,这个直线系下不包括直线l2:A4对称性问题(1)点关于点的对称点P(x0,y0(2)点关于直线的对称设点P(x0,y0则有y'−y0x(直线l是线段PP'的垂直平分线，则kPP'∙k=−1，PP'的中点(x(3)直线关于直线的对称(i)若已知直线l1与对称轴l相交于点P，则与l1对称的直线l2过点P，再求出直线l1上一点P1关于对称轴l的对称点P2，则由点(ii)若已知直线l1与对称轴l平行，求与已知直线l1关于对称轴l对称的直线l2，利用直线l1、【题型一】直线的位置关系的判断【典题1】已知l1：x+my+6=0，l2：(m−2)x+3y+2m=0，分别求m的值，使得l1和l【典题2】顺次连接A(−4,3)、B(2,5)、C(6,3)、D(−3,0)，所组成的图形是()A．平行四边形 B．直角梯形 C．等腰梯形 D．以上都不对【典题3】已知m<1，直线l1：y=mx+1，l2：x=−my+1，l1与l2相交于点P，l1交y轴于点A(1)证明：l1(2)用m表示四边形OAPB的面积S，并求出S的最大值.巩固练习1(★)若l1与l2为两条不重合的直线，它们的倾斜角分别为a1,a(1)若l1∥l2，则斜率k1=k(3)若l1∥l2，则倾斜角a1=a其中正确命题的个数是.2(★)已知直线l1：x+2ay−1=0，与l2：3(★)三条直线l1则k的取值范围是.4(★)已知直线l1：mx+4y−2=0与l2：2x−5y+n=0互相垂直，其垂足为则m+n−p的值为.5(★)直线l过点A(3,4)且与点B(−3,2)的距离最远，那么l的方程为.6(★★)[多选题]已知等腰直角三角形ABC的直角顶点为C(3,3)，点A的坐标为(0,4)，则点B的坐标为()A．(2,0) B．(6,4) C．(4,6) D．(0,2)7(★★★)在△ABC中，已知M(1,6)是BC边上一点，边AB,AC所在直线的方程分别为2x−y+7=0,x−y+6=0．(1)若AM⊥BC，求直线BC的方程；(2)若|BM|=|CM|，求直线BC在x轴上的截距．【题型二】对称问题【典题1】已知直线y=2x是△ABC中∠C的平分线所在的直线，若点A、B的坐标分别是(−4,2)，(3,1)，则点C的坐标为.【典题2】如图已知A(4,0)、B(0,4)、O(0,0)，若光线L从点P(2,0)射出，直线AB反射后到直线OB上，在经直线OB反射回原点P，则光线L所在的直线方程为.【典题3】已知O为坐标原点，倾斜角为2π3的直线l与x,y轴的正半轴分别相交于点A,B，△AOB的面积为8(1)求直线l的方程；(2)直线l'：y=−33x，点P巩固练习1(★)原点关于x−2y+1=0的对称点的坐标为．2(★)已知点A(1,2)、B(3,1)，则线段AB的垂直平分线的方程是．3(★)入射光线沿直线x－2y+3=0射向直线l：y=x，被l反射后的光线所在直线的方程是4(★)已知△ABC的顶点A(1,2)，AB边上的中线CM所在的直线方程为x+2y−1=0，∠ABC的平分线BH所在直线方程为y=x，则直线BC的方程为．5(★★)已知A(3,0),B(0,3)，从点P(0,2)射出的光线经x轴反射到时直线AB上，又经过直线AB反射回到时P点，则光线所经过的路程为．6(★★)已知直线l经过点P(6,4)，斜率为k(1)若l的纵截距是横截距的两倍，求直线l的方程；(2)若k=−1，一条光线从点M(6,0)出发，遇到直线l反射，反射光线遇到y轴再次放射回点M，求光线所经过的路程．7(★★)在直线l：3x−y−1=0上求一点P，使得：(1)P到A(4,1)和B(0,4)的距离之差最大；(2)P到A(4,1)和C(3,4)的距离之和最小．直线的位置关系1两直线的位置关系直线方程位置关系直线方程位置关系llll重合k1=A相交kA平行k1=A垂直kAPS对于两条不重合的直线l1,l则有l1//l有l1⊥l2⇔k1⋅k2线段的中点坐标公式若点P1,P2的坐标分别是(x3常见的直线系方程平行于直线Ax+By+C=0的直线系方程Ax+By+C垂直于于直线Ax+By+C=0的直线系方程Bx−Ay+C过两条已知直线l1:AA1(λ∈R,这个直线系下不包括直线l2:A4对称性问题(1)点关于点的对称点P(x0,y0(2)点关于直线的对称设点P(x0,y0则有y'−y0x(直线l是线段PP'的垂直平分线，则kPP'∙k=−1，PP'的中点(x(3)直线关于直线的对称(i)若已知直线l1与对称轴l相交于点P，则与l1对称的直线l2过点P，再求出直线l1上一点P1关于对称轴l的对称点P2，则由点(ii)若已知直线l1与对称轴l平行，求与已知直线l1关于对称轴l对称的直线l2，利用直线l1、【题型一】直线的位置关系的判断【典题1】已知l1：x+my+6=0，l2：(m−2)x+3y+2m=0，分别求m的值，使得l1【解析】(1)若l1和l2垂直，方法1把直线化为斜截式，由斜率k1当m=0时，l1:x=−6，当m≠0时，k1=−1m，k2方法2从一般式来看，可得1∙(m−2)+3∙m=0，∴m=1(2)若l1和l2平行，则∴m2−2m−3=0(3)若l1和l2重合，则m−21(4)若l1和l2相交，则由(2)(3)可知m≠3且【点拨】判定直线的位置，有斜截式和一般式两种角度；由斜截式判定时，要注意直线斜率是否存在；由一般式判定时，切记不要死记结论.【典题2】顺次连接A(−4,3)、B(2,5)、C(6,3)、D(−3,0)，所组成的图形是()A．平行四边形 B．直角梯形 C．等腰梯形 D．以上都不对【解析】(要判断四边形形状，需要判断各边的位置关系，可从直线斜率入手)AB的斜率为5−32+4=13，则kAB=k由AD的斜率为3−0−4+3=−3得kAD由BC的斜率为5−32−6=−12得kAD故四边形为直角梯形，故选B．【典题3】已知m<1，直线l1：y=mx+1，l2：x=−my+1，l1与l2相交于点P，l1交y轴于点(1)证明：l1(2)用m表示四边形OAPB的面积S，并求出S的最大值.【解析】(1)当m=0时，直线l1：y=1，l2：x=1，显然有(确定l2当m≠0时，l1与l2的斜率分别为m，1−m，斜率之积m∙综上，l1(2)由题意知，A(0,1)，B(1,0)，由l1与l2相的方程联立方程组解得点P(1−m1+因m<1，故点(注意这点，否则图不准确，导致四边形OAPB判断出错)则|PA|=1−m|PB|=1−m由(1)可知PA⊥PB，∴S∴S故m=0时，S有最大值为1．【点拨】谨记l1//l2⟺巩固练习1(★)若l1与l2为两条不重合的直线，它们的倾斜角分别为a1(1)若l1∥l2，则斜率k1=k(3)若l1∥l2，则倾斜角a1=a其中正确命题的个数是.【答案】4【解析】(1)由于斜率都存在，若l1∥l(2)因为两直线的斜率相等即斜率k1=k2，得到倾斜角的正切值相等即tana(3)因为l1∥l(4)因为两直线的倾斜角a1=a所以正确的命题个数是4．2(★)已知直线l1：x+2ay−1=0，与l2：【答案】0或14【解析】当a=0时，两直线的斜率都不存在，(注意a是否为0，直线的斜率不一定存在的.)它们的方程分别是x=1，x=－1，显然两直线是平行的．当a≠0时，两直线的斜率都存在，故它们的斜率相等，由2a−1a=−a2a≠−1−13(★)三条直线l1则k的取值范围是.【答案】k∈R且【解析】由l1∥l3得k=5，由由&x−y=0&x+y−2=0得&x=1若(1，1)在l3上，则k=－10故若l1,l2,4(★)已知直线l1：mx+4y−2=0与l2：2x−5y+n=0互相垂直，其垂足为则m+n−p的值为.【答案】0【解析】∵直线mx+4y－2=0与2x－5y+n=0互相垂直，∴m−4×直线mx+4y－2=0即5x+2y－1=0，垂足(1,p)代入得，5+2p－1=0，∴p=－2．把P(1,－2)代入2x－5y+n=0，可得n=－12，∴m+n－p=10－12+2=0.5(★)直线l过点A(3,4)且与点B(−3,2)的距离最远，那么l的方程为.【答案】3x+y−13=0【解析】∵直线l过点A(3,4)且与点B(－3,2)的距离最远，∴直线l的斜率为：−1k∴直线l的方程为y－4=－3(x－3)，即3x+y－13=0.6(★★)[多选题]已知等腰直角三角形ABC的直角顶点为C(3,3)，点A的坐标为(0,4)，则点B的坐标为()A．(2,0) B．(6,4) C．(4,6) D．(0,2)【答案】AC【解析】设B(x,y)，∵等腰直角三角形ABC的直角顶点为C(3,3)，点A的坐标为(0,4)，∴y−3x−3×4−30−3∴点B的坐标为(2,0)或(4,6)．故选：AC7(★★★)在△ABC中，已知M(1,6)是BC边上一点，边AB,AC所在直线的方程分别为2x−y+7=0,x−y+6=0．(1)若AM⊥BC，求直线BC的方程；(2)若|BM|=|CM|，求直线BC在x轴上的截距．【答案】(1)2x+y−8=0(2)【解析】(1)联立方程2x−y+7=0x−y+6=0，解得x=－1,y=5故点A(－1,5)，又M(1,6)，所以kAM因为AM⊥BC，所以kBC又M为BC边上的一点，所以直线BC的方程为y－6=－2(x－1)，即2x+y－8=0；(2)因为|BM|=|CM|，所以点M为BC的中点，设点B(m,n),C(a,b)，则有m+a=2，n+b=12，点B在直线AB上，点C在直线AC上，且A(－1,5)，所以有n−5m+1解得m=－3,n=1,a=5,b=11，故点B(－3,1),C(5,11)，所以直线BC的方程为y−111−1=x+3令y=0，解得x=19故直线BC在x轴上的截距为195【题型二】对称问题【典题1】已知直线y=2x是△ABC中∠C的平分线所在的直线，若点A、B的坐标分别是(−4,2)，(3,1)，则点C的坐标为.【解析】(直线y=2x是角平分线，意味直线AC与BC关于y=2x对称)设A(−4,2)关于直线y=2x的对称点为A'(x,y)，则y−2x+4×2=−1y+22=2×−4+x2(这是点关于直线对称的问题，理解到直线y=2x是AA'的垂直平分线易得(∗)式)∴直线BA'方程为y−1=−2−1化为3x+y−10=0．(点A'在直线BC上)联立3x+y−10=0y=2x，解得x=2y=4，可得(对称轴y=2x与直线BC的交点就是点C)【点拨】建议通过画图去理解它们之间的关系，在图中你能更容易发现一些隐含信息.【典题2】如图已知A(4,0)、B(0,4)、O(0,0)，若光线L从点P(2,0)射出，直线AB反射后到直线OB上，在经直线OB反射回原点P，则光线L所在的直线方程为.【解析】由题意知直线AB的方程为y=−x+4，设光线分别射在AB、OB上的M、N处，(本题就是求直线PM方程，只要求出点M便可)由于光线从点P经两次反射后又回到P点，根据反射规律，则∠PMA=∠BMN，∠PNO=∠BNM．(反射问题，当然想到入射角相等，数学上是对称问题)作出点P关于OB的对称点P1，作出点P关于AB的对称点P则∠P2MA=∠PMA=∠BMN，∠P1NO=∠∴P易得点P关于y轴的对称点P1∵OA=OB=4,∴∠P2∴P2A⊥OA，∴由对称性可知P2A=PA=2，可得P2∴P(求P2∴直线PP2方程yx+2联立x−3y+2=0x+y−4=0，得x=52，y=∴直线PM：yx−2=325【点拨】反射问题的本质还是对称问题，平时处理一类问题中在掌握通法的同时也要注意“巧法”，根据题目的特殊性多思考与观察！【典题3】已知O为坐标原点，倾斜角为2π3的直线l与x,y轴的正半轴分别相交于点A,B△AOB的面积为83(1)求直线l的方程；(2)直线l'：y=−33x，点P【解析】(1)由题意可得：直线l的斜率k=tan2π设直线l的方程为：y=−3可得直线l与坐标轴的正半轴交点为A(33b,0),B(0,b)∴S△OAB=∴直线l的方程为y=−3(2)由(1)可得A(4,0)，B(0,43(求|PA|+|PB|的最小值是“将军饮马”问题，则要求点A或B关于直线l'的对称点)设点A关于直线l'的对称点A'(m,n)，则n−0m−4=3∴A'(2,23∵|PA|+|PB|=|PA'|+|PB'|，∴当A',B,P三点共线时，|PA|+|PB|取得最小值．∴=22(对于形如a+bc【点拨】在解析几何中最值问题也是常见的题型，你试试设点P(m,n)用函数的方法求解，感受下与本题的几何法比较.我们最好熟悉更多的模型，比如“将军饮马”，它在本题利用点关于直线对称处理了！后面我们在圆的方程、圆锥曲线中也会有.巩固练习1(★)原点关于x−2y+1=0的对称点的坐标为．【答案】(－2【解析】设原点关于x－2y+1=0的对称点的坐标为(x,y)，则yx×12=－1∴要求的点(－22(★)已知点A(1,2)、B(3,1)，则线段AB的垂直平分线的方程是．【答案】4x−2y−5=0【解析】设P(x,y)为线段AB的垂直平分线上的任意一点，则|PA|=|PB|，∴(x−1)23(★)入射光线沿直线x－2y+3=0射向直线l：y=x，被l反射后的光线所在直线的方程是【答案】2x−y−3=0【解析】在入射光线上取点(1,2)，则关于y=x的对称点(2,1)在反射光线上，代入验证，通过排除法，2x－y－3=0满足．4(★)已知△ABC的顶点A(1,2)，AB边上的中线CM所在的直线方程为x+2y−1=0，∠ABC的平分线BH所在直线方程为y=x，则直线BC的方程为．【答案】2x−3y−1=0【解析】由题意可知，点B在角平分线y=x上，可设点B的坐标是(m,m)，则AB的中点(m+12，m+22)在直线解得：m=－1，故点B(－1,－1)．设A关于y=x的对称点为A'(x0,y0即A'(2,1)则由A'在直线BC上，可得BC的方程为y+11+1即3(y+1)=2(x+1)，即2x－3y－1=0，5(★★)已知A(3,0),B(0,3)，从点P(0,2)射出的光线经x轴反射到时直线AB上，又经过直线AB反射回到时P点，则光线所经过的路程为．【答案】【解析】直线AB的方程为：x+y=3点P(0,2)关于x轴的对称点P1设点P1(0,－2)关于直线AB的对称点则b+2a×(－1)=－1，a2∴P∴光线所经过的路程=|PP6(★★)已知直线l经过点P(6,4)，斜率为k(1)若l的纵截距是横截距的两倍，求直线l的方程；(2)若k=−1，一条光线从点M(6,0)出发，遇到直线l反射，反射光线遇到y轴再次放射回点M，求光线所经过的路程．【答案】(1)2x−3y=0或2x+y−